СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ТОЧКАМИ ПЕРЕВАЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.928

DOI: 10.52754/16947452_2022_4_218

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ

ТОЧКАМИ ПЕРЕВАЛА

Матанов Шерали Маматжанович, преподавател ь Ошский государственный университет

Ош, Кыргызстан sheralimatanov@yahoo. com

Аннотация. В данной работе рассматривается линейное сингулярно возмущенное уравнение при наличии двух точек перевала. Ранее такие классы уравнений не исследованы. Поставлена задача асимптотического исследования решений рассматриваемого уравнения. Для решения поставленной задачи привлечены линии уровня сопряженных гармонических функций. С использованием линий уровня проведены необходимые геометрические построения, что включает в себя покрытые и деление области. Далее выбраны пути интегрирования обеспечивающие ограниченность решений. Показана возможность перехода от одного нуля к другому и зависимость асимптотического поведения решений от начального значения независимой переменной. Доказано существование погранслойных линий, погранслойных и регулярных областей.

Ключевые слова: Сингулярное возмущение, асимптотическое поведение, аналитические и гармонические функции, линия уровня, погранслойные линии.

ЭКИ АШУУ ЧЕКИТКЕ ЭЭ БОЛГОН СИНГУЛЯРДЫК КОЗГОЛГОН ТЕНДЕМЕ

Матанов Шерали Маматжанович окутуучу, Ош мамлекеттик университети Ош, Кыргызстан sheralimatanov@yahoo. com

Аннотация. Бул макалада биз эки ашуу чекитке ээ болгон сызыктуу сингулярдуу козголгон тецдемени карайбыз. Буга чейин тецдемелердин мындай класстары изилденген эмес. Каралып жаткан тецдеменин чечимдерин асимптотикалык изилдвв маселеси коюлган. Бул маселени чечYY YчYн тYгвйлYY гармоникалык функциялардын децгээл сызыктары колдонулат. Децгээл сызыктарды колдонуу менен керектYY геометриялык сурвттввлвр колдонулду, алар капталган жана бвлYYчY аймактарды камтыйт. Андан ары чечимдердин чектYYЛYгYн кврсвтYYчY интегралдык жолдор тандалат. Бир нвлдвн экинчи нвлгв втYY мYмкYнчYЛYгY жана чечимдердин асимптотикалык ЖYPYм-турумунун квз карандысыз взгврмвнYн баштапкы маанисине квз карандылыгы кврсвтYлгвн. Чек аралык катмар сызыктары, чек аралык катмар жана регулярдуу аймактардын бар экендиги далилденген.

Ачкыч свздвр: Сингулярдык козголуу, асимптотикалык ЖYPYм-турум, аналитикалык жана гармоникалык функциялар, децгээл сызыгы, аймакты бвлYY, чек аралык катмар сызыктары.

SINGULARLY PERTURBED EQUATION WITH TWO SADDLE POINTS

Matanov Sherali Mamatzhanovich, teacher

Osh State University Osh, Kyrgyzstan sheralimatanov@yahoo. com

Abstract: In this paper, we consider a linear singularly perturbed equation in the presence of two saddle points. Previously, such classes of equations have not been studied. The problem of an asymptotic study of solutions of the considered equation is posed. To solve this problem, the level lines of conjugate harmonic functions are used. Using level lines, the necessary geometric constructions were carried out, which includes covered and division areas. Further, integration paths are chosen that ensure the boundedness of solutions. The possibility of passing from one zero to another and the dependence of the asymptotic behavior of solutions on the initial value of the independent variable are shown. The existence of boundary-layer lines, boundary-layer and regular regions is proved.

Keywords: Singular perturbation, asymptotic behavior, analytic and harmonic functions, level line, boundary layer lines.

Введение. В данной работе предлагается геометрический подход построения областей с применением линии уровней гармонических функций порождаемых аналитическими функциями F(t). Рассматривается линейное сингулярно возмущенное уравнение при наличии двух точек перевала. Ранее такие классы уравнений не исследованы. Поставлена задача асимптотического исследования решений рассматриваемого уравнения. Для решения поставленной задачи привлечены линии уровня сопряженных гармонических функций.

