ПОГРАНСЛОЙНЫЕ ЛИНИИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С ТОЧКОЙ ПЕРЕВАЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

УДК 517.928 https://doi.org/10.33619/2414-2948/85/06

MSC 2020: 34D15; 93C70

ПОГРАНСЛОЙНЫЕ ЛИНИИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С ТОЧКОЙ ПЕРЕВАЛА

©Матанов Ш. М., ORCID: 0000-0002-9979-7069, SPIN-код: 7182-1303, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, sheralimatanov@yahoo.com

BOUNDARY LAYER LINES OF SOLUTIONS TO SINGULARLY PERTURBATE EQUATIONS WITH A SADDLE POINT

©Matanov Sh., ORCID: 0000-0002-9979-7069, SPIN-code: 7182-1303, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, sheralimatanov@yahoo.com

Аннотация. В данной работе исследовано асимптотическое поведение решений сингулярно возмущенных уравнений в комплексных областях. Рассматриваемые уравнения имеют точку перевала. Основной целью является доказательство существования погранслойных линий, погранслойных областей и регулярных, сингулярных областей, выявление их особенностей по сравнению с предыдущими исследованиями. Для решения поставленных задач привлечены гармонические функции и их линии уровня. С использованием линии уровней проведены геометрические построения. Рассматриваемая область разделена на части и выбраны пути интегрирования обеспечивающие сходимость некоторых функций по малому параметру. Применяя метод последовательных приближений доказано существование и ограниченность решения уравнения. Выявлены особенности пограслойных линий.

Abstract. In this paper, we study the asymptotic behavior of solutions of singularly perturbed equations in complex domains. The considered equations have a saddle point. The main goal is to prove the existence of boundary-layer lines, boundary-layer regions and regular, singular regions, identifying their features in comparison with previous studies. Harmonic functions and their level lines are involved in solving the set problem. Using the level line, geometric constructions are carried out. The area under consideration is divided into parts and integration paths are chosen that ensure the convergence of some functions with respect to a small parameter. Using the method of successive approximations, the existence and boundedness of the solution of the equation is proved. The features of the boundary lines are revealed.

Ключевые слова: сингулярное возмущение, точка перевала, асимптотическое поведение, линия уровня, погранслойные линии, регулярные и сингулярные области.

Keywords: singular perturbation, saddle point, asymptotic behavior, level line, boundary layer lines, regular and singular regions.

Объект, предмет и цель исследования

Объектом исследования данной работы является уравнение

ex'(t, £) = a(t)x(t, е) + ef(t, x(t, е)) (1)

с начальным условием

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №12. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

x(t0,s) = X0

(2)

где 0 < £ — малый вещественный параметр; t ЕЪ с С — множество комплексных чисел, а Ъ — односвязная, открытая, ограниченная область; 10 ЕЪ.

Далее I = 11 + И2,1 = ^—1, — действительные переменные, = Ь10 + И20,

^10, £2о Е И — множество действительных чисел. Задача (1) - (2) исследована в работах [1-3] при условии а(г) Е д(х>) и Уг ЕЪ (а(0 Ф 0),

где Q (Ъ) — пространство аналитических функций в Ъ ; и введены новые понятия в теории сингулярно возмущенных уравнений: погранслойная область (ПО), погранслойная линия (ПЛ), регулярное и сингулярная области (РО, СО).

Определение 1. Если Т0ЕЪ и а(Т0) = 0,а'(Т0) = 0,... ,а(п-2)(Т0) = 0,а(п-1)(Т0) Ф 0, то точка Г0называется (п — 1) кратным нулем функции а(€).

В данной работе задачу (1)-(2) будем рассматривать при следующих условиях: УС1. а(£) ЕЪ л (з! Т0 ЕЪ л Т0 — (п — 1)кратный нуль функций аЮ). УС2. ¡(г, х) е д(н), н = {(г, х), гЕЪ, и < м1}. усз. ¡(г,х) ф 0,(ч(ьх),&,х) е н)(\/(г,х) — /(г,х)\ <м2\х — х\)

Здесь и далее положительные постоянные, не зависящие от £ будем обозначать буквами М1,М2,... .

