CC BY
20
УДК 62.752
Елисеев Сергей Викторович,
профессор, д. т. н., директор НИИ современных технологий, системного анализа
и моделирования ИрГУПС, тел.: 598428 Ермошенко Юлия Владимировна, к. т. н., доцент, декан заочного факультета ИрГУПС, тел.: 89246042928
Большаков Роман Сергеевич, аспирант ИрГУПС, тел.: 89086614263
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО
ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
S. V. Eliseev, Yu. V. Ermoshenko, R.S. Bolshakov
GENERALIZED THEORY OF DYNAMICAL ABSORBE OF OSCILLATION IN SYSTEMS WITH SEVERAL DEGREES OF FREEDOM
Аннотация. Рассматриваются возможности получения режимов динамического гашения при использовании сложных схем движения элементов системы. Предлагается метод построения математических моделей путем введения сочленений.
Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, динамика сочлененных твердых тел, виброзащита и виброизоляция.
Abstract. Opportunities of creating dynamical absorbtion in complicated schemes of mutual relations of elements are considered. Method of mathematical model building by introducing couplings of rigid bodies is suggested.
Keywords: dynamical absorbtion of oscillation, dynamics of coupling of rigid bodies, vibropro-tection and vibroisolation.
Введение
Вопросам построения динамических колебаний посвящено достаточно большое число работ, в которых рассматриваются теоретические и прикладные аспекты взаимного подавления колебаний через взаимодействие элементов виброзащитной системы [1-3]. Несмотря на существенные недостатки методов динамического гашения колебаний (узкая область частот эффективной работы), они по-прежнему привлекают внимание специалистов простотой конструктивных реализаций. Многие аспекты упомянутой проблемы могли бы быть рассмотрены в более детализированных постановках задач исследования, что предполагает учет
дополнительных степеней свободы и более сложную систему связей между элементами.
В предлагаемой статье рассматривается механическая колебательная система (рис. 1), состоящая их двух тел, одно из которых (щ) является объектом защиты, а второе - массой щ - может выступать в качестве динамического гасителя. В общем виде система имеет четыре степени свободы и возбуждается вибрацией основания и ^ в точках упругого опирания объекта.
1 УоО 1 // |
' m2 Гц.Т.01
A
Bi УО ^ 18 El 1
mi /-"-"i гц, Т. О
Lyi
7lzi
4
Рис. 1. Расчетная схема с четырьмя степенями свободы
Постановка задачи. Общие положения
На рис. 1 принят ряд обозначений: AO = ^,
E0O = 12 , Л2Ох = 1з , Е2Ох = 14; (х, (2 - соответственно углы поворота твердых тел относи-
4
e
к
к
2
иркутским государственный университет путей сообщения
тельно центров тяжести тел с массами щ и ш2; ^ и У2 - соответствующие моменты инерции твердых тел; ВО = /5 - расстояние от точки О1 до точки В, в которой закреплена пружина къ; ВО = 4 - расстояние от точки О до точки В1, в которой закреплена пружина къ на твердом теле т1; 0А1 = /7 - расстояние от т. О до т. А1; ОЕ1 = 4 - расстояние от т. О до т. Е1.
В рассматриваемом случае У1 ^ У4 - система обобщенных координат, связанных с движением центра тяжести, и соответствующих углов поворота твердых тел. Предполагается, что силы сопротивления малы, так же как и перемещения.
Для дальнейших расчетов принимается ряд соотношений:
У1 = Уо - У 2 = Уо + 12$1, (р1 = с(Уг - У1),
Уо = аух + Ъу^ а = , Ъ = -¡-4-,
11 + 12 + 12
С = ■
.Уз = Уоо - р У4 = уоо + (!)
l +12
P2 = с(У4 - Уз ), Уоо = а1 Уз + b1 У4 , а1 =7-^7
l3 + l4
L 1
b =■
/3 + /4 /3 + /4
В свою очередь:
УА1 = Уо - 17?1 , УВ1 = Уо - 19?1 , Уе1 = Уо + 18^1 , УА2 = Уоо - ^2 = Уз , Ув2 = Уоо - , (2)
Уе 2 = Уо + 14$2 = У4. Выражения для кинетической и потенциальной энергий системы на рис. 1 имеют вид соответственно
Т=\щУо СЖ + ^2Уш , (3)
П = 1 *1 (И - 21 )2 + 1 к2 (^2 - 22 )2 + 1 (Уз - Ул1 )2 + ^
+1К(У4 -У^1)2 +1 ^(Ул2 -Уг1)2.
