Алгоритмы идентификации нелинейных динамических моделей электротермических объектов при периодических сигналах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.5.015

АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛАХ

А.В. Лукашенков, А.Н. Грачев, А. А. Фомичев

Рассмотрены алгоритмы параметрической идентификации нелинейных динамических моделей электротермических объектов на основе измерения спектральных составляющих внешних рабочих периодических сигналов, при представлении характеристик нелинейных элементов в виде разложения в ряд по базисным функциям на основе степенных.

Ключевые слова: математическое моделирование, электротермические объекты, схемные модели, пространство состояний, параметрическая идентификация.

Проблема автоматизации контроля и управления электротермическими объектами, такими как многоэлектродные электродуговые печи переменного тока, эксплуатируемые в металлургической и химической промышленности [1], непосредственно связана с задачами получения информации о текущем изменении внутренних электроэнергетических параметров в ходе технологического процесса, анализа распределения мощности в недоступных для прямого контроля токопроводящих подэлектродных зонах, определения и поддержания рациональных режимов. Недостаточная информативность существующих систем контроля рассматриваемого класса процессов из-за недоступности для прямых измерений технологического состояния токопроводящей среды обусловливает применение математических моделей для оценки и текущего контроля скрытых внутренних параметров и переменных по их косвенным проявлениям во внешних измеряемых сигналах и построение микропроцессорных «интеллектуальных датчиков». Решение этих задач требует построения и идентификации в реальном времени математических моделей внутренних процессов и явлений в токопроводящей подэлектродной среде электропечей по измеряемым внешним рабочим электрическим сигналам переменного тока и напряжения в ходе нормальной эксплуатации.

Наличие нелинейностей, обусловленных существованием электрической дуги в токопроводящих подэлектродных зонах электротехнологи-ческих объектов работающих на переменном токе, приводит к несинусои-дальности периодических функций мгновенных значений входных и выходных сигналов тока и напряжения, к расширению их спектрального состава. Величина и соотношение спектральных составляющих рабочего тока и напряжения несут информацию о внутренних параметрах и характеристиках зон токопроводящей среды, что позволяет использовать их для решения задачи идентификации схемных моделей.

Токопроводящая среда рабочих зон в цепи каждого электрода представляется в виде схемных моделей содержащих реактивные (динамические) и резистивные (статические) элементы, как линейные, так и нелинейные. Обобщенные одномерные модели токопроводящей среды в цепи одного электрода описываются нелинейными дифференциальными уравнениями следующего вида [2]

= Ж), (1)

т

где у (?) и х(?) входные и выходные сигналы тока и напряжения в цепи

электрода; ^ (х) - нелинейная характеристика статической части; £ (х) -

нелинейная характеристика реактивной динамической части модели. Уравнение (1) может быть представлено в виде

тх

Р( х) — + ^ (х) = у(;), (2)

т

где Р(х) = т(х) - дифференциальная характеристика динамической части.

тх

Задача идентификации динамических моделей нелинейных объектов (1) - (2) состоит в определении нелинейных зависимостей характеристик £ (х), Р( х) динамических и ^ (х) статических элементов на основе измерения временных функций рабочих выходных и входных периодических сигналов х^) = х(1 + Т), у (? + Т) и их спектральных составляющих.

Параметрическая идентификация моделей. Для практического решения задачи идентификации, нелинейные характеристики статической и динамической частей модели будем представлять в виде разложения по известным базисным функциям ф£ (х), степенным функциям, многочленам

Лежандра, Чебышева [3], с неизвестными коэффициентами а £ и Ь £:

п т

^а)= X а£ф£(х), £(х,Р)= X $кф£(х), (3)

£=1 £=1

где Р( х,Р) и ^ (х, а) - параметризованные нелинейные характеристики, известные с точностью до параметров; а = [а1,..., ап ]Т, Р = [Р1,...,Р т ]Т - векторы неизвестных параметров, однозначно определяющие нелинейные функции статической и динамической части модели.

При этом задача идентификации становится параметрической. Параметризованная одномерная схемная модель токопроводящей среды электродов описывается нелинейным дифференциальным уравнением

Их

Р( х Ь) + р (x, а) = Ум(*^ (4)

т

где ум ^) - выходной сигнал модели.

