Разностно-потенциальные коэффициенты ванн многоэлектродных печей резистивного нагрева Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.311.5:621.365.3

АН. ИЛЬГАЧЕВ

РАЗНОСТНО-ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ВАНН МНОГОЭЛЕКТРОДНЫХ ПЕЧЕЙ РЕЗИСТИВНОГО НАГРЕВА

Электрические электродные печи широко применяются в различных отраслях промышленности и представляют собой совокупность одного или нескольких источников питания, токоподвода (короткой сети с электродами - канала передачи электрической энергии) и ванны - преобразователя электрической энергии в тепловую, используемую для технологических целей. В значительной части электродных печей (многошлаковых рудоплавильных, стекловаренных, соляных ваннах, печах электрошлакового переплава металлов и др.) тепло в технологических зонах выделяется в основном за счет протекания тока по нагретым электропроводящим материалам среды ванны. Такие печи являются резистивными с объемным нагревом.

Для анализа и выбора режимов работы электродных печей резистивного нагрева, а также для выбора рациональных законов управления ими, большое значение имеет знание электрических характеристик ванны, изучение которых носит многоаспектный характер.

При исследовании сопряженных электротепловых и физико-химических процессов, происходящих в ванне, выявляются свойства ванны как преобразователя энергии. В этом случае большое значение имеет изучение закономерностей растекания тока по материалам проводящей среды между электродами и выделения электрической энергии в различных областях (зонах) ванны. Ванна рассматривается как подсистема с распределенными параметрами, процессы в которой описываются уравнениями в частных производных. Характер распределения удельной электрической энергии по ее объему зависит от конфигурации электрического поля растекания тока, нахождение которого осуществляют с привлечением методов исследования электромагнитных полей растекания тока в проводящих средах. На основании таких исследований выявляются условия рационального (оптимального) выделения тепла по объему ванны.

Следует отметить, что конфигурация электрического поля ванны многоэлектродной печи резистивного нагрева зависит не только от количества, формы и расположения электродов в ванне, ее строения, свойств нагреваемых материалов, расположенных в ванне, но и от взаимодействия последней с токоподводом и источником питания. При исследовании этого взаимодействия ванна печи, как правило, представляется схемой замещения из сосредоточенных элементов, а исследование электрического режима осуществляется методами теории электрических цепей. Результаты используются для выбора рациональных схем и режимов питания электродной установки, а также для выбора законов управления электротехнологическим режимом печи.

±

1

Z

вх1

1

-вх2

Ь... I

В настоящее время распространение получила схема замещения ванны в виде многолучевой звезды входных сопротив-

лений 2вхі, і = 1,2,

где п - число

Рис. 1. Схема замещения ванны в виде звезды входных сопротивлений

электродов печи [5] (рис. 1), выводы которой связаны с токоподводом, а центр звезды соединен с высокопроводящим расплавом либо с подовым электродом. Достоинство схемы состоит в простоте представления характеристик ванны как приемника электроэнергии.

Однако такая схема обладает серьезным недостатком. Ее параметры зависят не только от геометрии ванны, формы, пространственного расположения электродов и электрических свойств материалов шихты, но и от режима питания (соотношений токов электродов, либо напряжений на них) [3]. При нарушении электрического режима многоэлектродной установки изменяются токи электродов, что ведет к изменению входных сопротивлений ванны и, тем самым, создается трудность анализа взаимодействия ванны с источником питания. Следует отметить, что зависимость входных сопротивлений ванны от электрического режима ослабевает с увеличением расстояния между осями соседних электродов. В общем случае входные сопротивления схемы замещения ванны для электрического поля содержат как активные, так и реактивные составляющие.

Для исследования взаимодействия ванны с то-коподводом и источником питания также находит применение схема замещения с частичными проводимостями [6] (рис. 2). При пренебрежении поверхностным эффектом электрического поля растекания тока и предположении однородности проводимости материалов среды ванны (что допустимо для большинства электродных печей резистивного нагрева) электрическое поле растекания тока является потенциальным, описывается уравнением Лапласа и может быть определено независимо от магнитного поля [6]. При таких допущениях частичные проводимости схемы замещения ванны для электрического поля не зависят от режима питания ванны.