2
2
Для построения искомой математической модели надо принять, что
Ув2 - Ув 1 = У0 , (5)
то есть ввести специальную координату, характеризующую относительное смещение двух точек.
В последующем для получения сочленения положим y'0 —> 0 . В принципе, можно полагать,
что Уд = const, тогда къ — да. В этих соотноше-
ниях возможны некоторые вариации, однако без сомнения важным является то, что при у'0 = 0 в системе происходят некоторые структурные преобразования; система теряет одну степень свободы в своих движениях, изменяется также внешний вид системы в результате появления сочленения.
Кинетическая энергия для системы на рис. 1 при сделанных предположениях имеет вид суммы кинетических энергий составных частей в соответствии с теоремой Кенига [4]
Т = Т + Т 2+Тз + Т4 , (6)
где
Т1 =-ЩУо =-Щ {аУх + Ьу2 )2 = = 7"»1 ("'.К +2аЬу1у2 +Ь2у22); т2 =Ь1с2(у;-2^ + ;
Т =
1 ? 1 (27 2
~Щ2.УОО = ~Щ2 (a1 y3 + 2а1Ь1 -УзУ4 + Ь1 У4 );
= ^^Ci2 (у42 " 2УзУ4 + Уз2) • 1ьных вьи
= J1c2У - J1c"У 2 ,
Сделаем ряд вспомогательных выкладок:
дТ 2- , ■ дТ2 2- Т 2-
—1 = ща y + щаЪуу2, —2 _ "
дУ1 дУ1
дТ1 = 0, дТ4 = 0; дЛ
дУ1 ' дУ1 ' дУ2
дТ2=j1C2^2 - v.*, дг1=о, дТ4=о; (7)
дУ2 дУ2 дУ2
п дТ л дТ
= о, —2 = о, —<
дУз дУз дУз
дт4 2. 2. дт, дт;
^Т±=-/2С1Уз--/2С1У4;ТГ1 = °5 =
7 • U2- дТ4 г 2 . . 2 .
— = т2а^уъ + v4, — = J2c, у4 -J2c, у3. fy 4 сН;4
Найдем потенциальную энергию системы в
дТз = о, —4 = о;дТ- = щЪ1 у2 + щаЬУ,
дТ л дТ л дТ 2 ~ = о, —т2 = о, —= у3 + m2a1b1y4,
виде
где
п=П + п + П + П + П,
П1 =1 - zi)2; П2 =1 (к2- z2)2;
1 2
П3 ^ k3 [ Уз - У1«3 - У2Ь3 ] ,
(а = а + ^с; b3 = b - ^с). В свою очередь, в развернутом виде:
(8)
П =1К
3 2 3
У32 - 2«3ЛУ3 + У12 a2 -
-263.У2У3 + 2a3b 3У^.У2 + У22Ь32
Найдем
П4 = 1 к4 (У4 - Уе1 )2 = 1 к4 [У4 - Уо + 18 Ф1 ] =
2
2
=1 к4 _У4 - аУ - ЪУг -4 ■с(У2 - Ух)] =
1 2
= 1 к4 [У4 - У 1 (а + 18С)- У2(Ъ + 18С)] =
1 2
= Тк4 [У4 - Уха4 - У2Ъ4 ] ,(а4 = а - 18С;Ъ4 = Ъ + 4с)-
Запишем П4 с учетом обозначений:
У42 - 2а4У1У4 + У12а42 -
-2Ъ4У2У4 + 2а4Ъ 4У1У4 + У22Ъ42
В выражении (8) член П5 имеет вид:
ч 2
П4 = 1 к4
1 2 1
П5 =~ к5 (ув1 - у в 2 ) =~ к5 [ у0 - 19Ф - У00 - ф ] =
= 1 к
= 1 к
2 5
аУ1 + ЪУ2 - 19С (У2 - У1 ) - - Ъ1.У4 -15 ■ С1 (У4 - У3 )
У1 (а + 4е) + У 2 (Ъ - Ьс) - Уз (а: - ЬС ) -
- У 4 (Ъ + 15С1 )
= 1 к5 [У1а5 + У2Ъ5 - Узаб - У4Ъ6 Г .
тогда
П =-
1 к 5 [ У\а1 + 2а5Ь5 У2 У + Ь52 У2 + Уз2 + 2С16Ь6 Уз У 4 +
+Ъ62У2 - 2а5абУ1 Уз - 2абЪ5У2Уз - 2а5Ъ6У1У4 - 2Ъ5Ъ6У2У4]-
Для получения системы уравнений Лагранжа находим вспомогательные соотношения, представленные ниже в виде схемы на рис. 2.
