Символы в полиномиальном квантовании: явные формулы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки

Том 23, № 124

2018

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-838-845 УДК 517.922

СИМВОЛЫ В ПОЛИНОМИАЛЬНОМ КВАНТОВАНИИ:

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ

^ C.B. Цыкина

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 El-mail: [email protected]

Аннотация. В настоящей статье мы предъявляем явные формулы для коварн-антных символов в полиномиальном квантовании на параэрмитовых симметрических пространствах.

Ключевые слова: группы Ли и алгебры Ли; псевдо-ортогональные группы; представления групп Ли; параэрмитовы симметрические пространства; ковариант-ные символы; полиномиальное квантование

Предыдущие наши работы, см., например, [1—4], были посвящены построению полиномиального квантования на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H, с псевдо-ортогональной группой G Е [ S о)р, а подгруппа H накрывает прямое произведение [ S о)р 2, q 2-Й [ S о)2, 2+ Группа G действует линейно в R", п Е р 0 ç, и сохраняет форму ]x,ydE Jy^Xixiyi, где А,; Е 2 для г Е 2,...,р и Л,; Е 2 для г Е р 0 2,. . ., п. Мы считаем, что G действует в Жп справа: х ê хд, так что векторы х из М" будем записывать в виде строки. Мы рассмотрим общий случай р > 2,ç > 2.

В настоящей статье мы делаем добавление к этому построению: мы предъявляем явные формулы для символов. Квантование использует два вида символов операторов: ковариантпые и коптравариантпые символы. В настоящей работе мы ограничимся ковариантными символами, мы не будем рассматривать коптравариантпые символы, поскольку они тесно связаны с ковариантными символами с помощью сопряжения, см. [3], и явные формулы для них легко получаются из аналогичных формул для ковари-антных символов.

Пространство G/H можно реализовать несколькими способами. Прежде всего - как многообразие в алгебре Ли g группы G. В этой алгебре группа действует по присоединенному представлению. Базис в g образован матрицами Ly Е Еу XjXjEji, г < j, где Eij - матричная единица. Подгруппа H является стационарной подгруппой матрицы Zo Е так что G/H есть как раз G -орбита, в g точки Zq.

Другая реализация даст G/H как подмногообразие в прямом произведении проек-тивизаций конуса V в Жп. Этот конус состоит из таких точек ж, что ]z,xdE 1, х Е 1. Группа G действует на конусе транзитивно. Многообразие Т? образующих конуса Т> состоит из прямых (с удаленным началом координат) ]жс1Е где х / 'Ц М°°Е M }1{. Фиксируем на конусе две точки s и s"1" :

s Е )2,1,... ,1, 2+ 5+ Е )2,1,..., 1, 2+

Группа G действует на Т? естественным образом: ]xdë ]жф Е \хд<\ g / G. На прямом произведении "D* V групра G действует диагонально: )]x4]ydK?e )\xg<\\ygè\r Стационарной подгрурпо^ пары )]s c^s+df служит подгруппа Н. Таким образом, пространство G/H есть G-орбита пары )].s cl ]s+df в 2?* Т). Она есть единственная открытая плотная G-орбита в Т?* 7). Эта орбита состоцт и4 пар )]а'4 jyclt х, у / таких, что ydE 1. Обозначим qe через )"D* Рассмотрим два сечения конуса: \

Е }]x,s+dE 3{ Е }хг i„E3(, + Е }]x,s dE 3{ Е }хг 0 хяЕ 3{.

Эти сечения пересекаются один раз почти с каждой образующей конуса Т>. Поэтому линейное действие группы G на конусе дает «дробно-линейное» действие на каждом сечении, определенное почти всюду. Это позволяет ввести координаты (глобальные) на и + с помощью, соответственно, векторов £ Е • • •, i+и ?/ Е ■ • •, i]n i+ из M" 2, а именно, векторам £ и ?/ отвечают следующие точки из и соответственно:

z)£+E 20 >£,£|,3£, 20 >£,£11,

y)V+]Е 2 0)4,1/1,34,2 >i/,i/|l.

Здесь обозначает билинейную форму в пространстве Ж" 2, которая получается

ограничением из формы ] >f xi:

и i

)u,vI E J^ XiUiVi.

