Автоматизированное определение частотной характеристики входного сопротивления электрической цепи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК «21.3.011.7:621.3.011.21 М. ю. НИКОЛАЕВ

В. В. ТЕВС

Омский государственный технический университет

АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВХОДНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

В статье обобщены и интерпретированы для поставленной задачи методы определения частотной характеристики входного сопротивления. Также показана и описана возможность создания автоматизированного алгоритма расчета частотной характеристики входного сопротивления с использованием современных языков программирования.

При расчетах режимов электрических сетей важно знание сопротивлений различных элементов, объясняющих на схемах замещения реальные физические процессы, протекающие в электрических аппаратах и передающих сетях. Для определения некоторых из них необходимо преобразование схем замещения реальных электрических систем в виде двухполюсников с определением соответствующих входных сопротивлений. При нахождении величин входных сопротивлений весьма затруднительным и трудоемким является преобразование схемы по правилам параллельных и последовательных соединений, а также возникает вопрос об автоматизации данных преобразований. В данной статье рассматриваются различные преобра-

зования схем замещения электрических сетей, позволяющие автоматизировать процесс определения входных сопротивлений, сокращая тем самым время их определения. Такие автоматизированные расчеты очень важны при определении показателей качества электрической энергии [ I ].

Топология электрической цепи

Любая электрическая цепь, рассматриваемая относительно каких либо ее зажимов, называется двухполюсником. Входное сопротивление 2{]со) зависит от схемы внутренних соединений, частоты, параметров элементов данного двухполюсника. Д\я описания схе-

мы внутреннего соединения электрической цепи воспользуемся топологическим методом.

Топология электрической цепи характеризуется двумя основными понятиями: ветвью и узлом. При этом ветвью электрической цепи называют ее участок, имеющий два вывода, через которые цепь взаимодействует с остальной цепью.

Топологическую структуру цепи можно описать с помощью специальных таблиц (матриц), которые определяют взаимные связи ветвей с узлами и контурами графа. Узловая матрица А представляет собой таблицу, строки которой соответствуют узлам графа, а столбцы — его ветвям. Значения элементов узловой матрицы определяются следующим образом. Если ' ветвь i связана с узлом j и направлена от узла, то ей приписывают значение +1. Если ветвь i связана с - узлом j и направлена к узлу, то ей приписывают значение -1. Если же ветвь i не связана с узлом j, то ей приписывают нулевое значение. Таким образом, элементы строки показывают, какие ветви входят в узел или выходят из него.

Узловая матрица может быть составлена для всех узлов цепи или только для независимых. Если узловую матрицу составляют для всех узлов цепи, то ее называют неопределенной. Сумма элементов любого столбца такой матрицы равна нулю.

Если узловую матрицу составляют только для независимых узлов, то ее называют определенной. При этом один из узлов графа считают базисным или опорным и он не входит в матрицу. По известной узловой матрице можно построить граф цепи.

Неопределенная узловая матрица имеет вид: ветви 1 2 3 • га Г-1 1 1- Oll 1-10-1 2

0 0 О - 1 Jл

узлы

Контурная матрица В представляет собой таблицу, строки которой соответствуют контурам графа, а столбцы — его ветвям. Элементы матрицы имеют следующие значения: если контур i содержит ветвь] и направление обхода контура совпадает с направлением ветви, то элемент матрицы имеет значение -I-1; если контур i содержит ветвь j и направление обхода контура противоположно направлению ветви, то элемент матрицы имеет значение -1; если же контур i не содержит ветви j, то элемент матрицы имеет нулевое значение. Таким образом, элементы строки матрицы В показывают, какие ветви входят в контуры и как они направлены.

Контурную матрицу составляют для всех контуров цепи или только для независимых. Если контурную матрицу составляют для всех контуров цепи, то ее называют неопределенной. При этом полное число контуров определяют из условия, что каждая ветвь графа входит в два противоположно направленных контура.

Если контурная матрица составленатолько для независимых контуров, то ее называют определенной. При этом один из контуров считают базисным или опорным и он не входит в матрицу В. По известной контурной матрице можно построить граф цепи.

Неопределенная контурная матрица имеет вид:

ветви 1 2 3 " - ш ' 1 1 1 ••■ 0 ]1 -1 -1 0 - -1 2

0 0-1 ■•• 1 \п

контуры

Для нахождения узловой матрицы А по виду схемы электрической схемы при помощи ЭВМ необходимо воспользоваться методами имитационного моделирования. На первом этапе построения схемы соединения электрической цепи принимаем размер узловой матрицы А равным нулю (А(0,0)). На этапе добавления элемента в электрическую схему происходит добавление столбца в матрицу А, а при добавлении соединения между элементами происходит заполнение узловой матрицы значениями 0,1,-1 учитывая элементы между которыми происходит соединение.

Одновременно с добавлением элемента происходит расчет параметров схемы замещения и создание матрицы сопротивлений ветвей.