Используя результаты вспомогательных выкладок, запишем уравнения движения системы в координатах у ^ у4 :
у (тха2 + ^с2) + уг (кх + къа\ + кАа4 + к5а2 ) + +у (щаЬ - ^с2^ + у2 (къаъЪъ + кАаАЬА + к5а5Ь5 ) +
+ Уз (0) + Уз (~к3а3 - к5а5а6) + уА (0) + + у4 (-к4а4 + к4а4Ъ4 - к5а 5Ъ6) = к1г1, у ^ (т^аЬ - ^с2) + уг (къЪъаъ + кАаАЪА + к5а5Ь5) + + У2(щЬ2+ ^с2) + у2 (к2 + къЪ2ъ + къЪ2ъ ) + + Уз (0) + Уз (~кзьз ~къаА) + У4 (0) +
+ У4 ( к4Ъ4 - к5Ъ5Ъ6 ) = к2 ^
(9)
(10)
где
а = а+/9с; ъ5 = ъ - /9с; а6 = а - ^с; ъ = ъ+^с,
2
2
_ 1 = к1у1 к121 ЗУ1 дП = 0
П = 0 -Л = к2У 2 к2 22 дУ2
дП = -кзаз Уз + кзазЪз У 2 + кзаз2 У1 дУ1 дП —^ = -кзЪз Уз + кзазЪз У1 + кзЪз2 У2 дУ
_ 4 = к4а4У1 к4а4У4 + к4 а4Ъ4У2 дУ1 ^Т1 = к4Ъ4 У4 + к4 а4Ъ4 У1 + к4 Ъ42 У2 дУ2
дП —5 = к5а52У1 + к5а5Ъ5У2 - к5а5а6Уз - к5а5Ъ6У4 дУ1 дП 5 = к5а5Ъ5У1 + к5Ъ5 У2 к5а6Ъ5Уз к5Ъ5Ъ6У4 дУ2
дП = 0 дУз = 0 дУ4
= 0 дУз дП2 = 0
дП = кзУз - кзазУ1 - кзЪзУ2 дУз дПз=0
= 0 дУз дП 4 = к4 У4 к4а4 У1 к4 Ъ4 У 2 + к4 а4Ъ4 У1 дУ4
дП -Г5 = к5а2Уз + к5а6Ъ6У4 - к5а5а6 У1 - к5а 6Ъ5У2 дУз дП -Г5 = к5Ъ6а6Уз + к5Ъ6 У4 - к5а5Ъ6 У1 - к5Ъ5Ъ6У2 дУ4
Рис. 2. Схема расчета вспомогательных соотношений
(11)
У 1 (°) + Уг (~кзаз ~ к5а5аб) + У 2 (°) + +Уг (~кзЬз - к5абЬ5 ) + Уз {т2а1 + ЛСГ ) +
+ у3 (к3 + к}а;) + у4 (т^Ь, - 12с~) + + уА(к5а5Ь6) = Ъ.
У 1 (°) + У (~клал + к4а4Ь4 ~ к5а5Ь6 ) + У 2 (0) +
+ у2 (-к4Ь4 -к5Ъ5Ъ6) + у3 (т2+ (12)
{кавЬ6 ) + Ул (т2Ь1 + АС1 ) + У4 {к4 + кЪ1 ) = О-
Основные данные о системе уравнений приведены в табл. 1.
Рассматриваемая система является механической колебательной системой с четырьмя степенями свободы традиционного типа. Соответствующие передаточные функции могут быть определены по правилам Крамера [5].
