Симметризованные многочлены в задаче оценки мервы иррациональности числа ln 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 1

УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-15-25

Симметризованные многочлены в задаче оценки меры иррациональности числа 1П31

Бондарева Инна Васильевна — аналитик данных, Брянский государственный технический университет, ООО "АйТи Про". e-mail: [email protected]

Лучин Михаил Юрьевич — Брянский государственный технический университет. e-mail: [email protected]

Салихов Владислав Хасанович — профессор кафедры высшей математики, Брянский государственный технический университет. e-mail: [email protected]

Аннотация

Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из основыных направлений теории диофантовых приближений.

В настоящее время разработан целый ряд методов, позволяющих получать подобные оценки для значений аналитических функций. Наиболее эффективным оказался метод, связанный с построением различных интегральных конструкций; одним из первых подобных построений является классическое интугральное представление гипергеометрической функции Гаусса.

Оценки снизу меры иррациональности логарифмов рациональных чисел рассматривались многими зарубежными авторами: А. Бейкер и Д. Вустольц [4], А. Хеймонен, Т. Матала-ахо, К. Ваананен [5], К. By [6], Д. Рин и П. Тоффин [7]. В своих работах они применяли различные интегральные конструкции, дающие малые линейные формы от логарифмов и других чисел, вычисляли асимптотику интегралов и коэффициентов линейных форм с помощью метода перевала, теоремы Лапласа, оценивали знаменатель коэффициентов линейных форм с использованием различных схем "сокращения простых чисел". Обзор некоторых методов из теории диофантовых приближений логарифмов рациональных чисел того времени был представлен в 2004 году в статье В. В. Зудилина [8].

Затем В. X. Салихов в работе [3], основываясь на тех же асимптотических методах, но использовав новый вид интегральной конструкции, обладающей свойством симметрии, значительно улучшил оценку меры иррациональности числа ln 3. Впоследствии В. X. Са-лихову, благодаря использованию уже комплексного симметризованного интеграла, удалось улучшить оценку меры иррациональности числа я [15]. В дальнейшем данный метод (применительно к диофантовым приближениям логарифмов рациональных чисел) получил развитие в работах его учеников: Е. С. Золотухиной [10, 11], М. Ю. Лучина [12, 13], Е. Б. Томашевской [14]. Это привело к улучшению оценок мер иррациональности целого ряда чисел:

M(log(5/3)) < 5.512... [14], ^(log(8/5)) < 5.9897 [12], ^(log(7/5)) < 4.865... [14], M(log(9/7)) < 3.6455 ... [10], ^(log(7/4)) < 8.1004 [13].

С помощью интегральной конструкции, основанной на симметризованных многочле-

ln 3

принадлежал К. By и Л. Вангу и был установлен в 2014 г.

Улучшение оценки связано с добавлением к симметризованным многочленам, использованным в интегральной конструкции К. By и Л. Ванга, специального квадратного симметризованного многочлена.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-01-00296-а).

Ключевые слова: диофантовы приближения, мера иррациональности, симметризован-ные многочлены.

Библиография: 15 названий. Для цитирования:

И. В. Бондарева, М. Ю. Лучин, В. X. Салихов. Симметризованные многочлены в задаче оценки меры иррациональности числа 1п3 // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 1, с. 1525.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 1

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-1-15-25

Symmetrized polynomials in a problem of estimating of the irrationality measure of number ln 3

Bondareva Inna Vasilievna — data analyst, Bryansk State Technical University, "IT Pro"LLC. e-mail: [email protected]

Luchin Mikhail Yurievich — Bryansk State Technical University. e-mail: [email protected]

Salikhov Vladislav Khasanovich — Professor of the Department of Higher Mathematics, Bryansk State Technical University. e-mail: [email protected]

Abstract

An estimate of the irrationality measure of various transcendental numbers is one of the directions in the theory of Diophantine approximations foundations.

Nowadays there is a range of methods which make possible to obtain similar estimates for the values of analytic functions. The most effective method is the adding of various integral constructions; one of the first early constructions is the classical intuitive representation of the Gauss hypergeometric function.