Метод решения уравнений, составленных по законам Кирхгофа

Для электрической схемы уравнения Кирхгофа имеют универсальный характер и справедливы при любых видах воздействий и любых элементах, включенных в ветвях как линейных, так и нелинейных.

Уравнения Кирхгофа можно записать в матричной форме, используя матрицы узловые, контурные или сечений. Для этого токи и напряжения ветвей записывают в виде столбцов (столбцовыхматриц):

/„ =

Так как элементы строки узловой матрицы А содержат сведения о ветвях, связанных с узлами цепи, и отражают направления токов в этих узлах, то сумма произведений элементов каждой строки на токи соответствующих ветвей представляет собой первое уравнение Кирхгофа и, следовательно

V V

L V,

2 2

Л. Р*.

АГа=0,

(1)

При составлении (1) учитывалось, что произведение прямоугольной матрицы А на столбцовую /„ дает столбцовую матрицу, элементы которой равны сумме произведений элементов строки матрицы Ана элементы столбца матрицы /в.

Аналогично может быть представлено второе уравнение Кирхгофа

BU„= О,

(2)

так как элементы строки матрицы В содержат сведения о ветвях, связанных с контурами цепи, и отражают направления напряжений на этих ветвях. Уравнения (1) и (2) представляют собой уравнения Кирхгофа в матричной форме.

Метод узловых напряжений

Топологические матрицы А, В можно также использовать для определения напряжений и токов ветвей по известным узловым напряжениям и контурным токам [2].

Узловое напряжение 1/„ определяется как напряжение между ¡-м независимым и базисным узлами цепи. Число узловых напряжений равно числу независимых узлов цепи. Столбцы узловой матрицы Асодер-жат информацию о том, между какими узлами включена 1-я ветвь и как она направлена. Если умножить

элементы матрицы А на соответствующие узловые напряжения и сложить, то в результате получатся напряжения на отдельных ветвях.

Представим узловые напряжения цепи в виде столбца (столбцовой матрицы) — вектора узловых напряжений:

иУ =

К и„

и»

(3)

Тогда, умножая транспонированную узловую матрицу Ат (т. е. матрицу А, в которой строки заменены столбцами) на матрицу узловых напряжений, получим напряжения на ветвях. Следовательно, окончательно находим

(4)

Контурные токи /,, определяют, как токи в независимых контурах, направления которых совпадают с направлениями обхода контуров. Столбцы контурной матрицы В содержат информацию о контурах, в которые входит 1-я ветвь, и их взаимных направлениях. Поскольку, как указывалось ранее, любая ветвь цепи может входить не более чем в два контура с противоположными направлениями обхода, естественно, что ток любой ветви определяется разностью составляющих контурных токов. Однако если один из составляющих контуров является базисным, то ток в ветви совпадает с соответствующим контурным током. Таким образом, если умножить элементы столбца матрицы В на соответствующие контурные токи и сложить, то получим токи в отдельных ветвях.

Представим контурные токи в виде столбцовой матрицы:

(5)

Тогда, умножая транспонированную контурную матрицу Вт (т. е. матрицу В, в которой строки заменены столбцами) на матрицу контурных токов /„,

получим токи в ветвях:

Вг1к=1в

(6)

Использование узловых напряжений позволяет сократить порядок системы уравнений цепи на число независимых контуров. С этой целью определим напряжение на ветви через разность узловых напряжений, как показано на рис. 1.

и„=иа-

и

II '

(7)

где иц — напряжение на ветви; ин и Ц — узловые напряжения между ¡-м и]-м узлами цепи.

Расчет электрической цепи методом узловых напряжений выполняют по следующей схеме: определяют узловые напряжения, характеризуемые векто-ром[)у =[и11,Г/22,...1>лл,]г; по узловым напряжениям рассчитывают токи в ветвях .

Вывод уравнений узловых напряжений. При гармонических воздействиях, заданных в комплексной

форме, запишем АУВ11В = А1В-АУВЕ„ и подставим в него значение (4), тогда

Рис.1. Определение узловых напряжений.

АУвАтиу=А(Зв-УвЕв),

где произведение АУВАТ имеет размерность проводимости и называется матрицей узловых проводимос-тей, а произведение А13„-УвЕа) имеет размерность тока и называется матрицей задающих узловых токов.

Уравнение (8) называется уравнением узловых напряжений и в окончательном виде

Ууйу=.)у (9)

где Уу = АУВАТ — матрица узловых проводимостей; Зу =А(За-У„Е„) — матрица задающих узловых токов.

Матрица задающих узловыхтоков ]у представляет собой столбцовую матрицу — пд-мерный вектор:

(Ю)

Каждый элемент этого вектора _/и учитывает действие (с учетом знака) всех независимых источников тока и напряжения в ветвях, стягивающихся к Ьму узлу, с учетом действия индуктивных связей между ними.