Переход к системе с тремя степенями свободы
В отношении движений по координатам у и у2, если принять ^ = ^ = г, могут быть реализованы в общем случае три режима динамического гашения. Формирование в системе сочленений между телами щ и т2 требует использования некоторых приемов. Для того, чтобы получить сочленение и ввести таким образом Г-образный гаситель, необходимо ввести ряд соотношений:
Уо = У в, - У в,, Т0гда Уо = У-ю -Ьч>2~ У о
У о =Я1>3 +61>4 -АлСк, -Уз )~(а>\ +Ьу2)+11с(у2 -у\). У0 = У1(-« - 19С) + У 2 (19С - Ь) + Уз(«1 + ¡5^ + У4(Ь1 - 15С1)- (13) У0 =-У1(" + 19с) + У 2(19С - Ь) + Уз(«1 + 15С1) + У4(Ь1 - /5С1)-1
У4 =
¡5С1 - Ь1
{-У! (а + ¡9с) + У2 (19С - Ь) + Уз(а1 + 15С1) - У0 }-
Используем также соотношения Г = -—г2 = а + ¡9с, г3 = ¡9с - Ь, г4= а + ¡5с1 (14)
¡5С1 - Ь1
У4 = -У1Г1Г2 + У2Г1Г3 + УзГ1Г4 - УоГ1 • Преобразуем члены выражения (6) для кинетической энергии к виду
Т1 = ~ЩУо (а'Ух +2аЬУ\У2 +Ь2£); (15) Т2 = (У2 ~ 2УУ2 + У\ ) ,
а{у] + 2сф1у3(-г1г2у1 +г1гъу2 + гЛу3 -г1у'0) +
„ , уНЫ)2-2у1у2г12г2г3+у22(г1г3)2 +
и = —т2 <
- 2 - +Ь,2 +у1(г1г4)2 -2у3у'йг2г4 + {у'й)2г2 + +Щг3у2 -ЩуХу^г,
Таблица 1
Коэффициенты уравнений в координатах у, У2, У, у4
аи а12 а13 а14
(ща2 + .^С2) р2 + к + (щаЬ - Зхе2')р2 +к3а3Ь3+ к ^а^ каа -к4а4 - к5а 5 Ьб + к4а4Ь4
+къа\ + к 4а\ + къа\ + к4а4Ь4 + к5а5Ь5
а 21 а 22 а 23 а24
(щаЬ -Зр2)р2 +к3Ь3а3 + (щЬ2 + З;С2) р2 + к2 + -- къа&ъ -к4Ь4 - к5Ь5Ьб
+ к4а4Ь4 + ка5Ъ5 +^ь2 + ^Ь52
а 31 а 32 а 33 а34
-к3Ь3 - к5абЬ5 (ща2 + ЗгС2) р2 + къ + +к 5 аб2 (Щ2а1Ь1 - 32С1 № + + к5абЬ6
а41 а42 а43 а44
-к 4 а4 - к4а4Ь4 + к5а5Ь 4 -к 4 Ь4 - к5Ь5 Ь6 (Щ2а1 Ь1 - 32С^)Р2 + +к 5абЬ6 ЩЬ + 32С2 )р2 + + к4 + к5Ь62
01 02 03 04
к1 г1 к2 г2 0 0
Т4 Уз -2у3(-г1г2у1 + у2гЛ +
+МГ4~Г1 Уо) +
у^пг^-гу^г^ +
+У22(гл)2 +Я( V,)2 -
-2у3у'0г12г4+(у'0)2г12 +
(16)
(17)
_+2{Г1Ггу1 ~ МГ2)(УзГ1Г4 ~Г1 Уо )•_ Аналогичным образом, используя соотношения для координат у4 и у^, получим выражение для потенциальной энергии системы в координатах у1, У2, Уз при у0 ^ 0 .
Приведем результаты промежуточных выкладок:
дП = к1у1 - к>1 + кзаз2У1 - кзазУз +
дУ1
+кзазЪзУ2 + к4У1 (Г1Г2 ) + к4Г12Г2ГзУ2 ~