Предметом нашего исследования будут ПО, ПЛ, РО и СО для задачи (1) - (2), согласно принятых определений в [1-3].

Цель исследования: доказать существование ПО, ПЛ, РО, СО и выявить их особенностей.

Методология и методы исследования 1. Приведение задачи к стандартному виду Задачу (1) - (2) заменим следующим

А(1) . Г..... А(1)—А(т), (3)

x(t,£) = х0ехр-

+

Гс A(t)-A(T) I /(т,х(т,е))ехр-йт,

г

где А(1) = ^ а(т)йт.

Далее для удобства аргументы неизвестной функции будем опускать. Согласно УС1. функция А(1) Е Q(Ъ) и Т0 является п кратным нулем этой функции. Рассмотрим функции ЯеА(1),0тА(1). Точка Т0 будет п кратной точкой перевала для этих функций. Справедлива следующая Лемма 1. Если А(1) аналитична в Ъ и представима в виде А(1) — А(Т0) =

означает

& — Т0)п А0&) (А0(0 Ф 0), то преобразование ю = & — Т0)А^(0, где любую непрерывную однозначную ветвь корня п — й степени из А(1); является локально взаимнооднозначным и конформным в окрестности точки Т0 и окрестность Т0 отоброжает в некоторый круг плоскости № с центром в точке (0;0).

Таким образом в (3), проведя соответствующее преобразование, можно рассмотреть уравнение (оставим прежние обозначения)

x(t,e) = х0ехр

tn - rt

ч

+ I f(j,x)exp

4-П -П

t -Т0

dx,

(4)

Для простоты в (4), возьмем п = 2.

£

i

i

£

£

о

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №12. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

2. Геометрические построения.

Будем считать 1 е В, Ъ — квадрат с вершинами (—г, 0), (0, г), (г, 0), (0, —г) где 0 <

t0 < г и не зависит от е.

f2 с2.

Обозначим = t2. Пологая t = tx + it2 определим функцию ^e^(t) = t^ Определение 2. Пусть t2) функция двух вещественных переменных. Множество (р) = {(ti, t2) £ й2, u(tx, t2) = р — const } назовем линия уровня функции U(t1,t2).

Рассмотрим следующую линию уровня функции ^e^(t):

(Ро) = {teD, ЯеЛ(0 = t2 — t22 = 0 }. Линия (р0) в точке (0; 0) разветвляется. Ветви (р0) D разделяют на четыре части (Рисунок 1).

Рисунок 1. Деление Ъ

Эти части обозначим Х)у (у = 1, ...,4). В каждом их этих частей функция йеЛ^) , попеременно принимает отрицательные и положительные значения. Поскольку ^ произвольное число принадлежащее Ъ , то возможны следующие случаи. 1. ^ е©4 2^0 ех>! 3. ^ е 4.^ е©з 5.^ е (ро)

Ограничимся рассмотрением случая ^ е В4. Определим линию (р) = ^ е В4, = ЯеЛ(^)}. Линия уровня (р) проходящая через точку ^ пересекает

ось

Тогда без ограничения общности можно считает [0 е й и ^ < 0 (Рисунок 1). Заметим, в части В2 также существует линия уровня (р) проходящая через точку (Рисунок 1). В

области ограниченной этими линиями < 0. Это условие является только

необходимым условием ограниченности функции (5). На ограниченность (4) сильное

влияние может оказать интегральный член в (4), точнее функция ехр;

'2-т2)

dr.

Лемма 2. Если существует путь р(^, ^ соединяющая точки ^ и 1 е В, по которой йе^

не возрастает, то интеграл J(t, г) = С ехр -—— dr будет ограниченным по модулю.

to 2£

Доказательство. Пусть путь p(t0, t) состоит из двух простых дуг: p1(t0, t') и p2(t', t) причем по p1(t0, t') функция ftet2 постоянна, а по p2(t', t) убывает. Предположим, что t £ p1(t0, t') и т меняется от t0 до t по p1(t0, t'). Тогда ftet2 = const, а йет2 = const(fter2 ^ const). Отсюда имеем fte(t2 — т2) = 0 , значить |J(t, г)| ограничена. t£ p2(t', t), а т меняется от t0 до t' по p1(t0, t'), затем от t' до t по p2(t', t).

