CC BY
83
УДК 621.3(075.8)
В.Г. ЗАХАРОВ, А.В. МАЛЫШЕВ
СИМВОЛЬНЫЙ РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ТОКА В СРЕДЕ «MATLAB»
Расчет электрической схемы в символьной форме позволяет построить ее частотные и временные характеристики, рассчитать чувствительность и провести диагностику при отказе элементов, при этом, примерно, на порядок сократить машинное время по сравнению с численными расчетами. Влияние нелинейных элементов можно учесть табличными или функциональными зависимостями, а также численно-аналитическими фрагментами расчета.
Впервые правило для определения тока I% ветви X линейной электрической схемы в символьном виде дал Г. Р. Кирхгоф [1]:
«Если упорядочить члены числителя величины I% по величинам E1,E2,...,En , то коэффициент при Ek окажется суммой взятых частью со знаком «плюс», частью со знаком «минус» сочетаний из ю1,ю2,...,юп по ц-1 тех элементов, которые входят в знаменатель величин I, умноженные как на ЮД, так и на ®k. Именно эти сочетания ю^,ю^ •••,юk i обладают тем свойством, что
после удаления проводников k1, k2,..., k^_1 остается только одна замкнутая фигура и что в эту фигуру входят и проводник Д, и проводник k. Сочетание ..., юк ^ следует брать со знаком «плюс», если в остающейся фигуре положительное направление I совпадает с положительным направлением электродвижущей силы Ех, и со знаком «минус» в противном случае». Здесь ц - число
контуров в схеме; знаменатель величин I- контурный определитель схемы.
Согласно этому правилу символьное выражение тока ветви, обусловленного источниками ЭДС в схеме, формируется исходя из контурного определителя и топологии схемы без составления и решения системы уравнений. Однако до настоящего времени это правило не нашло применения в расчетах электрических цепей из-за ошибки в отношении элемента o>k., который входит сомножителем в сочетание из ю j, ю 2,..., ю п по ц-1 элементов, подлежащих удалению в схеме, но вместе с элементом o)k удаляется и источник электродвижущей силы Ek, так как он входит в единую ветвь с элементом o>k, поэтому элемент o>k не может входить сомножителем в сочетание «из ю 1, ю 2,..., ю п по ц-1 тех элементов, которые входят в знаменатель величин I» и в коэффициент при источнике электродвижущей силы Ek.
Идея Г. Кирхгофа получила достоверное подтверждение в системе из восьми правил, где эта неточность устранена при помощи доказательства с использованием топологической формулы Мэзона [2]. Система правил, состоящая из правил 1-4 в базисе проводимостей и четырех дуальных правил 5-
8 в базисе сопротивлений, отличается от известных методов символьного расчета схемных функций линейных электрических цепей простотой и экономичностью машинных алгоритмов.
Известный топологический метод анализа электронных схем, основанный на преобразовании схемы при помощи последовательного стягивания и удаления ветвей, позволяет анализировать в символьной форме как пассивные, так и активные электрические цепи с управляемыми источниками [3, 4]. Этот нетрадиционный метод характеризуется сложностью алгоритма, связанного с применением более двух десятков логических правил для преобразования подсхем. Традиционные методы символьного расчета электрических схем при помощи составления и решения системы уравнений узловых потенциалов [5], а также матричных уравнений [6] сопровождаются избыточным количеством процедур и трудностями промежуточного контроля.
Согласно системе правил [2], формирование символьных схемных функций в анализируемой схеме производится при одновременном удалении ветвей и с возможностью взаимного контроля результатов, полученных в базисах сопротивлений и проводимостей. Алгоритм символьного расчета линейных электрических схем с источниками ЭДС, основанный на правилах 5, 7, реализован в среде математического пакета «Ве1рЫ» [7].
В настоящей статье предлагается алгоритм символьного расчета электрических схем с источниками тока, основанный на правилах 6, 8. Алгоритм реализован в среде математического пакета «МЛТЬЛБ».
Из правила 6 сформулируем следствие, по которому можно найти символьное выражение для тока ,-й ветви схемы с сопротивлением исходя из
топологии и контурного определителя схемы:
А = Л + Л2 +■■■+А + 4+1 +■■■+А +■■■+А,
где слагаемые Л/,,..., Лт не содержат сомножителем сопротивление г,.
