Численно-аналитический расчет нелинейных электрических цепей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.01/09 (075.8)

В Г. ЗАХАРОВ

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Известным методом решения нелинейных электрических цепей является численный расчет при помощи последовательных приближений, наиболее быструю сходимость которого обеспечивает применение метода Ньютона. Итерационная процедура метода базируется на уточнении приближенного решения, полученного на к-й итерации, путем линеаризации функции в окрестности решения, аппроксимации ее начальным отрезком разложения Тейлора [4].

Характеристики нелинейных резисторов г, индуктивностей Ь, конденсаторов С аппроксимируются полиномами, степенными зависимостями, экспонентами, сплайнами, при этом значения резисторов и индуктивностей зависят от протекающего тока, а значения емкостей - от приложенного потенциала.

Предлагается методика численно-аналитического расчета электрических цепей с нелинейными г, Ь, С - элементами с аналитической аппроксимацией их характеристик, отличающаяся, по сравнению с численным методом, меньшим количеством итераций за счет использования символьных выражений для токов ветвей и потенциалов узлов на основе применения схемных символьных функций [1].

Перед каждой итерацией рассчитываются корни характеристического уравнения и определяются оригиналы токов ветвей и потенциалов узлов.

Рассмотрим полиномиальную зависимость резисторов г, индуктивностей Ь от протекающего по ним тока

где а;1,...,а]п; Ь;1,...,Ь]п; с;1,...,с]п; г]0; Ь/0; С]0 - заданные коэффициенты и

начальные значения сопротивлений, индуктивностей и емкостей.

Найдем по правилу 7 токи всех т ветвей схемы, обусловленные источниками напряжений Е/ в каждой ветви схемы [2]:

(1)

(2)

Ь] = >]Ь]1 + ¿1 -Ь]2 + "• + ¿]Ь]п + Ь]0 ,

и емкостей С от приложенного к ним потенциала п/.

С] = иП]С}1 + иП] -С]2 + " ' + и]С]п + С]0 ,

(3)

¿1 = (Епл:+ Е12 4+... + Е1к4)/Б,; ¿2 = (Е21 л; + Е22А; + - + Е2А)/Б,;

¿т = (ЕтА + Ет2 А2* + - + ЕтА )/ Б, ,

где

°й - А1 + А2 + •” + Ак + Л+1 + Ак+2 + ••• + Ап

(5)

- контурный определитель схемы, в котором слагаемые А1, А2,..., Ак содержат, а слагаемыеАк+1,Ак+2,...,Ап не содержат сомножителями сопротивление г/ или индуктивность Ь/]-й ветви, при этом слагаемые А;, А2,..., А;, отмеченные звездочками, взяты без сопротивления г/ или без индуктивности Ь/ /-й ветви; Е1к,...,Етк - суммарная ЭДС контуров, полученная в схеме при удалении ветвей с сопротивлениями или индуктивностями, входящими сомножителями в слагаемые А*, А2,..., А;.

Подставив в (4, 5) нелинейные сопротивления (1) или нелинейные индуктивности (2) при нулевых начальных токах, производим итерационный расчет токов ветвей до получения заданной точности.

Найдем по правилу 5 потенциалы всех q узлов схемы, обусловленные источниками напряжений Е/ в каждой ветви схемы [1]:

где Еп,...,Е - суммарная ЭДС пути от соответствующего узла до базисного

узла схемы, полученного при удалении сопротивлений, входящих сомножителями в слагаемые А1,Л2,...,Ап контурного определителя Ой.

Подставив в (5, 6) нелинейные емкости (3), при нулевых начальных потенциалах производим итерационный расчет потенциалов узлов до получения заданной точности.

Пример 1. Найти токи в схеме на рис. 1 с нелинейными резисторами, сопротивления которых квадратично зависят от протекающего по ним тока:

Г -/уОд + /;а;-2 + г]0 , где а11 -а12 -0.1; а21 - а22 - 0.2 ; а31 - а32 - 0.3 ; а41 - а42 - 0.4 ; а51 - а52 - 0.5; а61 - а62 - 0.6 ; г10=1 Ом; г20=2 Ома; г30=3 Ома; г40=4 Ома; г50=5 Ом;

г60=6 Ом; напряжение -£6=10 В.