Количество ветвей схемы замещения ванны с частичными проводимостями

равно N = п(у~1, а число узлов N к = п +1 . Обозначим количество внешних (по

отношению к ванне) ветвей цепи печи через Nв , а число внешних узлов через N к. Тогда число независимых контуров электрической цепи печи

Nm = п(п +1) + N в - Nк - п . Если в качестве независимых величин выбрать токи в

Nв = Nв + N в' ветвях, то для определения электрического режима печи нужно

Рис. 2. Топология схемы замещения ванны с частичными проводимостями

п

составить по законам Кирхгофа Nm контурных уравнений и _1 = N К + п узловых уравнений. Применение метода узловых потенциалов позволяет уменьшить число уравнений для независимых величин (узловых потенциалов) до Nк -1. В связи с наличием между ветвями схемы замещения печи взаимных индуктивностей, использование этого метода затруднительно. Метод контурных токов позволяет уменьшить число независимых величин до Nm . Во всех случаях число уравнений для определения электрического режима печи достаточно велико. Поэтому эта схема замещения ванны не получила столь широкого распространения для анализа взаимодействия ванны с источником питания.

Таким образом, схемы замещения ванны печи резистивного нагрева, применяемые сегодня для анализа режима ее взаимодействия с токоподводом и источником питания, обладают ограниченными возможностями и не всегда являются удовлетворительными.

В данной работе предлагается схема замещения ванны, параметры которой при выше упомянутых допущениях не зависят от электрического режима печи, и ее применение позволяет значительно понизить порядок системы уравнений, описывающей этот режим.

Радикальным способом уменьшения количества ветвей и узлов электрической цепи печи является структурное преобразование топологии схемы замещения ванны, инвариантное по отношению к режиму внешней относительно ванны части цепи. Такое преобразование можно осуществить, например, если участки ванны рассматривать как продолжения примыкающих к ней внешних ветвей цепи.

Пусть в общем случае ванна печи имеет п электродов и питается от одного или нескольких источников гармонического напряжения. Если в ней присутствует подовый электрод, высокопроводящий расплав на подине или проводящая боковая стенка, то будем считать его п+1 электродом с током, равным нулю, когда он не подключен к источнику питания.

По току ванна печи резистивного нагрева в зависимости от конфигурации внешней относительно ванны цепи является электрически нейтральной подсистемой или совокупностью нейтральных подсистем. Другими словами, для нее справедлив первый закон Кирхгофа, представленный соответственно

п+1

одним уравнением I I к = 0 или системой уравнений

к=1

1г .

I4 = 0,

к=1

12 .

I4 = 0,

к=11+1

14 = о,

к—1Г _1+1

где I к - ток в к-м электроде; г - количество нейтральных подсистем; 19 - ко-

Г

личество электродов, входящих в д-ю подсистему, причем 11Ч = п + 1.

9=1

При расчете электрического режима печи методом контурных токов в части электродов протекают токи, принимаемые в качестве контурных. Эти токи образуют вектор, который обозначим через ^ . Оставшиеся токи электродов можно выразить посредством компонентов вектора ^ по первому закону Кирхгофа. В векторной форме это выглядит так I'' = ||к|| • ^ , где ||к|| -прямоугольная матрица связи, в которой элементы принимают значения -1, 0, +1, число ее столбцов равно количеству компонентов вектора ^ , а число строк равно дополнению числа столбцов до п+1. Очевидно, что токи всех электродов ванны связаны с частью контурных токов

Е

I

• <*' = С • <*', (1)

К

где ||Е|| - единичная матрица; ||С|| - (п + 1)х Nm1- матрица связи токов электродов с частью контурных токов.

Пусть и - вектор напряжений на участках ванны, которые рассматриваются как продолжения ветвей электрической схемы замещения печи, примыкающих к ванне. Эти напряжения можно выразить через потенциалы электродов ванны. В матричной форме это представляется

и = \Щ\ • Ф, (2)

где х (п +1) - матрица, связывающая напряжения на участках ванны

и потенциалы электродов; Ф = [фа Ф2 к фп фп+1 ]т - вектор потенциалов электродов.

Согласно аналогии, существующей между электростатическим полем системы заряженных тел и квазистационарным потенциальным полем растекания тока в проводящей среде ванны [4], потенциалы электродов печи связаны с токами электродов

ф1 = а1,111 + к + а1, п1 п + а1,п+11п+1 ,

• = "’ & & & (3)

фп =а п,111 + к + а1,п1п +а1,n+1In+1, фп+1 =а п+1,111 + ••• +а1,п1п +а1,п+11 п+1,

где а к/ - потенциальные коэффициенты электродной системы ванны (собственные - при к = /, и взаимные - при к ф /), причем а кк > 0, а / > 0, а к/ = а к < а кк. Систему уравнений (3) также можно представить в матричной форме

ф=||4 I. (3’)

Подставим (3’) и (1) в (2)

и = И -ЫМСІІ • 3' = \Ш • 3'.

