Синергетический синтез систем иерархического управления легким самолетом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

ТА. Мотиенко

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИСТЕМ ИЕРАРХИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛЕГКИМ САМОЛЕТОМ*

Рассматриваются вопросы синергетического синтеза иерархических систем управления летательными аппаратами. Для решения задач, в рамках публикации, предлагается использовать метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов, который позволяет реализовать высокоточные законы управления сложными объектами. В соответствии с методикой построена многоуровневая иерархическая структура регу, . регулятор обладает универсальностью и высокой точностью.

Векторный регулятор; асинхронный электропривод; синергетический подход; иерархические системы управления.

T.A. Motienko

SYNERGISTIC SYNTHESIS OF HIERARCHICAL CONTROL SYSTEMSS

OF LIGHT AIRCRAFT

A problem of synthesis of hierarchical control of aircraft motion is considered in this article. In the context of this task it is proposed to use a method of analytical construction of aggregated regulators. This method is a methodological base of the synergetic control theory. According to this method the hierarchical structure of the mathematical motion models was researched. In accordance to the methodology, a multilevel hierarchy of regulators was built, allowing the highest consideration to the dynamics of each level. Created regulator has an universality and high precision.

Vector regulator; induction motor; synergetic approach; hierarchical control systems.

Введение. Согласно современным мировоззренческим представлениям, весь мир представляет собой сложную структуру, состоящую из огромного количества развивающихся подсистем и систем различных классов. Развитие науки и техники влечет за собой возникновение все более сложных структур, которые динамически взаимодействуют друг с другом, обмениваясь энергией, веществом и информацией.

Одним из ярких примеров сложных структур является система автоматического управления движением летательного аппарата (ЛА). На данный момент существует огромное множество автопилотов различных классов, однако проблема синтеза высокоточных и быстродействующих регуляторов остается одной из важнейших задач теории и практики управления пространственным движением ЛА.

1. Иерархическая структура математических моделей движения ЛА. При изучении сложных многомерных объектов неизменно приходится оперировать большим количеством переменных состояния. Чем сложнее объект, тем выше поря, .

, -ся практически невозможным. В связи с этим, сложные многомерные динамические системы удобно рассматривать в виде некоторых иерархических систем, поведение которых описывается динамикой подсистем с переменными и параметрами, присущими данному уровню иерархии [1, 2], причем на каждом из этих уровней каждая система имеет свои локальные цели. При решении задач синтеза законов управле-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-08-00252-а и № 10-08-00912-а).

ния такими сложными объектами, как ЛА, неизбежно приходится использовать различные допущения и упрощения, либо же разбивать исходную задачу на несколько более простых подзадач. Главной проблемой такого подхода является выбор таких допущений и упрощений, чтобы построенная на их основе модель могла бы с достаточной степенью адекватности описывать поведение объекта. Наиболее часто в таких случаях прибегают к структурной (объектной) декомпозиции, в результате которой из исходной многосвязанной системы выделяются более простые подсисте-, -.

синтеза нелинейных систем. Данный тип декомпозиции подразумевает пренебрежение внутренними перекрестными связями между каналами управления, а также линеаризацию исходной математической модели. Подобное «упрощение» позволяет описать подробно все блоки, входящие в рассматриваемые контуры управления, однако при синтезе векторных регуляторов использование нелинейной модели высокого порядка, описывающей все технические средства управления полетом, приведет к избыточному усложнению самой процедуры синтеза, а вид полученных законов управления будет сложен для технической реализации. Кроме того, данный подход сам по себе исключает универсальность и возможность какой-либо даль,

к каждому конкретно рассматриваемому ЛА.

Использование функциональной и временной декомпозиции позволяет создавать более гибкие законы управления. При этом временная декомпозиция позволяет выделить цели и приоритеты для отдельных режимов работы, а задачно-ориентированная декомпозиция реализуется при следующей иерархии управления пространственным движением ЛА:

1. Нахождение законов изменения обобщенных сил и моментов. Полученные на верхнем уровне иерархии законы будут являться базовыми для всех классов подвижных объектов различных аэродинамических компоновок. На данном этапе ЛА рассматривается в пространстве как твердое тело.

