Инвариантная подмодель ранга 2 на подалгебре из линейной комбинации переносов для модели гидродинамического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2018. Т. 3, вып. 1. С. 38-57.

УДК 517.95

ИНВАРИАНТНАЯ ПОДМОДЕЛЬ РАНГА 2 НА ПОДАЛГЕБРЕ

ИЗ ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИИ ПЕРЕНОСОВ ДЛЯ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

Д. Т. Сираева1'", С. В. Хабиров1'2'6

1 Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа, Россия 2Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, Уфа, Россия "sirdilara@gmail.com, ьhabirov@anrb.ru

Рассматриваются уравнения гидродинамического типа с уравнением состояния в виде давления, представленного как сумма функций плотности и энтропии. Для инвариантной подмодели 2-мерной подалгебры в виде линейной комбинации переносов, выбранной из построенной ранее оптимальной системы неподобных подалгебр, найдены интегралы системы, определяется её тип, система приводится к симметрическому виду и к характеристическому виду, находятся точные решения, определяются преобразования эквивалентности для линеаризованной системы, решается задача групповой классификации, строится оптимальная система неподобных подалгебр, применяются интегральные преобразования.

Ключевые слова: подалгебра, инвариантная подмодель, точное 'решение, групповая классификация, преобразование эквивалентности.

Введение

В работе [1] намечена программа ПОДМОДЕЛИ для уравнений гидродинамического типа:

и + (и •У)п + р-1Ур = 0,

рг + (и • У)р + р = 0, (1)

рг + (и • У)р + ра2(р,р)сИуи = 0, а2 = /р,

где и = (и,у,-ш) — вектор скорости, р — плотность, р — давление, р = /(р, Б) — уравнение состояния, Б — энтропия. Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает вычисление допускаемой алгебры Ли, групповую классификацию по произвольному элементу /(р,Б), вычисление оптимальной системы неподобных подалгебр, изучение подмоделей с групповой точки зрения. Задача групповой классификации решена в [1]. В работе [2] приведены все неизоморфные алгебры Ли групповой классификации, для каждой из которых способ перечисления неподобных подалгебр окончательно сформулирован в [3]. В данной работе рассматриваются уравнения газовой динамики (1) с уравнением состояния, полученным в классификации [1]:

р = /(р) + Н(Б), а2 = /'. (2)

Из (2) определяется энтропия Б.

Уравнения (1) инвариантны при действии группы Оц (группы Галилея, расширенной равномерным растяжением) и при действии переноса по р:

1) X' = X + а (переносы по пространству Х1 = дх, Х2 = ду, Х3 = дх);

2) Ь' = £ + а0 (перенос по времени с оператором Х10 = д4);

3) X' = ОХ, и' = Ои, ООт = 1, det О = 1 (вращения с операторами Х7 = удг — гду + — ид, Х8 = гдх — ждг + иди — идад,

Хд = хду — удх + ид^ — записанными в декартовой системе координат);

4) X' = X + ¿6, и' = и + 6 (галилеевы переносы с операторами Х4 = ¿дх + ди, Х5 = ¿ду + д^, Хб = ¿д^ + );

5) £' = с£, X' = сХ (равномерное растяжение с оператором Хп = ¿д4 + хдx + уду + гд^);

6) р' = р + а0 (перенос по р с оператором У1 = др).

Система (1) допускает алгебру Ли Ь12 с базисом Х1, ...,Х11, У1, для которой оптимальная система неподобных подалгебр построена в [4]. В данной работе рассматривается инвариантная подмодель 2-мерной подалгебры из оптимальной системы линейной комбинации переносов с групповой точки зрения: найдены интегралы системы, определяется тип системы, приводится система к симметрическому виду и к характеристическому виду, находятся точные решения, определяются преобразования эквивалентности для линеаризованной системы, решается задача групповой классификации, строится оптимальная система неподобных подалгебр, показано применение интегральных преобразований.

1. Линеаризация инвариантной подмодели

Рассматривается подалгебра из оптимальной системы работы [4] под номером 2.36:

Х3 + Х4 = дх + ¿дх + ди, Х1 + У = дх + др. Инварианты подалгебры

у, и — г, V, и, р,р — X + ¿г

задают представление инвариантного решения:

и = + г, V = и1, и = и^, р, р = р1 + X — ¿г, (3)

где и1, v1, и1, р, р1 — функции переменных ¿, у.