-к4Г1Г2Г4Уз + к4У1Г1Г2а4 - к4Г1Гз«4У2 -_ к4Г1Г4 а4Уз - к4а4Ъ4г^У1 + +к5а4Ъ4Г1Г, У2 + к4 а4Ъ4 гг Уз + +к4а42У1 + к5а25у + к5 а5Ъ5У2 --к5а6Ъ6Г1Г2Уз + к5Ъ6 _У1(г1г2)2 - Г\Г2ГзУ2 - Г1Г2Г4Уз ]--к5а6а5Уз + к5а5Ъ6У1Г1Г2 + к5а5Ъ6Г1ГзУ2 - к5Ъ5Ъ6Г1Г2У2 ;
дП
— = к2У2 - к2^2 - кзЪзУз + кзазЪзУ1 + кзЪ 'зУ2 + +к4У2(Г1Гз)2 - к4У1Г12Г2Гз + к4Г1 ГзГ4Уз - к4У1Г1Гза4 +
+к4Ъ4Г1Г2У1 - к4Г1Гз Ъ4У2 - к4Ъ4Г1Г4Уз + к4а4Ъ4Г1ГзУ +
+к4Ъ24 У 2 + к5а5Ъ5 У1 + к5 а6Ъ6 Г1Гз Уз + (18)
+к5Ъ5У2 + к5Ъ26У2 (Г1Гз)2 --к5Ъ6 Г1ГзГ2У1 + к5Ъ26Г12Гза4Уз -
-к5а6Ъ5Уз + к5а5Ъ6Г1ГзУ1 - к5Ъ5Ъ6Г1Г2У1 -
к5Ъ5Ъ6Г1Гзу2 - к5Ъ1Ъ6Г1Г4Уз;
дП = кзУз - кзазУ1 - кзЪзУ2 + к4(Г1Г4)2Уз -
к4Г21Г2 Г4У1 - к4Г'ГзГ4У2 - к4а4Г Г4У1 +
+к4 а4Ъ4 Г1Г4 У1 + к5 а62 Уз + к5аЛГ1Г4 Уз + +к5 а6Ъ6 Г1Г2 У1 + к5 а6Ъ6 Г1Гз У 2 + +к5Ъ6(Г1Г4)2 Уз + к5Ъ6Г1Гз У2 -
-к5Ъ6Г1Г2У1 - к5а5а6У1 - к5а6Ъ5У2 +
(19)
уДя^а2 + +я?262(г1г2)2 +/2С2(Г1Г2)2) + +у1 (к1 + кзаз2 + к4 (г1г2 )2 + к4г1г2а4 --к4а4Ъ4гхг2+к4а24+къа1+къЪ1(гхг2)2 +
+к5а5Ь6г1г2) + у2(щаЬ -1гс2 --т2Ъ12г12г2г3 - ^гС2Г2ГГ) + Уг (к3а3Ъ3 +
+к4Г Г2 Гз к4 а4 Г1Гз
+ к4Ъ4 г1гз + к4 а4Ъ4 г1гз + +к5а5Ъ5 - кЪГ2г2г3 + к^Ъг^) +
(20)
(-т2а1Ь1г1г2 ~т2Ьх гх г2гл +12сх гхг2 -
2 2 2 >1Г1 Г2 Г4 + 12С1 Г
12С12Г12г2г4) + Уз(-кзаз - к4г12г2г4 - к4а4г1г4 +
+к4а4г1г4Ъ4 - к5а5Ъ6г1г2 - к5а5Ъ6 - к5Ъ6г1 гзг4 + +къаъЪеГ1Г4 = к
у 1 {тхаЬ -Зхс2 -т2Ь2г2г2гъ ~12с2г2г2г3^ +
+У1
кзЪз аз - к4Г; г2г, - к4а4Г1Гз + к4Ъ4Г!Г2 + +к4 а4Ъ4Г!Гз + къаъЪъ + к5Ъ62 г^ г^ +
+к5а5Ъ5Г1Гз + к5Ъ5Ъ6Г1Г2
ч /
+У 2(щЬ2 + Зхс2 + т2Ь2(г1г3)2 +/2с2(г1г3)2) +
2
(21)
+У2
к2 + кзЪ з + к4(г1гз) - к4Ъ4Г1Гз + к4Ъ4 +
+к5Ъ52 + к5Ъ6 (Г1Гз)2 - к5Ъ5Ъ6 Г1Гз ,
+Уз(от2а1611гз +т2Ь1г2гъг4-12с1г1гъ + 12с/2г3г4) +
+Уз
-кзЪз + к4Г12ГзГ4 - к4Ъ4г1г4 + к5а6Ъ6г1г! +
+к5Ъ6 Г12ГзГ4 - к5а6Ъ5 - к5Ъ5Ъ6Г1Г4
=к2
У 1^~т2а1^\г1г2 ~т2Ъ2г2г2г4 + 12с2г1г2-12с2г2г/4) +
+У1 (-кзаз - к4Г12Г2Г4 - к4а4г/^ + к4ар4Г1Г4 + +к5абЬ6Г1Г2 ~кР\Ч4 -к5а5аб+кР^5Г/4) +
+у2(т2а1Ь1г1г3 +12с2гггъ + 12с21г2гъг4) + +У2(-кзЪз + к4 г12гзг4 + к5а6Ъ6г1гз + +к5Ъ26г2г4 -к5а6Ъ5 -к5Ь5Ь6гх г4) + +у3(т2а2 +т2Ь2(г1г4)2 +
+12с2 + 12с2ггг4 + 12с2 (гЛ )2) + (22)
+Уз(кз + к 4(ГГ4)2 + к5а62 +
+к5 а6Ъ6 Г1Г4 + к5Ъ62(Г1Г4)2) = 0.
