CC BY
42
УДК 517.94
СИНГУЛЯРНЫЕ МОДЕЛИ ПЕРЕДАТОЧНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ
© 2011 Н.В. Дилигенский1,2, А.П. Ефимов2
1 Институт проблем управления сложными системами РАН, г. Самара 2 Самарский государственный технический университет
Поступила в редакцию 14.09.2011
Статья посвящена построению аппроксимативных решений для базовых моделей - передаточных и импульсных переходных функций для объектов с распределенными параметрами. Ключевые слова: объекты с распределенными параметрами; сингулярные модели; параболические уравнения; передаточные функции; импульсные переходные функции.
Для линейных объектов с сосредоточенными параметрами базовыми моделями являются передаточная функция Ж(р), характеризующая линейную связь между трансформантами входа и выхода, и весовая (импульсная переходная) функция g(т) , являющаяся реакцией объекта на идеальное импульсное воздействие, связанные преобразованием Лапласа. Для типовых сосредоточенных объектов Ж(р) и g(т) имеют простую форму и обеспечивают получение конструктивных решений для временных траекторий переходных процессов.
Для распределенных объектов импульсными переходными функциями являются функции Грина краевых задач для соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных [1] и передаточными функциями их трансформанты Лапласа. Эти конструкции достаточно сложные, приводят к неудовлетворительно сходящимся рядам и малопригодны на практике. Далее будем рассматривать распределенные объекты, описываемые параболическими управлениями теплопроводности.
Импульсные переходные функции G(т, х) для них находятся как обобщенные решения уравнения
дО дт
д 2О дх 2
= w (т, х),
(1)
где ш(т, х) сингулярные функции дельтаобраз-ного типа, определяемые видом соответствующих краевых задач, т и х соответственно, временная и пространственная координаты с областью определения т е [0, , хе [0, 1].
Дилигенский Николай Владимирович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой "Управление и системный анализ в теплоэнергетике". Ефимов Александр Порфирьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры "Управление и системный анализ в теплоэнергетике". E-mail: usat@samgtu.ru
Для одномерного протяженного объекта единичной длины с краевыми условиями первого рода, и симметрии Ю} (т, х) = 5(т)5' (х -1) и точное решение для передаточной функции имеет вид [1]
и// ч ехр(/рх) + ехр(-/рх) ек(^рх)
Ж1(Р, х) =-4=-=--¡=- (2)
ехр(д/р) + ехр(-ур) аНЦр) у 7
где р - оператор преобразования Лапласа.
Конструктивного представления для импульсной переходной функции, отвечающей обращению по Лапласу (2), в рамках стандартных, аналитических функций не существует, и для этих целей (2) представляется бесконечным рядом экспонент
Ж(р х) = ^-1)к (ехр-2+1-х)/р )+ехр-2к+\+х^р)). (3)
к=0
Все члены ряда (3) имеют одинаковую стандартную форму и единообразным способом элементарно трансформируются во временную область описания. Однако практическое использование (3), и соответствующего ему оригинала, встречает серьезные затруднения, связанные со сходимостью рядов.
Для больших значений р и, соответственно, для малых моментов времени т члены ряда (3) быстро убывают, и для удовлетворительного описания достаточно использовать первые несколько членов (часто на практике два - три). Так, двухчленное представление, соответствующее (3), имеет вид
р, х) и ехр(-/р(1 - х)) + ехр(-л/р(1 + х)). (4)
Отвечающее ему временное представление для импульсной переходной функции имеет форму
О1 (т, х)я
1 - х 2v г
(1 - х)2 4т
2 Г~з
2\ тт
1 + х I (1 + х)2 1
exp|--;—I. (5)
4т
Представления (4), (5) эффективны для малых т и больших р , однако при малых р и больших временах т >> 1 использовать ряд (3) , а также приближение (4) реально невозможно из-за неудовлетворительной сходимости (3). Для получения конструктивных решений в этом случае можно непосредственно разложить (2) в ряд Тейлора.
Первые два члена соответствующего разложения Ж(р, х) при р ^ 0 имеют вид
1 2
Ж1(р,х) «1 + 2(х2 -1)р +.... (6)
Представление (6) удовлетворительно описывает решение (1) при малых р (больших т), однако оно имеет принципиально иную форму чем ряд экспонент (3), и обратными трансформантами Лапласа от (5) являются сингулярные обобщенные функции времени
1 2
Ж(т,х) = 5(т) + -(х2 - 1)5'(т) +..., (7)
применять которые в рамках обычных классических функций затруднительно.
