CC BY
10
Симплекс-оптимизация в задаче определения магнитных характеристик высококоэрцитивных постоянных магнитов
В.И. Король, М.В. Ланкин
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени
М.И. Платова
Аннотация: Работа посвящена применению алгоритма симплекс-оптимизации в области магнитных измерений, а именно в измерении кривой размагничивания высококоэрцитивных магнитных материалов. Алгоритм нашёл своё место в реализации нового метода, основанного на натурно-модельном подходе и модели гистерезиса Джилса-Аттертона, суть которого также описана в работе. Ожидается, что новый метод даст возможность более точно определять кривую размагничивания постоянных магнитов за счёт применения измерителей напряжения тока вместо классических индукционных датчиков, что позволит избежать накопления ошибки. Алгоритм симплекс-оптимизации позволяет оптимизировать параметры модели Джилса-Аттертона таким образом, чтобы смоделированная математическая модель высококоэрцитивного магнитного материала наиболее соответствовала измеряемому магнитному материалу. Метод опробован на мультифизической модели, построенной в программном пакете СОМБОЬ Multiphysics, и включает в себя расчёты индуктора и постоянного высококоэрцитивного магнита.
Ключевые слова: постоянный магнит, неодимовый магнит, высококоэрцитивный материал, магнитный материал, разложение Фурье-Бесселя, аппроксимация, импульс, оптимизация, симплекс, алгоритм Нелдера-Мида, математическая модель, коэрцитивная сила, гистерезис.
Высококоэрцитивные постоянные магниты отличаются тем, что они имеют очень высокие магнитные свойства (остаточную индукцию, коэрцитивную силу, энергетическое произведение) и сохраняют их на протяжении длительного времени. Поэтому они широко используются в различных устройствах, где требуется постоянное магнитное поле, например, в электромоторах, генераторах, датчиках, медицинских приборах и множестве других электротехнических устройств. Заведомо известные магнитные характеристики позволяют выбрать оптимальный высококоэрцитивный материал для конкретной технической задачи, тем самым достигается улучшение качества и увеличение эффективности производимой продукции.
Кроме того, результаты исследования могут быть использованы для разработки новых материалов с более высокими характеристиками, что приведет к созданию более эффективных и экономически выгодных изделий.
М Инженерный вестник Дона, №6 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n6y2023/8550
Классические методы описаны в [1-3], их недостатки, как и преимущества предлагаемого способа, описаны в статье [4]. Наиболее подробно суть предлагаемого метода изложена в реферате патента [5].
Для разработки нового метода определения магнитных характеристик, среди прочих, используются: натурно-модельный подход [6], метод симплекс-оптимизации Нелдера-Мида [7-9] и метод разложения функций в ряд Фурье-Бесселя [10-12]. Исследование аппроксимации функций в ряд Фурье-Бесселя в задаче измерения магнитных характеристик описано в статье [13].
Рассмотрим работу симплекс-оптимизации на конкретном примере, задавшись погрешностью определения характеристики тока 5 = 1%.
Допустим, искомый магнитный материал обладает следующими корректируемыми параметрами модели Джилса-Аттертона [14]: постоянная необратимой деформации доменных стенок K =178 кА/м; коэффициент, определяющий междоменную связь в магнитном материале, а = 0,25; характеристика B(H) показана на рис. 1. В, Т "
1.6 -1.2 -0.8 -0.4 -0 --0,4 --0.8 --1.2 --1.6 -
-2 t—.-1-.-.-.-1-.-.-.-1—.-.-.-1-.-.-.-1-.—d—
-400 -200 0 200 400 //, кА/м
Рис. 1 - Характеристика B(H) искомого магнита
М Инженерный вестник Дона, №6 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n6y2023/8550
Измерим отрицательную полуволну намагничивающего импульса тока ¡^) для искомого магнита. Теперь зададимся произвольными параметрами К и а в математической модели, допустим, К = 53 кА/м, а = 0,21, и для магнита с произвольными параметрами получим рассчитанный намагничивающий импульс тока ¡р(1). Импульсы тока ¡(?) и ¡р(?) показаны на рис. 2.
250
0
-250
-500
-750
-1000
Global: Ток {А)
1 1 1 1 1 1
до
т
1 1.2 1,4 1,6 1.8 2 мс
Рис. 2 - Отрицательная полуволна импульсов тока ¡(?) и ¡р(?)
Теперь, с помощью описанного в [11] алгоритма разложения характеристик в ряд Фурье-Бесселя, обработаем сигналы токов и найдём численное различие между ними. Для этих двух импульсов различие составляет более 35%, что значительно больше заданной погрешности 5 = 1%.
