Оценка меры иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

УДК 511.36

ОЦЕНКА МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ГАУССА

В. А. Андросенко (г. Брянск)

Введение

Одной из классических задач теории диофаитовых приближений, начиная с работы К, Зигеля в 1929 г., является изучение арифметических свойств значений гипергеометрических функций, а также получение оценки меры иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса,

Напомним, что мерой иррациональности ^(т) вещественного чнсла т называется нижняя грань множества чисел А, для которых, начиная с некоторого положительного д > до (А), выполняется неравенство

Исследованиями в данной области занимались, в частности, Д, Ринн, Г, 11 уд-ног,екни. М, Хуттнер, М, Хата, К, Ваананен, А. Хеймонен, Т. Матала - ахо и другие,

В 1993 г. К, Ваананен, А. Хеймонен, Т, Матала - ахо [7] рассмотрели гипергеометрическую функцию Гаусса вида

1 Результаты получены при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований, грант №09-01-00743

Аннотация

13

В работе получена оценка меры иррациональности числа т = log--Ь

г - - > q~x, peZ, qeN.

q

p

(i)

Опираясь на свойства коэффициентов многочлена Якоби, ими был получен общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности значений функции вида (1),

Одним из значений гипергеометрической функции Гаусса, рассмотренных в работе [7] является

^ л 15 1 ^ 1 13 « 4

Г = 2^1 ^ = 1о§ - + 2 агс!ап -. Было доказано, что ) < 13,164____

Используя идею комплексного симметризованного интеграла эту оценку удалось улучшить, а именно, доказать следующую теорему.

Теорема 1. Справедлива оценка

Мт) < 7,448 ... .

Доказательство теоремы 1.

Для доказательства теоремы был рассмотрен интеграл вида:

Г (х - 2 - 2г)6п(х - 2 - 3г)п(х - 2 - г)п(х - 1 - 2г)п(х - 3 - 2г)п ,

и = / -(XX

у хп+1 (4 + 41 - х)п+1 (4 + гх)га+1(4г - гх)га+1

= / Д(х)йх, (2)

где п - четно, п —> I - отрезок [2 + 2г, 3 + 2г].

Подынтегральная функция Я(х) в (2) обладает свойством симметрии, а именно Я(в(х - 2 - 2г)) = К(х - 2 - 2г), где в = {±1, ±г}.

Разложение рациональной функции К(х) в сумму простейших дробей имеет вид

п+1 ,

^ 6га ^ \хз (4 + 4г - х)з (4 + гх)-? (4г - гх)'/ '

где все щ Е О, ] = 1,..., п + 1.

2 (6га—4)

Рбп—4(х) = X] К (х - 2 - 2г)4^, К Е Z. (4)

^=1

Из (2) и (3) имеем

I = 11 + /2 + 1з, (5)

где

3+2i

Ii = J P6n-4(x)dx, ri = Ii e Q, 2+2 i

(6)

3+,2i/n+l

= /fe 2 +

2+2i Vj=2

a,

+

a,

+

a,

xj (4 + 4i - x)j (4 + ix)j (4i - ix)j

dx, r2 = I2 e Q,

(7)

3+2i

2+2i

ai

+

ai

ai ai

+ i-- + T-

x 4 + 4i — x 4 + ix 4i — ix

dx

ai ( log ж — log(4 + 4i — x) -\— (log(4 + ix) — log(4z — ix))

i

(1 .'3 + 2i \ 1 ( 2 + 3i'

ai' S ' T+2i J + 7 S I ITT

'13

log I J^ei(»ctgf-arctg2) ] + } 5 i

• ч ( 13 „ 4 -(1 - г)аг (logy + 2arctg-

3+2i 2+2i

' ^ ifarctg |-arctg

h = Mog у+ 2 arctg ^ ) , ^ = сц(1 - г).

(8)

Тогда

r 1 ' Л 13 4\

en = I = -аг I log у + 2 arctg - ] + n + r2.

(9)

a,

метические свойства коэффициентов bv в разложении много члена P (x) из (4), используя аналогичные рассуждения из [2].