Коэффициенты уравнений движения в коор-
+к5а5Ъ6У1Г1Г4 + к5Ъ5Ъ6Г2ГзУ2 .
Используя выражения (16-19), запишем уравнения движения в форме Лагранжа с учетом динатах У2, Уз, но с учетом сочленения в точке сочленения (при у^ = 0): В , превращающего тело т2 в динамический гаси-
тель Г-образного вида, представлены в табл. 2.
Таблица 2
Коэффициенты уравнений (20)-(22) в системе координат у, у2, у3
а11 а12 а13
ща2 + /с\ + +т2Ъ12(г1г2)2 + +/2с1(г1г2)2 _ +к4(г1г2)2 + к4 г1г +к4а2 + к5а1 + к р2 + к + к3а2 + 2а4 — к4а4Ъ4 г1г2 + 5Ъ62(г1г2)2 + к5а5Ъбг1г2) таЪ—^с2 — —т2Ъ12г12 г2 г3 — —/2с1 г1 г2г3 —к4 а4 г1г3 + к4 а4Ъ _ к5Ъ62 г12 г3г2 + к5 к5Ъ5 Ъбг1г3 р2 + къЪъаъ + к г2 г2г3 — >4 г1г3 + к5а5Ъ5 — Ъ5Ъ6г1г3 + к4Ъ4 г1г2 — —т^Ъщ — щЪ2г1 2г2г4 — /2с1 г1г2 — /2с1 г1 г2 г4 —к3а3 — к4 г2^ — к4а4гг + +к4а4Ъ4 г^г — к5а5Ъ6г1г1 — —к5Ъ6 г12г3г4 — к5а5а6 Р2 —
а21 а22 а23
щаб - ^с2 - —т2Ъ12г12г2г3 — 7-2 2 —/2с1 г1 г2г3 _ -к^агг + к5а5 "к5Ъб2 г12 г3г2 + к4 р2 + къЪъаъ + к4г12г2г3 — + к464г1г2 + к4а464г1г3 — Ъ4г1г2 + к5а5г1г3 — к5Ъ5 Ъбг1г2 щЪ2 + /с2 + +т2Ъ12(гЛ)2 + _+/г^Мг)1 _ +к3Ъ32 + к4 (гг3 )2 +к5Ъ52 + к5Ъ62(1г3 р2 + к + — к4 ггД, + к4Ъ42 + )2 + к5Ъ5Ъ6 г1г3 тгаЪхг\гъ + тЪ2 г2гг — /2с2г1г3 + /2с1212 г3г4 —¿3^3 + к 4 г2 ^4 — ¿4^4 г1г4 + +к5а6Ъ6г1г3 + к5Ъ26Т 21 г3г4 -—к5а6Ъ5 — к5Ъ5Ъ6 г1г4 Р2 —
а31 а32 а33
—щархгхгг — т2Ъ2 г2 г2г4 — /2с1 г1г2 — /2с1 г1 г2г4 _ —к3а3 — к4 г1 г г4 — к4а4 г1г4 + +к4а4Ъ4 г1г4 — к5абЪбг1г2 — —к5Ъ62 г12 г22 г4 — к5а5аб р2 — [т2а1Ъ1г1г3 + т2Ъ1г1г3г4 — 12с2г1г3 + /2с1г1г3г4 ] Р' — —къЪъ + + к5абЪбЦ_гъ + +к5Ъ2г12г3г4 — к5абЪ5 — к5Ъ5Ъбг1 г4 — —к4Ъ4г1г4 та1 + таЪ г г + +т2Ъ12(г1г4)2 + —/2с12 + /2с12 г1 г4 + _+/2с2(гЛ)2 _ +к3 + к4(г г4)2 + к5а6Ъ +кЪ\(г1Г4)2 Р2 + '6 г1г4 +
01 02 03
к1 г1 к2 г 2 0
Детализация представлений о динамических свойствах
Анализ коэффициентов в таблице 2 позволяет получить передаточные функции системы, используя правила Крамера [5]. Примем, что ^ = г2 = г , тогда
к1 (а22аз3 — а23 ) + к2 (^13^23 ~ а12аз3 ) (23)
1 г А '
Ц/ = У2 = К1(~а12а33 + а23а31) + К2(~д213 + а11аз3) (24)
2 А '
где
А = апа22а33 — а11а22 + а13а21а32 — а33а21 + а12а23а31 — а22а31
или
а11(а22 а33 а23) а21(а12а33
(25)
—а13а32) + ^31 (а12а23 — а13а22)-
Используя (23) и (24), можно найти частоты динамического гашения по координатам у и у, а
также частоты возникновения развязок или «обнуления» перекрестных связей между парциальными системами. Преобразуем таблицу 2, вводя ряд обозначений. Пусть
щ = ща2 + /с2 + щЬ2(г1^ )2 + 12с\(т1г2 )2,
П0 = к + к3а2 + к4(г1г2)2 + к4а4 г1г2 — к4а4Ъ4г1г2 + +К4а2 + к5а52 + к5Ъ62(г1г2)2 + к5а5Ъ6г1г2), щ = таЪ — ^с2 — т2Ъ2гх 2г2г3 — /2с2Г 2г2г3, «20 — къаъЬъ + кГГ к^а^г^г^ + к^а^Ъ^гг^ +
+к5а5Ъ5 + к4Ъ4Г1Г2 — к5Ъ62 ^ Г2Г3 + к5Ъ5Ъ6Г1Г3.