Мы имеем

]x)^y)7/HdE 3 JV)€,iHr )2+

где

М)£,г}+Е2 3)£,1/|0 )£,£|>1/,1/|.

Пространство С/Н Е )Т?* Т?4- можно отождествить (с точностью до многообразия меньшей размерности) с пдеямщм произведением * Тем самым мы вводим в С/Н координаты ?/ / К" 2, назовем их орисферическими координатами. Для этих координат выполняется условие Лг)£, 1/+Е 1.

Напомним некоторый материал [5] о представлениях группы б Е [ Э 0)р, связанных с конусом. Мы будем использовать следующие обозначения для «обобщенных степеней»:

а[т] Е а)а 0 2+.. . )а 0 т 2^ а{т) Е а)а 2+... )а т 0 2-^

где а - число, а также обозначение

Е Y\atiH>% t /М°°Е К }1(.

Пусть а /С, £ Е 1,2. Обозначим через £ пространство функций / на конусе

класса С и однородных «степени <т, £», то есть

f)tx+]Е ^ / Ц t / К00

Представление группы G действует в этом пространстве сдвигами:

)Т„,Е)д^+)х+]Е f)xg+

Оно порождает представление Та алгебры Ли g группы G (зависимость от £ исчезает), а также представление Та универсальной обертывающей алгебры Оох)д+ для алгебры Ли д.

Введем следующую билинейную форму в функциях на R" 2 (то есть в функциях на и на + ): ~ ~

))/,А|| Е Е ftTHhyiHdq,

интеграл берется по Ж" 2. В дальнейшем подразумевается, что все интегралы по и по drj берутся по М" 2. Оператор

сплетает представления Та е и Т2 п действующие в функциях на разных сечениях. Справедливо соотношение:

Л> п <т,еАт,е Е с 1)cr,e-|fî,

где с)<т,£-\— некоторая функция, аналитическая по а.

Напомним конструкцию квантования в духе Березина, см., например, [1,6]. В качестве алгебры операторов, исходной для квантования, мы берем алгебру

Ц, Е Та Cbx)g^,

образованную операторами D Е Та)Х-X / Оох)д+ В качестве аналога пространства Фока мы берем пространство £ а,е) + функций <£>)£+ на сечении конуса D. Оно содержится в пространстве С )R™ 2+функций ^)£+на М" 2 и содержит пространство £ )М™ 2+ В качестве переполненной системы мы берем ядро сплетающего оператора А-2 п <т,Е) а именно, функцию

(&1ЦЕ („..)£,»НЕЛ)^'-

Ковариантный символ F оператора D Е Та)Х+ есть функция F)x,y+ на G/H. в орисферических координатах он определяется формулой

F)t,r}+Е7Т|—, )D 024Êl)f,iHr

В первой реализации пространства С/Н - как многообразия в алгебре Ли д - он есть функция от элемента 2 алгебры Ли д.

В второй реализации, указанной выше, ковариантный символ //Т есть функция от пары )]®4\yd\- образующих конуса 2} таких что ]аг, ус1Е 1, другими словами, он есть функция И)х:у+ от пары )аг,у+ точек конуса таких что ]ж,ус!Е 1, причем эта функция - однородная степени 0 по ж и по у, то есть Р)Ьх. .чу+Е F)ж, у+ для всех

Функция 7/+есть ограничение на * + функции ) 2/3-Ця:, ус\ см. (1), так что функция ( )£, есть (с точностью до множителя) ограничение на * + функции

усГ,£. Последняя функция как функция от £ (йот г]) принадлежит £ ^£)ХЦ-Поэтому ковариантный символ Р)х, у+оператора О Е Та)Х-^- X / Оох)д-^ есть

*>,У+Е

\х,уф-

Ковариантный символ единичного оператора есть функция, тождественно равная единице.

Напишем ковариантные символы для операторов, отвечающих элементам алгебры Ли д (элементам первой степени из Оох) д+).

Теорема 1. Пусть Ь - элемент алгебры Ли д. Тогда ковариантный символ Р оператора Б Е Та)Ь+ в первой реализации есть функция

О

Е з

где Вв - форлш Киллинга на д, а во второй реализации есть функция

Эта функция есть линейный многочлен на С/Н.

