Симметрия уравнений термодиффузии при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 15, № 4, 2010

Симметрия уравнений термодиффузии при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации*

В. К. Андреев, И. В. Степанова Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия. e-mail: andr@icm. krasn. ru, stepiv@icm. krasn. ru

Исследованы свойства симметрии системы уравнений термодиффузии при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации. Найдена основная алгебра Ли операторов, допускаемых исходной системой уравнений при произвольных значениях функции, определяющей силу плавучести, а также вычислены все специализации этой функции, расширяющие основную алгебру Ли. Построены некоторые инвариантные решения, описывающие движение бинарной смеси под действием силы плавучести с учетом эффекта Соре.

Ключевые слова: групповые свойства, алгебра Ли, уравнения термодиффузии, сила плавучести.

1. Описание системы уравнений

В последние десятилетия развитие вычислительной техники стимулировало поиск регулярных механизмов переноса энергии и вещества в различных смесях. К числу таких процессов относится конвекция. Конвективные течения играют важную роль в задачах теплоэнергетики, металлургии, в метеорологических явлениях и в настоящее время стали важным объектом теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики. Несмотря на интерес к этим течениям не только с точки зрения возможных технологических приложений, но и как к фундаментальной физической проблеме, до сих пор нет общих методов исследования нелинейных уравнений конвекции. При описании конвективных течений необходимо учитывать нелинейность уравнения состояния среды, эффекты Соре и Дюфора, перенос примесей и тепла, зависимости кинетических коэффициентов среды и коэффициентов теплового расширения и солевого сжатия от параметров состояния.

Для изучения основных закономерностей конвекции уравнения движения обычно упрощаются согласно выбранной модели процесса. В случае конвективного течения под действием эффекта Соре и сил плавучести уравнения движения имеют вид

^ = ——\7р + иАи + Н(р, 9, с)^, сИуи = 0, аЬ ро

^ = ХД 0, ^ = + (1)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-01-00762), интеграционных проектов СО РАН № 65 и 116, гранта президента РФ № МК-299.2009.1.

где x = (x1, x2, x3) — вектор координат; u = (u1, u2, u3) — вектор скор ости; p — давление; в — малое отклонение температуры от среднего значения; с — малое отклонение концентрации легкого компонента от среднего значения; р0 = const — плотность смеси при средних значениях температуры и концентрации; g = (0, 0, —g) — вектор массовых сил; v — кинематическая вязкость; х ~ коэффициент температуропроводности; D — коэффициент диффузии; a — коэффициент Соре; Я(р,в,с) — положительная функция, определяющая силу плавучести; р0, v, х, D, g — положительные постоянные; d/dt = d/dt + u • V — символ полной производной. Замет им, что при a < 0 термодиффузию называют нормальной, в этом случае тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие — в более нагретые; при a > 0 наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное.

В предположении v = 0, х = 0, х = D, D = 0, a = 0 после замены переменных

где два последние уравнения имеют одинаковую дифференциальную структуру. 2. Постановка задачи

При анализе систем нелинейных уравнений в частных производных, таких как система (2), необходимо применять достаточно мощные математические методы. Одним из них является теоретико-групповой анализ, позволяющий изучать инвариантные свойства таких уравнений. Созданный в XIX веке Софуеом Ли, этот метод получил существенное развитие только во второй половине XX века в работах Л.В. Овсянникова [1] и его учеников и до сих пор является единственным общим методом построения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных. Задача групповой классификации системы (2) относительно функции К(п4,п5,п6) поставлена в [2], где была найдена основная алгебра Ли операторов, допускаемых системой (2) при произвольных значениях классифицируемой функции, а также вычислены преобразования эквивалентности, упрощающие вид классифицируемой функции и не меняющие дифференциальной формы исходных уравнений. Основная алгебра Ли характеризуется восьмипараметрической группой симметрии, соответствующей операторам