Следствие 6. Выражение для тока ,-й ветви, обусловленного источниками тока, подключенными параллельно сопротивлениям гг, zs,..., гд ветвей схемы, записывается в виде дроби:
I, = (Л ¿Л + 4+1 ¿Л + ••• + Лт ¿Л )/А г ,
к=г к=г к=г
знаменателем которой является контурный определитель схемы, а числителем - сумма слагаемых, состоящих из слагаемых контурного определителя, содержащих сомножителем хотя бы одно из указанных сопротивлений, но не содержащих сомножителем сопротивление ,-й ветви, умноженных на сумму токов, замыкающихся через ,-ю ветвь по контурам, созданным в схеме при удалении сопротивлений, входящих сомножителями в указанные слагаемые контурного определителя; источники тока записываются в сумму токов со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением тока ,-й ветви.
Для машинной реализации этого следствия представим топологию анализируемой схемы двумерной матрицей соединений размером 2 х п , столбцы которой состоят из двух элементов: верхний элемент соответствует г-
сопротивлению, а нижний элемент - узлу, к которому подключено это сопротивление, число п равно удвоенному количеству сопротивлений в схеме. Источники тока привязываем, к параллельно подключенным сопротивлениям, а их направление учитываем знаками этих сопротивлений. Сопротивление в столбце матрицы соединений берем со знаком плюс, если источник тока направлен к узлу, и со знаком минус - если от узла. При удалении в матрице соединений столбцов с сопротивлениями, указанными в следствии 6, оставляем столбец с сопротивлением гк, к которому привязан источник тока ^, что позволяет найти контур, соответствующий контуру источника тока ^ в схеме, замыкающемуся через ,-ю ветвь.
В текущей матрице соединений циклически производим поиск и удаление столбцов с сопротивлением, соответствующим одиночному узлу (встречающемуся только один раз), что соответствует удалению тупиковых ветвей в схеме, после чего в текущей матрице соединений остаются парные узлы и сопротивления. Для нахождения суммы токов через ,-ю ветвь при наличии нескольких источников тока в схеме, в текущей матрице соединений поочередно оставляем сопротивления, к которым привязаны источники тока. Найденную сумму токов, с учетом направления каждого источника тока, умножаем на соответствующее слагаемое контурного определителя, в результате получаем в символьной форме одну из составляющих числителя тока ,-й ветви. Знаменатель выражения для тока ,-й ветви находим в символьной форме, как детерминант матрицы контурных сопротивлений.
После объединения R, Ь, C - сопротивлений ветвей схемы в обобщенные z-сопротивления формируем для файла данных матрицу контурных сопротивлений М£, исходную матрицу соединений схемы МБ и матрицу источников тока МТ с г-сопротивлениями, к которым они привязаны. Задаемся направлением искомого тока; при наличии источника тока, привязанного к сопротивлению ветви с искомым током, направление искомого тока задаем согласно с направлением тока, обусловленного источником тока.
Версия алгоритма расчета включает в себя следующие шаги.
1. Находим в символьной форме контурный определитель схемы, как детерминант detMZ матрицы контурных сопротивлений.
2. В диалоговом окне формируем вектор-столбец 2и с исходным сопротивлением г, и исходным узлом и, от которого направлен искомый ток,-й ветви.
3. Из detMZ выделяем очередное слагаемое, не содержащее сомножителем сопротивление г, ,-й ветви, но содержащее сомножителем хотя бы одно из сопротивлений гг, г6,..., к которым привязаны источники тока; фиксируем очередное слагаемое под именем Лп; при отсутствии очередного слагаемого переходим на шаг 17.
4. Ставим в соответствие сопротивлениям слагаемого Лп вектор-строку Уп.
5. Входим в цикл круговой перестановки сопротивлений в вектор-строке Уп, ограниченный первым и последним очередными сопротивлениями; фиксируем очередное сопротивление гк.
6. Проверяем матрицу источников тока МТ на наличие сопротивления гк: да, переходим на шаг 7, нет - на шаг 5.
7. Фиксируем в вектор-строке Уп все сопротивления, кроме очередного сопротивления гк.
8. Копируем исходную матрицу соединений МБ; фиксируем копию под именем текущей матрицы соединений МБп.
9. В текущей матрице соединений МБп удаляем столбцы с сопротивлениями, зафиксированными на шаге 7.