Подстановка (3) в (1) с уравнением состояния (2) приводит к инвариантной подмодели ранга 2:

Ви + р-1р1у = 0, = —р-1 — и1, Вт = ¿р-1, (4)

Вр + ри1у = 0, Вр1 + р/Ри1у = ¿и — Vl,

где В = д4 + и1ду.

Вводится замена переменных: t = ¿(£, n), y = у(С, n) так, чтобы D = d?. Отсюда следует

t? = 1,u1 = У? ^ t = С + n.

Якобиан обратной замены С = С(t,y), П = n(t,y) имеет вид

I = t?Уп - tnУ? = Уп - У? = Справедливы соотношения на производные:

С = УпI-1, Су = -I-1, nt = -У?I-1, Пу = I-1. (5)

Инвариантная подмодель (4) записывается в новых переменных в силу (5):

РУ??(Уп - У?) + Р1п - Р1? = °, 1

V1? = -р 1 - W1,

w1? = (С + n)p-1, (6)

(Уп - У?)Р? + Р(Уп - У?)? = 0, Р1? + Р/'(1п(Уп - У?))? = (С + n)w1 - v1. Четвёртое уравнение в системе (6) интегрируется:

Р(Уп - У?) = R(n) > 0. (7)

Из второго и третьего уравнений в (6) следует

W1? = -(С + n)(w1 + V1?).

Пятое уравнение в силу (7) влечёт равенство

(Р1 - f (Р))? = (С + n)w1 - v1. Последние два равенства дают интеграл

Р1 = /(Р) - W1 - (С + n)v1 + Q(n). (8)

Из (7) следует, что Уп = VR + u1 в силу у? = u1. Условие совместности принимает вид

U1n = RV? + U1?.

Первое уравнение (6) в силу (7), (8) даёт уравнение для V.

Таким образом, система (6) приводится к системе из четырёх уравнений для четырёх функций:

U1? + RV? = «1п, V1? = -W1 - V, (9)

W1? = V (С + n),

-Ru1? + g'V? = - W1n - (С + n)(v1n + W1) + Q',

где V = Р-1, /(р) = g(V), /' = -V2g'.

Производные по переменной С от всех функций определяются из уравнений (9) при условии

R = g + R2 = 0. (10)

В этом случае (9) есть система типа Коши, для которой можно поставить задачу с начальными данными.

Если условие (10) не выполнено, то функция V = V(п) зависит от одной переменной п при условии R = const.

Если g' = — R2 = const, то g = — R2V + G должна быть линейной функцией (специальное уравнение состояния). В этом случае (9) — линейная система.

К исходным переменным t, y по решению системы (9) можно вернуться, вычислив криволинейный интеграл

y = J и^£ + (ui + RV)dn

по любому пути в области определения гладкого решения. Тогда будет получена зависимость y = y(£, п) и вместе с равенством t = £ + п получится замена переменных, которая по заданному решению (9) даёт решение (4).

Задача с начальными данными на нехарактеристической кривой поставлена корректно, т. е. существует единственное решение, непрерывно зависящее от начальных данных в некоторой окрестности кривой.

2. Приведение к симметрическому виду

Система (9) в матричном виде

/10 0 R \ /иД

0 10 0 vi

0 0 10 wi

\R 0 0 — g') \Vj

1 0

0 0

0 0 0

£ + п

0 0\ /иД

vi wi

00 00

1 д'

(

+

0

\

—wi — V V (£ + п) \V )п \(£ + пН — Q'J

11)

содержит несимметричную матрицу коэффициентов при производных по пС помощью линейных комбинаций уравнений системы (9)

(9)i + aR(9)2 + bR(9) (9)2 + «(9)4, (9)з + b(9)4, (9)4 — ад'(9)2 — bg'(9

з

где а = — (£ + п)д' Ь = —д' (9)^ — г-е уравнение системы (9), система (11) переходит в систему с симметрическими матрицами:

\ag'(wi + V) — bg'V (£ + п) + (£ + ^wi — Q'J

1 aR bR R / иД 100 0 \ / иД

aR 1 0 —ag' Vi 0 a(£ + п) a —ag ' Vi

bR 0 1 —bg' wi 0 b(£ + п) b —bg' wi

R —ag' —bg' —g'/ V e \0 £ + п 1 —g'/ V

/ —aR(wi + V) + bRV (£ + п) \

+ a(£ + n)wl — aQ' — wi — V

V (£ + п) + b(£ + п)wl — bQ'

+

з

Таким образом, справедлива теорема единственности задачи Коши в характеристической области [5].