система (1) перепишется в виде

du

— = - Vw4 + г/Ди + R(u\ и5, и6)к, div и = 0, dt

^ = ^r = DAu\ к = (0,0,-1),

(2)

(3)

Группе временных сдвигов соответствует оператор Х0, группе вращений в плоскости (ж1, х2} ставится то взаимнооднозначное соответствие оператор Х12, операторы Я»(1)

отражают инвариантность системы (2) по отношению к сдвигам вдоль осей ж1, ж2, ж3, операторы НДЬ) учитывают инвариантность относительно преобразований Галилея,

При дальнейшем исследовании свойств симметрии уравнений (2) было выделено три классифицирующих уравнения, играющих роль ограничений на широту допускаемой алгебры Ли операторов. При решении этих уравнений появляются следующие варианты:

Я = соп в!;, (4)

Я = Я(и5,и6), (5)

Я = и4 + Я1(и5,и6), (6)

Я = Я(и4, и5, и6). (7)

В равенстве (7) Я нелинейно зависит от и4,

С точки зрения преобразований эквивалентности в случае (4) можно считать, что Я = 0, Это означает, что исходными являются уравнения Навье—Стокса, дополненные уравнениями тепло- и массоперепоса. Их групповые свойства были изучены ранее, основные результаты приведены в [3]. Далее этот случай из рассмотрения исключается. Для каждого из вариантов (5), (6), (7) в [2] были выписаны классифицирующие уравнения, которые являются дифференциальными в частных производных первого порядка. При их интегрировании появляются произвольные функции от первых интегралов, Групповая классификация в случаях (5)-(7) была проведена с точностью до этих произвольных функций без ограничения на их произвольность. Иначе говоря, были получены своего рода "ядра" алгебр Ли операторов, которые могут расширяться в зависимости от вида произвольных функций, входящих в представление классифицируемой функции Я(и4,и5,и6), С целью получить полную классификацию уравнений (2)

Я

случай (6), когда Я линейно зависит от и4, В настоящей работе предлагается продолжить уточнение функциональной зависимости в случае (5), когда Я те зависит от и4. При этом линейная зависимость (модель Обербека—Буссинеска) не рассматривается. Групповые свойства такой системы изучены в работах [3, 5, 6],

3. Групповая классификация системы (2) при Д = Д(и5 , и6)

Координаты инфинитезимального оператора X = £гдх1 + £4<94 + г]адиа, г = 1,3, а = 1,6, в случае зависимости (5) запишутся как [2]

£1 = С4Ж1 + С1ж2 + й1^), £3 = С4Ж3 + й3(Ь),

дй1

П1 = — С4и1 + С1и2 +

£2 = — С1Ж1 + С4Ж2 + й2(Ь), 4Ь + Со,

дй2

£4 = 2С4Ь + Со,

дЬ

П2 = — С1и1 — С4и2 +

дЬ

П3 = — С4И3 +

д!г3

т

3 д2^

2С4М4 - ]>] —ж* + С9ж3 + ф),

i=1

дЬ2

V

5 С5«5 + С7,

П6 = С6и6 + Се,

а классифицирующее уравнение имеет вид

С9 + ЗС4Я + (С5М5 + С71 + ( СбП6 + С8

ди5

ди6

0.

(8)

4

П

Здесь С0,..., Сд — групповые постоя иные, кг (¿), г =1, 2, 3, ^(¿) — произвольные гладкие функции. Анализ уравнения (8) в предположении произвольности функции Я дает

С4 = С5 = Сб = С7 = Се = Сд = 0.

Поэтому базис ядра основной алгебры Ли состоит из операторов

Хо, Х\2, = + ¿=1Д

НоШ) = ф) А. (9)

Я

висит только от и5, и6, допускаются также операторы Иг(кг(1)), г = 1, 2, 3, отражающие инвариантность системы (2) по отношению к преобразованиям, проявляющимся при переходе к произвольно движущейся системе координат, а также оператор И0(<^(£)), учитывающий инвариантность относительно сдвигов давления.