2. На среднем уровне иерархии, в соответствии с заданной компоновочной схемой (расположением и назначением органов управления), для каждого конкретного ЛА находятся законы, описывающие зависимость отклонения рабочих управляющих органов в зависимости от поставленных задач. Полученные на среднем уровне иерархии законы будут являться задающими

( ).

3. На нижнем уровне иерархии локальные регуляторы формируют программы управления для электрических, гидравлических и пневматических приводов рулевых машинок, реализующие заданные отклонения управ.

На рис. 1 изображена структура описанной иерархической схемы синтеза.

, - -позиции в полной мере соответствует принципам «внутренних» и «внешних» управлений в рамках синергетической теории управления (СТУ) и метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) [3-5]. Кроме

,

управления движением ЛА в целом дополняется правилами взаимодействия под, , нижнем уровне на локальные регуляторы.

Рис. 1. Функциональная декомпозиция задачи синтеза законов управления пространственным движением ЛА

В данной статье рассматривается задача синтеза законов управления продольным движением ЛА. Математическая модель, описывающая движение ЛА в продольном движении, может быть представлена в следующем виде [6, 7]:

Vk = - g sin в + — cos( + ■&-&) + — (Cx cos( -в) - C sin(# - в)); m m

— qS

в = —— cos в H-sin( +-&-в) + —— (Cx sin( — в) + Cy cos(?? - в));

Vi

qSbA

=—m;

mV,

к

mV

к

(1)

х = Ук созвсоящ;

Н = Ук ■ 81п0;

$ = тг,

где Ук - земная скорость; в - угол наклона траектории; С01 - проекция вектора угловой скорости на ось г; х - дальность полета; Н - высота полета; $ - угол тан-

гажа; q =

PVL

2

скоростной напор; m - масса; J - осевой момент инерции;

р - плотность воздуха; 5 - площадь обтекания; £ - размах крыла; Р - сила тяги; g - ускорение свободного падения; сх, Су, тг - коэффициенты аэродинамических сил и моментов, у/ - текущее значение путевого угла.

Коэффициенты аэродинамических сил являются функциями (в частном случае линейными) углов атаки и отклонения руля высоты: Сх = Сх (сс,3'),

С = С (а,$), коэффициент аэродинамического момента еще также зависит от

угловой скорости mz = mz (d, COz ,5). При принятых допущениях угол атаки связан с углами тангажа и наклона простым соотношением d = $ — в .

Переменными продольного движения в модели являются величина скорости ЛА, угловая скорость вращения относительно оси Oz, углы наклона траектории и , . рассматривать как управляющие воздействия.

Согласно [6, 7], коэффициенты аэродинамических сил могут быть записаны как

Q = C0 + C> + C5b 5, C = C0 + Cdd + C5b 5,

ххх х y y y У (2)

mz = md ($ — в) + m5 5,

здесь d = $ — в - угол атаки.

Тогда уравнение (1) с учетом (2) будет иметь вид:

Vk = — g sin в + —cos{<p + $ — в) + ^ ( + Caxd + C5 5) cos($ — в))— m m

— ^ ((C0 + Cd d + C5yb 5) sin ($ — в )) ;

m

в = —g cos в +——— sin(p + $ — в) + -^ ( + C(+ Csxb 5) sin ($ —в) ) + (3) Vk mVk mVk

+ (^ ((C0 + Cd d+ CSyb5)cos{$— в )) ; m

Oz = qSbA (m<d($—в) + mzb5);

J z

X = Vk cosвcos^;

H = Vk • sin в;

$=Oz.

(3) : ,

Oz, , -

сота и дальность полета. Силу тяги и отклонение руля высоты можно рассматривать как управляющие величины. Предполагается, что тяговый двигатель вырабатывает необходимые для заданного режима воздействия. Тогда в системе управления продольным движением ЛА имеется один исполнительный механизм, приводящий в движение руль высоты.

