CC BY
27
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы
УДК 511.36
ОЦЕНКА МЕРЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ГАУССА
В. А. Андросенко (г. Брянск)
Введение
Одной из классических задач теории диофаитовых приближений, начиная с работы К, Зигеля в 1929 г., является изучение арифметических свойств значений гипергеометрических функций, а также получение оценки меры иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса,
Напомним, что мерой иррациональности ^(т) вещественного чнсла т называется нижняя грань множества чисел А, для которых, начиная с некоторого положительного д > до (А), выполняется неравенство
Исследованиями в данной области занимались, в частности, Д, Ринн, Г, 11 уд-ног,екни. М, Хуттнер, М, Хата, К, Ваананен, А. Хеймонен, Т. Матала - ахо и другие,
В 1993 г. К, Ваананен, А. Хеймонен, Т, Матала - ахо [7] рассмотрели гипергеометрическую функцию Гаусса вида
1 Результаты получены при частичной поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований, грант №09-01-00743
Аннотация
13
В работе получена оценка меры иррациональности числа т = log--Ь
г - - > q~x, peZ, qeN.
q
p
(i)
Опираясь на свойства коэффициентов многочлена Якоби, ими был получен общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности значений функции вида (1),
Одним из значений гипергеометрической функции Гаусса, рассмотренных в работе [7] является
^ л 15 1 ^ 1 13 « 4
Г = 2^1 ^ = 1о§ - + 2 агс!ап -. Было доказано, что ) < 13,164____
Используя идею комплексного симметризованного интеграла эту оценку удалось улучшить, а именно, доказать следующую теорему.
Теорема 1. Справедлива оценка
Мт) < 7,448 ... .
Доказательство теоремы 1.
Для доказательства теоремы был рассмотрен интеграл вида:
Г (х - 2 - 2г)6п(х - 2 - 3г)п(х - 2 - г)п(х - 1 - 2г)п(х - 3 - 2г)п ,
и = / -(XX
у хп+1 (4 + 41 - х)п+1 (4 + гх)га+1(4г - гх)га+1
= / Д(х)йх, (2)
где п - четно, п —> I - отрезок [2 + 2г, 3 + 2г].
Подынтегральная функция Я(х) в (2) обладает свойством симметрии, а именно Я(в(х - 2 - 2г)) = К(х - 2 - 2г), где в = {±1, ±г}.
Разложение рациональной функции К(х) в сумму простейших дробей имеет вид
п+1 ,
^ 6га ^ \хз (4 + 4г - х)з (4 + гх)-? (4г - гх)'/ '
где все щ Е О, ] = 1,..., п + 1.
2 (6га—4)
Рбп—4(х) = X] К (х - 2 - 2г)4^, К Е Z. (4)
^=1
Из (2) и (3) имеем
I = 11 + /2 + 1з, (5)
где
3+2i
Ii = J P6n-4(x)dx, ri = Ii e Q, 2+2 i
(6)
3+,2i/n+l
= /fe 2 +
2+2i Vj=2
a,
+
a,
+
a,
xj (4 + 4i - x)j (4 + ix)j (4i - ix)j
dx, r2 = I2 e Q,
(7)
3+2i
2+2i
ai
+
ai
ai ai
+ i-- + T-
x 4 + 4i — x 4 + ix 4i — ix
dx
ai ( log ж — log(4 + 4i — x) -\— (log(4 + ix) — log(4z — ix))
i
(1 .'3 + 2i \ 1 ( 2 + 3i'
ai' S ' T+2i J + 7 S I ITT
'13
log I J^ei(»ctgf-arctg2) ] + } 5 i
• ч ( 13 „ 4 -(1 - г)аг (logy + 2arctg-
3+2i 2+2i
' ^ ifarctg |-arctg
h = Mog у+ 2 arctg ^ ) , ^ = сц(1 - г).
(8)
Тогда
r 1 ' Л 13 4\
en = I = -аг I log у + 2 arctg - ] + n + r2.
(9)
a,
метические свойства коэффициентов bv в разложении много члена P (x) из (4), используя аналогичные рассуждения из [2].
