CC BY
36
УДК 532.5; 51-72
йй! 10.25513/1812-3996.2019.24(2).51-65
СИММЕТРИИ В УРАВНЕНИЯХ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЯХ (ОБЗОР)
И. В. Степанова12
1ИВМ СО РАН, г. Красноярск, Россия
2Сибирский федеральный университет, г. Красноярск, Россия
Информация о статье Аннотация. В статье приведен обзор результатов применения метода симметрий Ли-
Дата поступления Овсянникова к исследованию качественных свойств уравнений тепломассообмена в
11.04.2019 вязких бинарных и / или теплопроводящих жидкостях.
Дата принятия в печать 11.04.2019
Дата онлайн-размещения 05.07.2019
Ключевые слова
Теоретико-групповой анализ, симметрии, задача групповой классификации, бинарная смесь, конвекция, тепломассообмен, коэффициенты переноса
SYMMETRIES OF HEAT AND MASS TRANSFER EQUATIONS IN VISCOUS FLUIDS (REVIEW)
I. V. Stepanova12
1Institute of Computational Modelling SB RAS, Krasnoyarsk, Russia 2Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia
Article info Abstract. The paper is devoted to description of results of classical Lie-Ovsyannikov theory
Received application to study of equations of heat and mass transfer in viscous liquids. Group prop-
II.04.2019 erties of equations of convective and molecular heat and mass transfer are under consideration. The author analyzed more than 120 papers and monographs be concerning to the
Accepted mentioned problem.
11.04.2019
Available online 05.07.2019
Keywords
Symmetries, group classification problem, binary mixture, convection, heat and mass transfer, transport coefficients
Введение
В работе представлен обзор монографий и статей, посвященных использованию метода группового анализа для исследования моделей конвективного и чисто молекулярного тепломассообмена в вязких теплопроводных жидкостях и бинарных смесях. Рассматриваются уравнения, содержащие как постоянные,
так и зависящие от параметров состояния коэффициенты переноса. Описываются результаты симметрий-ного анализа математических моделей стационарных и нестационарных процессов разной размерности с различными уравнениями состояния.
Следует отметить, что в обзоре не представлены работы по симметриям моделей движения
идеальной жидкости и их модификациям для описания электромагнитных явлений, а также по групповым свойствам уравнений Навье - Стокса. Вопросы построения инвариантных и частично инвариантных решений исследуемых уравнений и начально-краевых задач затронуты косвенно.
Мотивацией автора для написания данного обзора является тот факт, что в 2019 году исполняется 100 лет со дня рождения академика Льва Васильевича Овсянникова (22.04.1919 - 23.05.2014), выдающегося российского ученого в области механики и математики. Разработанные им методы группового анализа дифференциальных уравнений широко применяются в различных областях математики, механики и теоретической физики. Созданная Л. В. Овсянниковым научная школа широко известна в мировой науке. Работы представителей этой школы в области исследования симметрийных свойств уравнений тепломассообмена включены в данный обзор. 1. Математическая модель Рассмотрим вязкую несжимаемую теплопроводную двухкомпонентную жидкость под действием силы тяжести. Предположим, что описываемая бинарная смесь является двухпараметрической термодинамической средой, где плотность р определяется уравнением состояния
Р = Ро^{в, с). (1.1)
Здесь температура в и концентрация легкого компонента с считаются мало отклоняющимися от их средних постоянных значений в0 и с0 соответственно, р0 - постоянная средняя плотность, F - произвольная гладкая функция.
Будем рассматривать модель конвективного движения вязкой несжимаемой теплопроводной бинарной смеси [1; 2]. Искомые функции скорости и= (и1,и2,и3), давления р, температуры в и концентрации с удовлетворяют уравнениям:
divu = 0, (1.2)
р0(щ + и^и) = -Рр + div(2цТ>)+р0Рд, (1.3) р0ср(в{ +и^в) = + (1.4)
с(+и^с = d\v(DVc + DвVв). (1.5) Здесь коэффициенты динамической вязкости ц, теплопроводности к, диффузии Б, а также параметры В8 и Вв, отвечающие за эффекты Дюфора и Соре соответственно, в общем случае считаются непрерывными функциями температуры и концентрации. Коэффициент удельной теплоемкости ср считается постоянным, Ь означает время, х=(х1,х2,х3) - вектор координат, оператор градиента V вычисляется по пространственным переменным, Т) - тензор скоростей деформации, д - постоянный вектор. Как
правило, д = (0,0,—д), где д - ускорение силы тяжести.
Сделаем ряд существенных замечаний относительно уравнений (1.2) - (1.5). При выводе этой системы предполагалось, что отклонения плотности от среднего значения р0 настолько малы, что их можно не учитывать во всех уравнениях модели, кроме уравнения импульса, где эти отклонения играют роль только в членах, отвечающих за действие силы плавучести, значение которой выражено функцией F(ß, с). Кроме этого, в рассматриваемых уравнениях учтены эффекты Соре (термодиффузии) и Дюфора (концентрационной диффузии).
1.1. Об эффектах Соре и Дюфора
О необходимости учета данных эффектов при моделировании движений жидкостей ведется многолетняя дискуссия. Достаточно часто можно считать, что процесс происходит при малых разностях температур и концентраций, а также без химической реакции компонентов бинарной смеси. Тогда эффектами Соре и Дюфора можно пренебречь, полагая в уравнениях (1.4), (1.5) коэффициенты Ds = De = 0. Однако в ряде приложений градиенты температуры вызывают появление заметного диффузионного потока массы, наряду с тем, что движущая сила потока создается вследствие переноса химических компонентов [3]. Как известно, сущность явления термодиффузии состоит в том, что при наличии температурного градиента в смеси, состоящей из нескольких компонентов, возникает градиент концентрации. Многочисленные исследования показывают важную роль эффекта Соре в природных и технологических процессах. Использование термодиффузии для разделения изотопов в жидких и газовых смесях описывается в работах [4-6]. Влияние этого эффекта на механизмы циркуляции воды в океанах, индуцируемые градиентами температуры и солености, изучено в [7]. В [8] показано, что устойчивость градиента концентрации солей в солнечном пруду зависит от действия термодиффузии. Заметим, что именем одного из исследователей данного эффекта стали называть параметр отношения коэффициента термодиффузии к коэффициенту диффузии: ST =De/D - коэффициент Соре [9].
Если температурное поле в смеси однородно, то наблюдается явление, обратное термодиффузии: изменение концентрации компонент смеси продуцирует разность температур - эффект Дюфора. Данный эффект более характерен для газовых смесей, при перемешивании которых возникающая разность температур может составлять несколько градусов. В
жидкостях концентрационную диффузию важно учитывать, например, при термообработке пластиков. В работе [10] описывается эксперимент, позволивший наблюдать эффект Дюфора, ранее отмечавшийся только в газообразных системах, в суперионном проводнике селениде меди. Статья [11] посвящена изучению эффекта Дюфора для десяти органических бинарных смесей жидкостей. Обнаружено, что для некоторых из них изменение концентрации раствора на 40 % влечет изменение температуры в смеси на десятые доли градуса. Анализу литературы о взаимном влиянии эффектов Соре и Дюфора, а также вопросу о необходимости их учета при моделировании движения жидкости, можно посвятить отдельный обзор. Отметим лишь некоторые работы [12-18], которые могут привлечь внимание читателя, заинтересовавшегося вопросами более точного моделирования движения бинарных смесей.