'12)

Ml 1 0 0 0 -1 0 0 0 0

Vl = 0 1 0 0 , = 0 0 0 0 ,B = -wi - V

w1 0 0 1 0 0 0 0 0 V (£ + n)

V -R 0 0 g' 0 £ + n 1 -g' -(£ + n)wi + Q'

3. Гиперболичность подмодели

Система (9) записывается в матричном виде:

А? и + Ап Ц, = В,

где

и =

Для вектора к = (к,/) характеристическая матрица системы (12) имеет вид

к - / 0 0 Як

А = кЛ + /Ап = 0 к 0 0 Л = кА +=0 0 к 0

-Як /(£ + п) / д'(к - /)

Вектор к характеристический, если он удовлетворяет равенству detA = 0. Отсюда следует уравнение

к2(д'(к - /)2 + Я2к2) = 0. (13)

Уравнение (13) в зависимости от знака д' имеет следующие вещественные корни:

a) при д' > 0 один корень ко = 0 кратности 2;

b) при д' < 0 один корень к0 = 0 кратности 2 и два корня к±

k

±

ijg'

jg'j 2 ± R

'14)

с) при д' = 0, Я = 0 один корень к0 = 0 кратности 4.

Характеристикой называется кривая Л(£,п) = 0, нормаль к которой совпадает с характеристическим вектором У Л = (Л, ) = (к,/). Эту кривую можно искать в виде

Л(£, п) = п - п(£) = 0, УЛ = (-пе, 1) = (к, /).

Для корня к0 = 0 характеристика С0 задаётся равенством

C0 : n = const.

Для корня k+ из формул (14) характеристика определяется уравнением

С+:| = -1 -М-1R.

Для корня k- имеем

С-:| = -1 + ig'i-2 R.

'15)

:i6)

:17)

Вычислим левые собственные векторы характеристической матрицы А для каждого корня. Для к0 = 0 есть два собственных вектора е1 = (0,1, 0, 0), е° = (0, 0,1,0) в случаях а), Ь), с); для к+ — собственные векторы

е+ = (-7, -(£ + П)(1 + Я7-1), -(1 + Я7-1), 1);

для k- — собственные векторы

e- = (7, (£ + n)(RY-1 - 1),RY-1 - 1,1),

где y = |g'|i в случае b).

Система (12) гиперболическая, если число корней характеристического уравнения (13) с учётом кратностей и число левых собственных векторов совпадают с порядком системы [5]. Значит, в случае b) система (12) гиперболическая, а в случаях a), c) она таковой не является.

Для каждого левого собственного вектора можно написать условие на соответствующей характеристике. Для этого матричное уравнение (12) скалярно умножаем на левый собственный вектор и получаем равенство, в котором любая искомая функция дифференцируется вдоль характеристики. В итоге

Со : vi? = -wi - V, wi? = (£ + n)V; (18)

C+ : yD+ui + (£ + n)D+vi + D+wi + y2D+V = wiy-iR(£ + n) + Q', (19)

где D+ = -(1 + Ry-i)d + dv;

C- : -yD-Ui + (£ + n)D-Vi + D-Wi + y2D-V = -wiy-1R(£ + n) + Q', (20)

где D- = (Ry-i - l)d + dv.

Обыкновенные уравнения (15)-(20) для 7 неизвестных функций образуют замкнутую характеристическую форму гиперболической системы. Она является основой для численных расчётов краевых задач по методу характеристик.

4. Точные решения

Рассматривается система (9) из § 1 не типа Коши:

g'(V) = -R2(n) < 0. (21)

В этом случае функция V зависит от одной переменной n для любого уравнения состояния. Тогда система (9) переопределена:

= uin,

vi? = -wi - V, ? (22) wiC = V (£+n),

-Rui? = -R2V' - win - (£ + n)(vin + wi) + Q'.