В общем случае матрица )у выражается через узловую матрицу А, матрицу Ув проводимостей ветвей и векторы независимых источников тока и напряжений ветвей, Для обратимых цепей без взаимных индуктивностей между ветвями вектор ]у легко определить по виду схемы.

Таким образом, задача анализа установившихся режимов в цепи с помощью метода узловых напряжений сводится к решению системы пд алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами при постоянных воздействиях или с комплексными коэффициентами при гармонических воздействиях, записанных в комплексной форме.

Решение системы узловых уравнений (9) относительно вектора узловых напряжений, как известно из матричной алгебры [3], имеетвид

иг^и.й„.....и„д„1т=[п]-'Ы=

(И)

где - Ду = \Уу\ определитель матрицы узловых проводимостей; Ди, Д,,,...,ДЧ,... - алгебраические дополнения соответственно элементов Уп, У,,,...,У,,,... определителя Д у.

Раскрывая (11), получим систему уравнений

" Ду " Ду 22 Ду

Г> I + г

(12)

в которых слагаемые пропорциональны задающим узловым токам -I,, , ,... , ^чуо соответствует принципу наложения.

Сомножители при задающих токах в узлах в уравнениях (12) имеют размерность сопротивлений, при этом 2ц =&!] /Ду при 1 = ] называют входным, а при — передаточным сопротивлением холостого хода. ■'. Входное сопротивление определяют при условии, что все задающие токи в узлах, кроме равны нулю: : 2и=ии/3,г

Определение частотной характеристики входного сопротивления

Для автоматизированного определения частотной характеристики входного сопротивления необходимо изменение сопротивлений всех элементов схемы замещения в зависимости от частоты. Для этого необходимо использовать специальные отметки о характере ' соответствующего элемента схемы замещения (активный, индуктивный, емкостный). Это необходимо сделать для автоматического изменения (уменьшения или увеличения) сопротивления в зависимости от порядкового номера гармоники. Используя приближенную зависимость активного сопротивления системы от частоты:

(13)

Примем, что реактивное сопротивление подчиняется линейному закону, определенному выражением:

Х.=Х, 'V

(14)

Ду — й2 * ^ ' ^ЯУ ' ^»

Ху — Х^ • Кх • КХу• V;

не)

(17)

активные сопротивления и индуктивности элементов;

Кх„ и Кву — поправочные коэффициенты, учитывающие распределенность параметров; V — относительная частота;

Воздушные линии электропередач представляются П-образными схемами замещения, параметры которых определяются из выражений [3]:

Ху -Ха-Кх-КХу • V;

(19)

(20)

(21)

где Х0 — удельное индуктивное сопротивление [Ом/ км];

В0 — удельная емкостная проводимость (См/км); Я()У — удельное активное сопротивление с учетом поверхностного эффекта [Ом/км]; 1 —длина линии (км); V — относительная частота;

К1(у, Кху и КВУ —поправочные коэффициенты, учитывающие распределенность параметров.

Поправочные коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

К„

К™ =0.5

з+к„

1 + К„

(22)

(23)

(24)

Комплексное сопротивление системы определяется выражением:

2={П/^п)+ЦХ/У) (15)

Для уточнения этих сопротивлений длинных линий (линий с распределенными параметрами), в алгоритм методики определения входного сопротивления необходимо вводить поправочные коэффициенты. Согласно [3], в общем случае активные и индуктивные ' Ху сопротивления и емкостные проводимости Ву элементов систем электроснабжения для токов высших гармонических составляющих вычисляются по формулам:

На основании вышеизложенного возможна разработка алгоритма и создание программы автоматизированного расчета частотной характеристики входного сопротивления. Для удобства заполнения матриц VI значительного сокращения времени ввода данных, в программу необходимо введение специального графического редактора. Этот редактор позволит рисовать реальные схемы электроснабжения с автоматизированным определением сопротивлений реальных элементов в зависимости от характера их работы и технических параметров.

Литература

1. Жежеленко И.В. Показатели качества электроэнергии и их контроль на промышленных предприятиях. — Второе издание перераб. и доп. — М. :Энер-гоатомиздат, 1986. — 168 с.

2. ТатурТ.А. Основы теории электрических цепей (справочное пособие): Учеб, пособие. — М.: Высшая школа, 1980. - 271 с.

3. Маханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. Учеб. пособие для вузов. — М: Высш. школа, 1972. — 336 с.

Ву=В,КвуУ; (18)

где Х2, В2 - активное, индуктивное сопротивления и емкостная проводимость обратной последовательности току промышленной частоты; Кки Кх - коэффициенты, с помощью которых учитывается влияние вытеснения тока в проводниках на

НИКОЛАЕВ Михаил Юрьевич, старший преподаватель кафедры электроснабжения промышленных предприятий.

ТЕВС Василий Владимирович, студент 5 курса энергетического института.