CC BY
25
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 2 (2013)
УДК 511.36
ОЦЕНКА МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
Т
ЧИСЛА ln-4
М. Ю. Лучин (г. Брянск)
Аннотация
В работе получена новая оценка меры иррациональности числа т =
■4
M. Yu. Luchin (Bryansk)
Abstract
Введение
Напомним, что мерой иррациональности ц(т) вещественного числа т называется нижняя грань множества чисел А, для которых, начиная с некоторого положительного д > д0(А), выполняется неравенство
p
т----
q
У q х, p Є Z, q Є N.
Первоначально, результат о мере иррациональности
7
т = 1п ^ (^(т) < 257.865...)
был получен в 2002 году К. Ву. Данная оценка является частным следствием теоремы 4 в его работе [1]. В дальнейшем, эта оценка была значительно улучшена Е.С. Золотухиной в 2009 году [2]: ^(т) < 8.3224... . В ее работе был использован интеграл, подынтегральная функция которого обладала свойством симметрии. Впервые данный метод был введен В.Х. Салиховым в работе [3].
В данной работе получена новая оценка: ц(т) < 8.1004. В приведенном ниже доказательстве также используется симметризованный вещественный интеграл, однако он существенно отличается от интеграла, применяемого Е.С. Золотухиной.
1 Результаты получены при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований, грант №12-01-00171
Теорема 1. Пусть р, д Е N д > д0, где д0 - достаточно большое число. Тогда:
1п7- Р
1
>
д8.1004 •
4д
Доказательство теоремы 1.
Для доказательства теоремы рассмотрим следующий интеграл:
20
7 -/» ад=
15
= (х - 15)азп(х - 16)а2п(х - 18)а1п(х - 20)а2п(х - 21)азп(13х2 - 468х + 4200)а4п
хп+1
(41х2 - 1476х + 13230)а5п(47х2 - 1692х + 15120)абп(67х2 - 2412х + 21600)а7п
(36 - х)п+1 ’
(1)
где п - таково, что все щп Е М, п —> +го, а1 = 0.9751, а2 = 0.7963, а3 = 0.9059, а4 = 0.0292, а5 = 0.0412, а6 = 0.0237, а7 = 0.0047.
Подынтегральная функция К(х) в (1) обладает свойством симметрии, а именно
Я(36 - х) = Я(х).
Разложение рациональной функции Я(х) в сумму простейших дробей имеет вид
п+1 (с' с' )
Я(Х) -^(а1+2а2+2аз+2а4+2аб+2аб+2а7)п—2п—2 (х) + ху + (36 х)^ у ’’ (2)
где все су Е О, ] = 1, 2,...,п + 1,
(а1+2(а2+аз+а4+ав+аб +ау))п—2п—2)
р(х) — Р(а1+2(а2+аз+а4+ав +аб+а7))п—2п—2(х) ^ ^ х
V=0
2.5771п—2
^х', ^ Е Z.
v=0
Лемма 1. Справедливы следующие представления для коэффициентов разложения су из (2):
с3 = 73—1 • 5а801п+—:1 • 32у—4 • 24у—6 • Ау, (4)
где Лу Е Z, ] = 1, 2,...,п + 1.
/ (к)(0)
Доказательство. Обозначим Бк (/(ж)) = ———. Согласно формуле диф-
к'
ференцирования Лейбница для любых функций щ, и2, ..., иг, аналитичных в
точке х=0,
Ок (и1 ' и2 ' ••• ' иг) ^ ^ Ок1 (и1) ' Ок2 (и2) ' ••• ' Окг (иг).
к1+к2+...+кг=к, кг >0
Следовательно из (1) имеем
Су = Ога+1_у (Я(х) ■ хп+1) =
= ^ Бк1 (х - 15)“3п ■ Бк2 (х - 16)“2п ■ Бкз (х - 18)“1п-
к
■Бк4 (х - 20)“2п ■ Бкб (х - 21)“3п ■ Бкб> (13х2 - 468х + 4200)“4п-
Бк7(41х2 - 1476х + 13230)“бп ■ Бкб(47х2 - 1692х + 15120)“бп-
■Ок9 (67х2 - 2412х + 21600)“7п ■ Бк10(36 - х)-п-1,
где к = (к1,к2,•••, к10), к1,к5 < а3п, к2,к4 < а2п, к3 < а1п, кб < 2а4п, к7 < 2а5п,
к% < 2аеп, кд < 2а7п, к1 + к2 + ••• + кю = п +1 — ^.
