Символы в полиномиальном квантовании Текст научной статьи по специальности «Математика»

Цыкина Светлана Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры функционального анализа, е-mail: tsykinasv@yandex.ru

UDC 517.98

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2093-2097

SYMBOLS IN POLYNOMIAL QUANTIZATION

© S.V. Tsykina

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: tsykinasv@yandex.ru

We present a new approach to the definition of covariant and contravariant symbols in polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces.

Key words: Lie groups and Lie algebras; pseudo-orthogonal groups; representations of Lie groups; para-Hermitian symmetric spaces; covariant and contravariant symbols; polynomial quantization

REFERENCES

1. Tsykina S.V. Differential geometric structure of para-Hermitian symmetric spaces with pseudo-orthogonal group of translations // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2015. V. 20. Iss. 5. P. 1511-1516.

2. Tsykina S.V. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudo-orthogonal group of translations // International workshop "Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics" , Moscow, Aug. 25-30, 2007. V. II. P. 63-71.

3. Molchanov V.F. Representations of the pseudo-orthogonal group associated with a cone // USSR Matem. Sbornik, 1970. V. 91. № 3. P. 358-375.

Received 24 October 2016

Tsykina Svetlana Viktorovna, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Functional Analysis Department, е-mail: tsykinasv@yandex.ru

Информация для цитирования:

Цыкина С.В. Символы в полиномиальном квантовании // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2093-2097. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2093-2097

Tsykina S.V. Simvoly v polinomial'nom kvantovanii [Symbols in polynomial quantization]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2093-2097. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2093-2097 (In Russian)

2097

УДК 517.95

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2098-2106

ЗАДАЧА ГЕЛЛЕРСТЕДТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ОПЕРЕЖЕНИЕМ

© Е. В. Чаплыгина, А. Н. Зарубин

Орловский государственный университет им. И.С. Тургенева 302026, Российская Федерация, г. Орел, ул. Комсомольская, 95 E-mail: aleks_zarubin@mail.ru

Исследуется задача Геллерстедта для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в главной части и переменным отклонением аргумента. Доказана теорема единственности без ограничения на величину отклонения. Найдены в явной форме интегральные представления решений в области эллиптичности и гиперболичности.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа; задача Коши; задача Дирихле; разностное уравнение; задача Геллерстедта

1. Постановка задачи.

В смешанной области D = D+ U D- UI, где 2

D+ = У D+ U J = {(x, y):0 <x <V3r, 0 < y < h} (0 <h,T = const) k=0

2

и D- = U D- — эллиптическая и гиперболическая части области D, причем k=0

D+ = {(x, y) :VkT <x<Vk + It, 0 < y < h} (k = 0,1, 2),

D- = {(x, y) : -y + VkT < ak (x) <y + V k + 1t, (Vk — Vk + 1)t/2 <y < 0}

(k = 0,1, 2),

2

I = {(x,y):0 < x < V3t, y = 0} = [J Ik,

k=0

Ik = {(x,y) :VkT <x < Vk + lT,y = 0} (k = 0,1, 2), 2

J = U Jk, Jk = {(x, y): x = VkT, 0 <y<h} (k = 1, 2), k=l

a0(x) = x, ali(x) = \Jx2 — t2, a'2(x) = a1(a1(x)) = \Jx2 — 2t2, рассмотрим уравнение

Lu(x, y) = Uxx(x, y) + sgn(y)uyy(x, y) = = H(x — T)u(Vx2 — T2, y) + H(V2t — x)u(\Jx2 + T2, y),

2098

где Н(£) — функция Хевисайда.

Пусть Ок = 0+ и О- и 1^(к = 0,1, 2). Тип функционального запаздывания и опережения следует из представлений

и(у/х2 — т2, у) = и(х — (х — у/х2 — т2),у) = и(х — т1(х),у) = у),

и(у/х2 + т2, у) = и(х + (у/х2 + т2 — х),у) = и(х + т2(х), у) = К-Т2(х"> и(х, у),

где кХ^ — оператор сдвига по переменной х : КХд(х,у) = д(х — в(1),у) :

т\(х) = х — у х2 — т2 > 0, т2(х) = у х2 + т2 — х > 0.

Задача С . Найти в области О функцию и(х,у) € С (О) П С1 (О,) П С2(Б\(1 и ,1)), удовлетворяющую уравнению (1), краевым условиям

и(0,у) = и(у/3т,у) = 0, 0 < у < Н, (2)

и(х, Н) = ф(х), 0 < х < у/3т, (3)

и(х, (х)) = фк(х), у/кт <х< (у/к + у/к + 1)т/2 (к = 0,2), (4)

и(х, а\(х) — т) = ф1(х), (1 + у/2)т/2 < х < у/2т, (5)

условиям сопряжения

и(х, 0—) = и(х, 0+) = ш(х), 0 < х < у/3т; (6)

иу (х, 0—) = иу (х, 0+) = V(х), 0 < х < у/3т, х = т,у/2т; (7)

условиям согласования

ф(0) = ф(л/3т) = фо(0) = 0,ф1(^2т) = ф2(^2т), где ф(х),фк(х) (к = 0,1, 2) — заданные непрерывные достаточно гладкие функции.

