CC BY
35
УДК 511.36
О ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ЛОГАРИФМОВ
М.Ю. Лучин
Улучшена оценка меры иррациональности числа 1п(8/5). Получена новая оценка снизу для диофантовых приближений линейных комбинаций чисел 1п(4/3) и 1п(5/4).
Ключевые слова: диофантовы приближения, мера иррациональности, метод перевала.
Введение
Напомним, что показателем иррациональности или мерой иррациональности ^(У} вещественного числа у называется нижняя грань множества чисел Л, для которых, начиная с некоторого положительного ч ^ д0(ЛХ выполняется неравенство:
Р
У- —
я
> я Х, Рє 2, N.
В первой части работы получена новая оценка меры иррациональности числа 1п(8/5): м(1п(8/ 5}) < 5.9897. Первоначально, результат о мере иррациональности данного числа получили в 1993 году К. Ваананен, А. Хеймонен и Т. Матала-ахо [4]. На тот момент он составлял: м(1п(8/ 5})< 53.8149... В дальнейшем, эта оценка была улучшена в диссертационной работе [1] Е.С. Золотухиной: ^(1п(8/5})< 7.2173... Улучшение было связано с применением интеграла,
подынтегральная функция которого обладала свойством симметрии. В приведенном ниже доказательстве также используются симметризованные вещественные интегралы, однако они существенно отличаются от интеграла, применяемого Е.С. Золотухиной.
Во второй части работы получена новая оценка снизу для диофантовых приближений линейных комбинаций чисел 1п(4/3) и 1п(5/4). Первоначально оценку меры иррациональности (м < 88} для совместных приближений этих логарифмов получили Д. Рин и П. Тоффин в 1986 году [5]. Затем в 2002 году в работе [6] К. Ву улучшил эту оценку: /Л < 20.515 .
Цель второй части работы — получение новой оценки: /Л < 9.3293...
Стоит также отметить, что оба доказательства аналогичны доказательству, используемому В.Х. Салиховым (см. [2]} при нахождении меры иррациональности числа 1п(3).
§1. Улучшение оценки меры иррациональности числа 1п(8/5)
Теорема 1. Пусть р, 41, 42 е %, Q = тах(р|, Ч11, |д2|}, Q - Qo , где Qo - достаточно большое число. Тогда:
1 (1)
10 ,27
Р + я, 1п--Ъ 1п—
1 9 25
>
Q
4.9897
Следствие. Пусть р, д £ N д - чо, где чо - достаточно большое число. Тогда:
1п8 - Р
5 я
>
1
5.9897
я
(2)
Доказательство. Неравенство (2) следует из (1) при 41=- 3д, 42= - 2д. Для доказательства теоремы 1 рассмотрим следующие интегралы:
_ } (х -190)” • (х -198)" • (х - 209)2п • (х - 220)" • (х - 228)ndx _
{х
,2и+1
209
х2 (418 - х)
х
2Й+1
и
= | R( х)йХ,
(3)
где о е {220, 228}, п £ N п —— + да и п - чётное число.
Решающим в дальнейших рассмотрениях является следующее свойство подынтегральной функции R(x} в (3):
R(418 - х) _ R( х). (4)
Ввиду (4), разложение рациональной функции R(x) в сумму простейших дробей можно записать в виде:
2п+1 (а а Л
R(х)_Р2„_2(х) + 2 а-+ , а' , (5)
'=1
х' (418- х),
где все а е Q,
2п-2
Р2П-2 (х) _ 2 Ь • х', где Ь е 2. (6)
,_0
Лемма 1. Справедливы следующие представления для коэффициентов разложения (5):
аг _ 19,-2 Л11 -2 • 5'-1 • 32,-2-п • 22'-3 • Д., (7)
где А, е 2, , _ 1, 2, ..., 2п +1.
Доказательство.