с

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

По условию на Pi(to,О функция Rex2 = const, а по p2(t', t) Rex2 убывает. Значить Rex2 >Ret2. Отсюда имеем Re(t2 — т2) <0. В этом случае также |J(t, г)| ограничена. Лемма доказана.

Необходимые построения и выбор путей интегрирования.

Далее ограничимся рассмотрением части области V ограниченный линиями (р) и (Poi) = {(t 1, t2) EV,ti—t2 = 0,0<ti<+™, 0<t2< + (P02) = {(tl, t2) ev,ti + t2 = 0,0 < ti < —от < t2 < 0} (Рисунок 2) которую обозначим Ъ0.

Рисунок 2. Область Ъ0

Определим линию уровня (р0е) = {t G V,Re(t2 — t^) = elm}.

Область ограниченный (р0) и (р0е) обозначим Ъ0е. Ъ0е с D0. V0\D0e = V01, при этом считаем,что (р0е) G D01 (Рисунок 3).

Рисунок 3. Области D0£ и D0i.

Части В0е и В01 расположенные: выше оси ^ обозначим, соответственно В1е и ; ниже оси ¿1, соответственно обозначим В2е, ®21. Области В1е симметрично области В2е, а В11 симметрична В21, относительно оси Рассмотрим область В1е и В11. Далее когда речь пойдет о линиях (р0) и (р0е), то будем имееть части (р0) и (р0е), преднадлежащие области

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

®1е и ®11. Через точки (¿0, 0), (—7^, 0) проведем лучи (р11) = ^ е В, г^ — = < <

0 и — не зависит от г), (р1е) = ^ е В, ^ — = —}.

Далее проведем лучи проходящие через точки (0, — ¿0), (0,7^) и исходящие из луча (р01), (Рисунок 4).

Рисунок 4. Деление области Ъ ц

При помощи этих лучей область В11 разделяется на несколько частей, которые обозначим В12, В13, В14, В15, В16, В17 (Рисунок 5).

Руководствуясь Леммой 2 выберем пути интегрирования. Далее запись (р)^1,

12

означает часть кривой соединяющего точки ^ и t2.

Пусть t е В1е и В12 и В13 и В14. Если точка t е В1е и В12 и распологается выше (по направлению оси ) луча (д0) = ^ е В, ^ — = *;0), то путь состоит из (р0)[£0, ?] и (§1)[^, , где (д1) = ^ е В, ^ — = д1, — г << < *;0); если точка t распологается ниже (по направлению оси *;2) луча (д0) = {[ е С, С! — С2 = *;0), то путь идет по оси ^ от точки до (*:0 < ?1), затем по лучу (д2) = ^ е В, ^ — = д2, ^ < д2 < 0) соединяющего точки (?1;0),( Г2).

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

Пусть t G D15 U D16 U D17. Для этого случая путь идет по оси tx от точки t0 до 0, далее по (poi)[0,t] и (<7з)[?Д] где (¿73) = { ti + t2 = ¿3,Vi < ¿3 < г).

Проверим выполнимость условий Леммы 2. Пусть т = т1 + /т2 текущая переменная. Для т G (р0)[ t0, t], то Rer2 = Ret^ — const. Возьмем путь (¿71) [t, t] . Имеем т1 — т2 = ¿1. Отсюда получим т2 = т1 — ¿1. Тогда Rer2 = rf — т| = (т1 — т2)(т1 + т2) = ¿71(2т1 — ¿1).

( R е т2)^ = +2<71. По условию ¿71 < 0, следовательно (Rer2)^ < 0. Это означает, что по пути ( ¿71) [ t, t] функция R е т2 убывает.