Полученные приближенные описания передаточной функции (4), (6) и импульсной временной функции (функции Грина) (5), (7) являются сингулярными асимптотическими представлениями на разных границах т = 0 и т = го временного интервала, описывающими существенно различные черты поведения распределенных объектов: (4), (5) - динамику импульсных, резконестационарных режимов, определяемую, главным образом, структурой оператора в частных производных, и (6), (7) - стадию квазиравновесных слабо изменяющихся процессов, в значительной степени отвечающих воздействию внешней среды, т.е. наличию граничных условий. Построим приближенное решение, которое по структуре отвечало разложению (3) с характерной функцией ехр(-у^р) и на границах временного интервала т = 0 и т = го совпадало с асимптотическими представлениями (4) и (6).
Непосредственно согласовать между собой внутреннее и внешнее асимптотические разложения для параболического оператора невозможно [2] и сконструируем мультипликатор Q, обеспечивающий гладкое сопряжение представлений (4) и (6).
В соответствии со структурой решения (3) мультипликатор построим в виде
^к (1У[р ) = ехРк (Ул1~Р) • ехР (-1У[Р X (8)
где ехрк (г) = ^и_0 — я-членный ряд Тейлора для ехр(г). п
Параметры мультипликатора к и у выбираются из условий согласований асимптотических представлений (4), (6) для различного чис-
ла членов рядов приближений и разных граничных условий.
На основе сопряжений первых двух членов разложений (4), (6) и (8) конструируется следующее простейшее приближенное представление для передаточной функции
Ж (р, х) И ехр(-д/р (1 - х)) + ехр(-л/р (1 + х)) -
1 + р(х2 -1) 2
ехр(-2/р).
(9)
Приближение (9) имеет форму, отражающую структуру параболического оператора, и асимптотики (8) на границах р ^ 0, р ^ го совпадают с ( 4), (6).
Приближенным описанием импульсной переходной функции, отвечающей оригиналу от (9) является квазиасимптотическое представление
О, (т, х) ^ 1, х ехр( - (—х) 1 г^ ^ 4т
1
2Ы ят
ехр
2 Л
1 + х
2Ы ят
(1 + х) 4т
2 Л
1
---
(х2 -1)(2 - 3т)
ехр
4т,
/ягГ V Цят' V ' (10)
В отличие от (4), (5) приближенные представления (9), (10) работоспособны во всей области определения т и х .
Переходная функция для распределенного объекта, отвечающая постоянному входному воздействию и являющаяся интегралом от (10), описывается выражением
Е (т, х) = вг/с
(1 - х Л
2>/т
+ вг/с
(1 + х Л 24Г,
- вг/с
(_1_ Л
х2 -1
ехр
ят
(11)
аппроксимирующим функцию влияния во всей области определения краевой задачи те [0, го) , хе[0, 1].
Полученное приближение имеет относительную погрешность менее 7% и может быть уточнено путём учёта дополнительных членов в разложениях (3) и (6).
Изложенный подход работоспособен для распределенных объектов иной формы и другими граничными условиями.
Точная передаточная функция для пластины с граничными условиями второго рода с ш 2 (т, х) = 5(т) 5 (х -1) имеет вид
И7 / Ч СН ^ х)
Щ( А х)=17^ ■ (12)
Квазиасимптотическим решением для (12) является
+
1
т
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
максимальная по координате относительная ошибка
0.01 0.02 0.03 0.05 0.07 0.1 0.2 0.3 0.40.5 0.7 I
2 3 45678 10
20 30 40 50
Рис. 2. Зависимость максимальной относительной ошибки приближённого решения (11) от времени
Ж (р, х) = -^г (ехр(-7р" (1 - х)) + ехр(-^/р (1 + х)))-
у1р
- вг/с
( _1_ Л Я.
( 2 Л
( х 1 Л
~2 6
ехр|--|
(14)
( (
1+р
V V
-1 2 6
Л
ехр(-^Л/р).
(13)
Квазиасимптотическое представление для переходной функции принимает форму
//
Приближенная импульсная переходная функция, отвечающая (13) имеет вид
Е2 (т, х) = 2д/т"
(■ А (! - хЛ
1вг/с
V V
2>/х
+ ■вг/с
( (1 + х ЛЛ
2>/х
//
О2 (т, х) =
л/ят
( (
ехр
V V
(1 - х) 4т
2Л
+ ехр
( (1 + х)2 ЛЛ
4т
+ 4т ■2 вг/с
( 1 Л - 1Л 2 6
1
Г
( л \
вг/с
Г.
. (15)
//
Приближенные конструкции (13), (14), (15) работоспособны во всей области определения
1
1
+
1
3.5
2.5
1.5
0.5
- Точное значение --Приближённое значение О х=0 О х=0.25 Л х=0.5 V х=0.75 П х=1
0.5
1.5
X
2.5
Рис. 3. Сравнение точного и приближённого (15) решений для некоторых значений координат
максимальная по координате относительная ошибка
0.0005
0.05 0.07 0.1
0.3 0.4 0.5 0.7
5 6 7 8 10
30 40 50
Рис. 4. Зависимость максимальной относительной ошибки приближённого решения (15) от времени
краевой задачи. Полученное квазиасимптотическое представление (15) имеет относительную погрешность около 0.5%.