Объект исследование и постановка задачи. Объектом исследования будет сингулярно возмущенное уравнение

£x'(t,s) = a(t) x(t ,s) + eb(t) (1)

с начальным условием

x(t0,£) = x°, (2)

где о <s -малый вещественный параметр;

t0, t е D е C -множество комплексных чисел, a D - односвязная, открытая и ограниченная область. В ранних работах [1 - 3] задача (1)-(2) исследована в предположении, что фукнция a(t) в области D не имеет нулей, а в [4]

рассмотрены случаи, когда a(t) в области D имеет единственный нуль, в [5] биссингулярно возмущенные линейное и слабо нелинейные уравнения с применением обобщенного метода погранфункций построены асимптотическое разложение решений.

В данной работе задачу (1)-(2) исследуем, когда функция a(t) в области D имеет два нуля.

Рассмотрим случай

a(t) = (t - ia)(t - ip), где a, p e R -множество действительных чисел и a < p. Пусть выполняется условие:

Условие: b()e Q{^-пространство аналитических функций и b(t) не имеет полюсов в D.

Задача: При сделанных предположениях исследуем асимптотическое поведение решения задачи (1)-(2). С возможностью перехода от одного нуля к другому и определим погранслойные линии согласно приятых определений

в [2].

Решение задачи. Сначала задачу (1)-(2) заменим следующим (для удобства аргументы неизвестной функции будем опускать)

A(t ) , ) - A(z)

x = x° exp AO! +f b(r)exp A(t) - A(T)dr, (3)

p J p

tn

t

где A(t ) = J a(z)dT.

Исследование асимптотическое поведение функции (3) подразделим на две части:

1. Геометрические построения

2. Аналитическая часть

В первой части с использованием линии уровней гармонических функций Re A(t), Im A(t) в области D проведем некоторые геометрические построения.

В аналитической части согласно проведенным геометрическим построениям проведем исследование асимтотического поведения функции

(3).

1. Геометрические построения. Функцию a(t ) представим в виде

a(t) = (t - ip)2 + i(p - a)(t - ip), a(t) = (t - la) + i(a - P)(t - la).

0

и определим функции

а \ 1

А (г) = |а(г)с1т = -(г - ¡а)3 + - ¡(а - Р)(г - ¡а)2,

i

' 1 1

А(г) = [= - (г - ¡Р)3 + -¡(Р - а)(г - ¡а).

« 3 2

гР

Далее определим Яе А (г) и Яе А (г). Положим г = г1 + и2, ^, г2

действительные переменные, i - мнимая единица.

Имеем

Яе А (г) = -(г- - 3^ - а))2 + 3(Р - а%(г2 - а)),

Яе Л(г) = ^ - 3г-(г2-р))2 - 3(Р-а)г,(г2-р).

Введем в рассмотрение линии уровня (р) = {г е ДЯе А(г) = 0}, (р2) = {г е ДЯе Аг(г) = 0}.

Яе А (г) = -(г 2 - 3(г2 - а)2 + 3(Р - а)(г2 - а)) = 0.

Имеем

1е А (г) =

3

Отсюда

^ = 0 или г\ - 3(г2 - а)2 + 3(Р - а)(г2 - а) = 0 Согласно общей теории [6,7] линия уровня (р) в точке (0;а) разветвляется. Ветви определяются уравнениями

и'2 + 3 (Р-а)

а + Р л/3 2 3 Т- 4

г- = 0, г2 =—Т1^л/'Г + т(Р-а) . (4)

Аналогично линия уровня (р2) разветвляется в точке (0;Р) и ветви определяются уравнениями

гГ + 3(Р-а)2 ■

г- = 0, 'г =а+Р+^/г]2 + 3(Р-а)2 ■ (5)

2 3 V - 4

Таким образом, линии уровня (р1) и (р2) имеют общую ветвь г = 0, а другими ветвями являются гиперболы с вершинами в точках (0;а) и (0;Р). Ветвями линии уровней (р) и (р2) область Э разделяется на шесть частей. Эти части обозначим ^ (] = 1,...,6) (Рис.1.)

/

\ ^ СР2)

Ов е

ос - -- Он)

Рис.1 Ветви линии уровней (рх),(р2) и области Д И = 1,.,6)

Нетрудно проверить следующие соотношения

V е Д ^ Д ^ Д (Яе^(*) < 0),

V* е Д ^ Д ^ Д (Яе^(*) > 0),к = 1,2. Кривую определяемую (4) обозначим (р0), а (5) обозначим (р+). Лучами

(Рп ) = е С, г2 = аЛ^ - Ч, -ю< ^ < 0, д > 0},

(Рп ) = {* е С, = + Ч, + да< ^ < 0, ч > 0} область Д разделим на три части, которые обозначим Д1, Д2, Д3 (рис. 2).