На этом этапе вступает в работу симплекс оптимизация, которая вокруг произвольно заданной точки генерирует комбинацию из трёх точек с координатами (К1; а1), (К2; а2), (К3; а3), образующих треугольник. В каждой точке рассчитывается импульс тока ¡р(?), который сравнивается с измеренным ¡(?), что даёт три показателя различия, каждый из которых соответствует своей вершине треугольника. Для того, чтобы алгоритм мог стремиться к сниже-
нию различия между токами, задаётся вектор движения параметров К и а путём назначения каждой из трёх сгенерированных точек качественного параметра. Точка, показывающая минимальное различие токов, является «лучшей», максимальное - «худшей», и оставшаяся точка является «хорошей». Задача симплекс-оптимизации состоит в том, чтобы на каждой итерации избавляться от «худшей» точки путём преобразования треугольника следующими операциями: отражение «худшей» точки, растяжение отраженной точки, сжатие отраженной точки и глобальное сокращение симплекса. Преобразование треугольника происходит до тех пор, пока в новой сгенерированной точке различие между импульсами не окажется меньше заданной погрешности 5 = 1%.
Движение симплекса в пространстве параметров модели Джилса-Аттертона показано на рис. 3. Отдельно стоящей точкой указаны искомые координаты К = 53 кА/м, а = 0,21.
Координаты вершин симплексов, различие характеристик токов в соответствии с этими координатами, а также вид деформации симплекса, указаны в таблице 1.
а
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
50 100 150 200 250 К, кА/м
Рис. 3 - Движение симплекса.
Таблица №1
Координаты движения симплекса
№ симпл. 1 2 3
К, кА/м 78,000 28,00 53,00 140,50 53,00 78,000 140,50 78,00 140,50
а 0,224 0,224 0,181 0,160 0,181 0,224 0,160 0,224 0,160
^ 28,935 45,194 33,950 13,588 33,950 28,935 13,588 28,935 13,588
Операция растяжение отражение отражение
№ симпл. 4 5 6
К, кА/м 140,50 228,00 165,50 228,00 253,00 165,50 165,50 190,00 253,00
а 0,160 0,139 0,203 0,139 0,182 0,203 0,203 0,246 0,182
^ 13,588 12,053 6,332 12,053 11,750 6,332 6,332 3,676 11,750
Операция отражение отражение отражение
№ симпл. 7 8 9
К, кА/м 253,00 190,00 215,37 196,56 190,00 165,50 179,39 190,00 196,56
а 0,182 0,246 0,203 0,214 0,246 0,203 0,217 0,246 0,214
^ 11,750 3,676 7,350 4,932 3,676 6,332 3,636 3,676 4,932
Операция сжатие сжатие отражение
№ симпл. 10
К, кА/м 179,39 190,00 172,83
а 0,217 0,246 0,249
^ 3,636 3,676 0,941
Операция результат
На последней, десятой, итерации р азличие токов составляет 0,9 41%,
что удовлетворяет условию погрешности. На рисунке 4 показаны импульсы
тока, полученные при рассчитанных и искомых параметрах К и а. и А
250 -
о -
-250 --500 --750 -
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 ^ мс
Рис. 4 - Импульсы тока - измеренный и смоделированный
и
На рисунке 5 показано сравнение характеристик В(Н) искомого и рассчитанного материалов во втором квадранте петли гистерезиса.
Н, кА/м -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
Рис. 5 - характеристики В(Н) - искомая и вычисленная моделью
Заключение
Таким образом, за счёт применения натурно-модельного подхода, математической модели намагничивающей установки и магнита, алгоритма симплекс-оптимизации и алгоритма разложения функций в ряд Фурье-Бесселя становится возможным отказаться от индукционных датчиков в пользу измерителей тока и напряжения, вследствие чего достигается определение кривой размагничивания высококоэрцитивного материала с большей точностью. Симплекс-оптимизация показала себя в данной задаче, как точное и гибкое средство минимизации по погрешности. Работоспособность метода подтверждается исследованиями моделей в пакете СОЫБОЬ Multiphysics.
Литература
1. Нестерин В. А. Оборудование для импульсного намагничивания и контроля постоянных магнитов. М.: Энергоатомиздат, 1986. 88 с.
2. Nesterin V. A., Andreev V. N., Nesterina A. D., Toyderiakov A. A. Pulse equipment with improved accuracy for magnetisation and measurement of magnets // Intern. XI Symp. on Micromachines and Servodrives. Malbork: Poland. 1998. V. 2. PP. 314 - 319.
3. Нестерин В.А., Тойдеряков A.A., Андреев В.Н. Импульсный коэрцитиметр с улучшенными точностными параметрами. Электротехника, №10, 1999, С. 44-46.
4. Король В.И., Ланкин М.В., Ланкин А.М. Метод определения магнитных характеристик высококоэрцитивных постоянных магнитов с применением вейвлет-преобразования // Инженерный вестник Дона, 2021, № 6. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdl7IVD_5__6_Korol_Lankin_Lankin.pdf_41 e278648c.pdf 3
5. Король В.И., Ланкин М.В. Способ измерения ВН-характеристик постоянных магнитов. Патент на изобретение RU2793154C1, Бюл. №10, 2023. - 12 с.