При интегрировании классифицирующего уравнения (8) необходимо прежде всего рассмотреть случаи, когда Я зависит только от и5 или только от и6. Поскольку уравнения (2) симметричны относительно и5, и6 и классифицирующее уравнение также симметрично относительно этих переменных, то приведем подробный анализ лишь для Я = Я(и5), Случай Я = Я(и6) исследуется аналогично. Для Я = Я(и5) уравнение (8) упрощается до вида

Сд + ЗС4Д + А (с5и5 + = 0. (10)

Ядро операторов (9) дополнится операторами С1 = и6диб, С2 = 0ив, поэтому имеем следующий классификационный результат,

I, Если Я = (и5)в (при этом в = 0, в =1 исключаются), то ядро расширяется оператором

II, Если R = ln(u5), то система (2) допускает дополнительный оператор

Т1 - Y^ = — - х

д з д

du5 du4'

III, Если R = eSu\/ 6 = ±1, то расширение группы, допускаемой системой (2), происходит за счет оператора

ÖZ-3T2 = S[2t^- + y( хг4~ ~ - 2«4 А ) _ з JL

у dt = V дж* duV du^ ди5

Следует обратить внимание на то, что все три специализации классифицируемой функции получены при существенном использовании преобразований эквивалентности, соответствующих оператору эквивалентности, вычисленному в [2]. Приведем здесь

только преобразования эквивалентности переменных, входящих в классифицирующее уравнение (8), Они даются формулами

и5 = а\и5 + а2, и6 = а3и6 + а4, Я = а5Я + а6 (11)

с произвольными постоянными а,г, г = 1,6, Эти преобразования эквивалентности будут многократно использоваться и далее,

В общем случае функция Я зависит от обеих переменных и5, и6 и удовлетворяет уравнению вида

7оД + Ш ('71115 + 72) + Ш (73М6 + 74) + 75 = ° (12)

с некоторыми постоянными 70,..., 75, В случае, когда одна из постоянных 70, 71 или 73 отлична от нуля, преобразование эквивалентности (11) позволяет полагать нулю соответственно 75, 72 или 74, Таким образом, при анализе (12) рассматриваются альтернативные возможности: все 7^, г = 0,5, равны нулю или какие-то из них отличны от нуля.

Рассмотрим подробнее случай, когда 70 = 0, 71 = 0, 73 = 0, Согласно изложенному выше, считаем 72 = 75 = 0, Тогда равенство (12) перепишется в виде

5 дЯ дЯ

7оД + 71И^+74^ = °- (13)

Используя преобразование эквивалентности растяжения по и6, можно считать 74 = 1, Интегрирование (13) в этом случае дает

Я = е-70"6 / (и5е-71ад6)

с произвольной функцией /, Подставляя найденное Я в (8), получим класспфнцпрую-/

С9 + (3С4 — 7о(С6«6 + С8))/+

+ ((С5 — 71С8)и5е-71и6 + С7е-71ад6 — 71С6И5«6е-71и6)/' = 0, (14)

//

должна быть отлична от нуля, иначе получим зависимость (4), Далее рассматриваются

/

/

следует, что

С6 = С7 = С9 = 0, ЗС4 — 70С8 = 0, С5 — 71С8 = 0. Основная алгебра (9) расширяется оператором

д ^/„д „• д \ „4 д \ 5 д „ д

+ 3(С2 + 71Г1) = 7о + Е - - 2»

хг— - и1— - 2и4— + З71М0— + 3

дм4 / ди5 дм6'

Обозначим эту расширенную алгебру Я* = |Я0,70^ + 3(С2 + 71Т1)},

В, Если f = const, то, используя преобразование эквивалентности растяжения для Д, можно считать f = 1, тогда из (14) еледует, что C6 = C9 = 0, 3 C4 — 70C8 = 0, C5, C7 — произвольные. Основная алгебра L* расширится операторами