Полученная система уравнений (4) связывает напряжения на участках ванны и токи части электродов, рассматриваемые как контурные, а |[й|| является Ит1 х Ит1 - матрицей связи, элементы которой имеют размерность сопротивления.

Пример 1. Определить матрицу связи |[й|| для ванны с п электродами,

имеющей подовый электрод (проводящую подину) и питаемой п-фазным источником питания (рис.3).

-ксл+1

I

П+1

фп+1

Рис. 3. Схема питания ванны печи с п+1 электродами

Исходя из особенности топологии внешней цепи печи, вектор контурных

Іп . Вектор токов

токов в части электродов выбран равным ^ = [/ оставшихся электродов Г' = [/ п+1 ] = [-1 -1 ... — 1] • [& 2 I

п

Очевидно, вектор токов всех электродов

... І ]т п \

"І1 " "+1 0 0 к 0 0" " І1

12 0 +1 0 к 0 0 12

І.п 0 0 0 к 0 +1

_ 'п+1 _ -1 -1 - 1 к -1 -1 _ Іп

• і.

Матрица потенциальных коэффициентов электродной системы ванны

а , а

'1,1 а1,2 а1,п а1,п+1

'2,1 ,2 2, а а2,п а 2, п +1

п+1,1 а п+1,2 • а п +1, п а п+1,п+1

а

Вектор напряжений и с учетом особенностей управления электрическим режимом печи, задается совокупностью напряжений на электродах относительно подины

'+1 0 0

0 +10

и = Ф2-Фп+1 =0 0 +1 ... 0 -1 • ' ,2 = И-С

ф1 - фп+1 ф2 - фп+1

Фп Фп+^ 0 0 0

Следовательно, матрица связи ||л|| для этого примера

\\Я\\ = И • ||а|| • И =

к 0 -1"

к 0 -1 Ф1

к 0 -1 Ф2

• +1 -1 _Фп _

а1,1 - а

п+1,1

+а

п+1,п+1

-а

1, п +1

а1,п -а

п+1,п

+а

п+1,п+1

-а

1, п +1

+ап

а п,1—а п+1,1 +а п+1,п+1 —а п,п+1 ••• а п, п —а п,п+1 +а п+1,п+1 —а п,п+1 _

С учетом принципа взаимности, справедливого при вышеупомянутых допущениях для электрического поля растекания тока по материалам среды ванны, в соответствии с которым а= а, ставляются

Ккк а кк +а п+1,п+1 2а к ,п+1

КкЇ а к] а к,п+1

], элементы матрицы ||к|| пред-

(5)

Кп+1,] ■.

Согласно принципу наложения, справедливому для линейных систем, напряжение на участке ванны можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных напряжений, каждое из которых обусловлено действием контурного тока, протекающего в одном из электродов. Коэффициенты Кк] определяют

связь между частичными разностями потенциалов электродов и токами части электродов печи, поэтому назовем их разностно-потенциальными коэффициентами (РПК)1. Предложенное название подчеркивает и другую особенность коэффициентов Кк]. Из (5) следует, что РПК определяются комбинациями (суммами) разностей потенциальным: коэффициентов электродной системы ванны. По аналогии с потенциальными коэффициентами, РПК с одинаковыми индексами назовем собственными, а с различными - взаимными. Эти определения характеризуют вид связи между частичным напряжением на участке ванны и током электрода, протекающим в «своей» или в «чужой» ветви. Например, собственный РПК К1,1 в рассматриваемом примере определяет связь между частичным напряжением участка ванны «первый электрод - подина», наводимым током первого электрода, и значением тока этого электрода. В свою очередь, взаимный РПК К1,2 устанавливает связь между частичным напряжением участка ванны «первый электрод - подина» и током, протекающим во втором электроде.

-а

-а

2,1

п +1,1

2,п+1

2,п

2,п+1

1 В работах [1, 2, 3] эти коэффициенты неточно названы потенциальными.

Для собственных и взаимных РПК рассматриваемой в примере схемы замещения ванны справедливы соотношения Якк > 0, Як]- > 0, Я]к > 0, Якк > Як]-. Кроме

того, легко убедиться, что для них, как и для потенциальных коэффициентов электродной системы, справедлив принцип взаимности Я] = Я]к. В общем случае взаимные РПК могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, характеризуя знак вклада частичного напряжения в общее напряжение участка ванны.

Физически схема замещения ванны с РПК в виде сосредоточенных элементов не реализуется, определение ее параметров возможно физическим [3] или математическим [2] моделированием. Предлагается символически обозначать схему замещения ванны с РПК, используя известные графические элементы для изображения резисторов и взаимных индуктивных сопротивлений. Например, для печи с четырьмя электродами (включая подовый электрод - проводящую подину) схема замещения ванны будет выглядеть так, как показано на рис. 4.

