Оценка меры иррациональности числа ln7/4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 511.36

ОЦЕНКА МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ

Т

ЧИСЛА ln-4

М. Ю. Лучин (г. Брянск)

Аннотация

В работе получена новая оценка меры иррациональности числа т =

■4

M. Yu. Luchin (Bryansk)

Abstract

Введение

Напомним, что мерой иррациональности ц(т) вещественного числа т называется нижняя грань множества чисел А, для которых, начиная с некоторого положительного д > д0(А), выполняется неравенство

p

т----

q

У q х, p Є Z, q Є N.

Первоначально, результат о мере иррациональности

7

т = 1п ^ (^(т) < 257.865...)

был получен в 2002 году К. Ву. Данная оценка является частным следствием теоремы 4 в его работе [1]. В дальнейшем, эта оценка была значительно улучшена Е.С. Золотухиной в 2009 году [2]: ^(т) < 8.3224... . В ее работе был использован интеграл, подынтегральная функция которого обладала свойством симметрии. Впервые данный метод был введен В.Х. Салиховым в работе [3].

В данной работе получена новая оценка: ц(т) < 8.1004. В приведенном ниже доказательстве также используется симметризованный вещественный интеграл, однако он существенно отличается от интеграла, применяемого Е.С. Золотухиной.

1 Результаты получены при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований, грант №12-01-00171

Теорема 1. Пусть р, д Е N д > д0, где д0 - достаточно большое число. Тогда:

1п7- Р

1

>

д8.1004 •

4д

Доказательство теоремы 1.

Для доказательства теоремы рассмотрим следующий интеграл:

20

7 -/» ад=

15

= (х - 15)азп(х - 16)а2п(х - 18)а1п(х - 20)а2п(х - 21)азп(13х2 - 468х + 4200)а4п

хп+1

(41х2 - 1476х + 13230)а5п(47х2 - 1692х + 15120)абп(67х2 - 2412х + 21600)а7п

(36 - х)п+1 ’

(1)

где п - таково, что все щп Е М, п —> +го, а1 = 0.9751, а2 = 0.7963, а3 = 0.9059, а4 = 0.0292, а5 = 0.0412, а6 = 0.0237, а7 = 0.0047.

Подынтегральная функция К(х) в (1) обладает свойством симметрии, а именно

Я(36 - х) = Я(х).

Разложение рациональной функции Я(х) в сумму простейших дробей имеет вид

п+1 (с' с' )

Я(Х) -^(а1+2а2+2аз+2а4+2аб+2аб+2а7)п—2п—2 (х) + ху + (36 х)^ у ’’ (2)

где все су Е О, ] = 1, 2,...,п + 1,

(а1+2(а2+аз+а4+ав+аб +ау))п—2п—2)

р(х) — Р(а1+2(а2+аз+а4+ав +аб+а7))п—2п—2(х) ^ ^ х

V=0

2.5771п—2

^х', ^ Е Z.

v=0

Лемма 1. Справедливы следующие представления для коэффициентов разложения су из (2):

с3 = 73—1 • 5а801п+—:1 • 32у—4 • 24у—6 • Ау, (4)

где Лу Е Z, ] = 1, 2,...,п + 1.

/ (к)(0)

Доказательство. Обозначим Бк (/(ж)) = ———. Согласно формуле диф-

к'

ференцирования Лейбница для любых функций щ, и2, ..., иг, аналитичных в

точке х=0,

Ок (и1 ' и2 ' ••• ' иг) ^ ^ Ок1 (и1) ' Ок2 (и2) ' ••• ' Окг (иг).

к1+к2+...+кг=к, кг >0

Следовательно из (1) имеем

Су = Ога+1_у (Я(х) ■ хп+1) =

= ^ Бк1 (х - 15)“3п ■ Бк2 (х - 16)“2п ■ Бкз (х - 18)“1п-

к

■Бк4 (х - 20)“2п ■ Бкб (х - 21)“3п ■ Бкб> (13х2 - 468х + 4200)“4п-

Бк7(41х2 - 1476х + 13230)“бп ■ Бкб(47х2 - 1692х + 15120)“бп-

■Ок9 (67х2 - 2412х + 21600)“7п ■ Бк10(36 - х)-п-1,

где к = (к1,к2,•••, к10), к1,к5 < а3п, к2,к4 < а2п, к3 < а1п, кб < 2а4п, к7 < 2а5п,

к% < 2аеп, кд < 2а7п, к1 + к2 + ••• + кю = п +1 — ^.

