CC BY
31
РЕНОРМАЛИЗАЦИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ С ДВУМЯ МАЛЫМИ ПАРАМЕТРАМИ*
Рассматривается задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с малым параметром при старшей производной. Начальная функция содержит другой малый параметр. Методом ренормализации строится асимптотика решения по параметрам задачи.
Ключевые слова: задача Коши, параболическое уравнение, ренормализация.
Введение
Рассмотрим задачу Коши для квазилинейного параболического уравнения
д 2и
ди дір (и)
ді + дх
дх2'
є > 0,
п(х,0,є,р) = V(хр ), х Є К, р> 0,
(1)
(2)
где функция <р бесконечно дифференцируема, а ее вторая производная строго положительна, начальная функция V бесконечно дифференцируема, ограниче-
на и имеет на бесконечности конечные пределы V±
Ііт V(з). Данная задача
»=ЬСЮ
имеет ограниченное бесконечно дифференцируемое по х и £ решение и(х,£,е,р). Исследуется его асимптотика при независимом стремлении е ^ 0 и р ^ 0. Как было показано в работе [1], структура асимптотики решения существенно зависит от соотношения параметров е и р. Далее предполагается, что
р
Р-0.
Известно, что в ряде случаев поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной в окрестности сингулярной точки становится в некотором смысле самоподобным. Тогда оказывается эффективным анализ решения с помощью метода ренормгруппы [2].
є
1. Построение асимптотики
Построим асимптотическое приближение решения задачи (1)-(2), используя технику ренормализации в наиболее простом ее варианте. Перейдем к внутренним переменным с помощью замены
х = еп, £ = ев, (3)
*Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № НШ-6249.2010.1) и ФЦП (№ 02.740.11.0612).
поскольку это позволит учесть все члены уравнения (1). Построим разложение решения в виде
п(х, і, є, р) = Г(п, 0) + рШ(п, 0, р) + 0(ра), а > 0,
(4)
где
дГ д^(Г) _
д0 дп дп2 ’
Vo“, П< °
Г(П, 0) = { (^“ + Vo+)/2, п = 0,
v0+, п > 0.
Тогда функция Ш удовлетворяет линейному уравнению
дШ + д (у;(Г)Ш) д 2Ш = 0
д0
дп дп2
(5)
(6)
(7)
Дифференцируя уравнение (5) по переменной п, убеждаемся, что выражение
О(п,0)- ,+
1 дГ(п,в)
- V дп
удовлетворяет уравнению (7). Более того, О представляет собой функцию Грина, поскольку
Ііт / С(п,0)/(п) ^п = --
1
е^+о
^+ - Vo
Г(п, 0)//(п) ^п = / (0)
для любой финитной функции /.
Подберем решение Ш в виде свертки с функцией Грина О так, чтобы асимптотическое приближение удовлетворяло начальному условию (2). В результате разложение (4) приобретает вид
п(х, і, є, р) = и0(х, і, є, р) + 0(ра), где число а пока не определено:
и0(х, і, є, р) = Г(п, 0) +
р Г дГ(п — рз, 0)
дп
[V(з) — Г(з, 0)] (8)
После интегрирования по частям имеем
и0(х, і, є, р)
^+ — Vo
єє
(9)
— оо
— оо
—со
1
— со
Таким образом, мы получили формальную асимптотику, для обоснования которой воспользуемся разложением, полученным в работе [1] с помощью метода согласования [3]. А именно, формулой
• (х і, є, р) = Л-о ( _, І — До,о,о і „ /— і
\р р2/ \2^/
(^=1 +п
хі
єє
где
Ло(а, ш)
пш
V(з) ехр
(а — з)2
4ш
х єі
аз, а = —, ш = —, р р2
До,о,о (г) = V- егіс(г) + v+erfc(—г)
1
егіс(г) = ехр(—у ) ау, г
а
2
Из выражения (9) получаем
и0(х,е,р) = Л.0(а,^) + 0(в1/2), в ^ +0.
Тогда
и(х,е,р) = и0(х,е,р) + 0(^1/2), 0 ^ ^ р
Теперь рассмотрим случай £ ^ р. Представим интеграл
^+ — Vo
р ^ дГ(п — рз, 0) дп
:ю
Г дГ(п — £,0)
[V(з) — Г(з, 0)] аз =
дп
■Мр) — гк.»)
ае
в виде суммы
Из асимптотики функции Грина [4] вытекает оценка
№-вЖ К.
