CC BY
6Решетневские чтения. 2018
УДК 517.977.1
УМЕНЬШЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАТРАТ В СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОРНЕВЫХ ДЕРЕВЬЕВ
А. А. Рогалев, А. Н. Рогалев
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: rogalyov@icm.krasn.ru
Рассматривается эффективный способ численного построения области достижимости на основе работы с помеченными деревьями символьных формул, что позволяет упростить решение указанных задач. Сокращения, которые появляются, при записи неперестановочных операторов через коммутирующие операторы, возникают естественно. Это приводит к символьному алгоритму, применение которого для записи и преобразования производных, ускоряет вычисления в задаче оценки множеств достижимости экспоненциально.
Ключевые слова: символьные формулы, корневые деревья, помеченные деревья, область достижимости.
DECREASE OF COMPUTING COSTS IN SYMBOLIC CALCULATIONS WITH THE USE OF ROOT TREES
A. A. Rogalev, A. N. Rogalev
Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: rogalyov@icm.krasn.ru
The article considers an effective way of numerically constructing of the reachability domain based on transforming the symbolic formulas marked with trees, which makes it possible to simplify the solution of these problems. Reductions of the formulas that appear when writing non-commuting operators via commuting operators arise naturally. This leads to a symbolic algorithm, the use of which for writing and converting derivatives, accelerates the calculation of the operator exponentially.
Keywords: symbolic formulas, root trees, tagged trees, reachability
В статье описывается класс методов гарантированного оценивания областей достижимости [1—4], использующего символьные формулы решений.
Пусть решается система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в правой части которой включено управляющее воздействие ы^)
dy dt
= f(t,У,и), Ж) = Уо 6 Fo-
Cl)
Областью достижимости задачи (1) называется множество У(/,У0 ,и) такое, что выполняется включение у(/) е У(/, У0, и) для любого решения у(/, у0, ы), начинающегося в области У0 при выборе управляющего воздействия у(/0) е У0. Выполнены условия существования, единственности решений, продолжимости на всю вещественную ось и непрерывной зависимости от начальных данных всех решений у(/) задачи Коши (1). Оценка границ областей достижимости позволяет определить зависимость решений рассматриваемых задач от начального множества У0, от времени Т, от множества и и т. д. Хорошо известно,
что эти задачи возникают на практике при оценке маневренных возможностей летательных аппаратов.
Методы, строящие гарантированные границы множеств решений задачи (1), (2), основаны на символьном представлении формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории. Для работы с такими символьными формулами в работе используются корневые конечные дерево [5]. Пусть {£1,...,EMj -множество символов, тогда будем говорить, что дерево помечено метками {Ej,...,Em j , если каждому узлу дерева, отличному от корня, соответствует элемент {Ej,..., Em j, присвоенный ему. Для помеченного упорядоченного дерева существует линейное упорядочение потомков каждого узла. Обозначим векторное пространство над к с базисом множества помеченных упорядоченных деревьев через к{LOF(E1,...,EM)j . Пусть к{LF(E1,...,EM)j обозначает векторное пространство над полем к с базисом LF {Ej,..., Em j .
Прикладная математика
Определим умножение в к{ЬЯ(Ер...,Ем)} следующим образом. Поскольку набор помеченных деревьев образуют базис для к {ЬЯ(Е1;..., Ем)} , достаточно описать произведение двух помеченные деревьев. Пусть /2 - два помеченных дерева. Пусть
51,52,...,яг - дети корня ^ . Если /2 имеет п +1 узлов (считая корень), существуют (п + 1)г способов присоединения г - поддеревьев ^, которые имеют 51,...,5'г, как корни к помеченному дереву /2, делая каждый , потомком некоторого узла /2, сохраняющий исходные метки. Произведение Ц2 определяется
как сумма этих (п + 1)г меченых деревьев. Помеченные деревья используются, чтобы упростить вычисление дифференциальных операторов в символьных формулах, помеченные деревья могут быть использованы для упрощения вычислений дифференциальных операторов.
