CC BY
35
MATHEMATICAL MODELING OF THE FUNCTIONING OF THE MOBILE ROBOT
MANIPULATOR
D.P. Limarenko
The mathematical modeling of the functioning of a mobile robot manipulator are considered. Shows the sequence determination of the parameters of the servoactuators and manipulator and the values used in the mathematical model. A plot of transition process of motion of the manipulator are given.
Key words: manipulator, a mathematical model, servoactuators.
Limarenko Denis Pavlovich, candidate of technical science, docent, denli [email protected], Russia, Tula, Tula State University
УДК 681.5.017
СХЕМНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПЕРАТИВНЫЙ КОНТРОЛЬ ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДУГОВЫХ ПЕЧАХ
А.В. Лукашенков, А.Н. Грачев, А. А. Фомичев
Рассматривается применение нелинейных схемных моделей в задачах контроля и управления электродуговыми печами при недоступных для измерения внутренних параметрах и переменных. Схемные модели состоят из линейных и нелинейных, резистивных и реактивных элементов. Электрические параметры и характеристики элементов моделей связаны непосредственно с физическими, химическими, технологическими и энергетическими процессами.
Ключевые слова: схемные модели, математические модели, оперативный контроль, схемы замещения, электродуговые печи.
Для решения прикладных задач в области управления и эксплуатации, эффективного использования и распределения энергии в электродуго-вых печах необходима разработка методов построения и идентификации математических моделей электроэнергетических и технологических процессов в токопроводящей подэлектродной среде. Модель должна быть построена относительно текущих переменных, имеющих электроэнергетический смысл, несущих информацию о распределении энергии и процессах в подэлектродных зонах токопроводящей среды. Это позволяет оценивать влияние параметров подэлектродных зон на ход технологического процесса, получать информацию о степени его эффективности и рациональности, дает возможность выбирать стратегию управления с целью обеспечения рационального режима.
Оперативный контроль за преобразованием энергии в подэлектрод-ных зонах ванны печи, их параметрами и характеристиками без вмешательства в технологический процесс может быть осуществлен с помощью специальной модели электроэнергетических процессов, которую удобно представлять в виде схемы замещения - схемной модели токопроводящей среды в ванне. Такие модели отражают внутреннюю структуру токопроводящей среды, электротехнологические параметры и характеристики под-электродных зон ванны и электрической дуги, распределение энергии по зонам, что является необходимым для решения практических задач управления и эксплуатации. Построение схемных моделей проводится на основе зонного строения и анализа путей протекания тока в ванне электродуговой печи [1].
Для исследования электроэнергетических процессов в трехэлектродных трехфазных дуговых печах использовалась схемная модель трехэлектродной печи (рис. 1), состоящая из трех взаимосвязанных подмоделей одинаковой структуры, каждая из которых соответствует определенному электроду и имеет свои значения параметров [2]. Вторичные обмотки печных трансформаторов, питающих печь, соединены по схеме треугольник на электродах. В схемной модели они представлены приведенными трехфазными синусоидальными ЭДС: EAX, EвY, Ecz и приведенными сопротивлениями короткой сети 1, Lк 1, 2, Lк 2, 3, Lк 3.
Применение схем замещения позволяет анализировать распределение тока в зонах ванны руднотермической печи и судить о распределении энергии, выделяемой в дуге, расплаве и шихте, а также учитывать влияние взаимных связей между цепями электродов и параметров питающей сети. Однако параметры элементов моделей неизвестны и недоступны для непосредственного измерения на электропечи, они могут быть определены только на основе идентификации в режиме нормальной работы.
Идентификация схемных моделей может проводиться как динамических систем на основе внешних электрических сигналов и позволяет оценивать электроэнергетические параметры и процессы в реально существующих токопроводящих средах электропечей по экспериментальным данным при недоступности для измерений внутренней структуры в процессе нормальной эксплуатации и решать проблемы контроля и управления. Однако сложная структура схемной модели не позволяет непосредственно идентифицировать параметры и характеристики элементов, соответствующих зонам ванны.
Схемные модели многоэлектродных печей для различных типов процессов можно представить с учетом взаимной индуктивности между цепями электродов в виде обобщённой схемной модели, в которой сопротивления подэлектродных зон дуги, шихты и расплава для различных процессов представлены одним эквивалентным нелинейным сопротивлением
Я(1), включенным последовательно с эквивалентной индуктивностью L(i) цепи электрода (рис. 2).
Рис. 1. Схемная модель трехэлектродной дуговой печи:
Яд , ЛЩ, Яр - сопротивления зон дуги, шихты, и расплава; Lj,
- индуктивности и взаимные индуктивности цепей электродов
Эквивалентное нелинейное резистивное сопротивление характеризуется соответствующей нелинейной вольт-амперной характеристикой, проходящей через начало координат и представляющей зависимость падения напряжения на сопротивлении от тока ^ (^). Нелинейная индук-
тивность полностью характеризуется нелинейной зависимостью магнитного потока от тока £ (^); напряжение на ней определяется скоростью изменения магнитного потока в соответствии с выражением
и (,) _ ^(1) _ &Оэ ) ^э (1) _ о(,- ) ^э (1)
4 ()-ЦТ'~1Г - P(iэ )_л" •
где Р^э) _ L(iэ) - нелинейная функция, определяющая зависимость индуктивности от тока.