Далее докажем, что

Ок6(13х2-468х+4200)“4п = 7“4п-кб-5“4п_кб-3“4п_2кб-23“4п_3кб-V!, где V Е Z. (5)

Согласно формуле бинома Ньютона:

(13х2 - 468х + 4200)“4п =

= ^ _ (13х2)51 . (-468х)"2 ■ (4200)33 =

31+32+33=0,4п 81'82'83 '

«г>0

= ^ У1(в1, в2, в3) ■ х231+32 ■ 733 ■ 533 ■ 332+33 ■ 2232 +333, (6)

«1+«2+«3=«4п 31 >0

где УЛ81, 82, 83) = -(ап^ . 1331+32 . (-1)32 . 533 . 332 Е Z. Имеем

S1.S2.S3'

!

281 + 82 = кб | 81 = 2кб - 2 82

81 + 82 + 83 = а4п | 1 , 1 ^ ,

^83 = а4п - 2кб - 2 82 > а4п - кб^

Из (6) получим

Окб(13х2 - 468х + 4200)“4п = ^ ^(8Ь 82,83) ■ 733 ■ 533 ■ 332+33 ■ 2232+333 ( 7)

31+32+33=«4п

3;> 0

Далее:

1 1 1

82 + 83 = а^п - 2кб + 282 > а4п - 2кб- (8)

3 3 3

282 + 383 = 282 + 3а4п - 2кб - 282 > 3а4п - 2кб. (9)

Таким образом из (7), (8) и (9) следует утверждение (5).

Аналогично докажем, что

Вк1 (41х2 - 1476х + 13230)“бп = 7“бп-к7 ■ 5“бп-к7 ■ 33“Бп_2к7 ■ 2“Бп-к7 ■ У2,

где У2 Е Z. (10)

Ок8 (47х2 - 1692х + 15120)“бп = 7“бп_кв ■ 5“бп_кв ■ 33абп_3к8 ■ 24абп—2к8 ■ У3,

где У3 Е Z• (11)

Вк% (67х2 - 2412х + 21600)“7п = 5а7п—к9 ■ 33а7п_3к9 ■ 25а7п—3к9 ■ У4,

где У4 Е Z• (12)

Аналогично равенству (7) имеем

Б_7(41х2-1476х+13230)“бп = ^ У>(иьи2,и3)-7и3■ 5и3■ 32и2+3и3■ 2и3, (13)

П1+и2+и3=аь п щ>0

где У2(иьи2,и3) = (а5п)' , ■ 41и1+и2 ■ (-1)и2 ■ 7и3 ■ 22и2 Е Z.

и1'и2'и3'

Ок8(47х2 - 1692х + 15120)абп = ^ У3(д1,д2,д3) ■ 793 ■ 593 ■ 3292+393 ■ 2292 +493,

91 +92+93 =«бп

9>

' (14)

где У3(д1,д2,д3) = _(аб-п:1_ . 4791+92. (-1)92 е Z. д1'д2'д3'

Б_9 (67х2 - 2412х + 21600)а7п = ^ У4 0гъ*2,^)-5*3 ■ 32г2+3ед ■ 22^2+5^3,

г1+Х2+г3=а7п

г>0

(а п)' (15)

где У4(г1,г2,г3) = (. 7 .)' ■ 67г1+^2 ■ (-1)^2 ■ 5^3 Е Z. И из (13), (14), (15) следует

^1-%2-^3-

соответственно (10), (11) и (12) (см. доказательство представления (5)).

С учетом (5), (10), (11) и (12) получим

С. __ ^ ^ Д_ ■ 15а3п_к1 ^ 16а2п_к2 # 18а1п_к3 ^ 20а2п_к4 # 21а3п_кб ^ 7^^а_кб # 5а4п_кб #

к

3а4п— 2 кб 23а4п— 3 кб 7а%п—к7 5а5п—к7 33а5п— 3 к7 2а5п—к7 7абп—к8 5абп—к8

п_ 3 к8 24абп_2к8 5а7п_к9 33а7п_ 3 к9 25а7п_3к9 36_п_1_к10 у у у у

где

к

5

д_ = (-1)к1+к2+...+кб.

