CC BY
4Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022
https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84
УДК 517.928 https://doi.org/10.33619/2414-2948/84/02
MSC 2020: 34M60; 35A16
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ПАРАМЕТРОМ И НУЛЯМИ
©Матанов Ш. М., SPIN-код: 7182-1303, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, sheralimatanov@yahoo.com
ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF A FUNCTION OF A COMPLEX VARIABLE WITH A PARAMETER AND ZEROS
©Matanov Sh., SPIN-code: 7182-1303, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, sheralimatanov@yahoo.com
Аннотация. Исследование асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях сводится к исследованию интегралов от экспоненциальных функций комплексного переменного с параметром. Поставлена задача исследования асимптотического поведения таких функций. Функции в экспоненте имеют нули. Исследование таких функций затрудняется тем, что надо выделить из заданной области некоторую часть и выбрать пути интегрирования, которые обеспечивают ограниченность рассматриваемых функций по малому параметру. К таким интегралом не применим метод перевала. Для решения поставленной задачи применены линии уровня гармонических функций, порождаемые аналитическими функциями. Линиями уровней область в комплексной плоскости разделена на части. Выбраны пути интегрирования, обеспечивающие ограниченность интегралов по малому параметру. Выявлены погранслойные линии, области, где интегралы не имеют предела по малому параметру, но ограничены по модулю; регулярные области (интегралы имеют предел); сингулярные области (интегралы не ограничен). Все построения сопровождены соответствующими рисунками. В дальнейшем результаты данной работы можно использовать для теории сингулярно возмущенных уравнений в комплексной области.
Abstract. The study of the asymptotic behavior of solutions of singularly perturbed equations in complex domains reduces to the study of integrals of exponential functions of a complex variable with a parameter. The problem is to study the asymptotic behavior of such functions. The functions in the exponent have zeros. The study of such functions is hampered by the fact that it is necessary to select a certain part from a given region and choose integration paths that ensure the boundedness of the considered functions with respect to a small parameter. The saddle point method is not applicable to such integrals. To solve the problem, the level lines of harmonic functions generated by analytic functions are applied. The level lines divide the area in the complex plane into parts. Integration paths are chosen that ensure boundedness of integrals with respect to a small parameter. Boundary-layer lines, areas where the integrals have no limit with respect to a small parameter, but are limited with respect to the modulus, are revealed; regular domains (integrals have a limit); singular regions (integrals are not limited). All constructions are accompanied by corresponding drawings. In the future, the results of this paper can be used for the theory of singularly perturbed equations in a complex domain.
Ключевые слова: сингулярное возмущение, асимптотическое поведение, линия уровня, монотонность, путь интегрирование, ограниченность.
Keywords: singular perturbation, asymptotic behavior, level line, monotonicity, integration path, boundedness.
Введение
В данной работе предлагается геометрический подход построения областей с применением линии уровней гармонических функций порождаемых аналитическими функциями F(t).
Исследование асимптотического поведения решений сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями в комплексных областях [1-5] сводятся к исследованию специальных функций вида:
Jo(t,e) = ехр
F(t) - F(t0)
Ji(t,e) = fi ф(г)ехр
£
F(t)-F(to)
dx,
(1)
(2)
в некоторых комплексных областей при г ^ 0 (0 < г — малый параметр).
Трудность асимтотического исследования функций заключается, в том что из заданной области надо выбрать некоторую часть, и пути интегрирования где 00(1,е) 0^(1,8), будут ограниченными при е ^ 0.
При исследовании функции (1)-(2) основная роль принадлежит функции Р(1), в предположении, что <р(т) в рассматриваемой области аналитично и ее изменение существенно не влияет на асимптотическое поведение 0^, е).
Следовательно далее будем рассматривать только функции Р&).
Пусть задана система функций
VdtUiW.....Яn(t))
(3)
и выполнены условия:
УС1. V Àj(t) Е QÇD) — пространство аналитических функций в Ъ. vn wtcn ilm
УС2. VtEV (lmXj(t) > 0,j = 1,..., n).