T1

u

d du5;

T2

d du5'

Если f = сош^ то го (14) видно, что С6 = С7 = С9 = 0, Единственная классифицирующая возможность в таком случае есть следующая — С,

С, f = (и5е-71и )7, 7 = 0, Такое представление для функции f дает дополнительный к Ь* оператор

д д 1С2 + (70 + ТП)Т1 = 7^ + (7о + 771)«5^-

Следует заметить, что здесь функция Я = (и5)7е(-70-771)и6, тогда с учетом преобразований эквивалентности для и6 можно счптать —70 — 771 = 5 = ±1,

Таким образом, классификация относительно функции f в данном случае завершена, Отметим также, что в случае В получилась зависимость Я только от и6, о которой указывалось выше. Такие пересечения при составлении итоговой таблицы классификации были учтены и исключены.

Подобный анализ всех альтернативных возможностей для 7», г = 0,5, и последующее интегрирование уравнения (8) при существенном использовании преобразований эквивалентности (11) дает классификационный результат, представленный в таблице.

Групповая классификация относительно функции Я(и5,и6)*

№ R Оператор

1 Произвольная L0 = {Хо,Х12,Яг(^(^),Яо(^(^)}

2 R(u5) L50 = {L0,C\C2}

3 (и5)13 Ll,3Tl -fiZ

4 In (и5) Lq, Т1 — F1

5 esu> Lq,5Z — 3T2

6 R(u6) L§ = {Lo, T1, T2}

7 (иУ Lq, 3C1 — /3Z

8 In (и6) Lq, C1 — F1

9 е6иь Lb0,5Z -3C2

10 (•u5)71 (и6)ъ Lo, 3T1 — 71Z, 3C1 — 72^

11 In [(и5)7! (и6)Ъ] Lq^-^F1, C1-^1

12 (u5)7 oeSub Lo, 3T1 — 70Z, 3C2 -5Z

13 (и6)7 ое&и° Lo, 3C1 — 70Z, 3T2 -5Z

14 gиь L0,3C2 -5,Z, 3T2 -52Z

15 и5 + 70 In (и6) L0,T2-Y\ C1-7oF1

16 и6 + 70 In (и5) Lo, C2 — F1, T1-!^1

17 и5 + 5ieS2l,b Lo, T2 — F1, - З^Т1 + С2)

18 и6 + 5геб2иЬ L0,C2-F\ - З^С1 + T2)

19 и5 + 5{v&f L0, T2 - F1, - 3(/?T! + C1)

20 и6 + 5{ьъУ L0, C2 - F1, - З^С1 + T1)

№ К Оператор

21 (и5 - и6)/3 Ьо,т2 + с2, рг-ЦТ1 + С1)

22 ъ ъ (и5) (и6) 2^д1[(и5)Ъ(и6)-^] ь0,ъг + ?,{ът1 + ъс1)

23 дз[(и5)ъ(и6)-ъ] ь0,ъс1+ъс1

24 Ы^Ъ^У'^+дг [(■и5)Ъ(и6У<1] Ь0,ЪС1 +11Т1 -2ЪЪУ1

25 (и5)Ъд4(и6)

26 (и6)Ъд4(и5) ¿0,3с1

27 е-ЪиЬ91 [и5е-ЪиЬ' ьоГ1ог + ?,{с2 + ът1)

28 е~ЪиЬд1 [и6е~ЪиЬ' и,ъг + цт2 + ъс1)

29 е&и°дА{иъ) ь0,5г -зс2

30 егиЬд4(и6) ь0,5г -зт2

31 е 2 д5{51У -§2У ) Ьо,б1б2г + з(б2Т2 + б1с2)