Далее докажем, что
Ок6(13х2-468х+4200)“4п = 7“4п-кб-5“4п_кб-3“4п_2кб-23“4п_3кб-V!, где V Е Z. (5)
Согласно формуле бинома Ньютона:
(13х2 - 468х + 4200)“4п =
= ^ _ (13х2)51 . (-468х)"2 ■ (4200)33 =
31+32+33=0,4п 81'82'83 '
«г>0
= ^ У1(в1, в2, в3) ■ х231+32 ■ 733 ■ 533 ■ 332+33 ■ 2232 +333, (6)
«1+«2+«3=«4п 31 >0
где УЛ81, 82, 83) = -(ап^ . 1331+32 . (-1)32 . 533 . 332 Е Z. Имеем
S1.S2.S3'
!
281 + 82 = кб | 81 = 2кб - 2 82
81 + 82 + 83 = а4п | 1 , 1 ^ ,
^83 = а4п - 2кб - 2 82 > а4п - кб^
Из (6) получим
Окб(13х2 - 468х + 4200)“4п = ^ ^(8Ь 82,83) ■ 733 ■ 533 ■ 332+33 ■ 2232+333 ( 7)
31+32+33=«4п
3;> 0
Далее:
1 1 1
82 + 83 = а^п - 2кб + 282 > а4п - 2кб- (8)
3 3 3
282 + 383 = 282 + 3а4п - 2кб - 282 > 3а4п - 2кб. (9)
Таким образом из (7), (8) и (9) следует утверждение (5).
Аналогично докажем, что
Вк1 (41х2 - 1476х + 13230)“бп = 7“бп-к7 ■ 5“бп-к7 ■ 33“Бп_2к7 ■ 2“Бп-к7 ■ У2,
где У2 Е Z. (10)
Ок8 (47х2 - 1692х + 15120)“бп = 7“бп_кв ■ 5“бп_кв ■ 33абп_3к8 ■ 24абп—2к8 ■ У3,
где У3 Е Z• (11)
Вк% (67х2 - 2412х + 21600)“7п = 5а7п—к9 ■ 33а7п_3к9 ■ 25а7п—3к9 ■ У4,
где У4 Е Z• (12)
Аналогично равенству (7) имеем
Б_7(41х2-1476х+13230)“бп = ^ У>(иьи2,и3)-7и3■ 5и3■ 32и2+3и3■ 2и3, (13)
П1+и2+и3=аь п щ>0
где У2(иьи2,и3) = (а5п)' , ■ 41и1+и2 ■ (-1)и2 ■ 7и3 ■ 22и2 Е Z.
и1'и2'и3'
Ок8(47х2 - 1692х + 15120)абп = ^ У3(д1,д2,д3) ■ 793 ■ 593 ■ 3292+393 ■ 2292 +493,
91 +92+93 =«бп
9>
' (14)
где У3(д1,д2,д3) = _(аб-п:1_ . 4791+92. (-1)92 е Z. д1'д2'д3'
Б_9 (67х2 - 2412х + 21600)а7п = ^ У4 0гъ*2,^)-5*3 ■ 32г2+3ед ■ 22^2+5^3,
г1+Х2+г3=а7п
г>0
(а п)' (15)
где У4(г1,г2,г3) = (. 7 .)' ■ 67г1+^2 ■ (-1)^2 ■ 5^3 Е Z. И из (13), (14), (15) следует
^1-%2-^3-
соответственно (10), (11) и (12) (см. доказательство представления (5)).
С учетом (5), (10), (11) и (12) получим
С. __ ^ ^ Д_ ■ 15а3п_к1 ^ 16а2п_к2 # 18а1п_к3 ^ 20а2п_к4 # 21а3п_кб ^ 7^^а_кб # 5а4п_кб #
к
3а4п— 2 кб 23а4п— 3 кб 7а%п—к7 5а5п—к7 33а5п— 3 к7 2а5п—к7 7абп—к8 5абп—к8
п_ 3 к8 24абп_2к8 5а7п_к9 33а7п_ 3 к9 25а7п_3к9 36_п_1_к10 у у у у
где
к
5
д_ = (-1)к1+к2+...+кб.