Рассматриваемые нелинейные модели (1) - (4) в общем случае не отражают точно свойства реального объекта. Реально измеряемый выход-

99

ной сигнал у(г), получаемый в результате эксперимента или в процессе нормальной работы и представляющий мгновенные значения напряжения в цепи электрода, в общем случае отличается от сигнала модели в результате наличия случайных ошибок измерения, неточности модели и других неконтролируемых возмущений. Будем предполагать, что влияние этих случайных возмущений сводится к аддитивной случайной компоненте Х(г) в выходном сигнале

Их

у(г) = р( х,Р)— + р(х а) + ^<7^ (5)

т

где Х(г) - независимые случайные переменные, отражающие погрешности и несовпадение выходного сигнала реального объекта и модели, имеющие нулевое математическое ожидание М[Х(г)]= 0 и дисперсию 11 = М[х2(г) .

Рассмотрим алгоритм параметрической идентификации одномерной нелинейной схемной модели токопроводящей среды на основе метода наименьших квадратов (МНК) по измерениям реального выходного сигнала у (г) для идентификационного входного сигнала х(г) в рабочем режиме. При этом значения сигнала модели - ум (г), вычисленные для идентификационного рабочего сигнала х(г) будут отличаться от значений у(г), полученных на реальном объекте. Будет существовать разность выходных сигналов реального объекта и модели, невязка, отражающая различие модели и реального процесса

тх

у(г) - ум(г) = у(г) - р(х,Р)-г - Р(x,а). (6)

т

Критерием, характеризующим степень различия модели и объекта, показателем качества идентификации согласно методу МНК [4] является квадрат

нормы сигнала погрешности (6) в пространстве 1?[0,Т ], энергия сигнала невязки на периоде сигналов Т:

Т

сХ 2 у(г) - р( X, Р)—-^ ( X,а) с

Л. (7)

0L

Этот функционал представляет собой меру правильности модели, его величина зависит от параметров модели а, Р. Будем формулировать задачу идентификации следующим образом: на основании экспериментальных данных х(г) е 1?[0,Т]; у(г) е 1?[0,Т] найти значение векторов параметров модели а, Р при которых минимизируется квадрат нормы разности сигналов реального объекта и модели (7)

Т

а0,Р 0 = а^шт | [у(г) - ум (г, а, Р)]2т. (8)

РеВ;аеА 0

При линейной параметризации нелинейных характеристик р(х, а) и £ (х,Р) нелинейной резистивной и нелинейной реактивной частей модели, когда характеристики представлены в виде разложения по базисным функциям ф£ (х) на основе степенных функций, с коэффициентами а £ и Р £ (3) оценка неизвестных параметров будет определяться из условия

Жг,

(9)

ао,Р о = а^шш | [у(0 -уТ {г )Р-ФТ {г )а РеБ;аеЛ о

где - ф(г) = [ф1(г), Ф2(г),..., Фп(г)]Т- вектор функция, элементами которой

являются сигналы базисных функций; у(г) = [у1(г), у 2(г),..., Уп (г )]Т- вектор функция производных сигналов базисных функций. Сигналы базисных функций ф£ (г) = ф£ [х(г)] и их производных у £ (г) = dф £ [ х(г)]/dt в разложении нелинейных характеристик являются нелинейными функциями от детерминированного входного сигнала х(г) , и вычисляются на основе его измерения.

Необходимые условия экстремума критерия идентификации (7) выражаются в виде равенства нулю вектр-градиента частных производных от J (а,Р) по параметрам резистивной и реактивной частей модели а, Р:

- 21ф(г) у(г) - (фт(г)а + ут(г)Р)]ж ° 0,

о

- 21 у (г) у(г) - (фТ (г )а+ут (г )Р)]жг ° 0.

(10)

о

Из условий (10) получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно оценок векторов неизвестных параметров ао, Ро

Т

с матрицей коэффициентов

Т

Є =

є •

I ф(г)фт(г)Жг | | ф(г)у т(г)Жг

Л I Г\

«Т ! рТ

т

Р,

т

(11)

о

т

| у (г )фт(г )Жг і | у(г )у т(г )Жг

0 ! 0

ь_0_ ! т

т

(12)

и вектором правой части

Р

т

| ф(г) у(г )Жг

о_____________

т

| у(г) у(г )Жг

(13)

Решение системы (11) определяет векторы оценок неизвестных параметров ao, P о. Для однозначного определения вектора неизвестных параметров необходимо, чтобы матрица системы G имела ранг равный числу неизвестных параметров подлежащих определению rank G = n + m . Это условие является необходимым условием для идентифицируемости параметров нелинейной схемной модели (3).