Lower estimates of the irrationality measure of rational numbers logarithms were considered by many foreign authors: A. Baker and G. Wiistholz [4], A. Heimonen, T. Matala-aho, K. Vaananen [5], Q. Wu [6], G. Rhin and P. Toffin [7]. In their works they used various integral constructions, giving small linear forms from logarithms and other numbers, calculated asymptotic of integrals and coefficients of the linear forms using the saddle point method, Laplace theorem, evaluated the denominator coefficients of the linear forms using various schemes "reduction of prime numbers". Review of some methods from the theory of diophantine approximation of rational numbers logarithms at that time was introduced in 2004 by V. Zudilin [8].

Then V. Kh. Salikhov in [3] considerably improved estimate of the irrationality measure of ln 3, based on the same asymptotic methods, but used a new type of integral construction, which has property of summetry. Subsequently, V. Kh. Salikhov due to usage of already complex symmetrized integral improved estimate of the irrationality measures of -k [15]. In the future, this method (as applied to diophantine approximation of logarithms of rational numbers) was developed by his pupils: E. S. Zolotuhina [10, 11], M. Yu. Luchin [12, 13], E. B. Tomashevskaya [14]. It led to improvement of the irrationality measure estimates for the following numbers:

M(log(5/3)) < 5.512... [14], ^(log(8/5)) < 5.9897 [12], ^(log(7/5)) < 4.865... [14], M(log(9/7)) < 3.6455 ... [10], ^(log(7/4)) < 8.1004 [13].

In this paper due to usage the symmetrized real integral we obtain a new estimate of the ln 3 ln 3

2014 by Q. Wu and L. Wang [1].

The estimate improvement had resulted from the addition of a special square symmetrized polynomial to the symmetrized polynomials used in the integral construction of K. Wu and L. Wang.

Keywords: diophantine approximations, irrationality measure, symmetrized polynomials.

Bibliography: 15 titles.

For citation:

I. V. Bondareva, M. Y. Luchin, V. H. Salikhov, 2018, "Symmetrized polynomials in a problem of estimating of the irrationality measure of number ln3 Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 1, pp. 1525.

1. Введение

Мерой иррациональности ^(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань множества чисел а, для которых, начиная с некоторого положительного д ^ Чо(о1), выполняется неравенство

Ь - -1 > д-а, р е Ъ, д е N. Я

В работе [1] была получена оценка ^(1п3) ^ 5.1163051. Отметим, что в работе [2] Д. Рин получил оценку /х(1п3) ^ 8.616, а в работе [3] В. X. Салихов с помощью симметризованных многочленов улучшил результат Д. Рина: ^(1п3) ^ 5.125. В настоящей работе доказан следующий результат:

Теорема 1. Пусть Н1,Н2,Н е Ъ, Н = max(|Л,1|, |Л,2|); Н ^ Н0. Тогда

1п2 + Л.2 1п3 + Л,| > Н-

где ц = 4.116201.

Следствие 1. Справедлива оценка

^(1п3) < 5.116201.

2. Доказательство теоремы 1

Пусть далее (1 = 35 ^ = (х — й)2, А е N В е Ъ+, (А, В) = 1 в случае В = 0,

Р = АЪ — В = А2Х2 + А1Х + Ао, (1)

где А2 = А, А1 = —2Ай, А0 = Ай2 — В.

Определим для несократимой дроби а/Ъ, где а е Ъ, а = 0, Ь е N показатель Хр = Хр(а/Ъ) е Ъ простого числа р так, что

О, у Й1

ь = ^ Ц,

где а1 е Ъ, Ь1 е N (а1,Р) = (Ь1,р) = 1-

Пусть, наконец, для аналитической в точке х = 0 функции /(х)

Вой(х)) = /(0), БМ(/(Х)) = , М е N.

Определим для многочлена Р из (1)

Тр(Р) = miп(2,Tp(Aо))^ где р е {5; 7},

r3(P)=mm(1,r3(Aо)), (2)

ЩР) =^^4,72040)).

Лемма 1. Пусть т е N N е Ъ+ N ^ 2т. Тогда, выполняются следующие оценки

Гр(Ои(Рт)) >тГр(Р) — N, р е {3; 5; 7}, (3)

ЫВИ(Рт)) > тТр(Р) — ЗN. (4)

Доказательство. Пусть далее т = (то, тг,т2) е (^+)3, |ш| = то + тг + т2,

._. |т|

7(т) = —^-: е N.