2. Общее решение уравнения (1)

Уравнение (1) в терминах функций

и±(х, у) = и(х, у), (х, у) € 0± (к = 0,1, 2) (8)

можно записать в форме системы

Ьи±(х,у) = Аи±(х, у), (х,у) € Б+,

где

!0 1 Л

и± (х,у) = (и±±(х,у),и±±(а12(х),у),и^ (а2(х),у))Т ,А = И 0 11 , (9)

010

которая в характеристических переменных

£ = х + у л/—здиу, п = х — ул/—~вдпу (10)

будет иметь вид матричного уравнения

(£,п)= Ай±(£,п).

2099

Решение этого уравнения, найденное методом последовательных приближений или с помощью [1, с. 67-68], можно представить формулой

П) = и±(0,0)М%\Ап) +1 $о(гл/АпЦ - Ь))Ф±(Ь)сИ+

0 (11)

п у '

+ [ М^АЦп - ь))Ф ±(г)м,

где Ф± (Ь),Ф± (1) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции; _

г = у/-1, $о(х) =Е (-1)к(х/2)2к/(к!Г(к +1)) — функция Бесселя [2, с.727] первого рода нуле-к=0

вого порядка.

Поскольку матрица А из (9) имеет различные собственные значения Х\ = 0, %2,з = то она приводима к диагональному виду, то есть существует матрица Та(\Та\ =0) такая, что % 0 0 \ Т-1АТ а =Ла = | 0 0 I , причем

0 0 \з)

1 у/2 -/2\ 1 (2У/2 0 -2л/2

Та = | 0 2 2 | , Т-1 = / | 1 л/2 1

— 1 л/2 -л/2/ ^ у -1 у/2 -1

Мгл/М) = М%^Та Л а Т-1Ь ) = Та Мг^Л^Ь)Т-1 =

[Мг/Щ 0 0 \

= Та | 0 Мгу/%0) 0 I т-1 =

V 0 0 мг^щ) (12)

1 [ 2/2 + /212(г) 2чф) -2/2 + /212(ЬТ 2Ъ(Ь) 2^2Ъ(Ь) 2Ъ(Ь)

Значит,

где

\-2/2 + /212(1) 2Ъ(1) 2/2 + /212(1) 7и(Ь) = Мг^) + (-1)пМг^Ы) (п = 1,2). (13)

Поэтому из равенства (11) в силу (12), (13) и возвращения к старым переменным по формулам (10) найдем общее решение уравнения (1) в форме

<(ак (х),у) = \£-(-1)к)/2 I Ф±№о (г^\2 4(4 - №+

о

4 _

+л21-(-1)'У2 У Ф±№о(гу/\2г±(4 - Ш, (х,у) € (к = 0,1,2), о

где Ф± (Ь), Ф±(Ь) — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции

= х + гу,г+ = х - гу; х- = х + у, г- = х - у,

2100

причем

а2(х) = х, а^(х) = а2(х) = л/х2 + т2, а2(х) = а2(а2(х)) = л/х2 + 2т2

и ___

и±(у/к + 1т — 0,у)= и±+1(у/к + 1т + 0,у) = 0, 0 < у < Н;

д д (15)

— (и±(у/к + 1т — 0,у)) = — (и±+1(у/к + 1т + 0,у)), 0 <у<Н(к = 0,1).

3. Однозначная разрешимость задачи С

Теорема 1. Если ф(х) € С [у/кт, у/к + 1т ] П С2 (у/кт, у/к + 1т) (к = 0,1, 2), фк € € С [у/кт, (^ + у/кГ+1)т/2] П С2 (у/кт, (у/к + у/к + 1)т/2)(к = 0,2), ф1 € С [(1 + у/2)т/2, ^2т] П П С2((1 + у/2)т/2,у/2т) абсолютно интегрируемы на своих промежутках; ф(0) = ф(у/3т) = = ф0(0)=0, ф1(у/2т) = ф2(у/2т) и ф'к (х) при х ^у/кт (к = 0, 2), ф'х (х) при х ~^у/2т допускают интегрируемую особенность, то существует единственное решение и(х, у) задачи С . Единственность решения задачи С следует из утверждений.

Лемма 1. Если и(х,у) — решение уранения (1) в области О- = Ук=0 О- из класса С (О ~) П С 2(О~), обращающееся в нуль на характеристиках

у = —ак(х),у/кт <х < (у/к + у/к + 1)т/2(к = 0,2),у = а1(х) — т,

(1 + у/2)т/2 <х < у/~2т,

то

лДт

в =j „(ФШХ >

Доказательство леммы аналогично приведенному в [4, с. 128-130] (по схеме [5, с. 491-493]).

Лемма 2. Если и(х,у) — решение уравнения (1) в области О+ из класса С (О+) П П С2(О+\3), обращающееся в нуль при х = у/кт (0 < у < Н)(к = 0,1, 2, 3; в силу (2) и (15)) у = Н(0 < х < уДт) , то в < 0 и

в + ЦUXX у) + иУ(x,у) + Y2X y)]dxdy = (16)

D+

где

Y2(x, y)= + T2 ) H(x - т)u(x> V)u(Vx2 - т2, y) > 0.

Доказательство получим из тождества

u(x, y)[Lu(x, y) — H(x — т)и(у/x2 — т2, y) — H(у/2т — x)u(\/x2 + т2, y)] =

= (u(x, y)ux(x, y))x + (u(x, y)uy(x, y))y — uX(x, y) — uy(x, y) —

—H(x — т)u(x, y)u(y/x2 — т2, y) — H(у/2т — x)u(x, y)u(y/x2 + т2, y) = 0, интегрируя которое по области

Dt = {(x, y) ■ ° <x < V3t, e <y < h}(° <e = const),

2101