Рис. 2. Обобщенная нелинейная динамическая схемная модель трехэлектродной электропечи
Рассматривая нелинейные схемные модели как динамические системы с входными и выходными сигналами у (?) и х(?), представим нелинейные характеристики Р (х) резистивных и £ (х) реактивных элементов в виде разложения по известным линейно независимым базисным функциям ф к (х) с неизвестными коэффициентами а к, к _ 1,..., п и Ь к, к _ 1,..., т:
п т
Р(х)_ра)_ Ё акФ к(х), £(х)_ £Р)_ Ё РкФ к(х).
к=1 к=1
В качестве базисных функций ф к (х) в разложении нелинейных характеристик будем использовать системы линейно-независимых ортогональных многочленов Лежандра, Чебышева, построенных на основе степенных функций, а в некоторых случаях и непосредственно степенные функции. Каждая нелинейная функция может быть единственным образом представлена в виде линейной комбинации функций, принадлежащих линейно-независимому множеству базиса пространства функций. При этом
значения векторов параметров а _[а1,..., ап ]Т, в _[Р1,..., Ь п ]Т однозначно определяют нелинейные функции, и достаточно найти значения параметров а к и Ь к, чтобы иметь полное описание характеристик нелинейных
элементов. Для каждого конкретного процесса эквивалентное нелинейное сопротивление подэлектродных зон может быть раскрыто и получена соответствующая детализированная схемная модель [3].
Таким образом, элементы векторов а и в представляют собой неизвестные параметры моделей, которые необходимо определить по экспериментальным измерениям мгновенных значений входного х(*) и выходного у (*) сигналов рабочего тока и напряжения на электродах.
При наличии взаимных связей нельзя рассматривать цепь каждого электрода независимо от других. Необходимо рассматривать их совместно, с учетом взаимной индуктивной связи, которая приводит к перераспределению мощности между цепями электродов и к невозможности оценки полезной мощности каждого электрода отдельно от переносимой по измерениям на нем сигналов тока и напряжения. Для электроэнергетических процессов в трехэлектродных печах структура модели представляет собой трехмерную многосвязную нелинейную динамическую систему. Подмодели цепей электродов охвачены перекрестными взаимными связями, обусловленными взаимным электромагнитным влиянием цепей электродов друг на друга. Коэффициенты взаимной индукции Му (^ j _ 1,2,3), отражающие взаимное влияние между цепями электродов, зависят от положения электродов в печи и являются неизвестными параметрами. Измеряемое напряжение на электродах иэ (*) отличается от полезного напряжения в цепях электродов в результате действия напряжения взаимной индукции, и трехмерная модель с взаимными индуктивными связями будет описываться следующей системой уравнений:
Р( хЬ в1) -х + Р (хЬ а1) + М12 —Г + М13 —Г = у1(* ); т т т
Р(x2, в2) Р(x2,а2) + М21 —х7 + М23 ^ _ У2 (*);
т т т
Р( xз, в3) Р (xз, а3)+М 31 —хг+М 32 —х2 _ У3(*).
т т т
При идентификации параметров нелинейных характеристик электродов возникает необходимость учета коэффициентов взаимного индуктивного влияния. Без этого невозможно определить характеристики токопроводящей среды и параметры каждого электрода в отдельности. Параметры схемных моделей электродов могут идентифицироваться отдельно при рассмотрении влияния токов соседних электродов как возмущений. В этом случае в качестве источника информации необходимо использовать мгновенные значения напряжения на идентифицируемом электроде относительно подины и токов всех электродов. Параметризованная модель каждого электрода будет описываться соответствующим нелинейным дифференциальным уравнением
п I \ т э , I —хп э тх { ..
Ё акпФ к (xq )+ Ё Ркфк(хч Нг + МЯ^—7Г _ Уч (* ), (1)
к=1 к=1 т т
где = 4 = Ьч - Ыщ; Ы/ = Ы/ - Ыщ; д = 1,2,3; / = 2,3,1; у = 3,1,2 -
обозначения, соответственно, эквивалентных линейных составляющих индуктивностей электродов и эквивалентных взаимных индуктивностей.
При известных токах и напряжениях на электродах, а также при сформированных сигналах базисных функций уравнение (1) является линейным относительно неизвестных параметров модели электрода а^д,
Ькд, Ыд/ . При спектральном представлении сигналов тока напряжения и
базисных функций на основе (1) получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров для каждого электрода, в том числе относительно эквивалентных индуктивностей и взаимных индуктивностей:
ФЧ
I 17' I
! *уд ;
V ]■
а
МЧг.