Функцию R ет2 рассмотрим вдоль оси t1 до точки 0. Имеем Rer2 = т^. Отсюда получим (т2)' = 2т1 < 0. R е т2 —убывает при t0 < т1 < 0.

Теперь возьмем ( ¿2)[( t1;0), ( tj., t2)]. Уравнение ( ¿2) будет т1 — т2 = ¿2 (t0 < ¿2 < 0). Отсюда получим т2 = т1 — ¿2. Тогда Rer2 = (т1 — т2)(т1 + т2) == ¿72(2т1 — ¿2). Из полученного соотношения следует ( R е т2)^ = 2 ¿2 < 0 . Функция Rer2 убывает по ¿2 . Проверим условие Леммы 2 для (р01)[0, t]. По определению Vr G (р01) ( Rer2 = 0 но не тождественно ).

Пусть т G (¿3) [t, t]. Имеем т1 + т2 = ¿3 (Vf < ¿3 < г).

Отсюда т1 = ¿3 — т2. Тогда Rer2 = (т1 — т2)(т1 + т2) = ¿7 3( ¿7 3 — 2т2). Таким образом (R е т2)^2 = —2¿73 < 0 . Следовательно по ( ¿3) функция Rer2 убывает. Выбранные пути удовлетворяют условиям Леммы 2. 3. Решение задачи

К (4) применим метод последовательных приближений, которые определим следующим образом.

С2 — С2 С С2— Т2

хт = х0ехр-° + / /(г, хт—1)ехр-^т,х0 = 0, ш = 1,2,.... ()

1. Пусть t £ (р0). Тогда, согласно выбранного пути интегрирования имеем

„ ( (-3t2)m-1W (M3t2)m\ (6)

Ы < |Х0| (1 + M3t2 + ■■■ + ) + ( ^2 + ■■■ + U = -

Из (6) имеем

|хт| < |х0|eхрMзt2 + (eхрMзt2 - 1) = (|х0| + 1)eхрMзt2 - 1. (7)

Согласно УС2 должно быть (|х0| + 1) ехрМ3^ - 1 < М4 < М1 (М4 > |х0|). Отсюда получим

ехрМ3^ < (М4 + 1)/(|х0| + 1) или ^ < —/п(М4 + 1)/(|х0| + 1). (8)

М3

Не ограничивая общности можно считать, что неравенство (8) выполняется для всей части (р0) принадлежащего V . Теперь докажем сходимость последовательных приближений (5) для t £ (р0). Для этого оценим |хт — хт—1|. Имеем

|хт - хт—1| < /02|/(т,хт—1) - /(т,хт—1)|Ит| < М3 /02|хт - хт—11 ¿Т2, ш = 2, ... . (9) |хт хт—11 < |х 1 (ш- 1)! + ш! .

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

На оснавании (9) вытекает, что ряд Ет=11хт — хт-1| ^ е (р0) сходится равномерно.

Действительно ^=1|хт —х^ + =

= |х0|е хрМ3^ + ехрМ3^ — 1 = (|х0| + 1)ехрМ3^ — 1.

Тогда последовательность (5) V t е (р0) сходится равномерно к некоторой функции х(^ г), которая является решением (4) и для этого решения, согласно (7), справедлива оценка

|х(г,е)| < (|х0| + 1) ехрМ3^ — 1 < М4 (10)

V t е (р0) предел х(^ г) по £ не существует. Поскольку величина х0ехр совершает

быстрее колебания и не имеет предела.

2. Пусть t е В1е. Прежде чем решить поставленную задачу в (4) (п = 2) проведем следующие преобразования, согласно выбранного пути интегрирования:

£2 —Г* т2 (11) х(^ г) = х0ехр--Ь | /(т,х)ехр-^т =

n t2 - tg + t2 - tg - t2 + tg Г t2 - t2 + t2 - т2 — xuexp--Ь I /(r,x)exp-dr +

■ЧРо) £

г ^ — т2 е2 — ¿2 — + п — ^

+ | /(т,х)ехр-^т = ехр-[х0ехр--Ь

■^1) £ £ £

2 — 2 2 — 2

+ | /(т, х)ехр-^т] + | /(т,х)ехр-^т

Лрс) £ ^1) £

Если учесть случай ? е (р0), то выражение содержащееся в скобке [...] дает функцию х(?, г) — решение (4) для ? е (р0) и для этой функции справедлива оценка (10). Учитывая сказанное (11) перепишем в виде

t2-t2 Г t2-r2 (12) x(t, г) = x(t, г)ехр--hi /(r,x)exp-dr.