Откуда находим
а3/4
— у?/4
дГ(п — Є,0) дп
Нр) -г({,0)
ае
^ К1р3/4 тах пек
дГ(п, 0)
дп
— ОО
— ОО
3/4
Из соотношения
у/в
№/ №
получаем следующую оценку:
д г(п - :,в)
е > №
3/4
,3/4
дп
и*)- г«.0)
<
СЮ Ю
/ дг(У’в) ^ + Мз№2 /
і3/4 і3/4
Є-Ч г(п - е,в)
3/4
№
5/4
е-2г(п - е,в)ае
3/4
1/4.
Точно так же приходим к оценке
-і3/4
дг(п - Є,в) дп
■м*)- гк,»)
Отсюда находим
№ [ дг(п - №з,в) [V(8) - г(8,0)] * = 0(№1/4).
дп
- V-
Тогда
и(х,Ь,е,р) = Цо(х,Ь,е,р) + 0(//4), р ^ ^ Т.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Для решения задачи (1)-(2) при е ^ 0 и ^ = р/е ^ 0 в полосе
{(х,Ь) : х € К, 0 ^ ^ Т} справедлива асимптотическая формула
и(х, і, є, р)
1
- V)
г
X - рз І \ '
є є
v/(s) аз + О (№1/4)
где г — решение задачи (5)-(6).
— ОО
— СО
— СО
2. Пример
С помощью преобразования Коула — Хопфа из доказанной теоремы нетрудно вывести, что для решения задачи
щ + иих = еихх, и(х, 0) = V(х/р)
при е ^ 0 и р = р/е ^ 0 в полосе {(х,Ь) : х € К, 0 ^ ^ Т} справедлива
асимптотическая формула
, . [ v'(s)
u(x, t, е, р) =
J vo+ - vo
— СЮ
+ I t(vo+)2 - 2vo+x , V+рЛ г /^vo+t - x + Ps\ ,
v« expl----------4e--------+ IT) erf4 2V5t 1 +
, t(vo )2 — 2v- x vn рЛ „ /x — v- t — ps + v- exp ----00------+ -0J- erfc 0 '
x
4e 2e у \ 2 Vet
ex/ t(v„+)2- 2v+x + erfj v»+t-j_+ pS) +
-\ 2 Г, - - N / - , NT-1
X
,'t(v°)2 — 2v°x , vopA f (x — v- — ps
+ exp ------------------------------ -----------------------------------1- — erfc 1
„ , , ^^ + О (р1/4).
4е 2е У V )\ У ]
Из полученных результатов сразу не видно, как ведет себя решение при
конечных значениях Ь. Согласно работе [5], при в > 0 справедлива оценка
|Г(п, в) — Л(п — св + к)| ^ Мехр(—7(|п| + в)), (11)
где 7 > 0, М > 0, функция Л определяется формулой
Л(0
с л, =
J <^(v) — cv — b
(v++v-)/2
^(vo+) — ^(vo“) ^ vo+ ^(v<-) — V- ^(vo+)
—+—-—, b =-------------+— ---------■
vo+ — vo vo+ — vo
а постоянная к такова, что
[Л(п + к) — Г(п, 0)]dn = 0.
Из оценок (10) и (11) получаем x ct
u(x, t, е, р) = Л ^Х—— + к^ + O (р1/2 lnр) , е1/2 ^ t ^ T = const.
Таким образом, функция Л(п — с0 + к) представляет собой главный член асимптотики решения в окрестности прямой x = ct. Здесь мы имеем дело с обычным пограничным слоем ширины 0(e), возникающим вблизи ударной волны.
c
— ОО
Список литературы
1. Захаров, С. В. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с двумя малыми параметрами / С. В. Захаров // Докл. РАН. — 2008. — Т. 422, № 6. — С. 733-734.
2. Теодорович, Э. В. Метод ренормализационной группы в задачах механики / Э. В. Теодорович // Приклад. математика и механика. — 2004. — Т. 68, вып. 2. — С. 335-367.
3. Ильин, А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — М. : Наука, 1989.
4. Бабич, В. М. Анзатц Адамара, его аналоги, обобщения, приложения / В. М. Бабич // Алгебра и анализ. — 1991. — Т. 3, вып. 5. — С. 1-37.
5. Ильин, А. М. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений при большом значении времени / А. М. Ильин, О. А. Олейник // Мат. сб. — 1960. — Т. 51, № 2. — С. 191-216.