П/а»п(а»п - 1) ■ ••• ■ (а»п - к» - 1) \ (п + 1) ■ (п + 2) ■ ..• ■ (п + кю)

V к~' Ш

г=1 4 7

Хк Е Z. В итоге получим

с. = 5] Х_ ■ 7И1 ■ 5й2 ■ 3И3 ■ 2И4 ■ У1 ■ У2 ■ У3 ■ У4 . (16)

к

Причем:

N = а3п — к5 + а4п — кб + а5п — к7 + абп — к8 = п — (к5 + кб + к7 + к8) >

> п — (п +1 - ]) = ] — 1.

N = а3п — к1 + а2п — к4 + а4п — кб + а5п — к7 + абп — к8 + а7п — кд =

= 1.801п - (к1 + к4 + кб + к7 + к8 + кд) > 1.801п - (п +1 - ]) = 0.801п + ] — 1.

13

N3 = а3п — к1 + 2а1п — 2к3 + а3п — к5 + а4п — 2 кб + 3а5п — 2 к7 + 3абп—

33

— 2 кв + 3а7п — 2 кд — 2п — 2 — 2кю =

1333 = 2п — 2 — (к1 + 2к3 + к5 + 2кб + 2к7 + 2к8 + 2кд + 2кю) >

> 2п — 2 — 2(п + 1 — ^) = 2^' — 4.

3

N4 = 4а2 п — 4к2 + а1п — к3 + 2а2п — 2к4 + 3а4 п — 2 кб + а5п — к7 + 4абп—

— 2кв + 5а7п — 3кд — 2п — 2 — 2кю =

3

= 4п — 2 — (4к2 + к3 + 2к4 + 2кб + к7 + 2кв + 3кд + 2кю) >

> 4п — 2 — 4(п + 1 — ]) = 4] — 6.

Но тогда из (16) следует (4), и лемма доказана.

Далее установим некоторые арифметические свойства коэффициентов ^ в разложении

2.5771п_2

Р(х) = ^ (х — 15^, все ^ Е Z. (17)

v=0

Следующая лемма аналогична лемме 2.10, доказанной Е.С. Золотухиной [2]. Отметим также, что подобная конструкция была применена В.Х. Салиховым при улучшении оценки меры иррациональности числа п [4].

Лемма 2. Для коэффициентов ^ из (17) справедливо представление вида: К = 5а801п_^М, где Mv Е Z, V < 0.801п - 1.

Доказательство. Очевидно, что для подынтегральной функции Я(х) справедливо разложение вида:

го

Я(х) = ^ Bv(х — 15)v,BV Е О, (18)

\х, — , ^v

v=aзn

где х принадлежит некоторой окрестности с центром в точке 15. Далее при 3 = 1, ••.,п + 1 имеем

+ = 15—1 £ , (х _ 1Г)Г,

х- ^ У '

v=0

1 ^ •(* - 15)‘

(36 - х)- ^ 21

Л 3(3 + 1)...(3 + V - 1) ^ ^

где =------------------:---------- Е Z•

V'

Значит, согласно (2), (17) и (18) получим

2.5771п_2 п+1 го / 1^.7

£ К(х - 15)- + ЕЦ-5: (х - 15)v+

v=0 -=1 v=0

п+1 го ,

+ Е2-Е 21- <х - 15^. (19)

-=1 v=0

Из (18) и (19) для V = 0, ••., 0.801п — 1 следует, что

п+1 ((—1)v 1 \

^ = - ТСС-15+7 + 2^) • (20)

-=1

Согласно (4) имеем

с. = 50.801п+-—1 ■ М-, где М- Е Z, N. Е Н, (N7, 5) = 1. (21)

Таким образом, учитывая, что ^ Е Z, имеем из (20) и (21) требуемое в лемме

2 представление для коэффициентов bv.

Лемма 3. Справедливо следующее представление интеграла (1) в виде линейной формы:

7

I = '!■ 5—0'801п ■ д2,5771п = Л ■ 1п4 + В, где дт = НОК(1, 2, ••.,т) для т Е Н, Л = дп ■ с1 ■ 5—0-801п, Л, В Е Z•

Доказательство. Из (3) и (17) получим

20 20 /2.5771га-2

Л0 = P(x)dx = / ( bv(x — 15)v 1 dx

“0 “0 /2.5771га-2 \

/ P(x)dx = / Y, bv(х — 15)v

f5 15 V v=0 /

0.801n—1 5v+i 2.5771n-2 +1

= V bv-----------------+ У ьи---------.