У(* )(0)
Обозначим (У (х)) _ ----. По формуле дифференцирования Лейбница для любых
функций М1, М2, ..., иг, аналитичных в точке х=0:
Е>к(щ,и2, ...,иг) = X ^ (и1)• ^ (и2)• ••• • ^ (иг)
2 ^к, (М1) (М 2) ••• ^к(Мг)
*1 + ... +кг_к к1 к2 кг
к >0
]
Следовательно, из (3) имеем:
а _ Ап+1-,(R( х) • х2п+1) _
_ 2 Вк (х -190)п • Бк (х -198)п • Бкз (х - 220)п • Бк (х - 228)п
к 1
•Dk5(х-209)2п • £к(418-х)-2и-1,
где к = (к15к2,...,к6), все ку >0, ку <и,у = 1, 4, к1 + к2 + ... + к6 = 2п +1 -'.
Таким образом:
а{ = Х7- 190п-к -198п-к2 • 220п-кз • 228п-к4 • 2092п-к5 • 418-2п-1-к6,
' к к
( 1)к1+...+к5 Д п•(п-1•(п-к' +1) 2п• (2п-1)• ... • (2п-к5 +1)
гда 7к =(-1)1 5 -'п 1--------------------------------кТі----------
(2п +1) • ... • (2п + к6 )
к 6!
є 2.
В итоге получим:
а, _27к-19. •11К2 5Nз • 3^ • 2. (8)
к
Причём:
_ п — к + п — к4 + 2п — к5 — 2п — 1 — кб _
_ 2п — 1 — (к! + кА + к5 + кб) > 2п — 1 — (2п +1 —,) _, — 2, N2 _ п — к2 + п — к3 + 2п — к5 — 2п — 1 — кб _
_ 2п — 1 — (к2 + к3 + к5 + кб) > 2п — 1 — (2п + 1 —,) _, — 2,
N3 _ п — к + п — к3 _ 2п — (к1 + к3) > 2п — (2п +1 —,) _, — 1,
N4 _ 2п — 2к2 + п — кА _ 3п — (2к2 + к4) > 3п — 2 • (2п +1 —,) _ 2, — 2 — п,
N5 _ п — к + п — к2 + 2п — 2к3 + 2п — 2к4 — 2п — 1 — кб _
_ 4п — 1 — (к + к 2 + 2к3 + 2к 4 + к 6) > 4п — 1 — 2 • (2п +1 —,) _ 2, — 3.
Но тогда из (8) следует (7), и лемма доказана.
В следующей лемме мы вычислим интегралы (3).
Лемма 2. Справедливы следующие представления интегралов (3) в виде линейных форм:
I, _ I(220) • 418 • 3п • д2п _ А • 1п10 + Ви 12 _ I(228) • 418• 3п • д2п _ А • 1п6 + В2.
5
Здесь д2п _ НОК(1, 2, ...,2п), А,В1,В2 е 2, А _ 418• 3п • д2п • ах.
Доказательство. Из (6):
Ло _ 00Р2п-2(х) • dx • д2п е 2, о е { 220, 228 } .
209
Далее при , > 1:
220
а I I —+
209 С
Л 7\1
Л--.1 _а, 1Ь
1
а,
г (418 - х) 1
dx ■
а
, -1
х
,-1
(418 - х )-1
220
209
22-2 • 5-1 • ц/-1 2,_1 • 32,_2 • 11г'-1
Ч2п е
Поскольку . ^
, — 1
Л,,1 • 418 • 3п • 42п е 2 .
Аналогично:
228
N, ибо / 1 е { 1 2, •••, 2п }, то, используя (7), получим:
а
, -1
х
, — 1
у 22,—2 • 3,—1 49,—1 2,—1 • 5,—1 •19,—1 у
-1 (418 - х )-1
228
209
Из
(7)
получим
Л,,2 • 418-3п • 42п е 2
Наконец, при , = 1:
220 а1 I \ - +
209 228
220 ( 1
Л‘-‘ _ а‘Их
Л1,
2
(418 - х) 1
Л г
Лх = а11п
х
у418 — ху
220
209'
х (418 - х)
л г
Лх _ а11п
209
228
Л10Л
V ~9 у
у
х
л
V 418 — ху
209
'6?