6. Lankin A. M., Lankin M. V., and Lankin I. M., "Use of the method of harmonic balance for controlling the condition of permanent magnets," Metal Science and Heat Treatment, vol. 61, no. 9-10, 2020, pp. 569-571.
7. Бакланов А. Н., Клименко О. Д., Монькин В. А. Исследование метода и алгоритма Нелдера-Мида / Информационные и измерительные системы и технологии: Сборник научных статей по материалам Международной научно-технической конференции, Новочеркасск, 01 февраля 2016 года. - Новочеркасск: ООО «Лик», 2016. - С. 178-184.
8. Li Z. Zhan Y. A revised stochastic Nelder-Mead algorithm for numerical optimization. 2014 4th IEEE International Conference on Information Science and Technology, 2014, pp. 821-824.
9. Yanvarev S. G., Baklanov A. N., and Shepeleva A. O., "The Nelder-Mead optimization method," in Computer Technologies in Science, Production, Social and Economic Processes. Proceedings of the 16th International Scientific and Practical
Conference Dedicated to the 110th Anniversary of Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI) of the M.I. Platov, 2016, pp. 67-71.
10. Зубов В.И. Функции Бесселя // Учебно-методическое пособие. М.: МФТИ, 2007. - С. 40.
11. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций // М.: Наука, 1971. - 288 с.
12. Ляхов Л.Н., Рощупкин С.А. Полное преобразование Фурье-Бесселя некоторых основных функциональных классов. Воронеж, Научные ведомости. 2013, №12. С. 85-92.
13. Король В.И., Ланкин М.В., Горбатенко Н.И. Регрессионная модель погрешностей аппроксимации кривой тока для измерения магнитных характеристик // Инженерный вестник Дона, 2022, № 7. URL:
ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_1_7_Korol_Lankin_Gorbatenko_1_.pdf_7e8f
d4d3a8.pdf
14. Гречихин В.В. Применение математического моделирования в задачах определения петель гистерезиса электротехнических материалов // Известия вузов. Электромеханика, 2010. №3. - С. 13-18.
References
1. Nesterin V. A. Oborudovanie dlya impul'snogo namagnichivaniya i kontrolya postoyannyh magnitov [Equipment for pulsed magnetization and control of permanent magnets]. Moskva: Energoatomizdat, 1986. P. 88.
2. Nesterin V. A., Andreev V. N., Nesterina A. D., Toyderiakov A. A. Intern. XI Symp. on Micromachines and Servodrives. Malbork: Poland. 1998. V. 2. PP. 314-319.
3. Nesterin V.A., Toideryakov A.A., and Andreev V.N. Elektrotekhnika, vol. 10, 1999, pp. 44-46.
4. Korol V.I., Lankin M.V., Lankin A.M. Inzhenernyj vestnik Dona, 2021, № 6. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdl7IVD_5__6_Korol_Lankin_Lankin.pdf_41 e278648c.pdf
5. Korol V.I., Lankin M.V. Sposob izmereniya VN-xarakteristik postoyanny'x magnitov. [A method for measuring the BH-characteristics of permanent magnets]. Patent RU2793154C1, 2023. 12 p.
6. Lankin A. M., Lankin M. V., and Lankin I. M. Metal Science and Heat Treatment, vol. 61, № 9-10, 2020, pp. 569-571.
7. Baklanov A. N., Klimenko O. D., Monkin V. A. Sbornik nauchnyh statej po materialam Mezhdunarodnoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii. Novocherkassk, February 01, 2016. LLC "Lik", 2016. pp. 178-184.
8. Li Z., Zhan Y. A revised stochastic Nelder-Mead algorithm for numerical optimization, 4th IEEE International Conference on Information Science and Technology, 2014, pp. 821-824.
9. Yanvarev S. G., Baklanov A. N., and Shepeleva A. O., Proceedings of the 16th International Scientific and Practical Conference Dedicated to the 110th Anniversary of Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI) of the M.I. Platov, 2016, pp. 67-71.
10. Zubov V.I. Funkcii Besselya [Bessel functions] Uchebno-metodicheskoe posobie. Moskva: MFTI, 2007. P. 40.
11. Korenev B.G. Vvedenie v teoriyu besselevyh funkcij [Introduction to the theory of Bessel functions] Moskva: Nauka, 1971. 288 p.
12. Lyakhov L.N., Roshchupkin S.A. Nauchnye vedomosti, Voronezh, 2013, №
12. pp. 85-92.
13. Korol V.I., Lankin M.V., Gorbatenko N.I. Inzhenernyj vestnik Dona, 2022, № 7. URL:
ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_1_7_Korol_Lankin_Gorbatenko_1_.pdf_7e8f
d4d3a8.pdf
14. Grechixin V.V. Izvestiya vuzov. E'lektromekhanika, 2010. №3. pp. 13-18.