1.2. О переменных коэффициентах переноса
Для описания процесса конвективного и / или чисто молекулярного тепломассообмена с использованием уравнений (1.2) - (1.5) необходимо знание коэффициентов переноса: р0 ср, ß, к, D, Ds и De. Как правило, используются экспериментальные данные, полученные для ограниченных диапазонов температур и концентраций. В большинстве работ, связанных с экспериментальным измерением коэффициентов переноса, указывается на их существенную зависимость от параметров состояния: температуры, концентрации и, реже, давления. Так, в работах немецких экспериментаторов [19; 20] приведены таблицы коэффициентов диффузии и термодиффузии для водных растворов этилового спирта для температур от 10 °С до 60 °С и массовых концентраций этанола от 0,05 до 0,9. Восстановленные по этим таблицам графики указывают на нелинейную зависимость коэффициента Соре от концентрации и почти линейную - от температуры. Одной из самых изученных бинарных смесей является водный раствор хлорида натрия, который при определенной концентрации последнего по составу идентичен морской воде. В работах [21; 22] описывается линейная зависимость коэффициента диффузии и квадратичная зависимость коэффициента термодиффузии от температуры при концентрации хлорида натрия 0,0285. Подчеркивается, что эта зависимость сохраняется в достаточно большом диапазоне температур 0-40 °С. В последние годы много внимания уделяется изучению свойств коллоидных растворов. Итальянские исследователи вывели экспоненциальную зависимость коэффициента Соре от температуры для не-
скольких водных растворов полипептидов [23], при этом они отмечают линейную температурную зависимость коэффициента термодиффузии.
Влияние параметров состояния на коэффициенты вязкости и теплопроводности этиловых спиртов отмечается в книге [24], об аномалии температурной вязкости растворов жидкой серы говорится в статье [25].
Хорошо известно, что при температуре 4 °С вода имеет максимальную плотность. Принято считать, что в окрестности этой температуры плотность меняется по квадратичному закону [26]. В литературе существует масса уточнений этого закона и его обобщений на случай влияния минерализации и давления [27; 28]. Все они получены экспериментально и представляют собой, как правило, сложные алгебраические выражения. О зависимости плотности различных солевых и щелочных растворов от параметров состояния можно судить из таблиц справочника [29]. При исследовании течений жидкости в качестве функции плотности часто используют приближение Обербека - Буссинеска - линейную зависимость от температуры и концентрации: р = р0(1 — РТв — - рсс), рт, рс - коэффициенты теплового расширения и концентрационного сжатия. Для изучения течений в слабых гравитационных полях или микроканалах используется уравнение состояния, предложенное в [30]: р = р0(1 — ртв)~1. Напомним, что в системе (1.2) - (1.5) учет изменения плотности с температурой и концентрацией происходит с помощью функции ^Х^с), определяющей силу плавучести.
Таким образом, пренебрегать зависимостью коэффициентов переноса от параметров состояния можно лишь в узких диапазонах изменения последних. Если ставится задача исследования поведения смеси для достаточно произвольных значений температуры и концентрации, их влияние на вид коэффициентов переноса следует учитывать.
Одним из мощных и универсальных методов исследования качественных свойств уравнений теп-ломассопереноса в жидкостях и газах является теоретико-групповой анализ. Обзору работ, в которых рассматриваются различные модификации системы (1.2) - (1.5) с точки зрения теории симметрий, посвящены следующие разделы представленной работы.
2. Метод группового анализа. Некоторые аспекты теории
Теория непрерывных групп преобразований дифференциальных уравнений лежит на стыке двух больших математических дисциплин - алгебры и анализа и носит общепринятое название теоре-
тико-групповой анализ. Его основы заложил в девятнадцатом веке норвежский математик Софус Ли [31]. Именно он обнаружил, что все специальные методы решения разных видов обыкновенных дифференциальных уравнений основаны на инвариантности каждого уравнения относительно некоторой непрерывной группы преобразований. Эти группы, теперь известные как группы Ли, оказали влияние на многие области теоретической и прикладной науки: от чистой алгебры до прикладной механики и теоретической физики. Кроме того, Софус Ли создал и первым использовал механизмы редукции, когда решение исследуемого уравнения ищется в виде специальной подстановки, которая сводит данное уравнение к дифференциальному уравнению с меньшим количеством независимых переменных.
Развитие теоретико-групповых методов дифференциальных уравнений в двадцатом веке связано с работами академика Л. В. Овсянникова и его учеников. Итогом этого периода исследований стали учебное пособие [32] и фундаментальная монография [33], после выхода в свет которых в математической науке окончательно сформировалось направление, получившее название групповой анализ дифференциальных уравнений. С помощью этой теории можно описать общую структуру семейства решений дифференциального уравнения, выделить определенные классы решений, отыскание которых в каком-либо смысле проще по сравнению с общим решением, построить законы сохранения, вывести новые решения из уже известных. Основным преимуществом теории является ее применимость к различным уравнениям независимо от их типа, порядка и свойства линейности. Из зарубежных авторов, подробно описавших теорию и методы группового анализа, необходимо отметить П. Олвера [34] и Д. Блюмана [35], которые в своих книгах приводят многочисленные примеры применения симметрий-ного анализа к исследованию уравнений математической физики.
Определим понятия, которые будут использоваться для дальнейшего описания и хорошо знакомы специалистам в области группового анализа. Изложение основано на материалах учебных пособий [36; 37].
Рассматривается пространство 1 = Е" х!"1 = = Х х и. Переменные разделяются на два типа: х= (х1,...,хп) - независимые переменные, и = (и1,...,ит) - функции от х. Система дифференциальных уравнений Е допускает группу С преобразований всех участвующих в Е величин (независи-
мых и зависимых переменных), если система Е остается неизменной при всех преобразованиях, принадлежащих группе G. Здесь группа G есть локальная од-нопараметрическая группа Ли с каноническим параметром fl£ Дс I, которая задана преобразованиями Та:х = f{x,a), х 6 R". Фиксируя точку х и изменяя параметр а, получаем кривую в пространстве R", касательный вектор £ к которой имеет компоненты
Инфинитезимальным оператором группы G называется дифференциальный оператор
п
Zd
¿=i
Пространство
( dsua 1
Zk=XxUx Ux ...х U, U = ]—---}
K Iks (дх-ti ...X->s)
называется k-м продолжением пространства Z. Независимыми переменными в продолженном пространстве Zk являются переменные х, функции и и все производные и" ^ до к-го порядка включительно.
Пусть в пространстве Z действует локальная группа Ли G с инфинитезимальным оператором Х = %l(x,u)dxi +rja(x,u)dua^ Действие группы G естественным образом распространяется на пространство Zk. При этом преобразования производных вычисляются по обычным правилам математического анализа. Продолженной группе Gk отвечает продолженный оператор
а = 1,..., т; i, ix,.ik = 1, ...,п, по повторяющемуся индексу производится суммирование. Координаты продолженного оператора Хк вычисляются по формуле
<7 : диа =Dj ...Dj (ла -и"i) + iiu1i ,• ,
"l-'fe ul1..lk It 1 IT J T IJl.Js'
где Dt - оператор полного дифференцирования по переменной i:
A =dxi + ufdua + - + U?WA?1..Js + •".
Важно помнить, что во всех этих формулах координаты х, и и их производные и" ^ должны рассматриваться как независимые переменные.
В случае, когда система дифференциальных уравнений Е содержит произвольный элемент А в виде неопределенных параметров и функций, возможно подчиненных некоторым условиям, естественным образом возникает задача групповой классификации. Систему с произвольным элементом обозначим через Е(А), а через GE(A) - группу, допускаемую системой Е(А). Тогда ядром основных
групп называется группа GE0, равная пересечению всех групп GE(A). Задача групповой классификации заключается в следующем: для системы Е(А) найти ядро основных групп GE0 и все специализации произвольного элемента А, дающие расширения группы GE0.