СР12)-

Ои)

д*...... <*»

(Г (р<| )

Рис.2 Области Д51, Д2, Д3

Далее введем линии уровня

Ш = {* е Д1, Яе4(0 = ,0 < Л < 1}, (р-£) = {* е Д, ЯеД(*) = -£Л,0 < Л < 1} .

Проведем прямую

(р13) = {* е С, ^ = £Л,-да << +да, 0 < Л < 1}, (р14) = {* е С, * = -£Л,-да < < +да, 0 < Л < 1}, (р15) = {еС, =Р + бл,-да<^ < +да, 0<Л< 1},

(р16) = {t gC, t2 =P-sx, ^ 0<Д< 1}, (P17)= {t g C, t2 =a-sÀ,-ю< ^ <+<ю, 0 < Д< 1}, ( p18 ) = {t g C, t2 = а + £Д, -да< ^ <+œ, 0 <Â< 1}. (Рис. 1).

Рис.3 Различные линии Точки пересечения (р13 ) и (р15 ) обозначим ф ; (р14 ) и (р1б ) ^-ф ;

(Р14) и (р18)^Фз ; (р1з) и (р17)^ф4. Данные точки имеют координаты

Ф^, р + еД),Ф2(-е\ р-ея), Фз(-^, а + еД),Ф4^\ а-£Д). Определим точки Ф5 (0;а), Фб (0; р) и точки пересечения прямой (р14 ) с линиями уровней (р+е ) и (p-s ), которые обозначим ф и ф. Эти точки имеют координаты

а + р

2 3

а + р

2

,2 Д

4

Ф8(^Д;

Далее введем обозначения

е2Д + 3(Р-а)2.

4

Ф9(0; а-ел), Фю(0;Р + £л). Область с вершинами в точках Ф5, ф, ф, ф обозначим Ф1е, а область с вершинами в точках ф, Ф10, ф, ф обозначим Ф2е (Рис. 4).

Рис. 4 Области DXs, D2e

7

2.Аналитическая часть

Для исследования асимптотического поведения функции (3) определим пути интегрирования. Поскольку для г0 имеются различные возможности,

рассмотрим только случай ¿0 = /а.

В. Для ограниченности функции должно быть Яе А(Ь) < 0 и по выбранным путьям интегрирования Яе А(7) должна быть не возрастающей. Из предложения В вытекает, если г0 принадлежит отрицательным частьям из Ц (/ = 1,...,6),то не существует путей соединяющие г0 с нулями (¡а) или (¡Д) по

которым функция (3) будет ограниченной. Для этого случая путь может идти только вглубь отрицательной части, (рис.3).

Если ¿0 принадлежит к положительным частям, то существуют пути соединяющие точки ¿0 и нулей (¡а) или(гД) по которым функция (3) будет ограниченной, а по путям идущим вглубь этой части функция (3) будет неограниченной (рис. 6).

Если ¿0 принадлежит к одному из ветвей линии уровня (р) или (р2), то сводится к случаю = а, или ¿0 = Д. Для этого достаточно, по ветви (р) или (р), приблизится к нулю (¡а) или (гД). По ветви (р) или (р), функция Яе А(?) постоянна и согласна В функция (3) ограничена.

р

Рис. 5 Случай ¿0 е Ц и выбор путей интегрирования

в

Рис. 6 Случай е Ц и пути интегрирования

Приступаем к выбору путей интегрирования. Далее запись К[го, г] означает часть кривой соединяющее точки го, г.

а) Пусть /еД. Тогда путь состоит из части: (р~) [/0, Г]; части прямой

(Д) = {^еС, ¿1,-00 <^2<+оо} [I, г\.

б) I <е /)51, то путь состоит из части: (/?") соединяющее точки /0 и 1; части прямой {V е С, tl=tl,-<X) <t2< +оо} соединяющее точки ! и I.

в) г е В52. Путь состоит из части: прямой {г е С, гх = 0, -да<г2 <+да} соединяющего точки луча (/ е /)52, - да < /, < 0, /2 = /2) соединяющее точки 1 и

г) г е Д3. Путь состоит из части: прямой { ге С, ^ = 0, -да<г2 <+да) [(0;а),(0;/?)]; [(0?]; прямой {¿еС, Г1=Г1,-оо<г2<-нх)} [?, г].