Умножение операторов порождает умножение ковариантных символов, обозначим последнее звездочкой & (оно зависит от а). Пусть F2 - ковариантные символы операторов П2, соответственно. Так как Б^Б2 02 Е )£)[ 02ч)1)2 02+ то:

№ Е в1 021 )4+

и - в орисфсрических координатах:

№ 02+)(

Приведем явные формулы для ковариантных символов, отвечающих элементам X из Оох)д+ произвольного порядка.

Пусть в формуле (3) оператор Бу отвечает элементу Ь из алгебры Ли д. Тогда Ву - дифференциальный оператор первого порядка, по правилу Лейбница мы имеем £>0/ Ж0 / уВхк7 так что

№ Е ^КзН^КгЮ )В1 02-ЬР2)2г,у+ (4)

4 '

Е Fx)x,yJF2)x,y+0 —

i (5)

1=0

Теорема 2. Для элемента X / Оох) порядка к ко в ар и антный символ оператора D Е Та)Х-\- есть многочлен на G/H порядка к с коэффициентами, зависящими от а полиномиально.

Сначала - для наглядности - напишем с помощью формул (4), (5) в явном виде ко-вариаитные символы для элементов X из алгебры Оох)порядка 2,3,4. Достаточно это сделать для X, которые являются произведениями элементов алгебры Ли. Пусть L,M,K / g.

Для X Е L имеем

\x,yd

это - формула (2). Пусть X Е LM, тогда

+Е a{2)]xL,yd^xM,ydo a]xLM,yd \x7yâ \x,y d

Пусть X E LMK, тогда

(з) ]xL, yd^xM, yd^xK, yd

F)x-y+Ea ь*

(2) ]xLM, yd^xK, yâû }xLK1 yd^xM, ydO ]xMK, yd>\xL1 yd ]xLMK,yd

]x,yd

Теперь напишем, с помощью формул (4), (5), в явном виде ковариантные символы для элементов X из алгебры Оох)любого порядка которые являются произведениями элементов алгебры Ли. Пусть X Е ЬуЬ2 . . . Ьк, где Ь/ д. Разобьем множество индексов I Е }2, 3,.. . , к{ на т подмножеств: / Е Д { . . . { 1т. Обозначим через Ая произведение - в порядке возрастания индексов - тех элементов индексы у которых принадлежат /ч.

Теорема 3. Для элемента X Е ЬуЬ2 . .. Ьъ, где Ь^ / д, из алгебры Оох)$+ порядка к ковариантный символ Е)х, у + оператора И Е Та)Х-\- дается следующей формулой

F)x,y+E J .M Г

где внутреннее суммирование происходит по всем разбиениям множества I на т подмножеств: I Е 1\ { . . . { 1т.

С другой стороны, дальше мы решаем в некотором смысле обратную задачу: у нас есть некоторые специальные (важные) многочлены на С/Н, и мы находим операторы, для которых эти многочлены являются символами.

Для а общего положения пространство ковариантиых символов есть пространство Я)С/Н+всек многочленов на С/Н.

Возьмем в алгебре Ли д максимальную коммутативную подалгебру (картановекую подалгебру) п, состоящую из матриц Ь, ненулевые элементы которых могут стоять только на побочной диагонали:

\

X Е

/

XXX 1 XXX ¿2

1 £2 ¿1 1

XXX 1 XXX 1

напомним, что мы рассматриваем общий случай р > 2, д > 2. Размерность алгебры а равна целой части ]те/3с! числа п/3.

Представление сдвигами группы С в пространстве многочленов Б)С/Н+ разлагается в прямую сумму неприводимых конечномерных представлений в пространствах Ни. Они нумеруются старшими весами г/ относительно алгебры а. Старший вес - это вектор с ]тг/3с! целочисленными координатами, из которых все координаты, начиная с третьей, равны нулю: и Е )а, 6,1,. . причем а ^ Ь ^ 1, а —>Ь )п ре 3+

Предъявим старшие и младшие векторы в пространствах Ни. Старший вектор и младший вектор /„ в Н,, - это многочлены, собственные для матрицы 2 г! с собственными числами g гО Ы2+ и g г) соответственно. Обозначим

I Е

аО Ъ

с Е

В орисферических координатах мы имеем

Возьмем в пространстве д элементы М{ Е Ьи 0 \{Ь}п, а в универсальной обертывающей алгебре Оэх)д+возьмем «частичный элемент Казимира»

п 1

Ф Е Г А,)М, 4.