ч5у
Из (7) имеем 418 • 3 • а1 е 2 . Поэтому из (3) и (5) окончательно получим:
11
2 п+1
I. _ 418• 3" •Л220 + 4 1 8 • 3п • д2п • £Л,1 + 418• 3" • д1п • а| • 1п^,
г_2 9
10
2п+1
6
I2 _418• 3п •Л228 + 4 1 8 • 3п • д2„ ■ 2 Л,,2 + 418• 3п • д2„ ■ а1 • 1п-,
1
1
1
1
1
1
1
и лемма доказана.
В основе дальнейших рассуждений лежит следующая лемма, доказанная М.Хата [3]. Лемма 3. Пусть 02 ^ R n ^ N’ = Qn ' 01 ^ Pn , = Qn ' 02 ^ Pn , где
Qn, Pn, Pn e z;
1 2
'1 • ln(^|)| = T, lirn ( -• In(£„ 1)1 = -T, где Ti,T2 > 0, T- < T ,
n ) n^n )
lim sup f - • ln ( Qn| ))<A;
я _rv, 1st “ 1 I
lim
n — ^
n
n
Pr, P2, Q є Z, H = max( Q|, |P,|, |P2|) , JU>—, H > H0 (и) • Тогда:
—1
|P1 ■ О1 + P2 ■ 02 + Q| >
1
2 ~2 ■ hM •
Доказательство теоремы 1. Применим лемму 3 для чисел:
О, = ln
^io4
v"9 у
О2 = ln
ln
Ґвл
v5 у v 9 у
27
^io4
9
= ln
/27л v 25 у
10
, £_ = I, = A ■ ln — + B,, n 1 9 1
25
8n = 12 - I1 = A ■ln TT + B2 - B1> Qn = A Pn = B1> Pn = B2 - B1
vz'j;
220
228
Асимптотику интегралов J R(x)dx , J R(x)dx
несложно вычислить с помощью теоремы
209 220
Лапласа, а асимптотику а1 с помощью метода перевала.
Рассмотрим следующую функцию (см. (3)):
_ (х —190)• (х —198> (х — 209)2 • (х — 220> (х — 228).
f (x):
x2 ■ (418 - x )2
f (x) _ g (t) = (t - 121)(t - 3б1>t
f (x) g (t) (t - 4368і)2 ’
где t = (x - 209)2. Найдем нули g'(t), т.е. корни уравнения:
t3 - 3 ■ 209212 + 9б3 ■ 20921 - 2094 = 0
t, « 2б7.0138, t2 « 54.бб45, t3 « 130721.3217.
Тогда:
' ' 3.1443,
— =-2 - ln(3) - ln g (tl)
—2 = -2 - ln(3) - ln g (t 2)
4.347б, 0 <— <Т ;
’ 1 2
А = lim
1 • In(Qn |)\ А = 2 + ln(3) + ln(a, |) = 2 + ln(3) + ln|g(t3)| «15.б891.
А
— « 4.9897. И из леммы 3 следует утверждение теоремы 1.
Т1
§2. Улучшение оценки меры иррациональности совместных приближений чисел 1п(4/3) и 1п(5/4)
Теорема 2. Пусть я, Р1, Р2 £ 2, Q = тах(|я|, р1І, Р2І), Q - Qo , где в0 - достаточно большое число. Тогда
, 4 ,5
ч+Р11п3+Р21п4
>------------ (9)
Q 9.3293 ^ >
Доказательство.
Для доказательства теоремы рассмотрим следующие интегралы:
0(х - 54)11п •(х - 56)9п •(х - 63)22п •(х - 70)9п •(х - 72)11п Лх
I(о) _ |
63 х 20п+1 (126 - х)20п+1
о
_| R( х)Лх, (10)
63
где о е {70, 72}, п £ N, п —— + да и п — чётное число.
Решающим в дальнейших рассмотрениях является следующее свойство подынтегральной функции R(x) в (10):
^126 - х) _ Я(х). (11)
Ввиду (11), разложение рациональной функции R(x) в сумму простейших дробей можно записать в виде:
20п+1(~ ^
Я(х) _ Р22п-2( х) +'£' О- + ,--аЦ- , (12)
,=1 V х (126 - х) где все а, е Q,
22п—2
р22п—2(х) _ 2Ъ • хг, где Ъг е 2. (13)
г_0
Лемма 4. Справедливы следующие представления для коэффициентов разложения
(12):
а _ 7,-2 • 5,-1-11п • 33/-5-п • 23г-4 • Аг, (14)
где А, е 2, , _ 1, 2, ..., 20п +1.