2. Синергетический синтез законов управления исполнительными приводами. Согласно методике, описанной в [1, 2], рассмотрение любой сложной иерархической системы необходимо начинать с подсистемы нижнего уровня (локадьных ).

играет важную роль в формировании необходимого механического момента.

В рамках данной статьи в качестве исполнительного привода используется ( ), ,

, .

Математические модели АЭП могут быть описаны в различных системах координат как неподвижных, так и вращающихся. Однако наиболее удобной считается форма записи во вращающейся системе координат относительно вектора по-токосцепления ротора [8-10]:

т рЬт М* = — -7і У'Ау;

й/г йї йї

3 Ь

= агЬх - а^¥г;

йї

йї5х

йї

її

5у . 5Х 5у ,7

_ -а^*у - Огї5х - а2~------------а4О/г + й1и*у ;

(4)

/г ї2

-аАх + °Ау + а2 --+ аз¥г + й1их ,

у /г

гіт + гЬ 2

где а! = г т ^ г ; а0 = ЦЬГ - Ьт; а

ао Ьг і

2

гг1т

Ь

а

і

а

а5 = —; й1 = —; и

і

ап

проекции напряжения статора на оси х и у вра-

щающейся системы координат; их, иу - проекции тока статора на оси координат; /г - модуль результирующего вектора потокосцепления ротора; Ог - угловая электрическая скорость ротора; г5, гг - активные сопротивления обмоток статора и

; і, і - ; іт -

индуктивность между статором и ротором; р - число пар полюсов; 7 - приведенный момент инерции; М дв - момент двигателя; т - число фаз двигателя. Предполагает, , ( -, ), -лу витков обмотки статора.

Уравнение движения руля относительно оси вращения записывается следующим образом [11]:

й3

йї

(5)

где 7 = 7двд + 7 ; 7де - момент инерции ротора АД; 7 - момент инерции руля высоты; 7 - суммарный момент инерции, приведенный к оси руля; д - передаточное отношение редуктора; 3 - угол поворота руля высоты; К ^ - коэффициент трения со смазочным материалом; Кш - коэффициент

шарнирной нагрузки; МТ - момент трения без смазочного материала. Тогда общая модель рулевого привода описывается следующей системой дифферен-:

а

2

а3 =

а

о

¿3

------= О;

(6)

сог

где О =------ - угловая частота вращения руля высоты.

Я

Задача управления рулевым приводом заключается в повороте руля на заданный угол. При этом разрабатываемая система управления должна быть инвариантна к внешним возмущениям, действующим на руль высоты.

Для решения задачи синтеза законов векторного управления нелинейными АЭП в статье будут использоваться принципы и методы синергетической теории управления [3, 4].

Ввиду того, что на систему (6) действуют внешние возмущения, необходи-

,

данных возмущений. В соответствии с синергетическим подходом [3, 4], влияние этих возмущений возможно учесть за счет расширения базовой математической модели. Введем дополнительную переменную 7, которая будет являться оценкой

,

(7)

а4да>у/г + ;

где ¿0 - задание по углу поворота руля высоты; £ - определенно-

положительный коэффициент. Из первого уравнения расширенной модели (7) видно, что при производная от г будет равна нулю, что будет означать

подавление внешнего возмущения.

Перейдем к процедуре синтеза. Введем первую совокупность макропеременных:

Ъ = А ( -Ф,) +Л Ь -Рг);

Ъ = Аз ( -Фх ) + Д4 ( -Ф2) , где Д, Д2, Д3, Д4 - коэффициенты. Потребуем, чтобы совокупность макропеременных (8) удовлетворяла решению системы дифференциальных уравнений:

Г, Ъ+Г, = 0;

л' (9)

т Ъ+¥ = о.