£ ^Gii) £

(12) справедлива для части В1е расположенного выше луча (д0). Аналогичное представление можно получить для части В1е расположенного ниже луча (^0). Только в этом случае в (12) вместо (р0) будет ось ^ [ ?1]. Как и в предыдущем случае к (12) применим метод последовательных приближений

12 — 12 Г т2 (13) хт = х(^г) ехр--+ I /(т,хт-1)ехр-dт.х0 = 0, ш = 1,2, ....

(:2- ¿2

В (13) выражение х(£, г)ехр-не имеет предела по £, но ограничена. В первом

(-2- £2

случае показано, что х(?, г) не имеет предела по £. Рассмотрим ехр—-—Имеем ? е (р0) и

£2 = ?2 — £2 + 2 /?1?2, а Г = ^ — + 2 ¿^2.

При этом — = а *:0 = г/пг < tо — t| < t0 В итоге ^ — ?2 = — tf--+

— ?1^2). Учитывая это получим г/пг < — — tg < 0. Из полученного неравенства следует, что выражение — tf — tg) не может влиять на быстрые колебания функции

ехр —-— при £ ^ 0. В итоге эта функция не имеет предела.

Оценим (13) и получим

0

Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №12. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

|xj < M6(1 + Ms£ + ■■■ + (£Ms)m-1),

I I M6

или|хто | <-

1 ml 1-М5£

m-^ m = 1,2 ... .

, M5£ < 1.

(14)

Докажем сходимость последовательных приближений (13). Как и первом случае оценим

1 хт хт— 11' ^ 1,2 ■" .

Имеем |хт - хт—1| < М6(М5г)т—1,т = 1,2 ■...

Таким образом V t £ В1е (13) сходится равномерно к некоторой функции х(^ г), которая является решением (4) и справедлива оценка (на основание (14))

|х( t,e)| <

м,

6

1-М5£

v t е т>и.

(15)

3. Пусть £ £ ©12. Для этого случая также справедливо представление (12). Рассмотрим

выражение x(t, г)ехр-. Согласно (10) |X(t, г)| < М4, а fte(t2 — t2) = t2 — tf — < г/пг.

Тогда |x( t, г)|

e xp-

t2- t2

< М4ехр/пг.

e xp/пг ^ 0 при £^0и имеет порядок £n,neW т.е выражение x(t, г)ехр

t2- t2

не

влияет на асимптотическое поведение решения (12). Определим последовательные приближения (13) и проведем их оценки. Первое приближение имеет оценку

Ы <Мб£.

Для последующих приближений имеем оценку

|xm| < М6£ + (М6г)2 + ■•• + (M6£)m m = 1,2 ... .

Из (16) имеем, при условии М6£ < 1,

м6

|xm| <

1-Мб£'

v teD

12

(16)

(17)

Доказательство сходимости последовательных приближений проводится как и в предыдущих случаях.

Для решения х(^ г) задачи (4), согласно (17) справедлива оценка

|x(t,e)| <

-,v te^12.

(18)

1-Мб£

4. Теперь рассмотрим случай V t £ ©13. Для этого и последующих случаях выражение

1-2 1-2

п I- -I- 0 77

хиехр—-— имеет порядок £', п £ М и существенно не влияет на асимптотическое поведение

решения. Рассмотрим последовательные приближения (13) согласно выбранного пути интегрирования. Пусть справедлива оценка

>т—П (19)

|xm| < M6Vi(1 + ■■■ + (M7Vi)m 1).