Интегрированием по £ последних трёх уравнений в (22) определяются функции

wi = 2 £ 2V + £nV + W (n), vi = -1 £3V - i £ 2nV - £(V + W) + Vi(n), (23)

ui = i A4 £5 + 4 Аз£4 + 3 A2£3 + 2 Ai£2 + Ao£ + Ui(n),

где

A4 = -1 R-iV', A3 = - 3 nV'R-i, A2 = (-1V' - W' + nV - in2V')R-i, Ai = ((l + n)2V + V' + W - nW')R-i, Ao = (-Q' + W' + nV' + nW )R-i + RV'.

В (23) функции

У,Я,д,Ж,Уьи1 (25)

от одной переменной п подлежат дальнейшему определению. В силу первого уравнения из (22) и выражения для и1 из (23) справедливы равенства

A4 = A40, A3 = 4А40П + A30, A2 = 6A40п2 + ЗА30П + A20,

Lie,

Ai = 4А40П3 + ЗА30П2 + 2А20П + Ai

(26)

А0 = А40П4 + А30П3 + А20П2 + А10 п + А00, Ui = 5 А40П5 + 4 А30П4 + 3 А20П3 +1 Аюп2 + А00 п + Ui0,

где Ai0, Ui0 — постоянные, i = 0,1,..., 4. Выражения (26) сравним с выражениями из (24) и получим обыкновенные уравнения для функций (25), кроме Ui, с добавлением уравнения (21):

V = -6RA40, А30 = 0, ДА20 = 2V'(п2 - 1) - W' + Vn, (1 + ^)V + V/ + W - п^' = (4А40п3 + 2А20п + Аю)R, (27)

-Q' + W' + п^' + nW + R2V' = (А40п4 + А20п2 + Аю п + A^R.

Система (27), (21) определяет функции (25) в двух взаимоисключающих случаях А40 = 0 и А40 = 0.

В случае А40 = 0 фунции V = V0 и R = R0 — постоянные. Условие R = Л(п) нарушено. Из уравнений (22) всё равно следует представление решения (23), где

V = V0, R = R0, W = iп2И> - nRoA2o + W0, Vi = - i V^3 + R0A20^ + (R0A ю - W0 - Vo)n + Vi 0, Q = Q0 + W0 - R0(A00 + А20)п.

Таким образом, из представления инвариантного решения (3) определяется частное решение гидродинамических уравнений (1):

u = z - t(6t2 + 1)V0 - ÍW0 + Vi0+

+(y - i2 A20Í4 - i a 10t3 - 2 A00Í2 - Ui0t - x i 0 )(tA20 + A i 0) V- i,

v = i A20Í3 + 2 A 10t2 + A00Í + Ui0,

w = 2 V0Í2 + W0 - V0-iA20(y - ¿A20Í4 - iAi0t3 - 2A00Í2 - Ui0t - xw), (28)

p = Vio, g'(V) = -R0,

p = x - tz + g(V0) + 112(112 + 1)V0 + W0Í2 - Vi0Í + Q0-

-(A20Í2 + Ai0t + A00)(y - ii2A20t4 - 6Ai0t3 - iA00t2 - Ui0t - x^V-1 .

В случае A40 = 0, так как g' < 0, обозначим g'(V) = - a2(V) = - R2. Интегрирование (27) даёт представление искомых функций:

I = 6А40п V0 = V(0), W = (Пг + 6Й0 - 1)V + Wxb

Vo 7

V1 = [-1 п3 - (6A4o + 1 )п - 6Й0]V - п^00 + ^ (29)

Q = (^OoAA^ -1) V - g(V) + W00 + Q0,

V 6A40

R = - 6A440 •

(30)

Из (23), (29) и представления инвариантного решения (3) определяется частное решение гидродинамических уравнений (1):

и = z — i (t3 + (3 + A40 )t + A40 )p-i — tWoo + Vio,

V = i A4ot5 + i A2ot3 + i Aiot2 + Aoot + Uio,

w = 2 (t2 — 1 + 3a00 )p-i + Woo,

p = [ 2 A2ot6 + A2oA4o t4 + 2AioA4ot3 + 6Aoo^4ot2+

+ 12UioA4ot + 12A4o(xo — y)]- 2, P = x — tz + i (t4 + A2012 + A01 + A40 )p-i + t2Woo — tVio + Qo.