Элемент М Е М2 0 Мп 1 является собственным для элементов алгебры а с собственным значением ¿1 £2- Возьмем следующий элемент из Оох)д+:

Х„ Е МЬ)Ф

Теорема 4. Ковариантный символ Р„ оператора О,, Е Та)Хи-\-есть с точностью до множителя минимальный вектор /р)^г}+из а именно,

1. Молчанов В. Ф., Болотова Н.Б., Цыкина С.В., Гришина О.В. Полиномиальное квантование // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов. 2009. Т. 14. Вып. 6-3. С. 1443-1474.

2. Цыкина С.В. Символы в полиномиальном квантовании // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2093-2097. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2093-2097.

3. Цыкина С.В. Об умножении символов в полиномиальном квантовании // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6-1. С. 1341-1345. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1341-1345.

4. Tsykina S. V. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudoorthogonal group of translations // Idempotent and tropical mathematics and problems of mathematical physics: international workshop. Moscow, 2007. Vol. 2. P. 63-71.

5. Молчанов В.Ф. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом // Математический сборник. 1970. Т. 81. Вып. 3. С. 358-375.

6. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces // Acta Appl. Math. 2004. Vol. 81. № 1-3. P. 215-232.

Поступила в редакцию 12 апреля 2018 г.

Прошла рецензирование 21 мая 2018 г.

Принята в печать 26 июня 2018 г.

Цыкина Светлана Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, старший преподаватель кафедры функционального анализа, e-mail: [email protected]

Для цитирования: Цыкина C.B. Символы в полиномиальном квантовании: явные формулы // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 838-845. DOI: 10.20310/18100198-2018-23-124-838-845

F„)Ç,r}+Е Л„)а+х/„ )£,*Нг

где

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-838-845

SYMBOLS IN POLYNOMIAL QUANTIZATION: EXPLICIT EXPRESSIONS

S. V. Tsykina

Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation E-mail: [email protected]

Abstract. In this work we give explicit expressions of covariant symbols in polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces.

Keywords: Lie groups and Lie algebras; pseudo-orthogonal groups; representations of Lie groups; para-Hermitian symmetric spaces; covariant symbols; polynomial quantization

REFERENCES

1. Molchanov V.F., Volotova N.B., Tsykina S.V., Grishina O.V. Polinomial'noye kvantovaniye [Polynomial quantization]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2009, vol. 14, no. 6-3, pp. 1443-1474. (In Russian).

2. Tsykina S.V. Simvoly v polinomial'nom kvantovanii [Symbols in polynomial quantization]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2093-2097. (In Russian). DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2093-2097.

3. Tsykina S.V. Ob umnozhenii simvolov v polinomial'nom kvantovanii [On multiplication of symbols in polynomial quantization]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6-1, pp. 1341-1345. (In Russian). DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1341-1345.

4. Tsykina S.V. Polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces with pseudoorthogonal group of translations. International Workshop "Idempotent and Tropical Mathematics and Problems of Mathematical Physics". Moscow, 2007, vol. 2, pp. 63-71.

5. Molchanov V.F. Predstavleniya psevdoortogonal'noy gruppy, svyazannyye s konusom [Representations of pseudo-orthogonal groups associated with a cone]. Matematicheskiy sbornik - Sbornik: Mathematics, 1970, vol. 81, no. 3, pp. 358-375. (In Russian).

6. Molchanov V.F., Volotova N.B. Polynomial quantization on rank one para-Hermitian symmetric spaces. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, no. 1-3, pp. 215-232.

Received 12 April 2018

Reviewed 21 May 2018

Accepted for press 26 June 2018

Tsykina Svetlana Victorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Senior Lecturer of the Functional Analysis Department, e-mail: [email protected]

For citation: Tsykina S.V. Simvoly v polinomial'nom kvantovanii: yavnye formuly [Symbols in polynomial quantization: explicit expressions]. Vestnik Tambovskogo universiteta,. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 838-845. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-838-845 (In Russian, Abstr. in Engl.).