П/а»п(а»п - 1) ■ ••• ■ (а»п - к» - 1) \ (п + 1) ■ (п + 2) ■ ..• ■ (п + кю)
V к~' Ш
г=1 4 7
Хк Е Z. В итоге получим
с. = 5] Х_ ■ 7И1 ■ 5й2 ■ 3И3 ■ 2И4 ■ У1 ■ У2 ■ У3 ■ У4 . (16)
к
Причем:
N = а3п — к5 + а4п — кб + а5п — к7 + абп — к8 = п — (к5 + кб + к7 + к8) >
> п — (п +1 - ]) = ] — 1.
N = а3п — к1 + а2п — к4 + а4п — кб + а5п — к7 + абп — к8 + а7п — кд =
= 1.801п - (к1 + к4 + кб + к7 + к8 + кд) > 1.801п - (п +1 - ]) = 0.801п + ] — 1.
13
N3 = а3п — к1 + 2а1п — 2к3 + а3п — к5 + а4п — 2 кб + 3а5п — 2 к7 + 3абп—
33
— 2 кв + 3а7п — 2 кд — 2п — 2 — 2кю =
1333 = 2п — 2 — (к1 + 2к3 + к5 + 2кб + 2к7 + 2к8 + 2кд + 2кю) >
> 2п — 2 — 2(п + 1 — ^) = 2^' — 4.
3
N4 = 4а2 п — 4к2 + а1п — к3 + 2а2п — 2к4 + 3а4 п — 2 кб + а5п — к7 + 4абп—
— 2кв + 5а7п — 3кд — 2п — 2 — 2кю =
3
= 4п — 2 — (4к2 + к3 + 2к4 + 2кб + к7 + 2кв + 3кд + 2кю) >
> 4п — 2 — 4(п + 1 — ]) = 4] — 6.
Но тогда из (16) следует (4), и лемма доказана.
Далее установим некоторые арифметические свойства коэффициентов ^ в разложении
2.5771п_2
Р(х) = ^ (х — 15^, все ^ Е Z. (17)
v=0
Следующая лемма аналогична лемме 2.10, доказанной Е.С. Золотухиной [2]. Отметим также, что подобная конструкция была применена В.Х. Салиховым при улучшении оценки меры иррациональности числа п [4].
Лемма 2. Для коэффициентов ^ из (17) справедливо представление вида: К = 5а801п_^М, где Mv Е Z, V < 0.801п - 1.
Доказательство. Очевидно, что для подынтегральной функции Я(х) справедливо разложение вида:
го
Я(х) = ^ Bv(х — 15)v,BV Е О, (18)
\х, — , ^v
v=aзn
где х принадлежит некоторой окрестности с центром в точке 15. Далее при 3 = 1, ••.,п + 1 имеем
+ = 15—1 £ , (х _ 1Г)Г,
х- ^ У '
v=0
1 ^ •(* - 15)‘
(36 - х)- ^ 21
Л 3(3 + 1)...(3 + V - 1) ^ ^
где =------------------:---------- Е Z•
V'
Значит, согласно (2), (17) и (18) получим
2.5771п_2 п+1 го / 1^.7
£ К(х - 15)- + ЕЦ-5: (х - 15)v+
v=0 -=1 v=0
п+1 го ,
+ Е2-Е 21- <х - 15^. (19)
-=1 v=0
Из (18) и (19) для V = 0, ••., 0.801п — 1 следует, что
п+1 ((—1)v 1 \
^ = - ТСС-15+7 + 2^) • (20)
-=1
Согласно (4) имеем
с. = 50.801п+-—1 ■ М-, где М- Е Z, N. Е Н, (N7, 5) = 1. (21)
Таким образом, учитывая, что ^ Е Z, имеем из (20) и (21) требуемое в лемме
2 представление для коэффициентов bv.
Лемма 3. Справедливо следующее представление интеграла (1) в виде линейной формы:
7
I = '!■ 5—0'801п ■ д2,5771п = Л ■ 1п4 + В, где дт = НОК(1, 2, ••.,т) для т Е Н, Л = дп ■ с1 ■ 5—0-801п, Л, В Е Z•
Доказательство. Из (3) и (17) получим
20 20 /2.5771га-2
Л0 = P(x)dx = / ( bv(x — 15)v 1 dx
“0 “0 /2.5771га-2 \
/ P(x)dx = / Y, bv(х — 15)v
f5 15 V v=0 /
0.801n—1 5v+i 2.5771n-2 +1
= V bv-----------------+ У ьи---------.