Преобразованием эквивалентности системы Е(А) называется преобразование зависимых и независимых переменных и произвольного параметра, которое изменяет только произвольный элемент А, сохраняя дифференциальную структуру Е(А). Преобразования эквивалентности образуют группу, называемую группой эквивалентности. Групповая классификация проводится с точностью до преобразований эквивалентности. О современных исследованиях в области использования преобразований эквивалентности уравнений механики сплошных сред можно прочесть в [38; 39].
3. Симметрии уравнений (1.2) - (1.5) при произвольных коэффициентах переноса
Работы [40; 41], по-видимому, были первыми попыткам группового анализа системы типа (1.2) - (1.5). В [40] исследовалась стационарная двумерная модель тепловой конвекции с постоянными коэффициентами теплового расширения и температуропроводности. В [41] изучались только кристаллографические группы симметрий уравнений термоконцентрационной конвекции.
Используя теорию, приведенную в предыдущем разделе, опишем построение основной алгебры операторов для системы (1.2) - (1.5). Инфини-тезимальный оператор, не меняющий структуру уравнений (1.2) - (1.5), следует искать в виде J . д . д
(3.1)
коэффициенты зависят от всех зависимых и независимых переменных, по индексу i = 1,2,3 предполагается суммирование. Для вывода определяющих и классифицирующих уравнений следует продолжить оператор X на вторые производные и подействовать им на уравнения (1.2) - (1.5). После расщепления полученных равенств относительно алгебраически независимых производных от искомых функций будем иметь систему определяющих уравнений на функции ^, , г]1, rip, rf и г)с, связанную с шестью классифицируемыми параметрами посредством системы классифицирующих уравнений. Решение полученных систем определяющих и классифицирующих уравнений при условии произвольности коэффициентов переноса дает основную алгебру Ли:
¿о -(^о -дь,Н0 - /одр, Я; = №х1 +Кди1 — р0["х1др), 1 = 1,2, 3. (3.2) В (3.2) ^ = 0-35, есть гладкие произ-
вольные функции. Основная алгебра ¿0 была вычислена в работе [42] для двумерного аналога системы (1.2) - (1.5) при В8 = 0. Наличие этого коэффициента и увеличение числа пространственных переменных в данном случае не влияют на состав основной алгебры для системы (1.2) - (1.5). В [42] также было отмечено, что при F = 0 (течение без силы плавучести) основная алгебра расширяется операторами растяжения 1 и вращения Ху:
з
¿1 = </°, г = 21д{ + Х1дх1 -2рдр,
Хц = *%! + и1ди, —и'диС)). (3.3)
В (3.3) индексы ¿,у = 1,2,3, I < у. Операторы, формирующие алгебру Ь1, задают группы сдвигов по времени, вращения в горизонтальной плоскости, растяжения зависимых и независимых переменных. Отсутствие в системе производных от давления по времени позволяет определять давление с точностью до произвольной функции /о(£). Операторы с произвольными функциями означают, что система (1.2) - (1.5) сохраняет свой вид в системах координат, движущихся с произвольным ускорением, а функции /¿(£) определяют законы движения указанной системы координат. Далее при описании операторов используются обозначения из алгебры /А
3.1. Групповой анализ уравнений (1.2) - (1.5) при постоянных коэффициентах переноса
Если в уравнениях (1.2) - (1.5) не учитывать концентрацию (положить с = 0), функцию задать как F = 1 ~рТв, а остальные коэффициенты переноса полагать постоянными, то для полученных «классических» стационарных уравнений тепловой конвекции в двумерном случае в [40] получена пятимерная группа преобразований. Как показывают вычисления, проделанные автором обзора, в трехмерном случае эта группа состоит из операторов сдвига по всем пространственным переменным, растяжения, порожденного оператором — 3вдв и опера-
тора Н0 с /0 =1. Симметрия относительно сдвигов температуры приводит к компенсирующим сдвигам давления. Это выражается оператором и = = р0ртдх3др + дв. В отличие от двумерного случая в трехмерном появляется оператор вращения в плоскости х\х2: Х12. Результат исследования групповых свойств аналогичной системы нестационарных уравнений состоит в том, что операторы сдвига
по пространственным переменным преобразуются в операторы Я;, ¿ = 1,2,3, в операторе Я0 сохраняется произвольная функция ^(Ъ). Остаются операторы и и, появляется дополнительный оператор Х0. О вычислении указанных операторов в двумерном случае можно прочесть в главе 6 монографии [43].
В работе [44] проведен групповой анализ трехмерных уравнений (1.2) - (1.5) с постоянными коэффициентами в случае F = 1 — Ртв — рсс. Решена задача групповой классификации относительно коэффициентов рт, рс, 5Г. Выписаны дополнительнные операторы, получающиеся в случае равенства коэффициентов температуропроводности и диффузии. Указывается такое преобразование переменных, которое позволяет в случае постоянных коэффициентов переноса свести систему (1.2) - (1.5) к уравнениям с нулевыми параметрами Соре или Дюфора. Отметим также работы [45] и [46], в которых приведены результаты группового анализа уравнений термодиффузионной конвекции с постоянными коэффициентами без учета эффекта Дюфора в плоском и пространственном случаях соответственно. В [47] описанные результаты обобщены на случай вибрационной конвекции. Дополнительные операторы в этом случае связаны с функцией Ф, характеризующей амплитуду колебания давления, определяемой как РФ = № — (ртв + рсс)е. Здесь № - амплитуда колебаний скорости, е - единичный вектор, в направлении которого осуществляются колебания. Отмечено, что получаемая группа преобразований зависит от того, коллинеарны или нет векторы е и д.
Подробное описание модифицированных функций скорости и давления для приведения системы уравнений микроконвекции (уравнение состояния р = р0(1 — ртв)~х) к виду, схожему по дифференциальной структуре с «классическими» уравнениями тепловой гравитационной конвекции, приведено в [43]. При использовании модифицированных функций между симметриями этих двух систем можно провести аналогию. Групповые свойства уравнений микроконвекции описаны в работе [48].
В [49] исследуются уравнения конвекции в многокомпонентной смеси. Кроме компонент скорости и давления неизвестными функциями в системе являются отклонения температуры и концентрации каждого вещества от их устойчивого линейного по вертикальной координате состояния. Целью работы является вывод частично симметризованной формы для исходной системы и определение инвариантных свойств полученных уравнений. В [50] проведен групповой анализ уравнений чисто концентрацион-
ной конвекции стратифицированной жидкости разной размерности. Четко описан физический смысл всех полученных операторов для допускаемых групп преобразований.
В заключение этого раздела необходимо отметить, что часть операторов алгебры L1 наследуется системой (1.2) - (1.5) и ее более простыми следствиями от уравнений Навье - Стокса, наиболее широкая группа для которых вычислена в [51]. Великолепный обзор по симметриям уравнений Навье - Стокса приведен в [52]. Следует также отметить монографию [53], где изложены результаты по групповой классификации моделей чисто механического континуума с достаточно произвольными уравнениями состояния, вычислены преобразования эквивалентности. В [53] исследуются в основном модели движения однородной жидкости, концентрация полагается равной нулю во всех главах, кроме 11. В главе 11 приведены некоторые результаты по групповому анализу моделей термодиффузии и микроконвекции бинарных смесей.