Пусть Ц,...,- это N перестановочных производных Я , то есть, для /,] = 1,...,N,
Г>Ра = а для всех а е Я .
Предположим, что мы также получили м производных Е1,...,Ем е Я, которые могут быть выражены
как Я - линейных комбинаций производных ; то есть, для у = 1,...,М ,
N
Еу =Х ар^ , где ^ е Я . (2)
Ц=1
На необходимо записать производные высокого порядка, порожденные Е1,....,Ем , с помощью членов перестановочных производных Д,..., DN .
Более формально, обозначим к(Е1,...., Ем) свободную ассоциативную алгебру символов Е1,...,Ем и пусть Е///(Ц,...,;Я) - это пространство формальных линейных дифференциальных операторов с коэффициенты из Я ; т. е. Е/Г Щ,...,;Я) является алгеброй всех отображений Я ^ Я, порожденных отображениями Ь(а), а е Я. (отображение
Ь(а), а е Я , определяется зависимостью Ь(а)(Ь) = аЬ для Ь е Я ). Пусть X: к(Ер...
, Ем
обозначает отображение, которое отправляет (назначает) р е к (Ер..., Ем) линейному дифференциально -му оператору х(р), полученному подстановкой (1) и упрощением, использующим тот факт, что являются производными Я .
Пусть p £ k^,...,
имеет
вид, p = ^ pt, где
каждый член pt степени m .
Непосредственный расчет x(p) будет вычислять Х( pi ).
Это даст lm!Nm членов. Предположим, что Cost(p) - это затраты применения алгоритм А для
A
упрощения p £ k(Ei,...,EM), пропорциональные количеству дифференцирований и умножений.
Тогда
Cost (p) = O(lmn! Nm).
Naive
После нахождения символьных формул вычисляются включения, содержащие каждое приближенное решение при варьировании параметров значений, затем оценки глобальных ошибок для всех приближенных решений, соответствующих этим символьным формулам. Завершает алгоритм операция объединения этих множеств включений, реализуемая, например, как сложение множеств.
Библиографические ссылки
1. Рогалев А. Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные технологии. 2003. № 8 (5). С. 102-116.
2. Рогалев А. Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестник СибГАУ. 2010. № 5 (31). С. 148-154.
3. Рогалев А. Н., Рогалев А. А.Численный расчет включений фазовых состояний в задачах наблюдения за движением самолета // Вестник СибГАУ. 2012. № 1 (41). С. 53-57.
4. Рогалев А. Н., Рогалев А. А. Численные оценки предельных отклонений траекторий летательных аппаратов в атмосфере // Вестник СибГАУ. 2015. Т. 16, № 1. С. 104-112.
5. Grossman R., Larson R. Differential algebra structures on families of trees // Advances in Applied Mathematics 2005. Vol. 35. P. 97-119.
References
1. Rogalev A. N. [Guaranteed methods of solving of ordinary differential equations on the basis of symbolical formulas transformation] .Vychisliteljnye technologii. 2003. № 8 (5). P. 102-116. (In Russ.)
2. Rogalev A. N. [Guaranteed estimates and construction of reachable sets for nonlinear control systems]. Vestnik SibSAU. 2010. № 5 (31). P. 148-154. (In Russ.)
3. Rogalev A. N., Rogalev A. A. Numerical calculation of the inclusions of phase states in the problems of monitoring the motion of an airplane // Vestnik SibSAU. 2012. № 1 (41). P. 53-57. (In Russ.)
4. Rogalev A. N., Rogalev A. A. Numerical estimates of the limiting deviations of the trajectories of aircrafts in the atmosphere // Vestnik SibSAU. 2015. Vol. 16, No. 1. P. 104-112. (In Russ.)
5. Grossman R., Larson R. Differential algebra structures on families of trees // Advances in Applied Mathematics. 2005. Vol. 35. P. 97-119.
© Рогалев А. Н., Рогалев А. А., 2018
i=1