Решение. 1. Находим контурный определитель схемы:

и1 - (Е11А1 + Е12А2 + + Е1пАп )/^й ;

и2 - (Е2\А\ + Е22 А2 + + Е2пАп )/ ^й ;

(6)

uq - (Ед1А1 + Ед2 А2 + + ЕдпАп )/ ^й ,

°г - Г1Г2 Г3 + Г1Г2 г4 + Г1Г2 Г6 + Г1Г4 Г6 + Г1Г3 г4 +

+ г1г5 г6 + г1г3 г5 + г1г4 г5 + г2 г5 г6 + г2 г3 г5 +

(7)

3. Определяем начальные токи всех ветвей подстановкой в (7), 8) значений сопротивлений (1) при нулевых значениях токов.

4. Далее, подставляем в (7), (8) начальные токи ветвей и за 7 итераций получаем точность вычислений до 10-7.

Результаты расчета: начальные токи, А:

10

- 0,8848.

/20 - 0,8514. ; /30 -0,3505...;

Рис. 1.

/40 - 0,3 8 3 9. ; /50 - 0,0333. ; /60 -1,2353... ; конечные токи, А: /17-0,7323..; /27 -0,7029... /

37 - 0,3115. ; /47 -0,3410.; /57 - 0,02 94. ;

67

-1,0439.

Пример 2. Найти все токи в схеме на рис. 2 в момент времени /=0,025 с после замыкания ключа £ с нелинейными индуктивностями, квадратично зависящими от протекающего тока: Ь] -/'^а]1 + /]-а]-2 + Ь]0, где а11 - а12 - 0.1;

а2і - а22 - 0.2 ; а31 - а32 - 0.3 ; а41 - а42 - 0.4 ; Ь10=0,1 Гн; Ь20=0,2 Гн; Ь30=0,3 Гн; Ь40=0,4 Гн; г1=1 Ом; г2=2 Ома; г3=3 Ома; г4=4 Ома; г5=5 Ом; г6=6 Ом; напряжение £6=10 В.

Решение. 1. Находим контурный опреде-

литель схемы:

БЬ = р й1 + р й2 + рй3 + ,4 . (9)

2. Находим корни характеристического уравнения при нулевых токах ветвей:

р10 =-10; р20 =-39,3 7 3 2...; р30 =-30,4267...

А1 р - Р А11 + РА12 + А13 ; А2р - Р А21 + РА22 + А23 ; А3р - Р А31 + рА32 + А33 ;

А4 р - Р А41 + рА42 + А43 ; А5 р - Р А51 + рА52 + А53 ; А6 р - Р А61 + рА62 + А63 . (10)

4р - И Л41 т Ил42^ Л43 > Л5р _ И Л51 т Л53 > Л6р

4. Записываем операторные выражения токов:

¿/р = Е6 Ар/( рбь ).

5. Находим оригиналы токов по системе ¿-коэффициентов [3, 4]:

Е А/3 ер1‘ А/3 ер2‘

р1 + 2 +_Г_) V- +(А/1 р2 + 2 +~рГ) +

«! р1 ¿11 р2 ¿12

А у3 ер3* Е6 А]3й1

+ (А]1 р3 + А] 2 +-------------) "ТІ-----] +

Р3 £13

й 2 й-3

й.3

где £1/ - 3 Р/ + 2 Р/

й1 й1

6. Определяем начальные токи всех ветвей подстановкой в (9), (10) нулевых значений всех токов при /1 =0,025 с.

7. Подставляем в (9), (10) начальные токи ветвей и за 9 итераций для получаем точность вычислений до 10-6 Результаты расчета:

начальные токи, А: i10 = 0,4938. ; i20 = 0,4488.; i = 0,1730. ; i40 = 0,2180. ; i50 = 0,0449. ; i60 = 0,6669. ;

токи,

А: i19 = 0,3707.

i29 = 0,3 3 73.;

i39 = 0,15 94.

конечные і49 = 0,1927...;

і59 = 0,03 3 3. ; і69 = 0,5301. .