Тогда

|xm+1| <

% *-2_—2

|x1|+/t1|/(T,xm)— /(T,0)|exp^-dT1 + Ji1|/(T,xm)—/(T,0)| t- 0 £ L1

2<?i(ti-Ti)

< |x1| +

M-

7oVi|xm| + M71Vi|xm| < M6^ + M7ViM6Vi(1 + ■■■ + (M7Vi)m ) = M6Vi(1 + M7Vi +

m

+ (M7V^) ),|xm+1| <M6V£(1 + M7V£+- + (M7V£) ).

£

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

Оценка (19) доказана.

Сходимость последовательных приближений доказывается как и в предыдущих случаях. Для решения (4) имеем оценку (на основании (19))

|х( М)|<^, ^е©1з. (20)

5. t е В14. (4) согласно выбранного пути интегрирования, представим в виде

£/(т,х)ехр ^2(2^)_2^1_32) х d(т1 + ¿(^ — &)) = ехр^-|х0ехр^2 + /г-^/(т,х)ехР£-Е1^1] + /-7^/(т,х)ехР1111^1 + ]£1/(т,х)ехР е

х(1 + ¿^т^

В полученном равенстве выражение, содержащееся в скобке [ ... ] дает решение (4) при t = —7^, то есть х(—7г,7г). Согласно (20) для этого решения справедлива оценка

|х(—7£,£)1 <

£•2_£-2 _f2_-2 t f2_^ 2

x(t, г) = x0exp—+ Jt /(r,x)exp—_-idr1 + J_^/(r, x)exp—_-idr1 +

x d(Tl + ¿(Tl^ fc)) = expf_[x0exp^2

V v ' Л i_M7Ve

Учитывая сказанное имеем

t2-£ f ^ t2-r| t2 - <72(2^ - (?2) - 2iT1(T1 - , , (21)

x(t,£)= exp-x(-V£,£)+ I /(r,x)exp-+ I /(r,x)exp-(1+ 1)^11 V /

s -<_V£ s Jt1 s

Теперь, учтем, что -7^ < t1 < 7Ё, 0 < t1 < 7^ . Тогда - £ < t2 - tf < £. Следовательно

t-£

exp

ограничена.

I_

tl - f2 - T2

1 2 1 / /—\ e xp-dr1 = 0(7^),

7i £

е = ехр2^1^^ < (^ — Г1) < 2г.

К (21) применим метод последовательных приближений. Последовательные приближения определим как и в предыдущих случаях. Вышеуказанные соотношения обеспечивают ограниченность и сходимость последовательных приближений. Для решения (4) справедлива оценка

|х(г, е) | < м77г, Vt е Х>14 (22)

6. t е В15. Согласно выбранного пути интегрирования (4) представим в следующем

£•2_£-2 0 £-2_^-2 £ ^-2_2 £ ^-2

виде х(^г)=х0ехр—+ /(. /(т,х)ехр—~dт1 + /02/(т,х)ехр—-—1(1 + 1^т1 +

^22/(т,х)ехрг2_<?з(<?3_°Т2)_2т1Т2 (I — 1)dт2.

В полученном выражении проведем следующее преобразование

х(С, £) = (23)

¿2 Г л _£2 0 _т2 1

ехр — ^ехр"^0 + /(т, х^хр^^т^] +

/^/(т^ехр^^а ¿^т2 ++^2 /(т, х)ехр ^з^^Н2^1^^^ (. — ^^ 0 £ 2 £

Выражение содержащееся в скобке [...] дает значение х(^г) —решения (4) при [ = 0 и для этой функции справедлива оценка (22).

Сначала (23) рассмотрим для С = ? = + I?2 е (р01), где 0 < ^ < г/2, 0 < ^ < г/2.

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

(23) перепишем в виде (вместо t будем писать t)

-2 it| Г2 2i( t|-T2) (24) х(*;,е) = ехр-х(0,е) + I /(т,х)ехр-(1 + i)dr2.

К (24) применим метод последовательных приближений. Последовательные приближения определим так

2 ^ . Г'2 , 2/(. , _ „ (25)

2 it2 Г2 2i( t2-r2) хт = х(0, г) ехр--Ь I f(r, хт-1)ехр-(1 + i)dr2, х0 = 0, ш = 1,2,....