Введем в рассмотрение функции Р&) = / Х^(т^)йт,] = 1, ...,п.
Поставим задачу: Построить область, Ъ0 с V, где выполняются соотношения:
Ж Е Ъ0(ЯеР^(1) < 0.) = 1,..., п)
Vt Е Ъ0 существуют пути по которым Ке(Р^) — Р(т)) < 0.
(4)
Согласно УС1 решение задачи Е Q('D). Функции порождают гармонические функции КеР](£), 1тР](1).
Определение. Множество {р^ = {1ЕЪ,ЯеР^(1)} назовем линией уровня функции ЯеР^г).
Линия уровня 1тР)(€) определяется аналогично, и обозначается ($}). Заметим, согласно УС2 через любую точку области V проходит единственная линия уровня функций ЯеР ¡(£), 1тР ¡(£).
Е
® I
Из множества (ру) (j - фиксированное) возьмем линию (р0у) = {£ £ В, = 0).
По определению функции /у (0, линия (р0у) проходит через точку и область Ъ делит (не ограничивая общности можно считать так) на части В^-, В2у (Рисунок 1).
Рисунок 1. Деление области Ъ на Dxy и D2y
На линии (р0у) возьмем произвольную точку t = + it2 и рассмотрим прямую (qy) = (t е Ъ, ti = ti — const, < t2 < от }. Прямая (qfy) проходит через точку t.
Лемма 1. Пусть выполняются условия УС1 и УС2. Тогда вдоль прямой (¿7у) функция fteFy(t) строго убывает. Доказательство. Обозначим fteFy(t) =
F1y(t1, t2). Рассматривая функцию F1y(t1, t2) вдоль прямой (qfy) имеем F1y(t1, t2). Тогда (F1y(t1, t2))
—/шЯу(?1 + it2) < 0 (согласно УС2). Отсюда следует справедливость леммы 1.
Следствие 1. Согласно F1y(t1, t2) = 0 и Леммы 1 следует справедливость следующего утверждения
Vt е D1y(fleFy(t) < 0) л Vt е D2y(fleFy(t) > 0). (5)
При этом в (5), равенство выполняется только для t е (р0у).
Область D1y определена рассмотрением только функции ftefy(t) при фиксированным _/'. Если рассмотреть систему функций {ftefy(t), _/' = 1, ...,п} и линий уровня {(р0у),У = 1, ■■■ , и), то получим систему областей {©1у, _/' = 1, ...,п}. Возникает вопрос: каково взаимосвязь областей D1y.
Для ответа на этот вопрос рассмотрим систему линии уровней {(р0у),У = 1, ...,п). По определению эта система привязана к точке t0, то есть все линии (p0y),J = 1, ...,п. проходят через точку t0. Других сведений относительно этой системы не имеется. Не исключено что линии (р0у) могут взаимно пересекатся в нескольких точках (коме точки t0). В общем случае определить такие точки практически невозможно и каждый конкретный случай придется рассмотреть отдельно.
В цельях упорядоочения расположения системы {(р0у),у = 1, ...,п} потребуем выполнимость условия:
УС3. Пусть в система {(р0у),У = 1, ...,п} две произвольные линии в области V не имеют общих точек, кроме t0. Через точку t0 = t10 + it20 проведем прямую (q0) = (i е D, t1 = t10, —от < t2 < от }.
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022
https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84
Прямая ( ц0) делит область V на части Пг иП2. Возьмем произвольную линию (р0}-)(]-фиксированное). Это линия прямую (q0) пересекает только в одной точке *:0. Дейстаительно, пусть (р0¡) пересекает (ц0) еще в точке . Возьмем отрезок (ц0) соединяющий точки Ь0 и .
Согласно УС2, функция убывает или возрастает на этом отрезке. С другой
стороны ЯеР](1) = 0, КеР](1,0) = 0, что противоречит УС2.