2 йг 2

Очевидно, что решение Ъ = 0 , I = 1,2 системы (9) асимптотически устойчиво при всех Т1 > 0. Подставив макропеременные (8) в систему дифференци-(9) (7) -

рожденности матрицы В :

А Л

А А4

получим выражения для управляющих воз-

= сюЬх - С4^1у - С6--------------С/г +— + с7 ( - фг)- ед;

/г а, аї

г 1 (10)

• і ^¡х^ву 1 , Л \

= С5^ + С4^х + С6---------------+ Сз/ +— ~Г - С&г + С2 - Ч>1 Ь

/ г а1 а

^¡х^ву 1 ^ , 1 а^2

/г

Со = (ЛЛ-А1А4Т.ВД; С1 = ГАА4 -ГАА4. С2 = АА( ~^;

С0 С0

с с = £_. с = а_+сс = а*. с =аа(Г1—г).

с3 “ 7 ; с4 7 ; с5 “ 7 "|_с1; с6 “ 7 ; с7 “ ;

й, й, й, й, с0

с = Г2Д1Д4 — Г1А2А4 , с = а3 , с = а1 . с

с8 _ ; с9 , ; с10 _ , с8.

с0 й, й,

(9) ( ) (7), (10)

неизбежно попадает на пересечение многообразий Ъ = 0 , I = 1,2, в окрестности

которого происходит динамическая декомпозиция и поведение ее описывается системой дифференциальных уравнений пониженного порядка:

§ =£(¿-¿0) ;

й'

й¿

— = о; й'

йо т рЬт й¿

]~Т = ЪФ2 -К^-К,а¿-г;

й' 3 Ь й'

(11)

й¥г

й'

= агф - а5ъг.

Введем вторую совокупность макропеременных

Ъз =¥г-¥г 0;

у4 = о+Р53 + Р6 г,

удовлетворяющую системе дифференциальных уравнений

(12)

йу3

й'

йу4

й'

+ ¥3 = 0;

+ у4 = 0.

(13)

Здесь ¥г 0 - заданное значение потокосцепления ротора. Из теории частотного управления АЭП [8] известно, что механические характеристики АД аналогичны характеристикам компенсированного двигателя постоянного тока независимого возбуждения при обеспечении постоянства потокосцепления ротора. Соотношение ¥3 = 0 является электромагнитным инвариантом, обеспечивающим максимальный развиваемый момент приводимого двигателя. Решение системы дифференциальных уравнений (13) асимптотически устойчиво при Т3,Т4 > 0.

(12), (13) -

ли (11) получаем выражения для внутренних управлений

3

ф = !¥г 0 + 1б¥г;

ф = {(+ /2г + ¿¿+ /430у ,

/ ¥ г

Г4 (кг-Д у) - J

(14)

/3 = /0 Ь

ЧтРЬ„

Т4 (К, -Рб&) -Р у

/4 = /Л&У;

/5

/б = /, (Та -1 ) .

а2Т3

Получим решение замкнутой декомпозированной системы (11), (14):

3

4

4

1

4

С I \_________________________N А +т/А2

г ( ) = -Г4^гС1е т - —А (р— д/Р— - 4ьД,

2Рв

А -А-4 А

Сз

_^А(а5 + а5 - 4А е

А +4а— -4А, А -тіа— -4а

8() = ¿>0 + С1е Г4 + С2е 2 + С3е 2

А +Уа2 -4^Аб,

®(<)=- С1 е"г‘ - С- ( +,/А2 - 4А) ‘ -

т4 2 (15)

а -4р— -4 а

Сз

2

г

-тз

( (А - 4А ]Є"

У() = УГ 0 + С4^

(15) ,

ИТ-системы в окрестность пересечения многообразий у1 = 0 и у2 = 0 система асимптотически придет в заданное состояние (¿0,¥г = ¥ г0) .При этом время движения к пересечению многообразий у1 = 0 и у2 = 0 определяется по-

Т1 Т 2 , -

нию постоянными времени Г3 и Т4 и коэффициентами Р, и Р6. Однако, в реальности модель декомпозированной системы отличается от модели (11), которую мы использовали при синтезе,

§=£(-¿0);

й'

й¿

— = о;

й' (16)

тйо т рЬт й¿ ^

у~17 = —}—Угф2 -К/^7-K^^<¿-М'1';

й' 3 Ьг й'

йУг

—— = а2ф - а5уг . й'

(16), (14),

данной статье из-за своей громоздкости. Следует отметить, что решения замкнутых систем (11), (14) и (16), (14) практически совпадают по своей структуре и отличаются лишь коэффициентами при экспонентах и в показателях, а также тем,

что переменная г устремляется при ' —— ^ не к 0, а к некоторой величине

РА+Г4 мТ V» = Т -Р , • (17)

Т 4 Р6 У

Проведенное исследование подтверждает, что замкнутая система обладает свойством асимптотической устойчивости относительно заданного положения , .