32 1п (и5)+д6(и6) ь0,т1 -у1

33 1п (и6)+д6(и5) ь0,с1 -У1

34 д8(5и5- 1п (и6)) Ьо, 5С1 + Т2

35 д8{би6- 1п (и5)) Ь0,5Т1+С2

36 5и5 + 1п (и6) + 57 - 1п (и6)' Ь0,5С1 + Т2 — 25У1

37 ¿и6 + 1п (и5) + д7 [5и6 - 1п (и5) Ьо,5Т1 +С2 -26У1

38 и5 +дд(и6) Ь0,Т2 -V1

39 и6 +дд(и5) Ь0,С2-У1

40 д4 (и5 - 5и6) Ь0,5Т2 + С2

41 (и5+ 5и6) +д7(и5 -5и6) Ь0,5Т2 + С2 -25У1

*в = 0, = 1,70 1 2 = 0 — произвольные постоянные, 5 = ±1, ¿1,2 = ±1, все функции, входящие в таблицу, отличны от постоянной (в том числе нуля). При этом $1 — произвольная, кроме степенной (в том числе линейной), $2 — произвольная, кроме натурального логарифма, $з — произвольная, кроме степенной (в том числе линейной), а также натурального логарифма, $4 — произвольная, кроме степенной (в том числе линейной), а также экспоненты, $5 — произвольная, кроме экспоненты, $6 — произвольная, кроме линейной, а также натурального логарифма, $7 — произвольная, кроме линейной, $8 — произвольная, кроме линейной, а также экспоненты, $9 — произвольная, кроме степенной (в том числе линейной), натурального логарифма и экспоненты.

Обозначения операторов следующие:

д / ч д д 2 д д 2 д

Х0 = — Я0 = (/?(^)т—, Х12 = х — - х — +и — - и —, дЬ ди4 дх2 дх1 ди2 ди1

д д д

= ЫЦ)— + - х%{е} —, г = 1, 2, 3,

^=24+У - -

дЬ дхг диг) ди4'

г=1 у 7

У1=Х37ДТ, Т1 = иТ2 = Л, С1 = И6 5 С2= 5

ди4 ди5 ди5 ди6 ди6

4. Инвариантные решения

В данной работе не ставится цель изучения и систематического анализа всего класса инвариантных решений системы (2), Укажем лишь некоторые из них, которые могут быть построены на соответствующих подалгебрах операторов для конкретных значений функции R, Напомним, что физические характеристики течения выражаются через инвариантные функции в виде

X — D

Rg —>• R, р = р0и4, 9 =-и5, с = и5 + и6.

aD

Пример 1. Выберем следующие базисные операторы подалгебры из ядра основной алгебры Ли:

Hi(1) = , H2(1) = 42.

В этом случае функция R(«5,«6) остается произвольной. Решение ищем в виде

и1 = г/(£,х3), г = Т7б. После подстановки данного представления в (2) получается фактор-система

1 , 3 1 _ 1 2 , 3 2 _ 2

«t I « ижэ VUx3x3, «t I « ижэ V« ,

«3 + «3иХэ + «Хэ _ VиХэхэ — R(«5, U6), «Хэ _ 0,

535 5 636 6 /\

« + и ихэ _ X«ХэХэ, «6 + и ихэ _ DихэХэ. (15)

Из четвертого уравнения системы (15) получаем и3 _ w0(t), и после замены переменных по формуле £ _ x3 — / w0(t)dt фактор-система (15) запишется как

и1 _ v«^, и2 _ v«2?, и 4 _ — w0t — R(и 5,и6), и5 _ x«5g, и6 _ Du

5, 6

дифференциальную структуру и интегрируются для конкретных краевых задач. Функция и4 выражается из третьего уравнения системы при каждой конкретной функции R(u5, u6)

Пример 2. Для R _ R(«6) (см, таблицу, 6) допускается подгруппа с оператором < d/dx3 + Ad/d«5 — ^(t)S/S«4 >, здесь A _ const. Решение следует искать в виде