щ = —таЪгГ — щЪ2г1 2г2г4 — 12с2^г2 — /^г 2г2г4,
«30 = —к3а3 — к4 Г12Г2 Г4 — к4а4г1г4 +
+к4ар4Г1Г4 — к5а5Ъб гхгг — кЪ Г ^г4 — (26)
—к5 а5Ъ5 + к5Ъб а^у, щ = таЪ — ^с2 — т2Ъ2гх 2г2г3 — ^с^г 2г2г3,
«40 = кзаз Ь3 + к4Г2Г2Г3 - к4а4Г1Г3 +
+к5а5Ь5 + кар^ + к^Ь4^-1^2 --к5Ь62Г12Г2Г3 + к5а5Г1Г3 - к5Ь5 Ъ6^
«5 = щЪ2 + 1гс2 + )2 + 12е\(г\гъ )2,
«50 = к2 + к3Ъ32 + к4 (г1г3 )2 - к4г1г3Ь4 + к4Ъ42 + к5Ъ52 + :.2/„„ \2
®2 = ■
(29)
+к5Ьб(г/3) + къЪъЪ^3,
«6 = т2а1Ъ1Г1Г3 + т2Ъ1 Г3Г4 - 72С12ГЛ +
2 „ 2
«60 = -к3Ъ3 + к4г г3г4 - к4Ъ4г1г4 + к5а6Ъ6г1г3 + к5Ъ 6г 1 г3г4 -
-к5абЪ5 -
«7 = щаргГ^ - щЪ^г2г2г4 + 1гС\г\г2 - 1тР\г\2г2г4,
«70 = -к3а3 - к4Г1 Г2Г4 - к4а4Г1Г4 + к4а4Ъ4Г1Г4 + к5а6Ъ6Г1Г2 --к5Ъ62Г12Г3 Г4 - к5а5Ъ6 + к5Ъ6 а5Г1Г4>
«8 = т2а1Ъ1Г1Г3 + ЛС^Л +
щ0 = -к3Ъ3 + к4г12г3г4 + к5а6Ъ6г1г3 +
+к5Ъ26Г12Г3Г4 - к5абЪ5 - к5Ъ5Ъ6Г1Г4 - к4Ъ4Г1Г4 >
щ = ща^ + щаЪ Г г4 + )2 +
'4 1 2
+12С12 + 12С1Г1 Г4 + I2Cl(rlr4)2,
I 2^ I -I 21"
«90 = к3 + к4(г г4)2 + к5а62 + к^р^ + КЪ2^,)2. Используя соотношения « ^ «9 и «0 ^ , перепишем табл. 3.
Используя данные табл. 3, найдем, что перекрестные связи системы при определенных условиях «обнуляются» по отдельности между всеми парциальными системами:
- между движениями по координатам у и
У > У и У > У и У .
,, 2 '"20
=-.
«2
,,2 '»30
о2 = —
«3
(27)
(28)
Вместе с тем, можно предположить, что условия (27)-(29) выполняются одновременно. Последнее требует выполнения достаточно громоздких соотношений между параметрами системы. В случае реализации таких условий при ^ = г2 = г движение по парциальным системам у, у2 и у могло бы стать независимым, что создает условия для поиска новых режимов динамического состояния виброзащитных систем. На такой основе можно построить самонастраивающиеся системы виброзащитной защиты, однако в этом случае необходим доступ к возможностям изменения параметров нескольких элементов систем, измерениям и обработке информации о положении объекта, использованию устройств для создания управляющих сил (актуаторов или приводов).