Таким образом одна ветвь (р0¡) находится в Пх, а другая в П2. Если учесть УС3, то в П и П2 ветви линии уровней системы {(р0]),] = 1,...,п} распологаются в определенном
Рисунок 2. Расположение линий системы {(р0у)}
Лемма 2. Пусть выполняются условия УС1,УС2,УС3. Тогда существует =
ъ10 и чг е ъ10 (ЯеР](г) < 0,] = 1, ...,п).
Доказательство. При выполнении условии УС1,УС2,УС3 в частях П1,П2 ветви линий системы {(р0}),] = 1,.--,п} упорядочены. Пусть в П «вверху» (по направлению прямой ^0) ) находится ветвь линий (р01) , а в П2 ветвь линии (р0к)(1 < к < п). Введем в рассмотрение область Ъ10 ограниченный ветвьями (р01) и (р0к) (Рисунок 3).
Рисунок 3. Определение области Ъ10
На линии (р0к) и (р01) возьмем произвольную точку И = + И2 и проведем прямую (ц) = {гЕЪ,гг= <г2< +»}.
На основании УС2 все функции (у = 1, ...,п) убывают по прямой (д) (Лемма
1). На ветви (р01), только = 0, а <0 (у = 2, ...,п), на ветви (р0^)только
йе^(0 = 0, йе^-(0 < 0 (у = 1,-Д — 1Д + 1, ...,п).
Тогда УГ £ Х>10 (йе^КО < 0, йе^(0 < 0,йе£/(0 < 0,) = 1,.,к — 1,к + 1, ...,п), причем В10 = Пу=1®1у. Лемма доказана.
Примечание. Если рассмотреть только одну функцию А^О, то условия УС2, УС3 можно снять, а условие УС1заменит на УС1.1 А^О £ л У Г £ ©(А^О * 0) Действительно, рассмотрим функции
F1(t) = / A1(t)dr и «eF1(t),/rnF1(t).
Определим линии уровня
(р) = (t е D,^eF1(t) = р — const}, (q) = (t е D,/rnF1(t) = q — const},
Согласно УС1.1 (p), (q) не имеют точек ветвления в области D.
(Ро) = аев,йе*!(0 = 0}.
Как и в предыдущем случае (р0) область Ъ делит на части D1 иВ2. На линии (р0) возьмем произвольную точку t и проведем линию
( qr) = (t е D,/rnF1(t) = /rnF1( t) = qr}.
Рассмотрим функцию ^eF1(t) вдоль линии ( q) . Известно [6-7], вдоль линии ( q) функция ^eF1(t) строго монотонна. Тогда выполняется только один из следующих соотношений
или
Vt е D1(«eF1(t) < 0)лVt е D2(«eF1(t) > 0),
Vt е D1(«eF1(t) > 0>Vt е D2(«eF1(t) < 0),
(6)
(7)
Так как соотношения (6) и (7) равноправны, то можно взять любую из них. Высказанное утвеждение доказано.
Рассмотрим неявные уравнения йeF1(t) = 0, йeF^£(t) = 0 Согласно условия УС2 из данных уравнений определяются функции
¿2 = Ф1(^1), ¿10 < ¿1 < «1,
¿2 = ^ОО, «2 < ¿1 < ^10,
где а1а2 — некоторые постоянные. Пусть выполнятся условия:
УС4. [йе/у(^ + ¿^1(11))]' < 0, у = 2, ...,п, [йе£/(^ + < 0, у = 1,2,.,к — 1Д + 1, ...,п,
Теперь решение поставленной задачи можно выразить следующей теоремой. Теорема. Пусть выполняются условия УС1 - УС4. Тогда существует область В0 с® и выполняются соотношения:
® I
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №11. 2022
https ://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/84
Vt G V0(ReFj(t) < 0 л существуют пути Y(tg,t)— соединяющие точки tg и t по котором Re(F(t) — F (г)) < 0, где т — промежуточная переменная.