Матрица G системы (11) при векторе неизвестных параметров является квадратной размерности (n + m) • (n + m). Она представляет собой

TT

матрицу Грамма системы функций ф (t), y (t), которые в данном случае являются сигналами базисных функций и производных сигналов базисных функций в разложении нелинейных характеристик

Каждый элемент матрицы является скалярным произведением соответствующих функций ф- (г), ф^ (г); у- (г), у^ (г); ф- (г), yj (г) или

у (г), ф j (г), а элементы вектора правой части являются скалярными произведениями сигналов базисных функций и выходного сигнала. Матрица С, как матрица Грамма, обладает следующими свойствами: она симметрична относительно главной диагонали; является положительно определенной; определитель матрицы отличен от нуля, если функции, определяющие ее элементы, линейно независимы. Так как ёй С есть определитель Грамма, то матрица С будет невырожденной и ёй С Ф 0 тогда и только тогда, когда сигналы базисных функций и их производных образуют на интервале [0,Т] линейно независимую систему. Это условие для базисных функций на основе степенных функций, многочленов Лежандра и Чебышева выполняется [2].

Таким образом, для определения параметров резистивной (статической) и реактивной (динамической) частей схемной модели необходимо на основе измерений входных и выходных сигналов, а также на основе сигналов базисных функций сформировать систему линейных алгебраических уравнений (11) относительно неизвестных параметров с матрицей С и с вектором правой части Р (12), (13) и найти ее решение относительно оценок параметров

Определение параметров моделей по спектральным составляющим сигналов. При работе электротехнологических объектов на переменном токе временные функции сигналов х(г) и у (г) рабочего тока и напряжения и соответствующие сигналы базисных функций

(14)

(15)

Фk(t) = Фk[x(t)] и их производных yk(t) = —ф k[x(t)]/dt являются в уста-

l02

новившемся режиме периодическими функциями времени. Они могут быть представлены в виде рядов Фурье и полностью характеризуются векторами коэффициентов Фурье в комплексной или в действительной форме, определяющих амплитуды гармонических составляющих сигналов. Многие промышленные объекты оснащены техническими средствами для измерения параметров гармонических составляющих рабочих сигналов.

При этом элементы матрицы С и элементы вектора правой части Р в уравнении относительно неизвестных параметров (11) могут быть выражены как скалярные произведения через коэффициенты ряда Фурье соответствующих сигналов базисных функций и выходного сигнала на основе теоремы Парсеваля [3]. При ограниченном спектре сигналов содержащем N гармонических составляющих получим

Є

" N , ,Т і фк к--N N и іТ" і фу Л--N

N ь гТ і рр к--N N ь ^Т к--N _

(16)

Р

N-1г

I ф

к--М_ N -1г

I ру

к=-N

к

У

где

рк -рф -

рк рфЬ

фп

Т

рк --

рк

к

У

Т

(17)

уш.

Рфі, і -1,п, Куі, і -1, ш ком-

фі

уі

плексные коэффициенты Фурье сигналов базисных функций и их производных; ^ комплексные коэффициенты ряда Фурье выходного сигнала.

Если для идентификации используются последовательности мгновенных значений токов напряжений х(?) и у(1), измеренных в дискретные моменты времени и состоящие из N отсчетов на периоде Т, то применяя

дискретное преобразование Фурье к измеряемым дискретным сигналам

мгновенных значений тока и напряжения получим выражения для матрицы С (12) и вектора Р (13) через параметры спектральных составляющих сигналов аналогичные (16), (17), отличие состоит только в том, что элементами векторов и матриц в этих выражениях будут являться коэффициенты дискретного преобразования Фурье

" N-1_ т ! N-1_ '

I Fj (к)^<Г(к) I Рр (к)Ру(к)

к=0_____________!_к.=0____________

N-1_ I N-1_

I Ру(к)Р<рТ(к) ! I Ру(к)^Г(к)

к=0 ! к=0

Є

(18)

Р

N-1_

X Рф (к )Ру (к)

к=0_______________

N-1_

X Ру (к Р (к)

к=0

(19)

1 N . , ______

где Ру (к) = — X У (і )е~ ^ 2рік^, к = 0, N -1 - комплексные коэффициенты У N і=1

дискретного преобразования Фурье выходного сигнала; ф (к), / = 1, и,

Куі (к), - = 1,т - комплексные коэффициенты дискретного преобразования

Фурье Рф(к):

сигналов базисных Т

Fф1(k),..., ф (к)] , (к)

функций и

К, (к),..., р

Iі

ут

(к)

их

Т

производных;

Для действительных сигналов дискретное преобразование Фурье обладает свойством симметрии Р(-к) = Р(к) = Р(N - к), поэтому при представлении уравнений (18), (19) в векторно-матричной форме можно рассматривать спектральные составляющие только с индексами от 0 до N12 при четном N и от 0 до (N -1)/2 при нечетном N

Є

___т т___ I _____т т_

Р1 "С1 _|_ "С1 "С1 і "С1 "С1 _|_ "С1 "С1

ф ф + ф ф і ф ру + ф ф

-у ф + ф ф

Р

где Ру =

Рф +_ф_ РУ.