10. Входим в цикл поиска столбца с одиночным узлом в текущей матрице соединений МБп: находим столбец с одиночным узлом и переходим в нем к сопротивлению гу; фиксируем сопротивление гу и переходим на шаг 11; при отсутствии столбца с одиночным узлом выходим из цикла и переходим на шаг 12.
11. В текущей матрице соединений МБп удаляем все столбцы с зафиксированным сопротивлением гу; возвращаемся на шаг 10.
12. В текущей матрице соединений МБп производим поиск знака очередного сопротивления гк: исходя из матрицы ZU, находим столбец с исходным узлом иI и с исходным сопротивлением г,; фиксируем сопротивление г,; находим другой столбец с сопротивлением |г,| и переходим в нем к узлу ия; фиксируем узел ия; находим другой столбец с узлом и8 и переходим в нем к сопротивлению 1г6\; фиксируем сопротивление г\; находим другой столбец с сопротивлением г1 и переходим в нем к узлу и/, и т.д., пока не придем к столбцу с очередным сопротивлением |гк|; находим другой столбец с сопротивлением |гк| и фиксируем его с соответствующим знаком.
13. Фиксируем источник тока Jk со знаком очередного сопротивления гк; формируем и фиксируем после каждого цикла сумму источников тока под именем БТп; возвращаемся на шаг 5; после обработки последнего очередного сопротивления переходим на шаг 14.
14. Проверяем матрицу источников тока МТ на наличие исходного сопротивления г,: да, переходим на шаг 15, нет - на шаг 16.
15. К сумме токов БТп добавляем источник тока Jj со знаком плюс.
16. Умножаем сумму токов БТп на очередное слагаемое Лп; фиксируем произведение под именем ТЛп; возвращаемся на шаг 3.
17. Суммируем произведения ТЛк, ТЛй+1,..., ТЛп,..., ТЛт; фиксируем сумму произведений под именем Б,.
Получили выражение для числителя тока ,-й ветви в символьной форме. Знаменатель выражения найден на шаге 1.
При задании источников тока и г-сопротивлений схемы в операторной или в комплексной форме к символьному выражению искомого тока переходим по соответствующим спискам идентификации.
Пример 1. Найти символьное выражение для тока 14 в схеме на рисунке с сопротивлениями гь..., г6 и источниками тока 3\, 33, 35, 36, привязанными, соответственно, к сопротивлениям г1, г3, г5, г6 (вспомогательное сопротивление
z1 добавляем при нахождении потенциала ф2 узла м2, относительно базисного узла м4, в нижеприведенном примере 2).
Формируем для файла данных нижеследующие матрицы:
- матрицу контурных сопротивлений схемы:
М2 =
-г.
-г„
-г.
-г.
- г
-г.
“4 “6
- исходную матрицу соединений схемы (номера столбцов в исходной и текущих матрицах соединений проставлены с целью ориентации для читателя):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
МБ =
и И
■/1'2 ^^3
матрицу источников тока, привязанных к сопротивлениям схемы:
МТ =
г1 гз г5
6
г1
?1
г2
?2
щ
и2
г3
Л
*7 г4 1
Чг
Л
Решение. 1. Находим контурный определитель схемы в символьной форме, как детерминант матрицы контурных сопротивлений (все формулы приводим без знаков умножения):
det М2 = г4 г2 г5 + г4 г3 г5 + г2 г3 г4 + г2 г3 г5 + г4 г6 г5 + г1 г2 г4 + г1 г2 г5 +
2. В диалоговом окне формируем вектор-столбец
г
IV =
где г4 - исходное сопротивление, м2 - исходный узел, от которого направлен искомый ток 14.
3. Выделяем из detMZ очередное слагаемое, не содержащее сомножителем сопротивление г4, но содержащее сомножителем одно из сопротивлений ^1, г3, г5, г6, к которым привязаны источники тока:
4 = г г г5;
при отсутствии очередного слагаемого переходим на шаг 17.
4. Ставим в соответствие сопротивлениям очередного слагаемого А\ вектор-строку:
у = [г2 г3 г5].
5. Входим в цикл круговой перестановки сопротивлений в вектор-строке У: фиксируем первое очередное сопротивление г2 и последнее очередное сопротивление г5; переходим на шаг 6.