3.2. Групповые свойства уравнений (1.2) - (1.5) при переменных коэффициентах переноса
При исследовании моделей с переменными коэффициентами переноса методами симметрий на первое место выходит решение задачи групповой классификации, т. е. поиск не только основной группы, допускаемой заданной системой при произвольных параметрах, но и вычисление возможных функциональных зависимостей для коэффициентов, приводящих к расширению основной группы. При этом недостаточно решить полученные определяющие уравнения, необходимо исчерпать все возможные варианты решений классифицирующих уравнений, связывающих коэффициенты оператора (3.1) и искомые произвольные параметры. В цикле работ [54-56] показаны различные случаи решения задачи групповой классификации для уравнений, описывающих стратифицированные движения жидкости под действием не только силы тяжести, но и сил Корио-лиса (этот эффект в систему (1.2) - (1.5) не закладывался). В изучаемых моделях не учитывается влияние температуры, а коэффициенты плотности, вязкости и диффузии считаются функциями концентрации. В работе [54] представлена таблица, сопоставляющая полученные в результате решения задачи групповой классификации функциональные зависимости вязкости и диффузии от концентрации с различными уравнениями состояния, также полученными с помощью метода симметрий. В [55] приводится сравнительный анализ инвариантных свойств
фундаментальной системы уравнений движения неоднородной теплопроводной жидкости и преобразованных, более простых систем, описывающих различные эффекты в таких жидкостях. Отмечается, что упрощающие предположения существенно меняют инвариантные свойства систем уравнений. Это свидетельствует о потере эквивалентности исходной и производной систем. В качестве примера данного несогласования выступает отказ от предположения сжимаемости жидкости. В результате разрыва связи между плотностью и давлением получаются бесконечномерные операторы #j(t), i = 0-3, вместо операторов группы сдвигов.
Обобщением результатов работ [45; 46] на случай произвольной зависимости функции F от температуры, концентрации и давления являются решения задач групповой классификации для F, описанные в [57; 58]. Выделены три группы подзадач: 1) функция F не зависит от давления, 2) зависит от давления линейно, 3) нелинейно зависит от давления. В каждом случае получены расширения основной алгебры операторов. Естественным фактом является замечание о том, что во всех случаях полученные основные группы отличаются. Одним из интересных получившихся операторов в случае линейной зависимости функции F от давления является
3
оператор ^(t)e_x др с произвольной функцией времени V(t). В работе [58] используется замена переменных, позволяющая привести уравнения на температуру и концентрацию к одинаковой дифференциальной форме (напомним, что все коэффициенты переноса, кроме плотности, постоянны, эффект Дю-фора не учитывается). Уравнения (1.2) - (1.5) с произвольной функцией F(ö,c) становятся симметричными относительно переменных в и с так же, как и зависимость функции F от этих параметров. Получена 41 спецификация классифицируемой функции, результаты приведены в таблице.
Изучению симметрийных свойств двумерных уравнений движения теплопроводной несжимаемой жидкости с коэффициентами вязкости, температуропроводности (х = ——) и функцией F, произ-
срРо
вольно зависящими от температуры, посвящена работа [59]. При F = 0 групповые свойства этой системы описываются в [60; 61]. Результаты исследований согласуются с анализом, проведенным в [42] для более общего случая: рассмотрены двумерные уравнения (1.2) - (1.5) без учета коэффициента Дюфора (Ds = 0). В [42] вычислены преобразования эквивалентности системы. Оказалось, что исходная система
инвариантна относительно сдвигов температуры и концентрации. Растяжение этих переменных можно производить только вместе с растяжением классифицируемого параметра Вв. Одновременное растяжение всех классифицируемых параметров невозможно без растяжения времени, скоростей и давления. Сдвиг функции Р можно осуществить с компенсирующим сдвигом давления, это отмечалось и ранее, например в [55]. Для определения возможных значений искомых коэффициентов переноса выведено пять классифицирующих уравнений. Они представляют собой квазилинейные уравнения первого порядка, из решения которых следует, что все классифицируемые параметры вычисляются с точностью до произвольных функций первого интеграла. Кроме того, результат решения задачи групповой классификации существенно зависит от функции Р. Если F = 0 (соответствует течению без гравитации), то основная группа 1} расширяется линейной комбинацией операторов Ьд^^ + х'Зж;, ¿ = 1,2, Т1 = вдв, Т3 =дв, С1 =сдс, С2 =вдс и С3 =дс. В случае, если по характеру зависимости от параметров функция РФ 0 схожа с остальными коэффициентами переноса, дополнительные операторы к алгебре ¿0 формируются из линейной комбинации операторов Г1, Т3, С1, С2, С3 и (п — т)Ьд1. +пх1дх1 + ти1ди1 + +2трдр. Кроме того, при классификации выделился случай, когда функция F отличается по структуре от остальных четырех коэффициентов переноса, имеющих одинаковый характер зависимости от температуры и концентрации, тогда операторы, расширяющие основную алгебру , состоят из линейных комбинаций следующего набора операторов: т1дь + + 2тх1дх1 + ти1ди1 + 2трдр, и = р0х2др и вышеперечисленных операторов Та, а = 1,3, , Р = 1,2,3, связанных с температурой и концентрацией.
Резюмируя обзор работ по групповой классификации полных уравнений конвекции с переменными коэффициентами переноса, следует отметить, что в некотором смысле эти задачи не решены до конца. Поскольку, в силу формы классифицирующих уравнений, в представлениях классифицируемых параметров остались произвольные функции. Это значит, что работу по дальнейшей спецификации искомых параметров следует продолжать.
4. Инвариантные свойства уравнений тепло-массопереноса
Далее будем предполагать, что уравнение состояния жидкости задано, т. е. функция F известна. Будем рассматривать уравнения (1.2) - (1.5) в пред- 57
положении, что и= 0. Тогда исследуемая система преобразуется в
вt = di v(JF0+£>5Fc), (4.1)
сь = дшфУс + ВвУв). (4.2)
Здесь Х = к/(срРо) - коэффициент температуропроводности, давление р зависит только от х3 и восстанавливается по заданной функции F.
Система (4.1), (4.2) состоит из двух похожих уравнений параболического типа и может быть записана в виде
уа =раЬ +раЬ (р)^. (4.3)
где а,Ь,с = 1,2, I = 1,2,3, по повторяющемуся индексу предполагается суммирование, функция
V - неизвестная, функции ^^ - произвольные коэффициенты переноса. В случае системы (4.1), (4.2)
VI = е, р2=с, F11 =Х, Р12 , F21 =,Ое, р22 =0. В более общем случае запишем исследуемую систему следующим образом
V? = Яа&(£:,х*,У,Уж;>*;ж; + Са(£:,х*,У,Уж0, (4.4) где х = (х1,_,хи), ¿ = 1,..,п, р = (р1,.,рт), а,Ь,с = 1,..., т, НаЬ и Са - неизвестные функции относительно которых ставится задача групповой классификации. Существенной деталью является обязательное наличие хотя бы одной пары а,Ъ, чтобы НаЬ Ф0.
В данном разделе приведен обзор работ по групповым свойствам уравнений, получающихся из (4.4) при различных упрощающих предположениях. Объем литературы по таким исследованиям гораздо больше, чем по полным уравнениям конвективного тепломассопереноса, рассмотренным в предыдущем разделе. Кроме того, уравнения типа (4.3), (4.4) исследуются также с точки зрения неклассических (потенциальных, скрытых, условных и др.) симмет-рий. Здесь мы обозначим только результаты, полученные посредством применения классического метода Ли - Овсянникова к исследуемым уравнениям. Два - достаточно известных в литературе по симмет-риям класса подобных уравнений
Щ~(/(Р^х)х = 0 и У1-ухх=д{р) были исследованы Л.В. Овсянниковым [62] и В.А. Дородницыным [63] соответственно. Первое из них принято называть уравнением нелинейной теплопроводности, второе - уравнением теплопроводности с источником. Обобщение результатов работы [63] получено в статьях [64-67]. Уравнение теплопроводности удобно использовать в методических целях: при = 1 как пример построения группы преобразований, допускаемых уравнением (следует заметить, что допускаемая алгебра нетривиальна, она содержит семь симметрий [37]), при
f(v) Ф const — для описания процесса решения задачи групповой классификации [33] и поиска преобразований эквивалентности.