Обозначим K = {x + yi|x, y e Z} - кольцо гауссовых чисел, пусть 9N = {N/2} - дробная доля числа N/2 для N e Z+,

Лемма 1. . Для всех j = 1,... ,n + 1 справедливо представление

2-7(1 + 3i)j-l(1 + 2i)j-l(3 + 2i)j-l(2 + i)j-1 • A,

(10)

где A, e K.

2

3

a

,

Доказательство, Обозначим

1

к! ^хк

По формуле дифференцирования Лейбница

Бк(«1 ■ ... ■ и)= ^ Бк1 («1) ■ ... ■ Бкг(и)

к\-\-.. ,-\-кг=к

1 ^п+1-

(п + 1 - .7

получаем

а,- = т-гт---т— (Д(ж) • хп+1)

ж=0

а, = = ]>] вк1(х-2- 2г)&пОк2 (х - 2 - Зг)п х

к=п-\-1—]

х Вкз (х - 2 - г)пДк4 (х - 1 - 2г)п^кб (х - 3 - 2г)п х х Вы(4 + 4г - х)-п-1^к7(4 + гх)-п-1^к8(4г - гх)-п-1, (12)

где к1 < 6п; к, < п; = 2,..., 8, Равенство (11)можно записать в виде

а3= ^ Р(к)Л(к)В(к)С(к), (13)

к=п-\-1—]

где

А(к) = (2 + Зг)п~к2(2 + г)п~кз(1 + 2г)га"к4(3 + 2г)га"кб, (14)

= 26тг_Л;12_2гг'—2/гб_22_2га_2Л:7_22_2"'_2Й8_2 (1 + г)6га_к1(1 + (15)

ОД = (1б)

Очевидно, что для к Е N

(1 + г)2к = 2кгк, (1 + г)2к+1 = 2кгк(1 + г) = 20-5(2к+1)-0-5гк(1 + г),

то есть

(1 + г)м = 20'5^, Ам Е К.

Поэтому,

В(т) = 2-к1-2кб-2к7-2к8-б22.5п-0.5(к1+кб + 1)-бк1+к6_1 ^^

Так как -2.5к6 - 1.5к1 - 2к7 - 2к8 > -2.5(к1 + к6 + к7 + к8), то

А = 2.5п - 1.5к1 - 2.5кб - 2к7 - 2к8 - 6.5 - вк1+к6+1 > -6.5 - в^+к6+ь

Коэффициенты ß{k) G Z имееют вид

5

6n ■ ... ■ (6n — fci + 1) -р-|- n(n — 1) ■ ... ■ (n — km + 1)

X

ß(k) = n

k! 11 k !

im m=2

x п (is)

„ km!

m—6

Из (12)—(18) следует искомое представление (10). Лемма доказана.

Вычислим знаменатель Qn рациональных чисел а1; r1; r2 и к полученной линейной форме enQnnpHMenHM следующую лемму:

Лемма 2. . Пусть О g R, О— иррационально, en = qnO — pn, qn, pn g Z;

lim sup — log |era| < —r, lim sup — log \qn\ = a. (19)

n—y^o n n—^^o n

Тогда < 1 + - .

T

Доказательство. См. замечание 2.1 работы [6].

В лемме 3 вычислим знаменатель Qn g N рациональных чисел а1; r1; r2. Обозначим

Ai= Д pi^l, A2= Д р, А3= Д р,

2<p<V&n p=3(mod4) p=l(mod4)

\fWn<p<dn—4 \fWn<p<dn—4

где p — простое число.

Лемма 3. . Пусть Qn = 27Л1Л2Л3. Тогда, справедливо представление вида,

QnI = А ■ ^log у + 2 arctg 0 + В, где А, В G Z.

Доказательство.

1) По лемме 1 при j = 1 имеем

а1 = 2-7Аь где A1 G K.