то!тг!т2!

Тогда из (1) имеем

Рт = ^ 7(т)А™2А™1 А™0хт1+2т2,

\т\=т

Ом(Рт) = ^ 7(т)А™0(2й)т1 = (-1)™1 Ат1+т2 е Z.

\т| =т,т.1+2т2=М

Для р е {5; 7} получим

Гр(Ом(Рт)) ^ тоТр(Ао) + тг ^ (то + Ш1 + т2)Тр(Р) - (тг + 2т2) = тТр(Р) - И,

т.к. из (2) имеем Тр(Ао) ^ Тр(Р), Тр(Р) < 2. Аналогично

Гз ) ^ тоГз(Ао) > (то + тг + т2)Гз(Р) - (тг + 2т2) = тЩР) - Ж,

т.к. из (2) имеем Тз(Ао) > Т3(Р), Т3(Р) < 1, и неравенства (3) доказаны. Имеем далее

Т2) ^ тоЫАо) + тг ^ (то, тъ т2)ЩР) - 3(тг + 2т2) = тЩР) - 3Ж,

т.к. из (2) имеем Т2(Ао) > 72 (Р), Т2(Р) < 4, и неравенство (4), а вместе с ним и лемма 1 доказаны.

Пусть А, В, С е N (Л В, С) = 1,

4

Р = АЪ2 - вг + С = ^ Л^, (5)

г=о

где ^4 = Д Аз = -^2 = 6й2А - В, Аг = -4йзА + 2ЛВ, Ао = й4А - й2В + С. Определим для многочлена (5) показатели

Тр(Р) = шт(4,Тр(Ао),Тр(Аг) + 1,ТР(А2) +2), р е {5; 7},

Тз(Р) = ш1п(2,Гз(Ао),Гз(Аг) + 1), (6)

ЩР) = ш1П(8,Г2(АО),Г2(А1) +3,72(^2) + 6).

Лемма 2. Для многочлена (5) выполнены, оценки (3) и (4), где N < 4т, а показатели Тр(Р) определены равенствами (6).

Доказательство. Пусть далее

т

= (то, m1,m2, тз, т4) е (^+)5, |т| = то + тг + т2 + тз + т4,

._. |т|

7(т) = —:--1-- е N.

m0!m1!m2!m3!m4!

Тогда

4

Рт = ^ 7(т) ,

\т\ =т г=о

ом (рт)= Е -у (И) П

Рассмотрим ряд случаев

\т\ 4=1 гт,1=М

1. ре {5; 7}.

Имеем

4 4

Tp(Dn(Рт)) > £ тгТр(Аг) > тТр(Р) - £ rn. = тТр(Р) - Ж,

г=0 г=0

т.к. Тр(А^) + г > Тр(Р), г = 0,1,..., 4. Для г е {0; 1;2} это следует из определения (6), при г = 3 Тр(Аз) +3 > 1 + 3 > Тр(Р^и г = 4 Тр(Аа) +4 > 4 > Тр(Р)

2. р = 3.

В этом случае

4

T3(Dn(Рт)) > ^тгТз(Аг) > тТз(Р) - N,

г=0

т.к. снова Т3(А^ + i > Т3(Р), i = 0,1,..., 4. Для i е {0; 1} это неравенство следует из (6), а для г е {2; 3; 4} Т3(А^) +г > 2 > Т3(Р), и неравенства (3) для многочлена (5) доказаны.

3. р = 2.

Здесь

44

T2(Dn(Рт)) > ^ тгТ2(Аг) > тТ2(Р) - 3 ^ т = тТ2(Р) - 3N,

г=0 г=0

т.к. Т2(Аг) + 3i > Т2(Р), i = 0,1,..., 4. Для i е {0; 1;2} это следует из определения (6), а при г е {3;4} Т2(А^) + 3г > 9 > Т2(Р), и неравенство (4), а вместе с ним и лемма 2 доказаны.