г Jo £

Оценим первое приближение. Имеем

2 it2 ft2 2 i( t| - т2) х1 = х(0,е)ехр--Ь I /(т,0)ехр-(1 + i)dr2.

г Jo £

Рассмотрим интеграл

2 -2 22 J(t2,e)=I /(т,0)ехр-2(1-i)rfT2.

0

'0

К этому интегралу применим метод стационарный фазы. Имеем

1

J(t2,e) = (^")V(0,0)e_-/4 + 0(e).

8

Тогда |xi| < M8Ve для t е (poi).

Для последующих приближений имеем оценки

^ tf-1 \ г- Г- г (26)

|хт| < MgVe ( 1 + t2 + — + 7-— ) < MgVe ехр*;2 < M8Ve ехр-,

_2_

(ш - 1)7 ^ "8 v ~ ~ "8 v ~ 2,

_ r

|хт| < М8уеехр-,ш = 1,2, ...

2

На сходимость последовательных приближений не будем останавливаться, так как оно доказывается как и в предыдущих случаях. Для решения х(^ е) справедлива оценка (на основе 26)

г- г х(^ е) = М8уеехр-

Теперь рассмотрим случай t G DD-^. Имеем

(27)

х(^е)= (28)

£•2 £ £-2_2 ¿^-2

(0, е)е хр — + /0 2/(т,х)ехр—^(1 + 0^т2 +

/(т, х)ехр _2<?3(t2_T2)+£2i(tlt2_TlT2) (i - 1)dr2 = ехр ^^ [х(0, е)ехр ^ + /ог2/(т,х)ехр2(^М(1 + i)dT2] + - 1)^ =

х(г, г)ехр+ £2 /(т, х)ехр ^fe^H2^^^ (i - 1)dr2, х(Г, е) =

£ ^ 2 £

х( г,е)бхр£^ + ГГ2/(т,х)ехр_2<?за2_Т2)+2^Г1Г2_Т1Т2)(1 - 1)dr2. £ ^ 2 £

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №12. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

где х(?, г) является решением (4) для ? е (р01) и справедлива оценка (27). К (28) применим метод последовательных приближений и оценим их (поскольку последовательные приближения определяются аналогично предыдущим случаям, выписывать их не будем).

Имеем |хх| < М87ёехр^ехр2 + ^2M2eхp-0^2—^72dт2 < М87ёехр^ ехр^_2 + 72М2^.

Отсюда учитывая t2 - t| = ( ^ - ^2)( ^ + ^2) = <Ь(<Ь - 2t|) <0, < 7^ получим

|x11 < м97г. Далее

|xm| < M9Ti + ••• + (M97i)'" < ¿97^,ш = !,2 ■■■

(29)

при условии Мд7^ < 1. Поскольку г ^ 0, то это условие выполняется. Тогда для решения (4) имеем оценку

|x(t,e)| Vt e©15

1 v JX 1_м97ё 15

(30)

7. t е ©16. Этот случай аналогично предыдущему случаю. Основной вклад дает

выражение x(t, г)exp -—которое имеет порядок 7^. Для этого случая = 0(г) (-11 < <3 < -).

<?з 2

Для решения x(t, г) справедлива оценка

|x(t,e)| Vt eD16.

1 4 1_М97ё 16

(31)

8. t e ©17. В этом случае для Ret2 = t2 - if имеем оценку i^r < t2 - t| < Т^1 (£0 <

x(t,£)|exp—-—-j = MgTiexp-exp 1_ 2 < M87iexp-exp^ ^ 0 при

0). f = 0(£),-t1<i?3<r.

43

Для решения x(t, г)имеем оценку

|x(t,e)| VteD17.