Существенный вклад в исследование уравнений и систем вида (4.3), (4.4), а также в развитие неклассических групповых методов, был осуществлен киевской школой математиков, которую в середине семидесятых годов XIX в. создал В.И. Фущич (см., например, [68-70]). Опишем некоторые результаты, полученные исследователями из упомянутой школы, относящиеся к теме настоящего обзора. В серии статей А.Г. Никитина [71-74] проведен сим-метрийный анализ систем уравнений вида Ut—AAU = f(U) с различными матрицами постоянных коэффициентов А. В [72] решена задача групповой классификации относительно правой части для трех видов матрицы А, в [73] вычислены все преобразования эквивалентности, допускаемые исследуемой системой. Отмечено, что для функции f(U) возможны только преобразования растяжения, сопряженные с преобразованиями растяжений функции U, независимых переменных t и х. В [74] представлена более полная по сравнению с описанной в [75; 76] классификация, исправлены некоторые недочеты, допущенные в этих двух статьях. Автор оговаривает, что в случае треугольной матрицы ([74]) возникают самые сложные случаи классификации. Выведены 54 определяющих уравнения в случае обратимой матрицы А и 68 уравнений в случае нильпотентной матрицы А.
Плодами сотрудничества представителей киевской школы по симметриям с сотрудниками Университета Кипра являются результаты по вычислению классических и неклассических групповых свойств различных уравнений типа (4.3), (4.4). Так, в [77] исследованы лиевские симметрии и преобразования, сохраняющие дифференциальную форму уравнения f(x)ut = (g(x)D(u)ux)x + h(x)K(u)ux. (4.5)
Отмечается, что при /(х) = д(х) = h(x) = 1 данное уравнение было исследовано в [78], при h(x) = 0 - в [79], обе работы являются обобщением более ранних исследований этих уравнений, проведенных в [80; 81]. Для уравнения (4.5) установлено, что функции /(х) и д(х) связаны между собой, результат классификации представлен в таблицах в зависимости от функции D(u), которая зависит от своего аргумента экспоненциально или по степенному закону. Авторы подчеркивают, что во всех случаях имеет место впервые установленный Л. В. Овсянниковым факт: для функции D = и~4/3 существуют операторы, расширяющие основную алгебру. Этот «осо-
бый случай» - теперь широко известная отличительная черта уравнения нелинейной теплопроводности и его обобщений. В [77] найдены преобразования, приводящие уравнение ut = (и~4/3их)х к уравнению ut = (и~2их)х, групповые свойства которого исследованы в [82].
Среди работ, результатом которых является более детальное изучение уравнений типа (4.5), нужно отметить [83], где исследовано уравнение f(x)ut = = (д(х)иПих)х + h(x)um. В [84] изучается более простой случай f(x)ut = (д(х)их)х + h(x)um. В случае экспоненциальной зависимости функции D(u) в [85] проведен анализ уравнения
А*К = (д(*)епиих)х + h(x)emu.
В [85] описываются групповые свойства класса уравнений
Щ =ихх + h(x)B(u), в который включается уравнение Хаксли ut =ихх + +h(x)u2(1 — u), относящееся к математическим моделям теории нервной проводимости. Работа [87] посвящена исследованию уравнения ut = = (иаих)х + F(u), некоторые методы поиска приближенных решений этого уравнения даны в [88].
При увеличении количества пространственных переменных процесс исследования групповых свойств значительно усложняется по объему вычислений. Тем не менее такая работа тоже проводится. Так, в статье [89] доказано непосредственными вычислениями, что инфинитезимальный метод и метод преобразований, сохраняющих форму, дают один и тот же классификационный результат для уравнения ut =ихх+ иуу+ Q(u,ux,uy). В работе [90] рассмотрены уравнения
ut = (D(u)ux)x + (F(u)uy)y + К(и)их
и
ut = (D(u)ux)x + (F(u)uy)y + (G(u)uz)z + K(u)ux.
При D(u) = 0 ,F(u) = 1 задача групповой классификации решена в более ранней статье тех же авторов [91], при К(и) = 0 результат описан в справочнике [92]. В работе [90] построены также редукции исходных уравнений к обобщениям уравнения Бюр-герса, вычислены симметрии редуцированных систем, результаты обобщают полученные ранее в [93]. Отмечено, что для построения решений использовались преобразования эквивалентности, вычисленные с помощью метода точечных преобразований, инфинитезимальный метод этих преобразований не дает.
Перед тем как перейти к описанию результатов по задачам групповой классификации систем вида (4.1), (4.2), отметим еще ряд интересных работ в об-
ласти симметрийного анализа параболических уравнений и построения их решений. Так, в статьях [94; 95] рассматриваются симметрии уравнения теплопроводности и Бюргерса с запаздывающим аргументом в функции источника. В работах [96; 97] обсуждается возможность построения фундаментальных решений для уравнений диффузии с помощью группового подхода. С некоторыми решениями задачи Коши для многомерного уравнения диффузии можно ознакомиться в [98]. Исследования, приведенные в [99-102], интересны тем, что в них не только перевычисляются и обобщаются результаты классификации уравнений диффузии с учетом разных сопутствующих явлений, но и уделяется особое внимание процессу построения дифференциальных инвариантов полученных групп преобразований. Оригинальный метод построения точных решений двухкомпонентных систем, основанный на редукции системы к одному уравнению с помощью дифференциальных подстановок, описан в [103] и применен в [104] к уравнениям вида
щ = (f(u,v)ux)x, = (д(и,р)рх)х. (4.7)
В работах [105-107] для поиска решений уравнений реакции-диффузии используется метод линейных определяющих уравнений, обобщающий методы классического группового анализа. В связи с упоминанием точных решений уравнений типа (4.1), (4.2) невозможно не отметить справочники [108110], где приведены алгоритмы и готовые точные решения, многие из которых получены с использованием групповых свойств исследуемых уравнений.
Что касается исследования симметрий систем уравнений диффузии, то помимо работ А. Г. Никитина, которые упоминались выше, отметим статьи [111; 112], где решается задача групповой классификации для системы (4.7) относительно функций / и д. Вычислены преобразования эквивалентности, которые содержат растяжения параметров, связанные со сдвигами независимых и зависимых переменных. В недавней работе [111] с помощью классических симметрий Ли решена задача групповой классификации в случаях / = д и [Ф д. С помощью полученного результата вычислены редукции исходной системы к соответствующим обыкновенным дифференциальным уравнениям, часть из которых проинтегрирована в квадратурах. В более давней работе [112] для уравнений (4.7) построены законы сохранения и потенциальные симметрии. В [113] рассмотрен одномерный аналог системы (4.1), (4.2) для случая произвольного числа искомых функций. Для частного решения системы определяющих уравнений решена
задача групповой классификации для коэффициентов, построены некоторые редукции к более простым системам.
Вернемся к уравнениям (4.1), (4.2). Основная группа допускаемых преобразований вычислена в [114] и имеет вид
з
(д{,дх1,21д{+^^1дх1,х^дх1-х1дх1),
1=1
¿,у = 1, .,3, I Фу.