При доказательстве теоремы 1 мы будем применять 7 многочленов вида (1), а также один многочлен вида (5), а именно

Р1 (х) = (х - 28)(х - 42) = t- 49; Р2(х) = (х - 30)(х - 40) = t- 25; Рз(х) = (х - 35)2 = t; Р4(х) = 3х2 - 210х + 3640 = 3i - 35; Р5(х) = 71х2 - 4970х + 86240 = 71i - 735; Рб(х) = (11х - 420)(11х - 350) = 121i - 1225; Р7(х) = 113х2 - 7910х + 137200 = 113i - 1225; Рв(х) = 6112 - 3066t + 25725, t = (х - 35)2.

Положим {рi; Р2; рз; Р4} = {7; 5; 3; 2} для выписанных многочленов Р^(х), к = 1,..., 8, обозначим

4

П-г-г Тр. ( Рк)

= 11 Pi '

к 3=1

Из определений показателей (2) и (6) имеем

П = 72 * 31 * 23; П = 52 * 31 * 24; 12

П = 72 * 51 * 24; ^ = 72 * 52 * 31 * 23;

5 б

П = 72 * 52; П = 71 * 51 * 23;

3 4

П = 72 * 52 * 24; П = 73 * 52 * 28;

Пусть

аг = 0.499408; «2 = 0.499623; аз = 0.497422; а4 = 0.000651;

«5 = 0.000327; а6 = 0.000969; а7 = 0.001394; аз = 0.000103;

Рассмотрим рациональную функцию

(8)

рак п

= жп+1(701 -х)п+1 ,

где п е N п кратно 106, а тогда все п е N.

Отметим, что в работе [3] рассматривались лишь многочлены Рг(х), Р2(х) и Рз(х), а в работе [1] к этим многочленам были добавлены Рк(ж), к = 4; 5; 6; 7. Наконец, в нашей конструкции ко всем этим многочленам добавлен квадратичный многочлен Р&(х). Определим следующие интегралы

г4о г 42

= Кп(х)йх, ш2 = Кп(х)йх. (10)

з5 4о

Функция (9) симметрична относительно точки х = 35. Следовательно, её разложение в сумму простейших дробей имеет вид

П+1 , ч

Д„(,) = 0„-2(х) + Е (% + , (11)

где все а,г е ^ Яп-2(х) е Щх], degQn-2(x) = 2п(аг + ... + а7) + 4паз - 2п - 2 = п - 2. Следующая лемма аналогична лемме 1 работы [3].

Лемма 3. Для всех г = 1, ...,п + 1 имеет, место представление

аг = 7^2 * 5*-2 * 3-1 * 2з*-4-а"Мг, (12)

где Мг е Щ а = 0.490716.

Доказательство. Пусть т = (т1, ...,тд) е (Щ+)д, \т\ = тг +... + т9. Тогда из (9) и (11) получим

8

аг = Оп+1-г(Кп(х)хп+1) = £ (Рк (х)а*п) Отд ((70 - х)-п-1) .

\т\ =п+1-г к=1

Имеем

П

тд

((70 -х)-п-1) = 70-п-тд-1.

Как в лемме 1 работы [3], необходимо оценить снизу показатели (а¿), р^ е {7;5;3;2}. Мы будем применять леммы 1, 2, а также равенства (7) и (8). Имеем последовательно

Т7(аг) ^ 2агп - тг + 2азп - тз + а4п - т4 + 2а5п - т5 + 2а6п - т6 + 2а7п - т7 + 3а8п--т8 -п - тд - 1 ^ п(2аг + 2аз + а4 + 2а5 + 2а6 + 2а7 + 3а8) - п - 1 - (п + 1 - г) = г - 2; Т5(аг) ^ 2а2п - т2 + 2азп - тз + а4п - т4 + а5п - т5 + 2а6п - т6 + 2а7п - т7 + 2а8п--т8 - п - т9 - 1 ^ п(2а2 + 2аз + а4 + а5 + 2а6 + 2а7 + 2а8) - п - 1 - (п + 1 - г) = г - 2;

Тз(аг) ^ агп - тг + а2п - т2 + а6п - т6 ^ п(аг + а2 + а6) - (п + 1 - г) = г - 1; Т2(аг) ^ 3агп - 3тг + 4а2п - 3т2 + 3а4п - 3т4 + 4а5п - 3т5 + 3а6п - 3т6 + 4а7п - 3т7+ +8 а8п - 3т8 -п - тд - 1 ^ п(3аг + 4а2 + 3а4 + 4а5 + 3а6 + 4а7 + 8а8) - п - 1-

-3( п + 1 - ) = - ап + 3 - 4.