Данные по количеству ветвей, узлов и контуров электрических цепей для некоторых многоэлектродных печей, приведенные в табл., показывают, что

Сравнение схем замещения электрических цепей многоэлектродных печей

Рис. 4. Схема замещения ванны четырехэлектродной печи

С частичными проводимостями

С разностно-потенциальными _______коэффициентами

N

12

п

схема

схема

2

3

5

3

1

2

2

3

5

9

5

2

3

2

3

7

6

4

6

3

применение РПК в качестве параметров схемы замещения ванны позволяет существенно уменьшить число узлов, ветвей и контуров схемы замещения электрической цепи печи.

Связь между напряжениями участков ванны и токами части электродов может быть многообразной, так как многообразны топология внешней цепи печи, выбор контурных токов и, следовательно, многообразен выбор векторов напряжений и и токов ^ . Сам выбор, кроме того, зависит от особенностей технологического процесса, схемы питания, необходимости обеспечения эффективного управления электротехнологическим режимом установки. Для получения корректной схемы замещения ванны, к выбору предъявляются дополнительные требования:

а) компоненты вектора напряжений и должны представлять собой полную и линейно независимую систему относительно потенциалов электродов и высокопроводящих поверхностей ванны фк, к = 1,..., п +1;

б) составляющие вектора контурных токов части электродов ^ должны представлять собой линейно независимую систему, полностью определяющую токи оставшихся электродов.

Проиллюстрируем многообразие представления схемы замещения ванны с помощью РПК.

Пример 2. Определить матрицу связи ||я|| для ванны четырехэлектродной (с подовым электродом) печи, имеющей схему питания, приведенную на рис. 5, а.

'4

Ф4

Рис. 5. Схема питания (а) и схема замещения ванны (б) четырехэлектродной печи

Исходя из особенности управления электротехнологическим режимом печи (электроды неподвижны) в качестве вектора напряжений принимается

и = [ -ф3 ф2 -ф4 ]т , а в качестве вектора контурных токов, протекающих в части электродов, І' = [ І2 ] . Матрица РПК |[к|| ванны для рассматриваемого случая:

"+1 0 1 0" Е +1 0 -1 0" т

И — с — —

0 +1 0 —1 ’ К 0 +1 0 —1

а =

\\я\\ — I И -Ы- Псі =

2,1

а1,1 а1,2 а1,з

а 2,1 а 2,2 ,з 2, б

а з,1 а з,2 а з,з

а 4,1 ,2 4, б ,з 4, а

аз,1 + аз,з — а1,з

а4,1 + а4,з і 2

аі

3,4

а

4,4

а 2 — аз 2 + аз 4 — а

Следовательно, с учетом принципа взаимности для потенциальных коэффициентов электродной системы РПК схемы замещения ванны

11 — ^і і + аз з 2аі з.

■^2,2 — а2,2 +а4,4 2а2,4 ,

■^1,2 = а1,2 а3,2 +а3,4 а1,4 , -^2,1 = а2,1 а4,1 + а4,3 а2,3-

Как видно, и здесь имеет место соблюдение принципа взаимности для взаимных РПК Я12 = Я21. Схема замещения ванны с РПК для этого случая

приведена на рис. 5, б.

Литература

1. Ильгачев А. Н. Исследование электромагнитных полей ванн многоэлектродных рудовосстановительных печей и его использование для оптимизации режимов и параметров установок: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Чебоксары, 1984.

2. Ильгачев А.Н. Аналитический расчет потенциальных коэффициентов электродных систем электрометаллургических установок // Автоматизированные электротехнологические установки и системы: Межвуз. сб. науч. трудов. Чебоксары: Чуваш. ун-т, 1989. С. 84-92.

3. Ильгачев А. Н., Миронов Ю. М. О параметрах схемы замещения ванны многофазной электродной установки // Электротермические процессы и установки: Межвуз. сб. науч. трудов. Новосибирск: Новосибирский электротехнический институт, 1989. С. 7-11.

4. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости. Л.: Энер-гоиздат. Лениград. отд-ние, 1981. 288 с.

5. Миронов Ю. М. Теоретическая электротехника электродных установок. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1997.

6. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.

а

2,4

1,1

2 2 2 4 + 4 4 ^^4 2

ИЛЬГАЧЕВ АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ родился в 1947 г. Окончил Чувашский государственный университет. Кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных электротехнологических установок и систем Чувашского университета. Автор 90 опубликованных научных и методических работ._____________________________________________________________________