Доказательство.
У(к )(0)
Обозначим (У (х)) _ --------. По формуле дифференцирования Лейбница для
любых функций М1, М2, ..., мг, аналитичных в точке х = 0:
Д (М1,М 2, •••, Мг ) _ 2 ВкХи1) • Вк2(М 2) • ••• • Вк (М г )
к1+... +кг_к к1 к2 кг
к >0
Следовательно, из (10) имеем:
а, _ А0п+1_,(К(х)• х20п+1)_2Ик (х-54)11п • И (х-56)9п • И(х-70)9п •
к 1 2 3
• Бк (х — 72)11п • Ик (х — 63)22п • Ик (126 — х) —20п—1,
где к_(кьк2, ...,к6), все к} >0 (кьк4 < 11п и к2,к3 <9п), к + к2 + ... + к6 _ _ 20п +1 —,. Поэтому:
а _2 ^ •5411п-к1 • 569п-к2 • 709п-к3 • 7211п-к4 • 6322п-к5 •126-20п-1-к6
1 т к '
к
где е 2•
а> _ 2Ут • 7^ • 5Ы2 3ы3 • 2
к к
Причём:
N1 _ 9п — к2 + 9п — к3 + 22п — к5 — 20п — 1 — к6 _
_ 20п — 1 — (к 2 + к3 + к5 + к 6) > 20п — 1 — (20п +1 —,) _, — 2;
N2 _ 9п - к3 > 9п - (20п +1 -,) _, -1 - 11п;
N3 _ 33п — 3к1 + 22п — 2к4 + 44п — 2к5 — 40п — 2 — 2к6 _
_ 59п — 2 — (3к1 + 2к4 + 2к5 + 2к6), N3 > 59п — 2 — 3(20п +1 —,) _ 3, — 5 — п; N4 _ 11п — к + 27п — 3к2 + 9п — к3 + 33п — 3к4 — 20п — 1 — к6 _
_ 60п — 1 — (к1 + 3к2 + к3 + 3к4 + к6) N4 > 60п — 1 — 3 • (20п +1 —,) _ 3, — 4.
Но тогда из (15) следует (14), и лемма 4 доказана. В следующей лемме мы вычислим
интегралы (10).
форм:
Лемма 5. Справедливы следующие представления интегралов (10) в виде линейных
I, _ I(70) 126 • 5 • 3п • д22п _ А • 1п± + Ви
12 _I(72) 126• 5 • 3п • д22п _ А• 1п3 + В2•
Здесь ч22п _ НОК(1, 2, ... , 22п) А,В1 ,В2 е 2,А _ 126• 3п • 511п • д22п • а1.
Доказательство. Из (13):
Ло _ {Р22п-2(х) • Лх • д22п е 2, о е { 70, 72 } .
63
Далее при , > 1:
Л _ 70( 1 1
а а 1 х +(126 - х)
а,
63'
Лх _
а,-
, -1
х
-1 (126 - х )-1
70
у 63
, -1
2м • 5м•7м
2
3,-3 7 г-1
Поскольку 2п е
, -1
>п С'Ип
, иб° , — 1 е { 1, 2, ••• , 20п }, то, используя формулу (14),
получим:
: Л, 1 -126 • 3 • 5 • 42п е 2 . Аналогично:
Л,,1 _ а, \ V
63Ух
1
(126 - х )
, -1
х
-1 (126 - х )-1
72
у 63
а,-
1
1
23,-3 32,—2 2,—1 33,—3
>п г11п
, -1
Из (14) получим Л, 2 ‘126 • 3 • 5 • 42п е 2. Наконец, при ,=1:
70/
Л1 1 _ ^1 |\-----------+
Л1,2 _ а1
63'
■К
63'
1
Л
(126 - х) 1
Лх _ а11п
х (126 - х)
70
' х Л
V126 — х у 63
а11п
V 4 у
Лх _ а11п
72
_ а11п
63
V 3 у
1
1
1
1
1
1
Согласно (14) 126 • 3 • 5 • а1 е 2. Поэтому из (10) и (12) получим:
2п+1
/1 _ 126• 3п • 511п •Л220 +126 • 3п • 511п • д20п • 2Л,! +126• 3п • 511п • д1а„ • ал • 1п-,
,_2
2 п+1
4
12 _ 126• 3п • 511п •Л228 +126 • 3п • 511п • 420п ■2л,,2 +126• 3п • 511п • д21>„ • а1 • 1п
,_2
4
а • 1п—,
И лемма 5 доказана.