Лемма доказана.

Обозначим Лп =НОК(1,2, ...,п), Сп = 70*2а*п*Лп, е^ = Спш\, вп) = Спш2, где интегралы

-(2)

Ш2 определены в равенствах (10). Лемма 4. Справедливы представления вида

^п ' = гп 1п 4 Рпг ',

''п п

^ = Гп (Ц - 1п3) - р(2),

г(9е Гп = СпС1 € Ъ, рп' € Ъ, рп2) €

Доказательство. Необходимо проинтегрировать тождество (11) и воспользоваться леммой 3. Имеем из (10) - (12)

(1)= С

а"

у./ 35

п \ I Яп-2(х)(1х + ^ 1п Х

35 70 - х

40 п+1

35 г=2

^г- 1 \40^-1 Ж-1 / I

4

= Сп сц 1п — - рп1), рп1) € Ъ

(2) = С

= С

(/

40

п \ I Яп-2(х)йх + а11п х 40 70 - х

з рп

42 п+1

40 ¿=2

п+1 /

£ й

-

1

1

1

+

-1\421-1 40^-1 28^-1 30^-1

30^-1) у

= СпС1^ 1п2 - 1п3) - рп2), рп2) € Ъ.

Лемма доказана.

Для завершения доказательства теоремы 1, как и в работе [3], нам будет необходима следующая лемма, доказанная М. Хата [лемма 2.1].

Лемма 5. Пусть ©ь в2 € М, п € N ^ = гп©1 - е^ = гп©2 - р^, где (1) (2) 1" п, рп , рп €

Иш — 1п

п^те П

(1)

= - п, Нш — 1п

п^-те П

Д2)

= - 2,

где т > 0, т2 > 0, Т1 = т2.

Пусть далее т = ш1п(т1, т2),

Нш вир — 1п |гп| ^ Л;

п^те п

Ь1,Ь2,Ь € Ъ, Н = шах(|^|, ^1), V > Л/т, Н ^ Но(ц). Тогда

1

|^1©1 +¿202 + Ц > Н>.

В рассматриваемом нами случае ©1 = 1п ©2 = 1п | - 1п | = 1п |. Асимптотику интегралов

а1

разложения (11) - с помощью метода перевала. Имеем х(70 - х) = 1225 - Обозначим (см. (9))

П8 р ак д( ) = (1225 - I),

где все многочлены Р^ выражены через переменную £ = (х - 35)2.

Необходимо найти нули функции д'(Ь)/д(í ). Укажем лишь нули, с помощью которых выражаются константы п, т2, Л: ¿1 = 10.50416113; ¿2 = 38.91332129 ¿з = 3625, 441321.

п

п

Стандартным образом

1

lirn — ln Лп = 1.

п^-те п Поэтому

- П = Иш — 1п 1СпШг1 = а 1п2 + 1 + 1п 1д (* г)| = -1.422145

п^-те п

-т2 = 11ш 11п ЮпШ21 = а 1п 2 + 1 + 1п Ьи2)1 = -1.422147

п^-те п

т = шт(тг, т2) = 1.422145 Л < а 1п 2 + 1 + 1п |д(гз) | = 5.853833

- = 4.116201

Поэтому по лемме 5

49 Ь 1п-+Ь1п-+Ь| >Н

3 8

где ЬЪЬ2,Ь е ЩН = шах(|^|, ^1), V > Л/т, р = 4.116201 Н ^ Но.

Остается отметить, что

49

Ь 1п - + Ь1п - = (2Ь - 3Ь) 1п 2 + (2Ь - Ьг) 1п 3 = кг 1п 2 + к2 1пз, 3 8

где Ьг = 2кг + 3к2, Ь2 = + 2к2, и теорема 1 доказана.

3. Заключение

1п 3

р(1п3) < 5.116201,

которая несколько лучше предыдущего результата р(1п3) ^ 5.1163051, опубликованного в 2014 году К. Ву и Л. Вангом.