Пример 3. Найти потенциалы и1, и2, и3 узлов 1, 2,

3 в схеме на рис. 3 в момент времени ґ= 10-3 с после замыкания ключа 5і с нелинейными конденсаторами, емкость которых квадратично зависит от напряжения:

С} = 1 /С} = и^а]Л + и]а]2 + С]0 , где а11 = а12 = 0,1; а21 = а22 = 0,2 ; а31 = а32 = 0,3 ; г4=4 Ома; г5=5 Ом; г6=6 Ом; напряжение Е1=10 В,

С10 = 105 1/Ф; С20 = 5 -104 1/Ф; С30 = 2,5-104 1/Ф.

Решение. 1. Находим контурный определитель схемы при нулевых начальных потенциалах на конденсаторах:

Пс = ръdl + р2й2 + pd3 + ^4 , (11)

где

Рис. 3.

d = 4гCjC2C3; d2 =\(СхС2Гб + CXC2r5 + QC3r5 + СхС2гл + ClC3r4 + C2C3r4);

P P

d3 = — (C1r5r6 + C1 r4r6 + C2r4r6 + C2r4r5 + C3r4r5 X d4 = r4r5r6 •

P

2. Находим корни характеристического уравнения: p10 =-1,3641-10

p20 = -5,1220 -104; p30 = -1,49 1 7 -104 •

3. Находим коэффициенты числителей потенциалов для узлов 1, 2, 3:

Аи =4-CC2C3; A12 + QC^); Aj3 = -C^;

3 .

A21 - 3 C1C2C3; A22 “ 2 (C1C2r6); A23 = 0; (12)

P P

A31 “ 3C1C2C3; A32 “ 0; A33 “ °- .

P3

4. Записываем операторные выражения для потенциалов узлов 1, 2, 3:

u1 “ E6(A11 + A12 + A12) /(pDc); u2 “ E6(A21 + A22) /(pDc);

U3 “ E6 A31(pDc ).

5. Находим оригиналы потенциалов i-х узлов по системе ¿-коэффициентов [2, 3]:

Рер1‘ Р,еР2‘ и,ерз‘ ер1‘ еР2‘ ерз‘

и, = Е [ л^-ве- + +Рзе~)+А, 2 (V-+V+V) +

Ои 0!2 013 Оц 012 013

ер1‘ ер2‘ ерз‘ 1

+ Л,! (----1--------1-------1--)];

р1011 р2 012 р3013 ^1

гДе 01, = 3р?Л4 + 2р,^3 + ¿2 .

6. Определяем начальные потенциалы всех узлов подстановкой в (11), (12) нулевых значений всех потенциалов при /1 =0,001 сек.

7. Подставляем в (11), (12) начальные потенциалы узлов и за 3 итерации для ^ получаем точность вычислений до 10-6.

Результаты расчета: начальные потенциалы, В: и10 = 9,10821.; и20 = 8,05428.; и30 = 7,10792 ..; конечные потенциалы, В: и13 = 9,10889..;и23 = 8,05579..; и30 = 7,11027....

Выводы

1. Предложенная методика расчета нелинейных электрических цепей использует символьные выражения токов ветвей и потенциалов узлов с дальнейшим численным процессом, что уменьшает количество итераций.

2. Предложенную методику можно применить при одновременном наличии в исследуемой схеме нелинейных сопротивлений, индуктивностей, емкостей и активных элементов.

3. Для нахождения корней характеристических уравнений выше четвертого порядка, необходимых для получения символьных выражений токов ветвей и потенциалов узлов, используются стандартные программы.

Литература

1. Белов Г.А., Захаров В.Г. Применение символьных схемных функций для расчета линейных электрических цепей // Электричество. 2003. № 8. С. 34-42.

2. Захаров В.Г. Анализ аварийных режимов, диагностика и защита преобразовательных устройств. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2001. С. 229.

3. Захаров В.Г. Система коэффициентов для вычисления обратных преобразований Лапласа. Труды академии электротехнических наук Чувашской Республики, 2000, № 2. С. 72-76.

4. Новгородцев А.Б. 30 лекций по теории электрических цепей: Учебник для вузов. СПб.: Политехника, 1995. 519 с.

ЗАХАРОВ ВАЛЕРИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ родился в 1941 г. Окончил Казанский авиационный институт. Кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники и радиотехнических систем Чувашского университета. Автор 40 публикаций в области силовой электроники.