Если рассматривать решения (28), (30) с точностью до преобразований 1-6 из введения, то можно считать Woo = Vio = Uio = xo = Qo = xio = Wo = g(Vo) = 0, и остаются четыре существенные постоянные Vo, Aoo, Aio, A2o в (28) и Aoo, Aio, A2o, A4o в (30).

5. Движение частиц для точных решений

В работах [6; 7] исследовано движение частиц решения (28) в простейшем случае при Лю = Aio = 0.

Исследуем решение (30) при Aoo = Aio = A2o = 0, A4o = k:

и = z — 6 (t3 + 3t)[2 k2t6 — 12ky] 2, v = 5 kt5,

5

w = 2 (t2 — 1)[ 5 k2t6 — 12 ky] 2, (31)

?-2 = 2 k2t6 — 12ky,

р = х — ¿г + 6 Ь4р 1.

Решение определено в области |к2Ь6 > 12ку- Отражение к ^ —к, у ^ —у, Ь ^ — Ь оставляет инвариантными формулы (31), поэтому достаточно рассмотреть случай к < 0- Область определения решения

У > — 30|к|Ь6.

Пусть при Ь = 0 частица газа находится в точке Хо, Уо > 0, го- Тогда мировые линии частиц определены равенствами

х = — 2 вЬ2 + г0 Ь + х0,

у = — з01 к|Ь6 + Уо, (32)

г = 2 Д£( 3 Ь2 — 1) + го,

где в = \/12|к|уо, и вдоль мировой линии р = в-1, р = хо + + 2,Ш2( 1Ь2 — 1)- Равенства (32) задают переход от лагранжевых переменных хо, уо > 0, го к переменным х, у, г - Якобиан преобразования равен 1, значит, мировые линии частиц не пересекаются и величина конечного объёма не меняется со временем- Вдоль мировой линии плотность не меняется-

При уо = 0 (х = хо + гоЬ,у = — 3оЬ6, г = го) плотность бесконечна — источник частиц с плоскости (х,г)- При уо ^ то плотность стремится к нулю — вакуум-Значит, среда разлетается от источника к вакууму на бесконечности-

-ю

Вид спереди

Вид сзади

Поверхность из траекторий движения частиц в координатах х, y, х в интервале 0 < yo < 10,

—2 < t < 2. Выделены траектории при |k| =1, y0 = 0, 1, 3, 5, 7, 10

Проекции мировой линии на оси x и у монотонно сходятся (t < 0) и расходятся (t > 0), а проекция на ось z колеблется в интервале времени |t| < л/3.

Для представления всех траекторий мировых линий (32), проходящих через точки (xo, yo, z0), выберем инерционную систему координат:

~ 1 ~ 1 /1 \

х = x — x0 — z0t = —-et2, х = z — z0 = -вм -t2 — 11 .

2 2 \ 3 /

В зависимости от y0, |k| = 1 численно построим траектории в координатах X, у, X (рисунок). На рисунке изображена поверхность из траекторий движения частиц в интервале 0 <у0 < 10, —2 < t < 2. Выделены траектории при у0 = 0, 1, 3, 5, 7, 10. При t < 0 и t ^ 0 частицы сгущаются к оси у. При t > 0 происходит разлёт.

6. Преобразования эквивалентности линейной системы

Система (9) для уравнения состояния p = —R2V + h(S), R = const является линейной. С обозначениями u1 = u, u2 = v1, u3 = wi, u4 = V, Q' = q(n) систему запишем в виде

u

+ Ru4 = u

2 3 4

u2 = —u3 — u4, u3 = (£ + n)u4,

R4 u4 — Rui + (£ + n)(u2 + u3) + u3 = q, = 0, qUi = 0,

(33)

где д = д(п) — произвольный элемент.