Обозначим K = {x + yi|x, y e Z} - кольцо гауссовых чисел, пусть 9N = {N/2} - дробная доля числа N/2 для N e Z+,
Лемма 1. . Для всех j = 1,... ,n + 1 справедливо представление
2-7(1 + 3i)j-l(1 + 2i)j-l(3 + 2i)j-l(2 + i)j-1 • A,
(10)
где A, e K.
2
3
a
,
Доказательство, Обозначим
1
к! ^хк
По формуле дифференцирования Лейбница
Бк(«1 ■ ... ■ и)= ^ Бк1 («1) ■ ... ■ Бкг(и)
к\-\-.. ,-\-кг=к
1 ^п+1-
(п + 1 - .7
получаем
а,- = т-гт---т— (Д(ж) • хп+1)
ж=0
а, = = ]>] вк1(х-2- 2г)&пОк2 (х - 2 - Зг)п х
к=п-\-1—]
х Вкз (х - 2 - г)пДк4 (х - 1 - 2г)п^кб (х - 3 - 2г)п х х Вы(4 + 4г - х)-п-1^к7(4 + гх)-п-1^к8(4г - гх)-п-1, (12)
где к1 < 6п; к, < п; = 2,..., 8, Равенство (11)можно записать в виде
а3= ^ Р(к)Л(к)В(к)С(к), (13)
к=п-\-1—]
где
А(к) = (2 + Зг)п~к2(2 + г)п~кз(1 + 2г)га"к4(3 + 2г)га"кб, (14)
= 26тг_Л;12_2гг'—2/гб_22_2га_2Л:7_22_2"'_2Й8_2 (1 + г)6га_к1(1 + (15)
ОД = (1б)
Очевидно, что для к Е N
(1 + г)2к = 2кгк, (1 + г)2к+1 = 2кгк(1 + г) = 20-5(2к+1)-0-5гк(1 + г),
то есть
(1 + г)м = 20'5^, Ам Е К.
Поэтому,
В(т) = 2-к1-2кб-2к7-2к8-б22.5п-0.5(к1+кб + 1)-бк1+к6_1 ^^
Так как -2.5к6 - 1.5к1 - 2к7 - 2к8 > -2.5(к1 + к6 + к7 + к8), то
А = 2.5п - 1.5к1 - 2.5кб - 2к7 - 2к8 - 6.5 - вк1+к6+1 > -6.5 - в^+к6+ь
Коэффициенты ß{k) G Z имееют вид
5
6n ■ ... ■ (6n — fci + 1) -р-|- n(n — 1) ■ ... ■ (n — km + 1)
X
ß(k) = n
k! 11 k !
im m=2
x п (is)
„ km!
m—6
Из (12)—(18) следует искомое представление (10). Лемма доказана.
Вычислим знаменатель Qn рациональных чисел а1; r1; r2 и к полученной линейной форме enQnnpHMenHM следующую лемму:
Лемма 2. . Пусть О g R, О— иррационально, en = qnO — pn, qn, pn g Z;
lim sup — log |era| < —r, lim sup — log \qn\ = a. (19)
n—y^o n n—^^o n
Тогда < 1 + - .
T
Доказательство. См. замечание 2.1 работы [6].
В лемме 3 вычислим знаменатель Qn g N рациональных чисел а1; r1; r2. Обозначим
Ai= Д pi^l, A2= Д р, А3= Д р,
2<p<V&n p=3(mod4) p=l(mod4)
\fWn<p<dn—4 \fWn<p<dn—4
где p — простое число.
Лемма 3. . Пусть Qn = 27Л1Л2Л3. Тогда, справедливо представление вида,
QnI = А ■ ^log у + 2 arctg 0 + В, где А, В G Z.
Доказательство.
1) По лемме 1 при j = 1 имеем
а1 = 2-7Аь где A1 G K.