5.1. В вектор-строке У фиксируем второе очередное сопротивление г3; переходим на шаг 6.1.
5.2. В вектор-строке У фиксируем последнее очередное сопротивление г5; переходим на шаг 6.2.
6. Проверяем матрицу источников тока МТ на наличие очередного сопротивления г2: в матрице МТ сопротивление г2 отсутствует; возвращаемся на шаг 5.1.
6.1. Проверяем матрицу источников тока МТ на наличие очередного сопротивления г3: в матрице МТ сопротивление г3 присутствует; переходим на шаг 7.
6.2. Проверяем матрицу источников тока МТ на наличие очередного сопротивления г5: в матрице МТ сопротивление г5 присутствует; переходим на шаг 7.1.
7. В вектор-строке У фиксируем сопротивления г2, г5; переходим на шаг 8.
7.1. В вектор-строке У фиксируем сопротивления г2, г3; переходим на шаг 8.1.
8. Копируем исходную матрицу соединений МБ; фиксируем копию под именем текущей матрицы соединений МБи (вторые индексы в текущих матрицах соединений проставлены с целью ориентации для читателя); переходим на шаг 9.
8.1. Копируем исходную матрицу соединений МБ; фиксируем копию под именем текущей матрицы соединений МБ12; переходим на шаг 9.1.
9. В копии исходной матрицы соединений МБ удаляем столбцы 3, 4 с сопротивлениями г2 и столбцы 9, 10 с сопротивлениями г5, зафиксированными на шаге 7:
1 2 3 4 5 6 7 8
МБп =
переходим на шаг 10.
9.1. В копии исходной матрицы соединений МБ удаляем столбцы 3, 4 с сопротивлениями г2 и столбцы 5, 6 с сопротивлениями г3, зафиксированными на шаге 7.1:
1 2 3 4 5 6 7 8
М8п =
переходим на шаг 10.1.
10. В текущей матрице МБи производим поиск одиночного узла; столбцов с одиночным узлом нет; переходим на шаг 12.
10.1. В текущей матрице М5”12 находим столбец 1 с одиночным узлом и и переходим в нем к сопротивлению |^|; фиксируем сопротивление |^|; переходим на шаг 11.
10.2. В текущей матрице М5”13 производим поиск одиночного узла: столбцов с одиночным узлом нет - переходим на шаг 12.1.
11. В текущей матрице М512 удаляем столбцы 1, 2 с сопротивлениями |^|:
1 2 3 4 5 6
М513 =
возвращаемся на шаг 10.2.
12. В текущей матрице МБц производим поиск знака у очередного сопротивления г3: исходя из матрицы ZU, находим столбец 5 с исходным узлом и2 и с исходным сопротивлением г4; фиксируем сопротивление г4; находим столбец 6 с сопротивлением ^4| и переходим в нем к узлу и4; фиксируем узел и4; находим столбец 2 с узлом и4 и переходим в нем к сопротивлению |^|; фиксируем сопротивление ^1; находим столбец 1 с сопротивлением |^| и переходим в нем к узлу и1; фиксируем узел и1; находим столбец 3 с узлом и1 и переходим в нем к сопротивлению ^3|; фиксируем сопротивление г3; находим столбец 4 с сопротивлением ^3|; заканчиваем поиск, так как текущее сопротивление z3 второй раз совпало с очередным сопротивлением; фиксируем сопротивление z3 со знаком плюс; переходим на шаг 13.
12.1. В текущей матрице МБ\3 производим поиск знака у очередного сопротивления: z5: исходя из матрицы ZU, находим столбец 1 с исходным узлом и2 и с исходным сопротивлением z4; фиксируем сопротивление z4: находим столбец 2 с сопротивлением ^4| и переходим в нем к узлу и4; фиксируем узел и4; находим столбец 4 с узлом и4 и переходим в нем к сопротивлению ^5|; фиксируем сопротивление ^5|; находим столбец 3 с сопротивлением ^5|; заканчиваем поиск, так как текущее сопротивление z5 второй раз совпало с очередным сопротивлением; фиксируем сопротивления z5 со знаком минус; переходим на шаг 13.1.
13. Фиксируем источник тока 33 со знаком, зафиксированным у очередного сопротивления z3; формируем и фиксируем сумму источников тока после первого цикла:
возвращаемся на шаг 5.2.