Там же получено 18 классифицирующих уравнений, связывающих четыре неизвестных физических параметра и коэффициенты инфинитезималь-ного оператора. В самом общем случае эти уравнения сложны для анализа, найти их общее решение так же непросто, как решить саму систему (4.1), (4.2). В работе [114] проведено исследование при В8 = 0, отдельно разобраны случаи, когда коэффициент температуропроводности существенно зависит от температуры и концентрации и случай, когда этот коэффициент постоянный. В статьях [115; 116] автор обзора продолжает и в некотором смысле завершает решение задачи групповой классификации, поставленной в [114]. Изучены случаи зависимости коэффициента к либо только от температуры, либо только от концентрации. В силу несимметричности уравнений (4.1), (4.2) относительно функций в и с, результатом классификации при /(с) являются экпо-ненциальная и степенная формы классифицируемой функции. Если х = х(.в), то в случае степенной зависимости х = Х0вт появляется «особый случай» при т = —4/5. Как и в работе Л. В. Овсянникова [61] основная алгебра расширяется операторами, коэффициенты которых нелинейны относительно пространственных координат. В работе [118] описано решение задачи групповой классификации уравнений (4.1), (4.2) при отсутствии влияния эффекта термодиффузии (Вв =0), параметры В8,х,В существенно зависят от в и с.
Заключение
В заключение нужно отметить, что метод группового анализа (в иностранной литературе чаще встречается название «метод симметрий Ли - Овсянникова») является универсальным инструментом
для исследования любых дифференциальных уравнений. Кроме перечисленных во втором разделе обзора преимуществ отметим, что с помощью описываемого метода можно находить такие системы координат, в которых реализуется разделение переменных (см., например, [119; 120]), использовать редукции, позволяющие строить частные решения (см., например, [121]), обобщать групповые методы для получения общих решений систем дифференциальных уравнений [122], совершенствовать технику асимптотических методов расчетов [123], предсказывать геометрические и механические свойства глобальных структур.
Следует сказать, что выполнять расщепление определяющих уравнений «вручную» - достаточно трудоемкая и сложная работа. В последние годы стали популярны средства компьютерной алгебры, позволяющие вывести не только сами определяющие уравнения, но и в некоторых (достаточно простых) случаях получить их решения. Некоторые результаты применения стандартных средств пакета Maple для вычисления симметрий известных дифференциальных уравнений с примерами приведены в работах [124-126]. И всё же чаще - при работе с многоразмерными системами или при решении задач групповой классификации приходится проводить анализ без современных средств вычислительной техники, используя обозначенные программы только для проверки полученного результата.
Представляется, что будущее группового анализа лежит в области расширения его теории в область неклассических (потенциальных, условных, скрытых и др.) симметрий. Это позволит обобщать дифференциальные свойства на более широкие классы уравнений и систем, строить такие точные решения, которые невозможно получить никаким другим методом. Эта работа на данный момент ведется как в нашей стране, так и за рубежом.
Автор благодарит д-ра физ.-мат. наук, проф. В. К. Андреева (ИВМ СО РАН, г. Красноярск), чл.-корр. РАН В. В. Пухначева (ИГиЛ СО РАН, г. Новосибирск) и канд. физ.-мат. наук Е. А. Ванееву (ИМ НАН Украины, г. Киев) за полезное обсуждение и ценные советы при написании обзора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Гидродинамика. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 796 с.
2. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М. : Мир, 1964. 456 с.
3. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен / Б. Гебхарт [и др.]. М. : Мир, 1991. Т. 1. 681 с. 60 -
4. Грю К. Э., Иббс Т. Л. Термическая диффузия в газах. М. : Гос. изд. тех.-теор. лит., 1956. 183 с.
5. Рабинович Г. Д., Гуревич Р. Я., Боброва Г. И. Термодиффузионное разделение жидких смесей. Минск : Наука и техника, 1971. 244 с.
6. Рабинович Г. Д. Разделение изотопов и других смесей термодиффузией. М. : Атомиздат, 1981. 143 с.
7. Schmitt R. W. Double diffusion in oceanography // Annual Rev. Fluid Mech. 1994. Vol. 26. P. 255-285.
8. Angeli C, Leonardi E. The effect of thermodiffusion on the stability of a salinity gradient solar pond // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2005. Vol. 48. P. 4633-4639.
9. Рыжков И. И. Термодиффузия в смесях: уравнения, симметрии, решения и их устойчивость. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2013. 200 с.
10. Коржуев М. А. Эффект Дюфора в суперионном селениде меди // Физика твердого тела. 1998. Т. 40, № 2. С. 242-244.
11. Rastogi R. P., Yavada B. L. S. Dufour effect in liquid mixtures // J. Chem. Phys. 1969. Vol. 51. P. 2826-2830.
12. Platten J. K. The Soret effect: a review of recent experimental results // J. Appl. Mech. 2006. Vol. 73. P. 5-15.
13. Würger A. Do thermal diffusion and Dufour coefficients satisfy Onsager's reciprocity relation? // EJP E. 2014. № 37(10). P. 96-108.
14. Mortimer R. G., Eyring H. Elementary transition state theory of the Soret and Dufour effects // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. Chem. 1980. Vol. 77, no. 4. P. 1728-1731.
15. Кравчун С. Н., Пяста Д. Я. О величине диффузионной теплопроводности в жидких смесях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1982. С. 88-90.
16. Rowley R. L., Horne F. H. The Dufour effect. II. Experimental confirmation of the Onsager heat-mass reci-procial relation for a binary liquid mixture // J. Chem. Phys. 1978. No. 68(1). P. 325-326.
17. Kim J., Kang Y. T., Choi C. K. Soret and Dufour effects on convective instabilities in binary nanofluids for absorption application // Int. J. Refrigeration. 2007. Vol. 30. P. 323-328.
18. Лукашов В. В., Жиливостова С. В. О проявлении многокомпонентной диффузии в ламинарном пограничном слое с инородным вдувом // Теплофизика и аэромеханика. 2008. Т. 15, № 3. С. 505-511.
19. Königer A., Meier B., Köhler W. Measurement of the Soret, diffusion, and thermal diffusion coefficients of three binary organic benchmark mixtures and of ethanol-water mixtures using a beam deflection technique // Phy-losophical Magazine. 2009. Vol. 89, no. 1. P. 907-923.
20. Wittko G., Köhler W. On the temperature dependence of thermal diffusion of liquid mixtures // EPL. 2007. Vol. 78, no. 4. P. 46007(1-6).
21. Caldwell D. R. Measurement of negative thermal diffusion coefficients by observing the onset of themohaline convection // J. Phys. Chem. 1973. Vol. 77. P. 2004-2008.
22. Caldwell D. R. Thermal and Fickian diffusion of sodium chloride in a solution of oceanic concemtration // Deep-Sea Res. 1973. Vol. 20. P. 1029-1039.
23. IacoponiS., RusconiR., Piazza R. The "macromolecular tourist": universal temperature dependence of thermal diffusion in aqueous colloidal suspensions // Eur. Phys. J. E. 2006. Vol. 19. P. 59-67.
24. Стабников В. Н. Перегонка и ректификация этилового спирта. М. : Пищ. пром-сть, 1969. 456 с.
25. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости // ДАН. 2004. Т. 396, № 2. С. 204-207.
26. Бочаров О. Б., Васильев О. Ф., Овчинникова Т. Э. Приближенное уравнение состояния пресной воды вблизи температуры максимальной плотности // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35, № 4. С. 556-558.
27. Gebhart B., Mollendorf J. C. Buyoancy-induced flows in water under conditions in which density extrema may arise // J. Fluid Mech. 1978. Vol. 89, no. 4. P. 673-707.
28. Chen C. T., Millero E. J. Precise thermodynamic properties for natural waters covering only the limnologies range // Limnol. Oceanogr. 1986. Vol. 31, no. 3. P. 657-662.
29. Таблицы физических величин : справочник / под ред. акад. И. К. Кикоина. М. : Атомиздат, 1976. 1008 с.
30. Пухначев В. В. Модель конвективного движения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. Т. 6, № 4. С. 47-56.