в
УЧ'
(2)
где Рфд, Еуд - матрицы векторов спектральных гармонических составляющих сигналов базисных функций и производных базисных функций; Еу, ¥уд - векторы спектральных составляющих сигналов тока в электроде / и напряжения на электроде д .
Применяя для оценки неизвестных параметров модели электрода метод наименьших квадратов, получим относительно неизвестных параметров систему нормальных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:
Г ФЧГ ФЧ ¥фЧ¥у/
ГУЧ УЧ ГУЧ Гу/
¥Уї ¥УЧ ¥у V _
а Ч цТ ц гФЧГУЧ
вч = ^Т ц УЧ УЧ . (3)
_ ГУ/ ¥УЧ
Формируя полученную систему для каждого электрода ч = 1,2,3 и решая ее, получим для каждого электрода вектор параметров а? нелинейной характеристики резистивной части обобщенной модели; вектор параметров вЧ нелинейной характеристики индуктивной части, первый элемент которого вЭч представляет собой эквивалентную линейную составляющую индуктивности электрода, определяемую с учетом коэффициента взаимной индукции с у -м соседним электродом (1); эквивалентный коэффициент взаимной индукции М^ с электродом / .
Система (3) учитывает влияние взаимных индуктивных связей и позволяет определять эквивалентные индуктивности и коэффициенты взаимной индукции, что дает возможность находить напряжения на сопротивлениях подэлектродной среды и рассчитывать электроэнергетические параметры подэлектродных зон с учетом взаимных связей, электромагнитного перераспределения и переноса мощности между электродами.
Таким образом, на основании измерения гармонических составляющих сигналов напряжения, тока и нелинейных базисных функций тока формируется система уравнений (3), решение которой дает коэффициенты разложения нелинейных характеристик, представляющих собой ВАХ эк-вививалентных нелинейных сопротивлений электродов, а также эквивалентные индуктивности и эквивалентные взаимные индуктивности. В результате рассмотренный подход позволяет идентифицировать нелинейные вольт-амперные характеристики сопротивлений подэлектродной токопроводящей среды с учетом влияния взаимной индукции силовых цепей и исключить погрешность, обусловленную этим влиянием, а также эквивалентные величины индуктивностей и коэффициентов взаимной индукции электродов.
Разработанные алгоритмы реализуются компьютерной системой идентификации и контроля электротехнологических параметров, которая использует в качестве источника информации мгновенные значения и спектральный состав сигналов тока и напряжения на электродах печи, позволяет на основе идентификации схемных моделей токопроводящей среды ванны с учетом взаимных связей цепей электродов получать целый ряд электротехнологических параметров процесса, которые не могут быть измерены штатными приборами. К ним относятся электроэнергетические параметры внутренних подэлектродных зон дуги, шихты, расплава, активная и реактивная мощность с учетом явления переноса, ток, напряжение, а также сопротивления зон, характеризующие технологическое состояние процесса: уровень и состав расплава, состав шихтовых материалов, концентрацию восстановителя в шихте. Кроме того, определяется нелинейная ВАХ дуги, в том числе и при наличии гистерезиса, величина индуктивностей цепей электродов, коэффициенты взаимных индуктивных связей между фазами, отражающие электромагнитное перераспределение энергии, активное и реактивное сопротивления короткой сети.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-07-00527.
Список литературы
1. Сисоян Г. А. Электрическая дуга в электрической печи. М.: Металлургия, 1974. 304 с.
2. Лукашенков А. В., Фомичев А. А. Mетоды идентификации нелинейных схемных моделей электродуговых процессов // Тула: Изд-во Тул-
ГУ, 2004. 228 с.
3. Лукашенков А.В., Грачев А.Н., Фомичев А. А. Моделирование и идентификация электротермических процессов в физическом базисе для целей управления \\ Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2009. С. 105-107.
Лукашенков Анатолий Викторович, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Грачев Александр Николаевич, канд. техн. наук, доцент, luav50@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Фомичев Александр Александрович, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
EQUIVALENT CIRCUITS FOR SUPERVISION AND ON-LINE CONTROL OF ELECTROTERMICAL PROCESSES IN THE ARC FURNACES
A. V. Lukashenkov, A.N. Grachev, A.A. Fomichev
Construction methodes are considered for supervision and control in the electric arc furnaces with hidden processes on the basis of nonlinear equivalent circuits. Equivalent circuits consists of linear and nonlinear resistance and reactance. The parameters of linear and characteristics of nonlinear elements are identified according to measurements of current and voltage.
Key words: circuit models, mathematical model, on-line control, nonlinear equivalent circuits, arc furnaces.
Lukashenkov Anatoliy Viktorovich, doctor of technical science, professor, luav50@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Grachev Aleksandr Nikolaevich, candidate of technical science, docent, luav50@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Fomichev Aleksandr Aleksandrovich, doctor of technical science, professor, luav50@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