Поэтому
Qn«1 = A ■ Л1Л2Л3 g K. (20)
2) Покажем, что Qnr2 g K. Из (7) имеем
n+1
"j / 1 1 Г2 ~~ п - 1 I ТЯТуаРТ ~ 7TT9ÄPT + 1
■_oj — 1 V(3 + 2i)j-1 (1 + 2i)j-1 i(2 + 3i)j-1 i(i + 2)j-1/ j—2
1
1
^ Л1Л2Л3
Так как все-€ Ш, то по лемме 1
3 - 1
^пГ2 Е К. (21)
3) Покажем, что ^пг1 Е К, Из (4) имеем
2 (6га—4)
^=1
3+2г1(бга-4) з(6га-4) 4+2г
г\= [ К(х - 2 - 2г)АЧх = -^-^{х - 2 - 2г)4»+1
2+2г
2 (6га—4)
»V
4-2г
Рбп-4(х) = ^ »V (х - 2 - 2г)^, »V Е К Тогда по формуле (6)
3+2г1(бга-4)
/ ^ »V(х - 2 - 2г)4"^х = ^
V=1 V=1
1 4
^ 4// + 1'
V=1
Л1Л2Л3
Так как все-€ Ш, то
4^ + 1
^пГ1 Е К. (22)
Из (20) (22) следует, что лемма доказана.
Для линейной формы фпеп и леммы 2, 3) вычислим а и т, тем самым завершим доказательство теоремы 1, Рассмотрим функцию
_ (х-2- 2%)&{х - 2 - Зг)(а - 2 - г) (ж - 1 - 2г)(ж — 3 — 2г)
х(4 + 4г - ж)(4 + хг)(Аг - гх)
(23)
Далее действуем так, как в работе М, Хата [6]. Точки перевала — нули функции f'(х), отличные от нулей функции f (х). Используя симметрию, сделаем в (23) замену переменной £ = х - 2 - 2г. Получим
т (1 ~ №5
Найдем корни уравнения д'(£) = 0 отличные от корней д(£). Имеем
1.5 1 1 — +---= 0,
£ £ - 1 64 + £
или
1.5£2 - 159.5£ - 96 = 0. (24)
Корни уравнения (24):
ti = 0.598512 ..., t2 = -106.931833 .... Согласно метода перевала имеем
lim — log Iet 11 = log ((/(¿г)! = 6.531....
и^те n
Ввиду того, что lim — logAi = 0, lim — logA2 = 1, lim — logA3 = 3,
га^те n га^те n га^те n
имеем lim — log Qn = 4.
га^те n
Поэтому
(7 = lim — log |Qnai| = 4 + 6.531... = 10.531....
га^те n
lim — log \ I\ = log | = -5.4997....
га^те n
Поэтому
r = - ( lim — log Qn + log | #(¿11 ) = -(4- 5.4997...) = 1.4997.... n J
По лемме 2 для линейной формы имеем
,1 13 „ К , ° , 10.531 пллп /т. (log — + 2 aretan -)<1 + - = 1 + —гт" = 7.448 5 7 т 1.5
и требуемая оценка доказана.
Отметим, что впервые метод симметризоваппого интеграла был применён В. X. Салиховым [1] для получения оценки меры иррациональности числа log 3, а затем и его учениками Е. С. Золотухиной [3] и Е. Б. Томашевской [4].
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. X. Салихову за интересную тему, многочисленные советы и помощь в работе.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
log 3
С. 1-3,2007.
[2] Салихов В. X. О мере иррациональности числа п // Математические заметки. (в печати).
[3] Сальникова Е, С. Диофантовы приближения log 2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. JVS 3. С. 428-438.
[4] Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях числа тг числами из поля <0>(л/3) // Математические заметки, 2008, Том 83, JV2 6, С, 912-922,
[5] Hata М, Irrationality measures of the values of hypergeometric functions // Acta Arith. LX. 1992. P. 335-347.
[6] Hata M. Rational approximations to n and some other numbers // Acta Arith. 63. 1993. no. 4 P. 335-349.
[7] Heimonen A., Matala-Aho Т., Vaananen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manu-scripta Math. 1993. Vol. 81. № 1. P. 183-202.
Брянский государственный технический университет Получено 15.05.2010