д) ¿еД. Путь состоит из: отрезка [(0;а),(0;/?)], части (X)[(0;Д), ?]; отрезка

[Г, т =

Ограничимся рассмотрением случая а).

г

Рассмотрим функцию А(г) = | а(г)Уг. Применяя теорему Коши

г

(независимость значения интеграла от формы путей интегрирования)

получим следующие соотношения

А(г) = А—(г)-4(0, А(г) = А&) -А^).

В нашем случае г0 = а, тогда А (О = 0

Согласно выбранного пути интегрирования (3) представим так:

0 А. (О г А. (О - А. (г),, Л , г ,, , А. (О -А—(г) , ^ X = I ех^-^ + ехр-^-1^--Ъ(г)Уг + Ъ(г)ехр-^-г . (6)

£ , -ч £ £

(Л)

Если 1 меняется вдоль (р0) или (р2) = {^=0, -оо <г2<а}, то А ( г) 11т А (г)

ехр^1 = ехр-— и это выражение не имеет предела по б , а

£ £

I Ъ(г)ехр А—(г)-А—(г)Уг = 0(£я), (0<Л< —).

(р2)ши(р0) £ ^

Тогда для t функция не имеет предала.

Через точку Ф4 проведем линию уровня

(р-£) = { г е Д, ЯеА—(г) = -£2Л(2£ + (£-а))> .

Область ограниченния (р0) и (р-€) обозначим Б3е.

Полосу {г е Д, 0 < ^ <еА, -да< г2 <а-£1} П1е (рис.7).

№2

Рис.7 Области П18 и Д38 Теперь нетрудно доказать, что Д1е и Д3еи П8 является погранслойной областью, а остающаяся часть Д является регулярной областью, согласно принятых определений в [2].

Аналогичным образом могут быть исследованы оставшиеся случаи, согласно выбранных путей. Только заметим ветв линии уровня

{г е С, г1 = 0, - да < г2 < +оо} позволяет переход от одного нуля к другому.

Таким образом ветви линии уровней (р1),(р2) являются погранслойными линиями, а прилегающие области (типа П ) являются погранслойными областями.

Заметим, добавление в (1) нелинейных функций по х(г,8) (при

условии, что это функция аналитична в некоторой области переменных г, х) существенно не меняет асимптотическое поведение решения рассматриваемой задачи. Только в этом случае для доказательства существование и ограниченность надо применить метод последовательных приближений или принцип отображение пространство в себе.

Выводы: По итогам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Линия уровня (р0), проходящая через начальное значения ^ является погранслойной линией.

2. Область —является погранслойной областью.

3. Часть ветвей (р01) (р02) также являются погранслойными линиями,

отделяющие области, где решение имеет неоднородные оценки по £.

4. Под влиянием точки перевала рассматриваемая область разделяется на несколько подобластей, в каждом из которых решение имеет неоднородные оценки по £.

5. Исследования показывают, что погранслойные линии появляются под влиянием точек перевала, и такие линии являются новыми видами погранслойных линий.

Литература

1. Алыбаев К.С. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями [Текст] / К.С. Алыбаев, К.Б. Тампагаров // Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам ХЦУП международной научно-практической конференции. № 10 (45). Россия, Новосибирск: СиБАК, 2016. 59-66 с.

2. Панков П.С. Явление погранслойных линий, и асимптотика решений сингулярно возмущенных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями [Текст] / Панков П.С, Алыбаев К.С, Тампагаров К.Б, Нарбаев М.Р //

Вестник Ошского государственного университета. 2013. Т. 1. с. 227.

3. Алыбаев К. С. Зависимость областей притяжений от начальных значений и расширение смежных областей притяжений [Текст] / Алыбаев К.С., Мурзабаева А.Б. / Известия Ошского технологического университета. 2019. № 3. с. 174-180.

4. Алыбаев К. С, Асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенных уравнений с точками перевала (ЕНО)

5. Турсунов Д.А. Ассимптотика решения бисингулярно возмущенных обыкновенных и элиптических дифференциальных уравнений [Текст]/ дисс. ...док.физ-мат.наук:01.01.02/ Д.А. Турсунов.-Ош, 2014.- 192 с.

6. Федорюк М. В. Метод перевала [Текст]/ М.В. Федорюк.-Москва: Наука,1977. -368с.

7. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст]/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат.-Москва: Наука, 1973.-739 с.