Рут РУ + ф РУ

т

(20)

(21)

У

У

ру (0), ру (1),..., Ку (N/2) - вектор комплексных коэффициентов

дискретного преобразования Фурье выходного измеряемого сигнала; Рф = [Рф1,..., фИ і Ру = [Ру1,. ., Рут ] - матрицы, состоящие из векторов

комплексных коэффициентов дискретного преобразования Фурье сигналов

]т _____

базисных функций и их производных; ф = ф (°)....,р<ф- (N2)]

ф-

ф-

і = 1, и;

т

і = 1, т.

Ру, (0),.••, Ру, ( V2)]

Результаты работы. Таким образом, для определения неизвестных параметров нелинейных схемных моделей токопроводящей среды электро-технологических объектов управления, при измерении периодических сигналов мгновенных значений рабочего тока и напряжения и их спектральных составляющих в режиме нормальной эксплуатации, элементы матрицы коэффициентов С (12) и элементы вектора правой части Р (13) системы (11) могут быть определены двумя способами:

а) как скалярные произведения периодических сигналов базисных функций и их производных, сигналов базисных функций в разложении нелинейных характеристик и выходного сигнала;

б) на основе параметров спектральных составляющих определяемых коэффициентами дискретного преобразования Фурье сигналов базисных функций и выходного сигнала.

Параметры модели выражаются через произведение обратной матрицы С, сформированной на основе спектральных составляющих сигналов базисных функций, и вектора Р, полученного на основе значений спектральных составляющих сигналов базисных функций и измеряемого выходного сигнала (15).

Решение значительно упрощается, если сигналы базисных функций и их производных ортогональны, при этом матрица Грамма С становится диагональной, это позволяет обеспечить устойчивость и корректность задач параметрической идентификации рассматриваемых моделей и решать их с минимальным влиянием погрешности исходных экспериментальных данных на результат решения. Но проблема состоит в том, чтобы обеспечивалась ортогональность сигналов базисных функций и их производных в разложении нелинейных характеристик. Если базисные функции разложения нелинейных характеристик сами по себе ортогональны, то это еще не гарантирует ортогональности сигналов базисных функций. И только в частных случаях, когда входной сигнал является гармоническим, а в качестве базисных функций в разложении нелинейных характеристик используются многочлены Чебышева матрица С системы (11) является диагональной [2].

Рассмотренные алгоритмы идентификации параметров нелинейных динамических и статических характеристик схемных моделей, основанные на применении МНК приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений, которые могут быть сформированы как на основе дискретных измерений мгновенных значений периодических сигналов рабочего тока и напряжения, так и на основе спектральных составляющих этих сигналов. Для практической реализации алгоритмов идентификации при построении «интеллектуальных датчиков» могут быть применены технические средства, реализующие аналого-цифровое преобразование сигналов, так и устройства анализа спектральных составляющих.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-07-00527.

Список литературы

1. Лукашенков А. В., Фомичев А. А. Методы идентификации нелинейных схемных моделей электродуговых процессов // Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2004. 228 с.

2. Лукашенков А.В., Фомичев А. А., Плакидин А. С. Идентификация нелинейных динамических моделей электроэнергетических объектов при

периодических сигналах. // ’’Системы управления и информационные технологии” №1 (31) 2008. Москва - Воронеж: Изд-во Научная книга, 2008. С. 67 - 71.

3. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехиздат, 1954. 327 с.

4. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984. 288 с.

Лукашенков Анатолий Викторович, д-р техн. наук, проф., luav50@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Грачев Александр Николаевич, канд. техн. наук, доцент, luav50@,mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Фомичев Александр Александрович, д-р техн. наук, проф., luav50@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ALGORITHMS OF IDENTIFICA TION OF NONLINEAR DYNAMIC MODELS OF ELECTRO TERMICAL OBJECTS BY PERIODIC SIGNALS

A. V. Lukashenkov, A.N. Grachev, A.A. Fomichev

Algorithms of parametrical identification of nonlinear dynamic models of electro-termical objects on the basis of measurement of spectral making external periodic signals are considered at representation of the characteristics of nonlinear elements as decomposition in a series on basic functions on the basis ofpower functions.

Key words: mathematical model, electrotermical objects, circuit models, state space, parametrical identification.

Lukashenkov Anatoliy Viktorovich, doctor of technical science, professor, luav50@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Grachev Aleksandr Nikolaevich, candidate of technical science, docent, luav50@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Fomichev Aleksandr Aleksandrovich, doctor of technical science, professor, luav50@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University