Улучшение достигнуто за счёт добавления симметризованного квадратного многочлена к соответствующей интегральной конструкции, основанной на симметризованных многочленах первой степени.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wu Q., Wang L. On the irrationality measure of log3 // Journal of Number Theory. 2014. Vol. 142. P. 264-273.

2. Rhin G. Approximants de Pade et mesures effectives d' irrationalité // Seminaire de Theorie des Nombres, Paris 1985-1986. Boston: Birkhauser, 1987. P. 155-164. (Progress i Mathematics. Vol. 71.)

ln 3

755.

4. Baker A., Wiistolz G. Logarithmic forms and group varieties //J. Reine Angew. Math. 1993. Vol. 442. P. 19-62.

5. Heimonen A., Matala-aho T., Vâânânen К. On irrationality measures of the values of Gauss hvpergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. № 1. P. 183-202.

6. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72, № 242. P. 901-911.

7. Rhin G., Toffin P. Approximants de Padé simultanés de logaritmes // J. Number Theory. 1986. Vol. 24. P. 284-297.

8. Зудилин В. В. Эссе о мерах иррациональности к и других логарифмов // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, № 2. С. 49-65.

■

№ 4. С. 583-593.

10. Золотухина Е. С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.

11. Сальникова Е. С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей Q и Q(\/d) // Фундамент, и приклад, математика. 2010. Т. 16, № 6. С. 139-155.

12. Лучин М. Ю. О диофантовых приближениях некоторых логарифмов // Вестник Брян. гос. ун-та. 2012. № 4 (2). С. 22-28.

13. Лучин М. Ю. Оценка меры иррациональности числа ln 4 // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, № 2. С. 123-131. то же [Электронный ресурс].

URL: http://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/82

14. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений функции log ж // Фундамент.

и приклад, математика. 2010. Т. 16, № 6. С. 157-166.

■

№ 4. Р. 335-349. REFERENCES

1. Wu, Q. & Wang, L. 2014, "On the irrationality measure of log3", Journal of Number Theory., vol. 142, pp. 264-273.

2. Rhin, G. 1987, "Approximants de Pade et mesures effectives d' irrationalité, Seminaire de Theorie des Nombres, Paris 1985-1986", Progress i Math., Boston: Birkhauser., no. 71, pp. 155164.

ln 3

pp. 753-755.

4. Baker, A. WTiistolz G. 1993, "Logarithmic forms and group varieties", J. Reine Angew. Math., vol. 442, pp. 19-62.

5. Heimonen, A. k, Matala-aho, T. Vâânânen К. 1993, "On irrationality measures of the values of Gauss hvpergeometric function", Manuscripta Math., vol. 81, no. 1, pp. 183-202.

6. Wu, Q. 2002, "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers" ,Math. Com,put., vol. 72, no. 242, pp. 901-911.

7. Rhin, G. k Toffin, P. 1986, "Approximants de Padé simultanés de logaritmes", J. Number Theory., vol. 24, pp. 284-297.

8. Zudilin, V. V. 2004, "An essay on irrationality measures of k and other logarithms", CHebyshevskij sbornik, vol. 5, no. 2, pp. 49-65.

9. Salikhov, V. H. 2010, "On the measure of irrationality of a number k", Mathematical Notes, vol. 88, no. 4, pp. 583-593.

10. Zolotukhina, E. S. 2009, "Diophantine approximations of some logarithms: dis. kand. fiz.-mat. nauk", Bryansk, 100 p.

11. Sal'nikova, E. S. 2010, "Approximations of some logarithms by numbers from fields Q h Q(\/d)", Fundam. i prikl. matematika, vol. 16, no. 6, pp. 139-155.

12. Luchin, M. Y. 2012, "On Diophantine approximations of some logarithms " Vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta , no. 4 (2), pp. 22-28.

13. Luchin, M. Y. 2013, "Measure of irrationality of a number ln CHebyshevskij sbornik , vol. 14, no. 2, pp. 123-131.

14. Tomashevskava, E. B. 2010, "On Diophantine approximations of function values log^" Fundam. i prikl. matematika , vol. 16, no. 6, pp. 157-166.

15. Hata, M. 1993, "Rational approximations to k and some other numbers", Acta Arith., vol. LXIII, no. 4, pp. 335-349.