и1 = u\t,xl ,х2), г = ТД и4 =-ip(t)x3 + q(t,x\x2),

и5 _ Ax3 + T(t,x1,x2), и6 _ u6(t,x1,x2,x3). (16)

Система (2) редуцируется к следующей:

и1 + «1«Xi + и2«Х2 + qxi _ v(«Xixi + «ХзХ2),

2 , 1 2 i 2 2 i /2 |2\

«t + « «xi + « «Х2 + 5x2 _ V(«xixi + «Х2Х2),

«3 + «1«Xi + «2«Х2 — _ v(«Xixi + «Х2Х2) — R(«6),

«xi + «x2 _ 0,

Tt + «1Txi + «2Tx2 + и3A _ x(Txixi + Tx2x2),

«6 + «1«Xi + «2«Х2 + «3«Хэ _ D(«Xixi + «Х2Х2 + «ХэХэ). (17)

Первые два уравнения (17) представляют собой двумерную систему Навье—Стокса, В частности, она имеет решение u1 = u2 = 0, q = const, В этом случае представление (16) можно интерпретировать как одномерное движение бинарной смеси в плоском слое под действием нестационарного градиента давления и силы плавучести, зависящей от u6. При этом переменные u5, u6, а значит и поля температур и концентраций, зависят от всех переменных. Без учета эффекта термодиффузии подобная задача была решена в работе [7]. Заметим, что и для функции R(u5) (см, таблицу, 2) можно рассматривать решение, аналогичное (16), где функция u6 будет линейной по переменной ж3.

Пример 3. Для функции R, произвольно зависящей от u5, u6, построим решение, инвариантное относительно операторов, входящих в ядро Lo: H1(t), H2(1). Тогда u1 = xl/t + U(t,x3), ul = ul(t,x3), i = 2,6. В этом случае фактор-система имеет вид

1

Ut + - U + u Uxз = ullxзжз, щ + и ихз = vuxзжз,

3 33 4 3 5 6\ 3 1

Ut + U их3 + ux3 = vuxгхг ~ R{U , U ), Uxз + - = 0,

u5 + u3u^3 = xuXs.3, u6 + u3u^3 = Du^3x3. (18)

Функции, входящие в (18), зависят только от двух переменных; из четвертого уравне-

u3

также интегрируются в квадратурах.

Это лишь самые простые примеры инвариантных решений. Исходя из представлений классифицируемой функции и допускаемых системой (2) операторов при различных спецификациях функции R можно строить очень много других инвариантных и частично-инвариантных решений системы функции (2), Работа в данном направлении будет продолжена.

Следует отметить, что при интерпретации найденных решений рассматриваются различные постановки задач [8]. Например, движение между двумя плоскими стенками со свободной границей или с границей раздела.

Список литературы

[1] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

[2] Родионов A.A., Степанова И.В. Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13, № 5. С. 61-69.

[3] Рыжков И.И., Андреев В.К. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Диф. уравнения. 2005. Т. 41, № 4. С. 508-517.

[4] Степанова И.В. Групповая классификация и точные решения уравнений двух моделей гидродинамики: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, ИВМ СО РАН, 2008.

[5] Андреев В.К. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии // Тр. III Меж-

дународной конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. С. 13-17.

[6] Андреев В.К., Рыжков И.И. Групповые свойства уравнений термодиффузии в плоском случае // Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конф. "Чеботарев-ские чтения по проблемам современного группового анализа и его приложений в нелинейной механике". Казань, 2004. С. 11-18.

[7] Андреев В.К. Эволюция совместного движения двух вязких теплопроводных жидкостей в плоском слое под действием нестационарного перепада давления // ПМТФ. 2008. Т. 49, № 4. С. 94-107.

[8] Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО "Наука", 1994. 319 с.

Поступила в редакцию 10 августа 2009 г.