13.1. Фиксируем источник тока J5 со знаком, зафиксированным у последнего очередного сопротивления z5 (знак минус); формируем и фиксируем сумму источников тока после второго цикла:
БТг = Jз - J5 ;
переходим на шаг 14.
14. Проверяем матрицу источников тока МТ на наличие источника тока J4, привязанного к исходному сопротивлению Z4: источник тока J4 отсутствует - переходим на шаг 16 (при расчете тока 16 в нижеприведенном примере 2, источник тока J6, привязанный к исходному сопротивлению z6 - присутствует, переходим на шаг 15).
15. Этот шаг исключаем при расчете тока 14, так как источник тока J4 отсутствует (при расчете тока 16 в нижеприведенном примере 2, к сумме токов БТ\ добавляем источник тока J6 со знаком плюс).
16. Умножаем сумму токов БТ1 на очередное слагаемое контурного определителя А1; фиксируем произведение под именем:
ТА1 = (^ - Jъ)z2 ^ z5 ;
возвращаемся на шаг 3.
17. Суммируем произведения ТА1,к,ТА8; фиксируем сумму произведений под именем:
Д, = (^ - *^5 ) Z2 zз Z5 + Ц! - ^ ^ + Л Z1 z2 z6 + Ц - J5)Z1 Zз ^ +
+ ^1 - ^ + J6)Z1 Z3 ^ ^1 - ■75)2:1 ^ Z5 + J6 ^ ^ ^ + J6 Z 2 Z6 Z5 .
Получили выражение для числителя тока 14 в символьной форме.
Для расчета тока другой заданной ветви в схеме на рисунке, в матрице 2и записываем сопротивление заданной ветви и узел, от которого направлен заданный ток.
Так, для тока 16, направленного от узла и2, матрица: Ш =
. После за-
пуска программы получим:
А = J6 z2 zA z5 + (-Jз + J5 + J6)Z4 Zз z5 + J6 Z2 Zз Z4 + (-Jз + J5 + J6)z2 Zз z5 + +J6ZlZ2Z4 + (-^ + Jъ + J6)ZlZ2Z5 + (Jl -Jз + J6)ZlZзZ4 + (-Л, + Jъ + J6)z1 ZзZ5.
Получили числитель тока 16 в символьной форме. Знаменатель выражений для токов 14,16 найден на шаге 1.
Символьное выражение для потенциала /-го узла, обусловленного источниками тока в схеме, определим по следствию, вытекающему из соответствующего правила 8 [2].
Следствие 8. Выражение для потенциала /-го узла, обусловленного источниками тока, с параллельно подключенными сопротивлениями схемы, записывается в виде дроби:
ф = (АХ к + '" + Ак X к + "' Ат X ^к + '" + А X ^к ,
к=1 к=1 к=1 к=1
Z6
и2
знаменателем которой является контурный определитель схемы, а числителем - сумма слагаемых, состоящих из слагаемых контурного определителя, умноженных на сумму произведений источника тока на параллельно подключенное сопротивление, входящие в путь от у-го узла к базисному узлу, созданного в схеме при удалении сопротивлений, входящих сомножителями в слагаемые контурного определителя; источники тока записываются в сумму произведений со знаком плюс, если они направлены к у-му узлу.
Для нахождения потенциала у-го узла по следствию 8 используем вышеприведенный алгоритм для определения тока у-й ветви, для чего в исходную матрицу соединений МБ добавим два дополнительных столбца, соответствующих подключению вспомогательного сопротивления z1 между у-м и базисным узлами схемы. При этом путь между указанными узлами превращается в контур, замыкающийся через вспомогательное сопротивление z1. Исключенные шаги в алгоритме отмечены знаком «%», а шаги с измененным содержанием отмечены звездочками «*».
Пример 2. Найти символьное выражение для потенциала ф2 узла и2, относительно базисного узла и4, в схеме на рисунке. Между узлом и2 и базисным узлом и4 подключаем вспомогательное сопротивление z1, которое не записываем в матрицу контурных сопротивлений М2 и в матрицу источников тока МТ.
Используем для файла данных матрицу контурных сопротивлений М2, и матрицу источников тока МТ, приведенных в примере 1.