2

Для получения окончательного выражения закона векторного управления АД подставим (16) в (10) и учтем математическую модель (7)

Usx -~к\---------------k2 ~~ + k3isx -

Wr Wr

C4isy +

k4

Wr

m-C6-EL + Cjiy -k5Wr -k6Wr0 -k7-°-

Wr

So

Wr

(18)

u-

"sy

■gi -4+—

1Wr2 Wr

g 7

S +

-g3 — +—

wr Wrj

z +

vv

.ü

Wr

m + c6 — + C2 - g6~° Wr wr

Wr

+ C3Wr +------- m+ g8isy - g9Wr - g10Wr0 + g11---------,

Wr

z-¡¡(S-S„)dt; ki - C7 f,; k 2 - C7 f2; k, - Cl0 ^ «2 /б ; kt - C7.f1;

где z -

f6 (C8di - «)- C9di .

k5 -

d1

k6 - C8 f5 ;

k7 - C7 f 4 ;

g1 -‘

f3fl2 • -------- í

dj

g 2 -

g5 -g 8 -

J.í3 (5 - C1d1 )- f1 Kn + f2^ ;

Jd1

g 6 -'

f4«2 ■

f1«2 •

d1 "6 d1

<mPLmf1 + ,C5d1LrJ •

f 2 «2 •

g, - Л ; d1

g7 -

„ _ Jf 2 (5 - C1d1 )-f1;

g4 Jd, •

f1 (J(«5 - C1d1 )-Kf )+ f, J ;

3LrJd1

; g 9 - C2 f6 ; g10 C2 f5 ; g11 -

- f 4 («5 C1d1 ) f 2^

d

Таким образом, разработанный регулятор нижнего уровня позволяет обрабатывать высокоточные задания, поступающие от подсистем высшего уровня, что обеспечивает высокую надежность, а также эффективность работы всей системы в целом. При этом учет динамики на подсистемах более высокого уровня иерархии, при применении синергетических методов синтеза, позволяет создавать регуляторы не по полным математическим моделям, а по редуцированным, которые получаются в результате естественной динамической декомпозиции подсистем электроприводов.

3. Синергетический синтез законов управления продольным движени-. , -ся требуемое значение угла поворота руля высоты, будет иметь вид

Ук - -g sin в + Pcos( + - в) + ( + (а + CSX° S0) cos(# - в))-

- ^((Cy0 + С°аа + CSyü8o)sin(tf - в)); m

в--gcosв + sin( + #-в) + ( + Саа + CSSo)sin(?- в))+

(19)

mV,r

mV,r

+ (— ((Cy0 + C°aa + CyáЧ)cos(0-в)) ; m

mz - (maz (&-в) + mSSSo);

z

x - Vk cosвcosw;

H - Vk ■ sin в; ё-m,.

2

isx +

4

Определим инварианты для подсистемы верхнего уровня. Поставим задачу определить вектор управления как функцию координат состояния системы, обеспечивающий продольное движение ЛА с заданной скоростью на заданной высоте

V = УааІ, Н = НааІ (20)

Введем первую последовательность инвариантных многообразий:

"(1) = V - Vас;

(21)

= 0-д>(1\

, (21) решению системы дифференциальных уравнений

г,« " + "(.) = 0;

* (22)

Г,"’ +Y'" = 0.