Доказательство. При выполнение условий УС1 - УС3, согласно Леммы 2 существует область Ъд и Vt G Vg(ReFj(t) < 0).
Докажем вторую часть теоремы.
Пусть t G Vg. Область Vg прямой (qg) разделяется на части rDig,V2g (Рисунок 3) Если tGV10, то путь Y-í(tg,t) состоит из части (р01) — соединящего точки tg и t G (р01) и прямолинейного отрезка соединящего точки t = t1 + it2, t = t1 + it2.
Если t G V2g, то Y2(t0, t) состоит из части (pgk) —соединяющего точки tgи t G (pgk) и прямолинейного отрезка соединяющего точки t = t1 + it2, t = t1 + it2.
Теперь согласно определения области и условия УС4 нетрудно проверить справедливость соотношения Vt G Vg(ReFj(t) — ReFj(x) < 0). Теорема доказана
Список литературы:
1. Алыбаев К. С., Тампагаров К. Б. Метод погранслойных линий построения регулярно и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями // Естественные и математические науки в современном мире: сб. статей по материалам XLVII международной научно-практической конференции. №10(45). Новосибирск, 2016. 59-66 с.
2. Алыбаев К. С., Нарымбетов Т. К. Асимптотический анализ решений слабо нелинейных сингулярно возмущенных уравнений первого порядка в комплексных областях // Вестник Ошского государственного университета. 2020. №1. C. 96-103.
3. Нарымбетов Т. К. Анализ исследований сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях // Вестник Ошского государственного университета. 2021. №1(1). C. 74-89.
4. Алыбаев К. С., Матанов Ш. М. Геометрическая теория сингулярно возмущенного уравнения бернулли с точкой перевала // Наука. Образование. Техника. 2021. №3 (72). С. 4050.
5. Вазов В. Р. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.
6. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.
References:
1. Alybaev, K. S., & Tampagarov, K. B. (2016). Metod pogransloinykh linii postroeniya regulyarno i singulyarnykh oblastei dlya lineinykh singulyarno vozmushchennykh uravnenii s analiticheskimi funktsiyami. In Estestvennye i matematicheskie nauki v sovremennom mire: sb. statei po materialam XLVII mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii, (10(45)), Novosibirsk, 59-66. (in Russian).
2. Alybaev, K. S., & Narymbetov, T. K. (2020). Asimptoticheskii analiz reshenii slabo nelineinykh singulyarno vozmushchennykh uravnenii pervogo poryadka v kompleksnykh oblastyakh. Vestnik Oshskogo gosudarstvennogo universiteta, (1), 96-103. (in Russian).
3. Narymbetov, T. K. (2021). Analiz issledovanii singulyarno vozmushchennykh uravnenii v kompleksnykh oblastyakh. Vestnik Oshskogo gosudarstvennogo universiteta, 1(1), 74-89. (in Russian).
4. Alybaev, K. S., & Matanov, Sh. M. (2021). Geometricheskaya teoriya singulyarno vozmushchennogo uravneniya bernulli s tochkoi perevala. Nauka. Obrazovanie. Tekhnika, (3 (72)), 40-50. (in Russian).
5. Vazov, V. R. (1968). Asimptoticheskie razlozheniya reshenii obyknovennykh differentsial'nykh uravnenii. Moscow. (in Russian).
6. Fedoryuk, M. V. (1977). Metod perevala. Moscow. (in Russian).
Работа поступила в редакцию 28.09.2022 г.
Принята к публикации 12.10.2022 г.
Ссылка для цитирования:
Матанов Ш. М. Асимптотическое поведение функции комплексного переменного с параметром и нулями // Бюллетень науки и практики. 2022. Т. 8. №11. С. 24-30. https://doi.org/10.33619/2414-2948/84/02
Cite as (APA):
Matanov, Sh. (2022). Asymptotic Behavior of a Function of a Complex Variable With a Parameter and Zeros. Bulletin of Science and Practice, 8(11), 24-30. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/84/02