Для определения частот динамического гашения перепишем выражения (25) и (26), тогда
ж = У =
к1 [(«5/ + «50)(«9Р2 + «90 ) - «620 ] -
А
+к2 [«30«60 - («9Р 2 + «90 )«20 ]
(30)
к1
Ж2( Р) = У2 = -2 2
«70^60 «20
(«9 р + «90 ) +
+к2 [+ «10 X«Р2 + «90 )]- «3
(31)
^ А
Для динамического гашения по координате у параметры можно найти из частотного уравнения
р4щщк + р2{кхщщ^ + к1щщ) - к2щщ0) +
(32)
+ к1«50«90 klщ60 + к2«30«60 к2«20 «90 = 0.
Для определения режимов динамического гашения по координате у можно использовать следующее частотное уравнение:
Таблица 3
а11 а12 а13
2 «1Р + «10 2 ЩР + «20 2 ЩР + «30
а21 а22 а23
2 «4 Р + «40 2 «5Р + «50 2 «6Р + «60
а31 а32 а33
ЩР* + «70 «8 Р2 + «80 «9 Р2 + «90
01 02 03
к1 к2 2 2 0
60
«
6
p\n9k2 + p2(k2n9no + k2nln9o —к!п9п2о) + ^
+ к2П1 оn90 — П320 + kП70П60 — kП20П90 _ 0
Заключение
Таким образом, по каждой из координат y и y можно ожидать по два режима динамического гашения. При общем кинематическом возмущении z аналогично могут быть рассмотрены возможности динамического гашения для поступательного и вращательного движения объекта вокруг центра масс. Можно предполагать, что система в целом обладает возможностями совпадения частот динамического гашения, определяемых из (30), (31), а также частот зануления перекрестных связей (27), (28), (30). В таких случаях можно ожидать комбинационных эффектов, через кото-
УДК 621.923 Старшев Денис Владимирович,
кандидат технических наук, доцент, Ижевский государственный технический университет, Воткинский филиал, кафедра «Техническая механика» (г. Воткинск), тел. (сот.): 8 909 052 83 71, e-mail: starshev@mail.ru
ВЛИЯНИЕ МЕХАНИЗМА РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛА ЗАГОТОВКИ НА СИЛУ РЕЗАНИЯ ПРИ ШЛИФОВАНИИ
D. V. Starshev
INFLUENCE OF THE PREPARATION MATERIAL DESTRUCTION MECHANISM ON CONTACT PROCESSES
AT GRINDING
рые проявляются простейшие формы самоорганизации движения в механических колебательных системах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Елисеев С. В., Нерубенко Г. П. Динамические гасители колебаний. Новосибирск : Наука. 1982.
2. Карамышкин В. В. Динамические гасители колебаний. Л. : Машиностроение. 1988. 108 с.
3. Коренев Б. Г., Резников Л. М. Динамические гасители колебаний. Теория и технические приложения. М. : Наука, 1963. 535 с.
4. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. М. : Наука. 1968. Т. 2 : Динамика. 640 с.
5. Дружинский И. А. Механические цепи. М. : Машиностроение. 1977. 238 с.
Аннотация. Рассмотрен процесс разрушения материала заготовки при шлифовании, показано влияние критериев разрушения на силу стружкообразования.
Ключевые слова: шлифование, разрушение, прочность, сила.
Abstract. Process of preparation material destruction at grinding is considered; influence of destruction criteria on force of cutting is shown.
Keywords: grinding, destruction, durability,
force.
Большинство современных работ, посвященных исследованию процесса шлифования, основывается на математических моделях, содержащих большое количество грубых теоретических ошибок. Основная ошибка работ заключается в построении моделей, содержащих прочностные свойства материалов при статическом нагруже-нии, несмотря на то, что характерной особенностью процесса шлифования является процесс динамического разрушения материала обрабатывае-
мой заготовки, сопровождаемый образованием стружки.
Закономерности динамического разрушения характеризуются особенностями, не позволяющими прямо переносить представления статической прочности материалов, свойственные классической механике, на быстро протекающие временные процессы в твердых телах. Давно установлено, что материалы при быстром нагружении в условиях статики, не теряя устойчивости, выдерживают нагрузки, значительно превышающие критические. Прочностные свойства материалов при статическом и динамическом нагружении различаются [1]. Опыты показали, что в основе используемых при анализе процесса шлифования моделей должны лежать новые подходы, отражающие структурно-временные особенности процесса. В связи с этим исследование процесса шлифования с точки зрения динамики разрушения является актуальной научной задачей.
При высоких скоростях нагружения существенной становится зависимость от времени по-