, (1) М^2 , ,,/1)

dt

Очевидно, что решение /(1) = 0, i = 1,2 системы (22) асимптотически устойчиво при всех Ti () > 0 . На первом этапе достигнута первая совокупность

целей - Vk = Vzad . Для достижения второй совокупности целей необходимо продолжить процедуру синтеза. При попадании ИТ замкнутой системы в окрестность пересечения многообразий /(1) = 0 происходит динамическая декомпозиция, в

результате которой подсистема верхнего уровня будет описываться уравнениями более низкого порядка:

a>z = (m“(?-p(1)) + mz°S0);

J z

x = Vzad cos p(1) cos /; (23)

H = Vzad • sinp(1);

? = a>z.

(23) ,

:

/3(1) = Vzad • Sin P(1) + H - Hzad , (24)

:

T3(1) d/3 + / = 0. (25)

3 dt 3 Найдем выражения для внутреннего управления

= arcsin

ґн - H,ai

nuv* /

(26’

Для нахождения закона управления подсистемы верхнего уровня необходимо, согласно методу АКАР, произвести подстановку (21) в (22) с учетом (26). Выражения для ¿0 и Р ввиду громоздкости в статье не приводится.

4. Результаты моделирования. На рис. 2-7 приведены результаты моделирования, которое проводилось при следующих параметрах: гх =0,09 Ом;

г = 0.0Ш«; Ьт = 0,012 Гн ; Ь = Ьг = 0,015 Гн ; = 0,0189 Н • м • с2;

т = 3; М = 600 кг, ]г = 320 кг 1м2, 5 = 12,5л<2 , р = 1,225 кг 1м3

^ = 10,5 л/. Инварианты: /г0 = 0,8 Вб, ¿>0 = 0,5 рад , НааІ = 300 .м,

УааІ = 200 КММ.

Рис. 2. Переходные процессы по потокосцеплению ротора и угловой скорости поворота руля

Рис. 3. Переходные процессы проекции

тока статора

*У

Рис. 4. Изменение высоты полета Н Рис. 5. Переходные процессы

и земной скорости Ук траектории 0 и угловой скорости С07

Рис. 6. Изменение тяги двигателя Р Рис. 7. Изменение угла отклонения руля

высоты <5П

Из результатов моделирования видно, что синтезированная иерархическая система отрабатывает задания по потокосцеплению ротора, углу отклонения руля высоты, высоте полета, а также заданной земной скорости.

Заключение. Таким образом, в данной статье был предложен метод синергетического синтеза иерархических систем управления ЛА, базирующийся на идеологии синергетической теории управления. Применение данного метода позволя-, , -ного управления многомерными объектами, что позволяет обеспечивать более эффективную координацию регуляторов верхнего уровня поведения подчиненных .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Веселов Г.Е. Иерархическое управление многоевязными динамическими системами: синергетический подход. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

2. Веселов Г.Е. Прикладная теория синергетического синтеза иерархических систем управления // Известия ТРТУ. -2006. - № 5. - С. 66-76.

3. Колесников А А. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.

4. Колесников А А. Синергетическая теория управления: концепции, методы, тенденции развития // Известия ТРТУ. -2001. - № 5 (23). - С. 7-27.

5. . . :

самоорганизации и управления // Известия ТРТУ. - 2006. - № 6 (61). - С. 10-38.

6. Колесников A.A., Кобзев В.А., Нгуен Ф. Синергетический синтез систем управления дви-

- , //

ЮФУ. Технические науки. - 2010. -№ 5 (106). - С. 150-154.

7. .. .. : .

- Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009.

8. . ., . ., . .

управлением. - J1.: Энергоатомиздат, 1987.

9. . .

// -

. - 2004. - 2. - . 27-33.

10. . ., . . -

водами III. Векторное управление асинхронными электроприводами // Известия вузов. Электромеханика. - 2006. - № 2. - С. 25-36.

11. . ., . ., . .

управления летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1987.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.А. Терехов.

Мотиенко Татьяна Александровна

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: tatyana@motienko.ru.

347900, . , . , 2.

.: 88634360707.

Кафедр синергетики и процессов управления; аспирант.

Motienko Tatyana Alexandrona

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: tatyana@motienko.ru.

2, Checkhov Street, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634360707.

The Department of Synergetics and Control; Postgraduate Student.