Составляем исходную матрицу соединений схемы с учетом вспомогательного сопротивления
1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14
- - -2 -2 - -з -з -4 -4 - - -5 -6 - -б -1 zl;
и и 4 и1 и2 и1 и3 и2 и4 и3 и 4 и2 и3 и2 и4
Решение. 1. Используем контурный определитель схемы, приведенный в примере 1.
2. В диалоговом окне формируем вектор-столбец
где z1 - вспомогательное сопротивление, и2 - исходный узел.
3. Выделяем из detMZ очередное слагаемое:
А = - - %;
при отсутствии очередного слагаемого переходим на шаг 11.
4. Ставим в соответствие сопротивлениям очередного слагаемого А1 вектор-строку:
=[^ ^ ^\
%5. Этот шаг исключаем - в вектор-строке У1 очередное сопротивление не выделяем.
%6. Этот шаг исключаем - проверку матрицы источников тока МТ на наличие очередного сопротивления не производим.
*1. Фиксируем в вектор-строке У все сопротивления —4, —2, —5.
8. Копируем исходную матрицу соединений МБ; фиксируем копию под именем МБ\.
9. В копии исходной матрицы соединений МБ удаляем столбцы 1, 8 с сопротивлениями —4, столбцы 3, 4 с сопротивлениями —2 и столбцы 9, 10 с сопротивлениями —5; в результате получим текущую матрицу соединений:
1 2 3 4 5 6 1 8
—1 —1 -3 -3 —6 —6 —1 —1 ;
МБ1 = 1 1 3 3 6 6 1 1
и1 и4 и1 и3 и2 и3 и2 и4
10. В текущей матрице соединений МБ1 производим поиск столбца с одиночным узлом: столбцов с одиночным узлом нет, переходим на шаг *12; при наличии одиночного столбца фиксируем соответствующее сопротивление и переходим на шаг 11.
11. В текущей матрице соединений МБ1, соответствующей слагаемому А1, удаление столбцов не производим, так как в ней нет столбца с одиночным узлом; переходим на шаг *12.
*12. Проверяем текущую матрицу соединений МБХ на наличие хотя бы одного столбца с сопротивлением, имеющего знак минус: находим сопротивления —1, —3, —6 со знаком минус; фиксируем сопротивления —ь —3, —6; переходим на шаг *12.1; при отсутствии сопротивлений со знаком минус возвращаемся на шаг 3.
*12.1. В текущей матрице соединений МБ\ производим поиск знаков у зафиксированных сопротивлений —3, —6: исходя из матрицы 2и, находим
столбец 1 с исходным узлом и2 и с вспомогательным сопротивлением —1, фиксируем исходный узел и2, фиксируем сопротивление —1; находим столбец 8 с сопротивлением —1 и переходим в нем к узлу и4, фиксируем узел и4; находим столбец 2 с узлом и4 и переходим в нем к сопротивлению |—1|, фиксируем сопротивление |—11; находим столбец 1 с сопротивлением —1 и фиксируем сопротивление —1 с положительным знаком, так как текущее сопротивление —1 второй раз совпало с зафиксированным сопротивлением —1, переходим в этом столбце к узлу щ и фиксируем узел щ; находим столбец 3 с узлом щ и переходим в нем к сопротивлению —3|, фиксируем сопротивление —3|; находим столбец 4 с сопротивлением —3| и фиксируем сопротивление —3 с положительным знаком, так как текущее сопротивление —3 второй раз совпало с зафиксированным сопротивлением —3, переходим в этом столбце к узлу и3, фиксируем узел и3; находим столбец 6 с узлом и3 и переходим в нем к сопротивлению —6|, фиксируем сопротивление —6|; находим столбец 5 с сопротивлением —6 и фиксируем сопротивление —6| с положительным знаком, так как текущее сопротивление —6 второй раз совпало с зафиксированным сопротивлением —6, переходим в этом столбце к узлу и2; заканчиваем поиск, так как текущий узел совпал с исходным узлом и2; переходим на шаг *13.
*13. Фиксируем источники тока 1\, 13, 16 со знаками, зафиксированными у соответствующих сопротивлений —1, —3, —6; переходим на шаг *13.1.
*13.1. Умножаем каждый источник тока 1\, 13, 16 на сопротивление, к которому они привязаны; формируем сумму из результатов умножения и фиксируем под именем:
БТ1 = 4 — + 13 —3 + 16 —6;
переходим на шаг 16.