^ v V + 1 ^ V + 1

v=0 v=0.801n

Из леммы 2 следует, что 5 а801га• Ьи• 5+1 Е 2, V = 0, ..., 0.801п—1. При V > 0.801п:

5—0.801га • ^ • 5^+1 Е 2, так как Ь„ Е 2.

Далее д2 5771га----------Е N так как V+1 < 2.5771п. Поэтому 5—0.801га• д2 5771га• Л0 Е 2.

V +1

При 3 = 1

20

Л1 =С1' (x + (36—x^) =C1 ln{w——x)

20 7

= c1ln 4. 15 4

15

0.801n

Из (4) имеем, что c1 • 5 0.801n g Z. При j > 2

20

Лу С^ [xj + (36 — x)j) j — 1 (xj-1 (36 — x)j-1)

15

cW 1 1 1 , 1 N

\22J-2 • 5j-1 24j-4 3J-1 • 5j-1 + 3J-1 • 7j-1) .

--------------------------------------■ --------------------------------------------------------------------- — ------------------------------------------ —

j — 1 \22j—2 • 5j—1 24j—4 3j—1 • 5j—1 + 3j-

Поскольку fe5771n G N, так как j — 1 G {1, 2,...,n}, то используя (4) получим, j—1

что Лу • 5-0.801n •

• q2.5771n G Z.

В итоге из (1) и (2) окончательно получим

n+1 7

j = 5—0.801n q Л + 5—0.801n q \ Л л , г—0.801n q c i 7

J = 5 • q2.5771n • Л0 + 5 • q2.5771n • /_Л + 5 • Q2.5771n • c1 • ln 4 ,

j=2

где j G Z, и лемма 3 доказана.

В основе дальнейших рассуждений лежит следующая лемма, доказанная М.Хата [5].

Лемма 4. Пусть 0 G R, О— иррационально, en = qn0 — pn, qn, pn G Z; lim sup — ln \en\ < —t, lim sup — ln \qn\ = a.

n^-ж n n^-ж n

Тогда /i(0) < 1 +—.

t

7

Применим лемму 4 для чисел: 0 = 1п ^, £га = 1, дга = А, рга = В. Асимптоти-

л20

ку интеграла / К(х)д,х несложно вычислить с помощью теоремы Лапласа, а

15

асимптотику дга с помощью метода перевала.

Рассмотрим следующую функцию (см. (1)):

(х — 15)“3 (х — 16)“2 (х — 18)а1 (х — 20)“2 (х — 21)“3 (13х2 — 468х + 4200)“4

f(x)

x

(41x2 — 1476x + 13230)“Б (47x2 — 1692x + 15120)“6 (67x2 — 2412x + 21600)“7

(36 — x)

Пусть t = (x — 18)2. Тогда:

f (x) = g(t) =

= t1 ai (t — 4)“2 (t — 9)“3 (13t — 12)“4 (41t — 54)“6 (47t — 108)“6 (67t — 108)“7 = 324 —t .

Найдем нули g'(t), отличные от нулей g(t). В результате получим, что t1 ~ 0.766729, t2 « 1.101423, t3 « 1.544485, t4 « 1.685366, t5 « 2.365805, t6 « 6.686397, t7 « 571.534735. Тогда:

t = —2.5771 + °.Ш •ln5 — ln(max(\g(t1)1, \g(t2)\, \g(tз)\, \g(t4)1, \g(t5)\, \g(t6)\)) ~ 1.496203.

a = 2.5771 — 0.801 • ln5 + ln(\g(t7)\) « 10.623533.

По лемме 4 ц(0) < 1 +— ~ 8.1003. Следовательно ц ^ln < 8.1004 и теорема

1 доказана.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В.Х. Салихову за интересную тему, многочисленные советы и помощь в работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wu, Q. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers // Math. Comput. 2002. Vol. 72, № 242. P. 901—911.

2. Золотухина Е. С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Брянск, 2009. 100 с.

3. Салихов В. Х. О мере иррациональности log 3 // Доклады РАН. 2007. Т. 417, № 6. С. 753—755.

4. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа п // Математические заметки. 2010. Т. 88, № 4. С. 583—593.

5. Hata M. Rational approximations to п and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. 63, №. 4 P. 335—349.

Брянский государственный технический университет Поступило 31.05.2013