31. Ли С. Теория групп преобразований: в 3 ч. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011.
32. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 1962. 240 с.
33. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978. 400 с.
34. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М. : Мир, 1989. 639 с.
35. Bluman G., Kumei S. Symmetries and differential equations. New York : Springer, 1989. 400 p.
36. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М. : Наука, 1983. 280 с.
37. Ибрагимов Н. Х. Азбука группового анализа. М. : Знание, 1989. 45 с.
38. Meleshko S. V. Generalization of the Equivalence Transformations // J. Nonlin Math Phys. 1996. Vol. 3(1-2). P. 170-174.
39. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск : НГТУ, 2012. 659 с.
40. Катков В. Л. Точные решения некоторых задач конвекции // ПММ. 1968. Т. 32, № 2. C. 482-487.
41. McKenzie, D. P. The symmetry of convective transitions in space and time // J. Fluid Mech. 1988. Vol. 191. P. 287-339.
42. Stepanova I. V. Group classification for equations of thermodiffusion in binary mixture // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2013. Vol. 18. P. 1341-1346.
43. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике / В. К. Андреев [и др.]. Новосибирск : ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1994. 319 с.
44. Ryzhkov1.1. Symmetry analysis of equations for convection in binary mixture // J. Siberian Fed. Univ. Math. Phys. 2008. Vol. 1(4). P. 410-431.
45. Рыжков И. И. Об инвариантных решениях уравнений термодиффузии бинарной смеси в случае плоского движения // ПТМФ. 2006. Т. 47, № 1. C. 95-108.
46. Андреев В. К., Рыжков И. И. Групповая классификация и точные решения уравнений термодиффузии // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 4. C. 508-517.
47. Рыжков И. И., Степанова И. В. Групповые свойства и точные решения уравнений вибрационной конвекции в бинарной смеси // ПМТФ. 2011. Т. 52(4). P. 560-570.
48. Родионов А. А. Групповой анализ и точные решения уравнений микроконвекции // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, № 3. C. 51-53.
49. КистовичА. В., Чашечкин Ю. Д. Групповой анализ частично симметризованной формы системы уравнений свободной термоконцентрационной конвекции // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 2. C. 14-26.
50. Байдулов В. Г., Чашечкин Ю. Д. Групповой анализ уравнений движения изотермической непрерывно стратифицированной жидкости // ДАН. 1999. Т. 364, № 2. C. 186-189.
51. БытевВ. О. Групповые свойства уравнений Навье - Стокса // Численные методы механики сплошной среды. 1972. Т. 3, № 3. C. 13-17.
52. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье - Стокса // Успехи механики. 2006. Т. 4, № 1. C. 6-76.
53. Андреев В. К., Бублик В. В., Бытев В. О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск : Наука, 2003. 352 с.
54. Chashechkin Yu. D., Baydulov V. G., Kistovich A. V. Basic properties of free stratified flows // J. Engineering Math. 2006. Vol. 55. P. 313-338.
55. Байдулов В. Г. Инвариантные свойства систем уравнений механики неоднородных жидкостей // ПММ. 2011. Т. 75, вып. 4. C. 552-562.
56. Байдулов В. Г., Чашечкин Ю. Д. Сравнительный анализ симметрий моделей механики неоднородных жидкостей // ДАН. 2012. Т. 444, № 1. С. 38-41.
57. Родионов А. А., Степанова И. В. Групповая классификация уравнений модели конвекции с учетом сил плавучести // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 5. С. 61-69.
58. Андреев В. К., Степанова И. В. Симметрия уравнений термодиффузии при нелинейной зависимости силы плавучести от температуры и концентрации // Вычислительные технологии. 2010. Т. 15, № 4. С. 47-56.
59. Гончарова О. Н. Групповая классификация уравнений свободной конвекции // Матем. моделирование мех. сплошных сред. 1987. Вып. 79. C. 22-35.
60. Хабиров С. В. Симметрийный анализ модели несжимаемой жидкости с вязкостью и теплопроводностью, зависящей от температуры: Препринт Института механики УНЦ РАН. Уфа : Галем, 2004. 37 с.
61. Хабиров С. В. К групповому анализу модели термовзякой несжимаемой жидкости // Вестн. УГАТУ. 2005. Т. 6, № 2(13). C. 34-39.
62. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // ДАН СССР. 1959. Т. 125, № 3. C. 492-495.
63. Дородницын В. А. Об инвариантных решениях уравнений нелинейной теплопроводности с источником // Журн. выч. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22, № 6. C. 1393-1400.
64. Дородницын В. А., Князева И. В., Свирщевский С. Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двумерном и трехмерном случаях // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 7. C. 12151223.
65. Quasilinear heat equations with source: Blow-up, localization, symmetry, exact solutions, asymptotics, structures / V. A. Galaktionov [et al.] // J. Sov. Math. 1988. Vol. 41. P. 1222-1292.
66. Clarkson P. A., Mansfield E. I. Symmetry reductions and exact solutions of a class of nonlinear heat equations // Phys. D. 1993. Vol. 70. P. 250-288.
67. Жданов Р. З., Лагно В. И. Групповая классификация уравнений теплопроводности с нелинейным источником // Доклады НАН Украины. 2000. № 3. C. 12-16.
68. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М. : Наука, 1990. 400 с.
69. Fushchych W. I., Shtelen W. M., Serov N. I. Symmetry Analysis and Exact Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics. Kluwer Academic. Dordrecht. 1993. 436 p.
70. Лагно В. И., Спичак С. В., Стогний В. И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа. М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. 392 с.
71. Nikitin A. G., Wiltshire R. Systems of Reaction Diffusion Equations and their symmetry properties // J. Math. Phys. 2001. Vol. 42, no. 4. P. 1667-1688.
72. Nikitin A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. I. Generalized Ginzburg - Landau equations // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 324. P. 615-628.
73. Nikitin A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. II. Generalized Turing systems // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 332, iss. 1. P. 666-690.
74. Nikitin A. G. Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. III. Triangular diffusion matrix // Ukrainian Mathematical Journal. 2007. Vol. 59, iss. 3. P. 439-458.
75. Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems // J. Phys A. Math. Gen. 2000. Vol. 33. Р. 267-282.
76. Cherniha R., King J. R. Non-linear reaction-diffusion systems with variable diffusivities: Lie symmetries, ansatze and exact solutions // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 308(1). Р. 11-35.
77. Ivanova N. M., Sophocleous C. On group classification of variable-coefficient nonlinear diffusion-convection equations // J. Comput. Appl. Math. 2006. Vol. 197. P. 322-344.
78. Ivanova N. M., Popovych R. O. New results on group classification of nonlinear diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. 2004. Vol. 37. P. 7547-7565.
79. Sophocleous C. Symmetries and form-preserving transformations of generalized inhomogeneous nonlinear diffusion equations // Physica A. 2003. Vol. 324. P. 509-529.
80. Yung C. M., Verburg K., Baveye P. Group classification and symmetry reductions of the nonlinear diffusion-convection equation // Int. J. Non-linear Mech. 1994. Vol. 29. P. 273-278.
81. Edwards M. P. Classical symmetry reductions of nonlinear diffusion-convection equtions // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 190. P. 149-154.
82. Bluman G. W., Kumei S. On the remarkable nonlinear diffusion equation // J. Math. Phys. 1980. Vol. 21. P. 1019-1023.
83. Extended group analysis and conservation laws of variable coefficients reaction-diffusion equations with power nonlinearities / O. O. Vaneeva [et al.] // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 330. P. 1363-1386.