%14. Этот шаг исключаем - проверку матрицы источников тока МТ на наличие источника тока, привязанного к сопротивлению, не производим.
%15. Этот шаг исключаем - к сумме токов БТ1 источник тока не добавляем.
16. Умножаем сумму токов БТ1 на очередное слагаемое контурного определителя А\; фиксируем произведение под именем:
ТА = — + 43 — + 46 —6 )—4 —2 —5 ;
возвращаемся на шаг 3.
11. Суммируем произведения ТА1, к, ТА; фиксируем сумму под именем:
В2 = (11 — + 43 — + 76 ^ —2 — + (11 — —5 + (-15 — +1 е —е)—2 — — + — — +
+(-15 —5 + 46 —6)—1 —2 —4 + (-15 —5 + 46 —6)—1 —3 —4 -(15 —5 +13 —3)—1 —6 —4 + (11 —1)—4 —3 Ч-
Получили числитель для потенциала ф2 в символьной форме.
Для расчета потенциала другого заданного узла в схеме на рисунке в столбце 13 исходной матрицы соединений МБ оставляем сопротивление —1 и записываем заданный узел. В матрице 2и также оставляем сопротивление —1 и записываем заданный узел.
Так, для нахождения в схеме на рисунке потенциала ф1 узла иь относительно базисного узла и4, исходная матрица соединений имеет вид:
1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14
МБ =
Записываем матрицу 2и =
. После запуска программы получим:
А = (11 —1)—4 —2 —5 + (11 —1)—4 —3 —5 + (11 —1)—2 —3 —4 + (11 —1)—2 —3 —5 + (11 —1)—4 —6 —5 --(15 —5 +13 —3)—1 —2 —4 - (Л —6 + 1 —3)—1 —2 —5 - (15 —5 + 13 —3)—1 —2 —6 + (-15 —5 +
+16 —6) —1—3 —4 - (15 —5 + 1 —3) —1—6 —4 + (11 —1) —2 —3 —6 + (11 —1) —2 —6 —5 + (11 —1) —4 —3 —6.
Получили числитель для потенциала ф1 в символьной форме. Знаменатель выражений для потенциалов ф4, ф1 найден на шаге 1.
Приведенные алгоритмы имеют силу для анализа стационарных и нестационарных процессов в пассивных и в активных линейных электрических цепях. Активные схемы с управляемыми источниками тока рассчитываются при помощи системы символьных уравнений, из которой определяются выходные параметры управляемых источников тока, порядок системы уравнений равен числу управляемых источников тока [2].
Ы,
Литература
1. Кирхгоф Г. Р. Избранные труды. М.: Наука, 1988.
2. Белов Г. А., Захаров В. Г. Применение символьных схемных функций для расчета электрических цепей // Электричество. 2003. №8. С. 34-41.
3. Филаретов В. В. Топологический анализ электронных схем методом выделения параметров // Электричество. 1998. №5. С.43-52.
4. Курганов С. А., Филаретов В. В. Символьный анализ линейных электронных цепей на основе схемно-алгебраических формул выделения параметров многополюсников // Электричество. 2003. № 6. С. 52-64.
5. Орличенко А. Н., Шаповалов Р. Г. Символьные методы автоматизированного проектирования электронных узлов // Изв. вузов. Электромеханика. 2002. №1. С. 34-36.
6. Шмелев В. Е. Вычислительный сценарий анализа разветвленных линейных электрических цепей произвольной сложности // Exponenta Pro. Математика в приложениях. 2003. №4. С. 64-69.
7. Захаров В. Г., Чертановский А. Г., Малышев А. В. Алгоритм машинного расчета линейных электрических цепей в символьном виде // Вестник Чуваш. ун-та. 2004. №2. С. 150155.
ЗАХАРОВ ВАЛЕРИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ родился в 1941 г. Окончил Казанский авиационный институт. Кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники и радиотехнических систем Чувашского государственного университета. Автор 38 публикаций в области силовой электроники.
МАЛЫШЕВ АЛЕКСЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ родился в 1976 г. Окончил Чувашский государственный университет. Главный программист сектора автоматизации программного обеспечения и телекоммуникаций Чебоксарского филиала Акционерного коммерческого банка «Банк Москвы». Автор 8 публикаций в области мягких вычислений.
