Символьные вычисления на основе корневых деревьев в задачах оценки возможностей управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2017

УДК 517.977.1

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ КОРНЕВЫХ ДЕРЕВЬЕВ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ ВОЗМОЖНОСТЕЙ УПРАВЛЕНИЯ

А. А. Рогалев1, А. Н. Рогалев2

1 Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 2Красноярский научный центр СО РАН Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

При решении типичных задач теории управления множества достижимости играют важную роль. Рассматривается эффективный способ численного построения этого множества на основе работы с помеченными деревьями, что позволяет упростить решение указанных задач.

Ключевые слова: возможности управления, символьные формулы, корневые деревья.

SYMBOLIC CALCULATIONS BASED ON ROOT TREES IN PROBLEMS OF MANAGEMENT OPPORTUNITY EVALUATION

A. A. Rogalev1, A. N. Rogalev2

1 Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation 2Krasnoyarsk Science Centre SB RAS Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

In solving of typical problems of control theory, reachable sets are important. The article considers an efficient way of numerically constructing a set on the basis of working with labeled trees, which makes it possible to simplify the solution of these problems.

Keywords: control capabilities, symbolic formulas, root trees.

Исследование свойств решений управляемых систем выполняется с помощью класса методов гарантированного оценивания решений систем дифференциальных уравнений [1-4].

Пусть решается система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в правой части которой включено управляющее воздействие u(t)

dy dt

= f (t> y uX y(to) = Уо 6 Y0

(1)

Множеством достижимости задачи (1) называется множество У(/,У0 ,и) такое, что выполняется включение у($)е N для любого решения у(^у0,и), начинающегося в области У0 при выборе управляющего воздействия у(/0) е У0. Правые части / системы (1) удовлетворяют условиям существования, единственности решений, продолжимости на всю вещественную ось и непрерывной зависимости от начальных данных всех решений у(/) задачи Коши (1). Построение границ множества достижимости У(/,У0,и) управляемой системы используется для оценки воз-

можностей управления. Будет получен ответ на вопрос, возможно ли переместить управляемую систему в заданное фазовое состояние У» в некоторый фиксированный момент времени Т > t0. Это эквивалентно проверки условия, принадлежит ли вектор У» множеству Ур, т. е. имеет ли место включение у(Т) е Ур. Построение множеств достижимости позволяет определить, как зависит разрешимость рассматриваемых задач от начального множества У0 , от времени Т , от множества и и т. д. Хорошо известно, что эти задачи возникают на практике при оценке маневренных возможностей летательных аппаратов.

Методы, строящие гарантированные границы множеств решений задачи (1), (2), основаны на символьном представлении формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории. Для работы с такими символьными формулами в работе используются

корневые конечные дерево [5]. Пусть ...,Ем |

множество символов, тогда будем говорить, что

дерево помечено метками |Е1, ..., Ем |, если каждому

Прикладная математика

узлу дерева, отличному от корня, соответствует элемент jEj, ...,EM J, присвоенный ему. Помеченное

упорядоченное дерево является помеченным деревом, для которого существует линейное упорядочение потомков каждого узла. Обозначим векторное пространство над к с базисом множества помеченных упорядоченных деревьев через к jLOF(Ej, ..., EM )} . Пусть кjLF(E1, ...,EM)} обозначает векторное пространство над полем к с базисом LFjj ...,EMJ.

Определим умножение в кjLF(E1, ...,EM)J следующим образом. Поскольку набор помеченных деревьев образуют базис для кjLF(E1, ...,EM)J, достаточно описать произведение двух помеченные деревьев. Пусть th t2 - два помеченных дерева. Пусть sj s2, ..., sr - дети корня t1. Если t2 имеет n +1 узлов

(считая корень), существуют (n + l)r способов присоединения r - поддеревьев t1 , которые имеют s1, ...,sr, как корни к помеченному дереву t2, делая каждый si, потомком некоторого узла t2, сохраняющий исходные метки. Произведение t1t2 определяется

как сумма этих (n + l)r меченых деревьев. Можно

показать, что это произведение ассоциативно и что дерево, состоящее только из корня, является мультипликативным тождеством.

Помеченные деревья используются, чтобы упростить вычисление дифференциальных операторов в символьных формулах, помеченные деревья могут быть использованы для упрощения вычислений дифференциальных операторов. Начнем с определения отображения

у : к jLF (Ej,..., Em J Diff ( Dj,..., DN ; R)

следующим образом.

Шаг 1. Задав помеченное дерево t е LFm (E1, .. ., EM ), присваиваем корню число 0 и назначаем остальным узлам числа 1, ...,m. Мы в дальнейшем идентифицируем узел числом, назначенным узлу. Чтобы определить отображение, мы воспользуемся суммирования индексов ц1, ...,,m , связанных с каждым узлом дерева, кроме корня. Закрепим узел к дерева t, и пусть l, ..., l ' обозначают детей этого узла.

Пусть

ГD,, ...D,, a, if к not the root;

R(t;,, ...,,r) = \ W ,r <к (2)

I D, ...D,, if k is the root.

I цl Vr

Мы кратко обозначим это R(к). Заметим, что R(Jc) е R при к > 0 .

Шаг 2. Определим

у (t) = X R(m)...R(1)R(0),

...,,m =j

и расширим у на все k{LF(Ej, ...,EM)} в силу его линейности.

На основе этого отображения упрощается факторизация х (отображения из пространства символов в пространство дифференциальных выражений) с помощью множества помеченных деревьев.

После нахождения символьных формул вычисляются включения, содержащие каждое приближенное решение при варьировании параметров значений, затем оценки глобальных ошибок для всех приближенных решений, соответствующих этим символьным формулам. Завершает алгоритм операция объединения этих множеств включений, реализуемая, например, как сложение множеств.

Библиографические ссылки

1. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8 (5) С. 102-116.

2. Рогалев А. Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2010. Т. 5 (31). С. 148-154.

3. Рогалев А. Н., Рогалев А. А.Численный расчет включений фазовых состояний в задачах наблюдения за движением самолета // Вестник СибГАУ. 2012. Т. 1 (41). С. 53-57.

4. Рогалев А. Н., Рогалев А. А. Численные оценки предельных отклонений траекторий летательных аппаратов в атмосфере // Вестник СибГАУ. 2015. Т. 16, № 1. С. 104-112.

5. Grossman R., Larson R. Differential algebra structures on families of trees // Advances in Applied Mathematics 2005. Т. 35. С. 97-119.

References

1. Rogalev A. N. [Guaranteed methods of solving of ordinary differential equations on the basis of symbolical formulas transformation] .Vychisliteljnye technologii. 2003. Vol. 8 (5). P. 102-116. (In Russ.)

2. Rogalev A. N. [Guaranteed estimates and construction of reachable sets for nonlinear control systems]. Vestnik SibSAU. 2010. Vol. 5 (31). P. 148-154. (In Russ.)

3. Rogalev A. N., Rogalev A. A. Numerical calculation of the inclusions of phase states in the problems of monitoring the motion of an airplane // Vestnik SibSAU. 2012. Vol. 1 (41). P. 53-57. (In Russ.)

4. Rogalev A. N., Rogalev A. A. Numerical estimates of the limiting deviations of the trajectories of aircrafts in the atmosphere // Vestnik SibSAU. 2015. Vol. 16, no.1. P. 104-112. (In Russ.)

5. Grossman R., Larson R. Differential algebra structures on families of trees // Advances in Applied Mathematics. 2005. Vol. 35. P. 97-119.

© Рогалев А. Н., Рогалев А. А., 2017