Поэтому

Qn«1 = A ■ Л1Л2Л3 g K. (20)

2) Покажем, что Qnr2 g K. Из (7) имеем

n+1

"j / 1 1 Г2 ~~ п - 1 I ТЯТуаРТ ~ 7TT9ÄPT + 1

■_oj — 1 V(3 + 2i)j-1 (1 + 2i)j-1 i(2 + 3i)j-1 i(i + 2)j-1/ j—2

1

1

^ Л1Л2Л3

Так как все-€ Ш, то по лемме 1

3 - 1

^пГ2 Е К. (21)

3) Покажем, что ^пг1 Е К, Из (4) имеем

2 (6га—4)

^=1

3+2г1(бга-4) з(6га-4) 4+2г

г\= [ К(х - 2 - 2г)АЧх = -^-^{х - 2 - 2г)4»+1

2+2г

2 (6га—4)

»V

4-2г

Рбп-4(х) = ^ »V (х - 2 - 2г)^, »V Е К Тогда по формуле (6)

3+2г1(бга-4)

/ ^ »V(х - 2 - 2г)4"^х = ^

V=1 V=1

1 4

^ 4// + 1'

V=1

Л1Л2Л3

Так как все-€ Ш, то

4^ + 1

^пГ1 Е К. (22)

Из (20) (22) следует, что лемма доказана.

Для линейной формы фпеп и леммы 2, 3) вычислим а и т, тем самым завершим доказательство теоремы 1, Рассмотрим функцию

_ (х-2- 2%)&{х - 2 - Зг)(а - 2 - г) (ж - 1 - 2г)(ж — 3 — 2г)

х(4 + 4г - ж)(4 + хг)(Аг - гх)

(23)

Далее действуем так, как в работе М, Хата [6]. Точки перевала — нули функции f'(х), отличные от нулей функции f (х). Используя симметрию, сделаем в (23) замену переменной £ = х - 2 - 2г. Получим

т (1 ~ №5

Найдем корни уравнения д'(£) = 0 отличные от корней д(£). Имеем

1.5 1 1 — +---= 0,

£ £ - 1 64 + £

или

1.5£2 - 159.5£ - 96 = 0. (24)

Корни уравнения (24):

ti = 0.598512 ..., t2 = -106.931833 .... Согласно метода перевала имеем

lim — log Iet 11 = log ((/(¿г)! = 6.531....

и^те n

Ввиду того, что lim — logAi = 0, lim — logA2 = 1, lim — logA3 = 3,

га^те n га^те n га^те n

имеем lim — log Qn = 4.

га^те n

Поэтому

(7 = lim — log |Qnai| = 4 + 6.531... = 10.531....

га^те n

lim — log \ I\ = log | = -5.4997....

га^те n

Поэтому

r = - ( lim — log Qn + log | #(¿11 ) = -(4- 5.4997...) = 1.4997.... n J

По лемме 2 для линейной формы имеем

,1 13 „ К , ° , 10.531 пллп /т. (log — + 2 aretan -)<1 + - = 1 + —гт" = 7.448 5 7 т 1.5

и требуемая оценка доказана.

Отметим, что впервые метод симметризоваппого интеграла был применён В. X. Салиховым [1] для получения оценки меры иррациональности числа log 3, а затем и его учениками Е. С. Золотухиной [3] и Е. Б. Томашевской [4].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. X. Салихову за интересную тему, многочисленные советы и помощь в работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

log 3

С. 1-3,2007.

[2] Салихов В. X. О мере иррациональности числа п // Математические заметки. (в печати).

[3] Сальникова Е, С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. JVS 3. С. 428-438.

[4] Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях числа тг числами из поля <0>(л/3) // Математические заметки, 2008, Том 83, JV2 6, С, 912-922,

[5] Hata М, Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith. LX. 1992. P. 335-347.

[6] Hata M. Rational approximations to n and some other numbers // Acta Arith. 63. 1993. no. 4 P. 335-349.

[7] Heimonen A., Matala-Aho Т., Vaananen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manu-scripta Math. 1993. Vol. 81. № 1. P. 183-202.

Брянский государственный технический университет Получено 15.05.2010