^ v V + 1 ^ V + 1
v=0 v=0.801n
Из леммы 2 следует, что 5 а801га• Ьи• 5+1 Е 2, V = 0, ..., 0.801п—1. При V > 0.801п:
5—0.801га • ^ • 5^+1 Е 2, так как Ь„ Е 2.
Далее д2 5771га----------Е N так как V+1 < 2.5771п. Поэтому 5—0.801га• д2 5771га• Л0 Е 2.
V +1
При 3 = 1
20
Л1 =С1' (x + (36—x^) =C1 ln{w——x)
20 7
= c1ln 4. 15 4
15
0.801n
Из (4) имеем, что c1 • 5 0.801n g Z. При j > 2
20
Лу С^ [xj + (36 — x)j) j — 1 (xj-1 (36 — x)j-1)
15
cW 1 1 1 , 1 N
\22J-2 • 5j-1 24j-4 3J-1 • 5j-1 + 3J-1 • 7j-1) .
--------------------------------------■ --------------------------------------------------------------------- — ------------------------------------------ —
j — 1 \22j—2 • 5j—1 24j—4 3j—1 • 5j—1 + 3j-
Поскольку fe5771n G N, так как j — 1 G {1, 2,...,n}, то используя (4) получим, j—1
что Лу • 5-0.801n •
• q2.5771n G Z.
В итоге из (1) и (2) окончательно получим
n+1 7
j = 5—0.801n q Л + 5—0.801n q \ Л л , г—0.801n q c i 7
J = 5 • q2.5771n • Л0 + 5 • q2.5771n • /_Л + 5 • Q2.5771n • c1 • ln 4 ,
j=2
где j G Z, и лемма 3 доказана.
В основе дальнейших рассуждений лежит следующая лемма, доказанная М.Хата [5].
Лемма 4. Пусть 0 G R, О— иррационально, en = qn0 — pn, qn, pn G Z; lim sup — ln \en\ < —t, lim sup — ln \qn\ = a.
n^-ж n n^-ж n
Тогда /i(0) < 1 +—.
t
7
Применим лемму 4 для чисел: 0 = 1п ^, £га = 1, дга = А, рга = В. Асимптоти-
л20
ку интеграла / К(х)д,х несложно вычислить с помощью теоремы Лапласа, а
15
асимптотику дга с помощью метода перевала.
Рассмотрим следующую функцию (см. (1)):
(х — 15)“3 (х — 16)“2 (х — 18)а1 (х — 20)“2 (х — 21)“3 (13х2 — 468х + 4200)“4
f(x)
x
(41x2 — 1476x + 13230)“Б (47x2 — 1692x + 15120)“6 (67x2 — 2412x + 21600)“7
(36 — x)
Пусть t = (x — 18)2. Тогда:
f (x) = g(t) =
= t1 ai (t — 4)“2 (t — 9)“3 (13t — 12)“4 (41t — 54)“6 (47t — 108)“6 (67t — 108)“7 = 324 —t .
Найдем нули g'(t), отличные от нулей g(t). В результате получим, что t1 ~ 0.766729, t2 « 1.101423, t3 « 1.544485, t4 « 1.685366, t5 « 2.365805, t6 « 6.686397, t7 « 571.534735. Тогда:
t = —2.5771 + °.Ш •ln5 — ln(max(\g(t1)1, \g(t2)\, \g(tз)\, \g(t4)1, \g(t5)\, \g(t6)\)) ~ 1.496203.
a = 2.5771 — 0.801 • ln5 + ln(\g(t7)\) « 10.623533.
По лемме 4 ц(0) < 1 +— ~ 8.1003. Следовательно ц ^ln < 8.1004 и теорема
1 доказана.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В.Х. Салихову за интересную тему, многочисленные советы и помощь в работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wu, Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72, № 242. P. 901—911.
2. Золотухина Е. С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.
3. Салихов В. Х. О мере иррациональности log 3 // Доклады РАН. 2007. Т. 417, № 6. С. 753—755.
4. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа п // Математические заметки. 2010. Т. 88, № 4. С. 583—593.
5. Hata M. Rational approximations to п and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. 63, №. 4 P. 335—349.
Брянский государственный технический университет Поступило 31.05.2013