Для пластины с граничными условиями третьего рода точное решение для передаточной функции имеет вид
Ж3 (р, х) = а • -
аН(л[рх)
а-аН(Тр) +л/р• (7р) , (16)
где а - безразмерный коэффициент теплоотдачи (число Био).
Построение квазиасимптотического приближенного представления для (16) является технически
более сложной задачей по отношению к предыдущим примерам, поскольку в решении (16) появляется новый параметр а , вызывающий при сопряжении внешних и внутренних сингулярных асимптотических разложений дополнительные трудности.
Проводя соответствующие вычислительные процедуры, квазиасимптотическое представление для передаточной функции получим в виде
2 • еЬЫ рх) ,—
Ж3(р, х) = аТа--1=— - ехр( -у!р ) - а Та
'Я
+ 2 •
(а + 2) а(1 - х2) + 1
(а 2 + 2 а + 2)( а + ./р) 2 а + р (а + 2) а 2 + 2 а + 2
а 2 х 2 + 2
4л/р"
- 2-
a(a2 + 2a-2)x2 -(a3 + 4a2 + 2a-4) (a+2)(2a+ p(a+2)(a2 + 2a+2)
• exp-i/p). (17)
Временное представление для переходной функции, отвечающее (17), имеет форму
E з ( т , x ) = erfc I 1—I + erfc 1 + x
2y[7
2y[7
erfc
4т
I - (1 - x)2 1 , Í 1 - x r\ - exp I -Ierfcx | —;=+ a-^Jт | -
24т
exp
+ 2 •-
4т
(1 + x )— 1 erfcx J 1 + Д + a -Jz I +
( a 2 + 2 a + 2)
-exp
2-/T
- 1
erfcx
л/т
+a
л/т 1 -
a (a 2 + 2a-2)x2 - (a3 + 4a 2 + 2a-4) Г- 1
-2-exp I —
(a + 2)(a2 + 2a + 2) V т
• Re erfcx I —=■ + l, ■
М>/т V
2 aт a + 2
а(1 -х2) +1 I 2ат (-1 Л т ( 1 I 2ах .
-^хЛ+ТУ Чт |1т вг/сх [тГЧ 1 .(18)
Как показано в [3], относительная погрешность вычислений по формуле (18) составляет менее 3%.
Предложенный подход работоспособен и для канонических тел иной формы. Так для полого цилиндра с граничным условием первого рода на внешней поверхности и второго на внутренней передаточная функция имеет вид
рх) = г)К0(У7)- 10(47)К0(4Уг) (19) 3 ' 10(у[р К )К 0(л[р) - 10 ) К 0(у[рЯ) '( ) где /0(2) , К0(г) модифицированные функции Бесселя и Макдональда, г , К соответственно,
безразмерные радиальная координата и внутренний радиус.
Квазиасимптотическими решениями для объекта (19) являются
Жз( р, х) = ^ ехр (- д/рс г - К))+
1П г /?] ехр ( - К)), (20)
ln R
G 3( т, x ) , — í^ exp
ln r - R ln R V r
2 л/ ят
(1 - R )
2 л/ ят 3
exp
(r - R)2 4 т
(1 - R)2
4 т
. (21)
Полученные приближенные представления имеют замкнутую аналитическую форму, достаточную точность, элементарно вычисляются и допускают содержательный параметрический анализ.
Работа выполнена в рамках Целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-13 гг." (государственный контракт №П1448).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979, 224 с.
2. Дилигенский Н.В., Ефимов А.П. Структурный анализ системных свойств квазиасимптотических моделей тепловых систем, пригодных во всей пространственно-временной области определения // Вестник Сам-ГТУ. Выпуск 13. Самара, 2001. С.142-147.
3. Ефимов А.П. Метод построения равномерно пригодных аппроксимаций решений нестационарных задач теплопроводности в телах конечных размеров // Вестник СамГТУ, серия "Технические науки". 2008. Выпуск 2 (22). С.196-200.
i
a2x2 + 2
1
x
SINGULAR MODELS THE TRANSFER RESPONSE AND IMPULSE FUNCTION FOR DISTRIBUTED OBJECTS
© 2011 N.V. Diligensky A.P. Efimov 2
'Institute of Problems of Control by Complex Systems of Russian Academy of Science , Samara
2 Samara State Technical University
The paper is devoted to the problem of construction of approximate analytical singular solutions for base models - transfer and impulse response functions for objects with the distributed parameters. Keywords: objects with distributed parameters, singular models, parabolic equations, transfer function, impulse response functions.
Nikolay Diligensky, Doctor of Technics, Professor, Head at the Management and Systems Analysis in Power System Department. Alexander Efimov, Candidate of Technics, Associate Professor at the Management and Systems Analysis in Power System Department. E-mail: usat@samgtu.ru