Доказательство теоремы 2. Применим лемму М. Хата, приведенную в первой части
работы, где:
5
61 _ 1п — , 62 _ 1п
1 4 2
5
\^У
_ А • 1п
- 1п
У
4
1п
\^У
V15 у
( 5 ^
, £п _ Л _ А •1п 4 + B1, $п _ ]:2 - Ь V 4 у
^16^
15
+ В2 - В1, Qn _ Л Рп _ В1> Ри _ В2 - В1
VI
70
72
Асимптотику интегралов I ^х)Лх , | ^х)Лх несложно вычислить с помощью
63 70
теоремы Лапласа, а асимптотику а1 с помощью метода перевала.
Рассмотрим следующую функцию (см. (10)):
/(х) _
(х - 54)11 • (х - 56)9 • (х - 63)22 • (х - 70)9 • (х - 72)11;
х20 •(126 - х)20
г/ \ /.ч (*-49)9 -81)11 • ^ . „ч2
/(х) _ g(t) _А-------_ 3969)20------> где ( = (х - 63).
Далее найдем нули g^(?), отличные от нулей g(t): 11 ~ 21.6174, ^ ~ 65.6085, ^ 11107.0469. Тогда:
Т1 _ -22 - 1п(3) -11 • 1п(5) - 1п g (^)
16.2921,
Т2 _ -22 - 1п(3) -11 • 1п(5) - 1п g(г2)
23.2076,0 <Т <Т ; ’ 1 2
Л _ 1im
п — да
Л
1 ■ 1п (|Qn I)'];
п 1 у
22 + 1п(3) +11 • 1п(5) + 1п(а11)_ 22 + 1п(3) +11 • 1п(5) + 1п|g(?3)| «151.9936.
Л
Таким образом, получаем: —~ 9.3293. И из леммы 3 (лемма М. Хата) следует
1
утверждение теоремы 2. Остается показать, что:
ГЪ^ _ (16Л
Р1 • 1п
V 4 у
+ Р2 • 1п
V15 у
(4^ (5Л
_ р1 • 1п — + р2 • 1п
V 3 у
V 4 у
где
Р1 _ Р1 + P2, Р2 _ Р1.
Стоит отметить, что при уточнении значений до сотых показателей степени сомножителей в интеграле (10) можно улучшить оценку до 9.1992.
3
Was improved estimate of the irrationality measure of ln(8/5). Was obtained a new lower estimate for the diophantine approximations of linear combinations of numbers ln(4/3) and ln(5/4).
Key words: diophantine approximations, irrationality measure, saddle point method.
Список литературы
1. Золотухина Е.С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный техический университет, 2009, 100 с, 61 09-1/887.
2. Салихов В.Х. О мере иррациональности ln(3) // Доклады Академии наук РФ. 2007. Т. 417. № 6. С. 753-755.
3. Hata M. Rational approximations to n and some other numbers // Acta arith. 1993. V. 63. № 4. P. 335-349.
4. Heimonen A., Matala-aho T., Vaananen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. V. 81. P.183-202.
5. Rhin G., Toffin P. Approximants de Pade simultanes de logarithms // J. Number Theory 24. 1986. P. 284-297.
6. Wu Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. V.72. № 242. P. 901-911.
Об авторе
М.Ю. Лучин - аспирант Брянского государственного технического университета, M .Y.Luchin@mail. ru.
ON DIOPHANTINE APPROXIMATIONS OF SOME LOGARITHMS M.Y. Luchin