84. Vaneeva O. O., Popovych R. O., Sophocleous C. Extended group analysis and exact solutions of variable coefficient semilinear diffusion equations with a power source // Acta Appl. Math. 2009. Vol. 106. P. 1-46.
85. Vaneeva O. O., Popovych R. O., Sophocleous C. Extended group analysis of variable coefficients reaction-diffusion equations with exponential nonlinearities // J. Math. Anal. Appl. 2012. Vol. 396. P. 225-242.
86. Vaneeva O., Zhalij А. Group classification of variable coefficient quasilinear reaction-diffusion equations // Publicationa de L'Institute Mathematique. 2013. Vol. 94(108). P. 81-90.
87. Kovalenko I. B., Kushner A. G. The non-linear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions // Regular and Chaotic Dynamics. 2003. Vol. 8, no. 2. P. 167-189.
88. Кудряшов Н. А. Приближенные решения одной задачи нелинейной теплопроводности // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45, № 11. C. 2044-2051.
89. Arrigo D. J., Suazo L. R., Sule O. M. Symmetry analysis of the two-dimensional diffusion equation with a source term // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 333. P. 52-67.
90. Demetriou E., Ivanova N. M., Sophocleous C. Group analysis of (2+1)- and (3+1)-dimensional diffusion-con-vetction equations // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 348. P. 55-65.
91. Demetriou E., Christou M. A., Sophocleous C. On the classification of similaruty solutions of a two-dimensional diffusion-advection equation // Appl. Math. Comput. 2007. Vol. 187. P. 1333-1350.
92. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 2 : Applications in Engeneering and Physical Science / ed. by N. H. Ibragimov. CRC Press. Boca Ration. 1994. 576 p.
93. Kingston J. G., Sophocleous C. On point transormations of a generalised Burgers equation // Phts. Lett. A. 1991. Vol. 155. P. 15-19.
94. Meleshko S. V., Moyo S. On the complete group classification of the reaction-diffusion equation with a delay // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 338. P. 448-466.
95. Tanthanuch J. Symmetry analysis of the nonhomogeneous inviscid Burgers equation with delay // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat. 2012. Vol. 17. P. 4978-4987.
96. Craddock M., Platten E. Symmetry group methods for fundamental solutions // J. of Differential Equations. 2004. Vol. 207. P. 285-302.
97. Craddock M., Lennox K. A. Calculation of expectations for classes of diffusion processes by Lie symmetry methods // Annals of Applied Probability. 2009. Vol. 19, no. 1. P. 127-157.
98. ПухначевВ. В. Многомерные точные решения уравнений нелинейной диффузии // ПМТФ. 1995. Т. 36, № 2. С. 23-31.
99. Torrisi M., Tracina R., Valenti A. A group analysis approach for a nonlinear differential system arising in diffusion phenomena // J. Math. Phys. 1996. Vol. 37(9). P. 4758-4767.
100. Torrisi M., Tracina R. Equivalence transformations and symmetries for a heat conduction model // Int. J. Non-linear Mech. 1998. Vol. 33(3). P. 473-487.
101. Torrisi M., Tracina R. Second-order differential invariants of a family of diffusion equations // J. Phys. A. Math. Gen. 2005. Vol. 38(34). P. 7519.
102. Gandarias M. L., Torrisi M., Tracina R. On some differential invariants for a family of diffusion equations // J. Phys. A: Math.Theoret. 2007. Vol. 40(30). P. 8803.
103. Капцов О. В. Построение точных решений систем диффузионных уравнений // Матем. моделирование. 1992. Т. 7, № 3. C. 107-115.
104. Шмидт А. В. Точные решения систем уравнений типа реакция-диффузия // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 3. C. 87-94.
105. Капцов О. В. Линейные определяющие уравнения для дифференциальных связей // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 12. C. 103-118.
106. Kaptsov O. V., Verevkin I. V. Differential constraints and exact solutions of nonlinear diffusion equations // J. Phys.A: Math. Gen. 2003. Vol. 36. P. 1401-1414.
107. Шмидт А. В. Анализ систем реакция-диффузия методом линейных определяющих уравнений // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 2. C. 256-268.
108. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М. : Физматлит, 2001.
576 с.
109. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М. : Физматлит, 2002. 432 с.
110. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М. : Физматлит, 2005. 255 с.
111. Kontogiorgis S., Sophocleous C. Group classification of systems of diffusion equations // Math. Methods in Appl. Sci. 2017. Vol. 40(5). P. 1746-1756.
112. Ivanova N. M., Sophocleous C. Conservation laws and potential symmetries of systems of diffusion equations // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. P. 235201 (14).
113. Baikov, V. A., Gladkov A. V., Wiltshire R. J. Lie symmetry classification analysis for nonlinear coupled diffusion // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. Vol. 31. P. 7483-7499.
114. Stepanova I. V. Symmetry analysis of nonlinear heat and mass transfer equations under Soret effect // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2015. Vol. 20. P. 684-691.
115. Stepanova I. V. Symmetry of heat and mass transfer equations in case of dependence of thermal diffusivity coefficient either on temperature or concentration // Math Meth Appl Sci. 2018. Vol. 41, iss. 8. P. 3213-3226.
116. Stepanova I. V. Group analysis of variable coefficients heat and mass transfer equations with power non-linearity of thermal diffusivity // Appl Math Comput. 2019. Vol. 343. P. 57-66.
117. Stepanova I. V. On some group properties of heat and mass transfer equations // J. Phys. Conf. Ser. 2017. 894. P. 012090(1-8).
118. CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1: Symmetries, exact solutions and conservation laws / ed. by N. H. Ibragimov [et al.]. CRC Press, 1994. 400 p.
119. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М. : Мир, 1981. 324 с.
120. Meleshko S. V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations: mathematical and analytical techniques with applications to engeneering. Springer. 2005. 352 p.
121. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М. : Физматлит, 2009.
184 с.
122. Champagne B., Hereman W, Winternitz P. The computer calculation of Lie point symmetries of large systems of differential equations // Comp. Phys. Comm. 1991. Vol. 66. P. 319-340.
123. Carminati J., Vu K. Symbolic computation and differential equations: Lie symmetries // J. Symbolic Computation. 2000. Vol. 29. P. 95-116.
124. Butcher J., Carminati J., Vu K. T. A copmarative study of some computer algebra packages which determine the Lie point symmetries of differential equations // Computer Physics Communications. 2003. Vol. 155. P. 92-114.
125. Vu K. T., Butcher J., Carminati J. Similarity solutions of partial differential equations using DESOLV // Computer Physics Communications. 2007. Vol. 176. P. 682-693.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Степанова Ирина Викторовна - кандидат физико-математических наук, 1старший научный сотрудник, 2доцент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений, 1Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2Сибирский федеральный университет, 1660036, Россия, г. Красноярск, Академгородок, 50/44, 2660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79; e-mail: stepiv@icm.krasn.ru.
INFORMATION ABOUT AUTHOR
Stepanova Irina Victorovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, 1Senior researcher, Assistant Professor of Departure of Mathematical Analysis and Differential Equations, 1Institute of Computational Modelling SB RAS, 2Siberian Federal University, 1660036, Akademgorodok, 50/44, Krasnoyarsk, Russia, 279, Svobodnyi pr., Krasnoyarsk, 660036, Russia; e-mail: stepiv@icm.krasn.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Степанова И. В. Симметрии в уравнениях тепло-массопереноса в вязких жидкостях (обзор) // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 2. С. 51-65. Р01: 10.25513/ 1812-3996.2019.24(2).51-65.
FOR CITATIONS
Stepanova I.V. Symmetries of heat and mass transfer equations in viscous fluids (review). Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 2, pp. 51-65. DOI: 10.25513/1812-3996.2019. 24(2).51-65. (in Russ.).