1 v 1_М97ё 17

(32)

Объединив оценки (10), (15), (18), (20), (22), (30), (31), (32) для решения х(Г,е) уравнения (4) получим оценку:

| x( , )| <

(|x0| + 1)expM3t2-1) <М4, te(po); M6/(1-M5£),teD1£; M6e/(1-M6e),t еВц;

Мб7ё/(1 - М77^), t e x>13;

M77i, tec

14

М97ё/(1 - M97^), t e ©15 и ©16; M9e/(1 -M9e),t e ©17;

(33)

V

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №12. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

Таким образом, доказана теорема. Пусть выполняются условия У.1-У.3. Тогда для решения задачи (1)-(2) справедлива оценка (33).

Аналогичные оценки можно получить для областей

(р0), D1e, D12, D13, D14, U D16, D17 симметричных соответственно к областям (р0), ®ie, ®12, ®13, ®14, ®15 U D16, D17 относительно действительной оси.

Выводы

По итогам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

1. Линия уровня (р0) проходящая через начальное значения t0 является погранслойной линией.

2. Область D1e — является погранслойной областью.

3. Часть ветвей (p01), (p02) также являются погранслойными линиями,

отделяющие области, где решение имеет неоднородные оценки по 8.

4. Под влиянием точки перевала рассматривая область разделяется на несколько подобластей, в каждом из которых решение имеет неоднородные оценки по 8.

5. Исследования показывают, что погранслойные линии появляются под влиянием точек перевала, и такие линии являются новыми видами погранслойных линий.

Список литературы:

1. Алыбаев К. С., Тампагаров К. Б. Существование погранслойных линий для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями // Актуальные проблемы теории управления, топологии и операторных уравнений: материалы II-ой международной конференции. Бишкек, 2013. С. 83-88.

2. Алыбаев К. С., Тампагаров К. Б. Метод погранслойных линий построения регулярных и сингулярных областей для линейных сингулярно возмущенных уравнений с аналитическими функциями // Естественные и математические науки в современном мире. 2016. №10 (45). С. 59-66.

3. Алыбаев К. С., Нарымбетов Т. К. Аналитические функции комлексного переменного с параметрами // Международный научно-исследовательский журнал. 2019. №12 (90). С. 612.

4. Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 234 с.

5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 739 с.

6. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

References:

1. Alybaev, K. S., & Tampagarov, K. B. (2013). Sushchestvovanie pogransloinykh linii dlya lineinykh singulyarno vozmushchennykh uravnenii s analiticheskimi funktsiyami. In Aktual'nye problemy teorii upravleniya, topologii i operatornykh uravnenii: Materialy II-oi mezhdunarodnoi konferentsii, Bishkek, 83-88. (in Russian).

2. Alybaev, K. S., & Tampagarov, K. B. (2016). Metod pogransloinykh linii postroeniya regulyarnykh i singulyarnykh oblastei dlya lineinykh singulyarno vozmushchennykh uravnenii s analiticheskimi funktsiyami. Estestvennye i matematicheskie nauki v sovremennom mire, (10(45)), 59-66. (in Russian).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №12. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/85

3. Alybaev, K. S., & Narymbetov, T. K. (2019). Analiticheskie funktsii komleksnogo peremennogo s parametrami. Mezhdunarodnyi nauchno-issledovatel'skii zhurnal, (12 (90)), 6-12. (in Russian).

4. Evgrafov, M. A. (1968). Analiticheskie funktsii. Moscow. (in Russian).

5. Lavrentev, M. A., & Shabat, B. V. (1973). Metody teorii funktsii kompleksnogo peremennogo. Moscow. (in Russian).

6. Fedoryuk M. V. (1977). Metod perevala. Moscow. (in Russian).

Работа поступила в редакцию 15.11.2022 г.

Принята к публикации 24.11.2022 г.

Ссылка для цитирования:

Матанов Ш. М. Погранслойные линии решений сингулярно возмущенных уравнений с точкой перевала // Бюллетень науки и практики. 2022. Т. 8. №12. С. 47-59. https://doi.org/10.33619/2414-2948/85/06

Cite as (APA):

Matanov, Sh. (2022). Boundary Layer Lines of Solutions to Singularly Perturbate Equations With a Saddle Point. Bulletin of Science and Practice, 8(12), 47-59. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/85/06