Преобразования эквивалентности системы (33) не изменяют её вид, а лишь меняют произвольный элемент. Оператор преобразований эквивалентности, продол-

женный на производные, входящие в систему (33), разыскивается в виде [8]

X = Z?d? + Zn+ Zuidui + Zqdq + (D?Zu - u?D?Z? - <D?Zn+ + Zui - u?DnZ? - <DnZn)dun + (D?Zq - q?D?Z? - qnD?Zn - quiD?Zu)dq5 + +(DuiZq - q?DuiZ? - qnDuiZn - quiDujZuj)dq^i + ...,

где координаты оператора Z?, Zn, Zui зависят от переменных £, n, иг, q, а операторы полного дифференцирования, действующие в своих пространствах, таковы:

D? = д? + u? dui + (q? + qui u? )dq, Dn = ^ + u^ du + (qn + qui u^ )dq, D? = d? + q? dq, Dui = du + qui dq.

Запишем условия инвариантности системы (33) относительно оператора X. Для двух последних уравнений они имеют вид

Xq? |(33) = 0, Xqui |(33) = 0, (34)

где переход на многообразие осуществляется с помощью динамических переменных ui, u?, u3 Л'4

nn

, un, u4, qn. Остальные производные выражаются из системы (33).

Условие (34) запишем в виде

С| = 4п СП, Си = 4П .

Приравнивая нулю коэффициенты при динамических переменных (расщепление по ), получим

С? = СП = 0, о = СП = 0,

т. е. координаты £? и £П зависят только от п, 4

Условия инвариантности для остальных уравнений системы (33) имеют вид

ОСп1 - к - л«4)0Сс = ОСп1 - («1 - я«4)0Сс - <(СП + СП^)-

-я(5 с Си4 - «45 С Сс), О сп2 + («3 + «4 сС + Си3 + Си4 = о, О Си3 - (е + п)«40 СС = «4(СС + Сп) + (е + п)Сп4, д2 [Опсп4 - «40Сс - «4(СП + С?п)] -

-я[Длсп1 - («1 - ЯцрОпСс - «1 (СП + 4пСП)] + (Сс + Сп)(«П + «3)+

3

1п (^п + 4пч? ^ + °пч

(35)

+ (£ + n) [Zu3 + DnZu2 + (u3 + u4)DnZ? - un(ZH + qnZqnЯ + DnZu3-

-(£ + п)«40СС - «3(СП + 4пСП) = С?,

где «4 нужно выразить из четвёртого уравнения системы (33).

Расщепляя условия инвариантности (35) по переменной дП, получим

СП1 = («1 - д«4)с?с + «1 СП ^ СП = С?с = СП1 = о,

(36)

R2Zqu4 + (£ + n)Zqu2 + Zqu3 = 0. Расщепляя (35) по u4, получим

Z? = Z?(£), Zu3 = RZu3, Zuu42 = RZuu2, Zu1 - RZu + R(Z£ - RZu) = 0. (37)

Второе уравнение из условий (35) после расщепления по в силу (37) определяет функцию

г4 = м4(с:2 - (е+пхи2 - 4) - си3 - си2 - м3(с| - о2),

сих = о = 0.

(38)

Из третьего уравнения условий (35) после расщепления по , м4 следуют равенства в силу (37), (38)

С3 = С3 = 0 ^ С4 = 0,

с3 - (е + п)с3 + (е + п)(о2 - (е+пхй) + с1 + сп = 0, (39)

си3 - м3с3 + (е + п) [си3+мз(с| - с2) + си2] = 0.

Из четвёртого уравнения в (35) после расщепления по следуют в силу (37), (39 равенства

и1 = / «4 = 0 чи4 = ЧИ1 = 0,

о1 = С44 = с-2 - (е+п)Сз2 - <| = с(е, п, м2, м3).

40)

Первое уравнение из (35) после расщепления по динамическим переменным влечёт с учётом (40) соотношения

с1 = в + сь е = ^п + С2,

С21 = Сз1 = 0 ^ с1 = с(е, п)м + с1 (е, п),

где В, С1, С2 — постоянные, и ещё одно равенство, которое можно расщепить по

14

переменным м и м :

С| = сп ^ с = с(е + n),

с' + (е + п)(-С3 - СЦ2з + С2 + м3С22и3 - + С3 + $2 - м3С22и2 = 0, (41)

с! - а = я [си3+си2 - м3с:3 + (м3)^ - . (42)

Из (38)-(40) определяются зависимости

сц2 = (с+в)м2 + с2(е,п,!,?), I = м3 + (е + п)м2,

Си3 = -м2(С1 + С + (е + п)(2В + с)) + С3(е, п, I, 5),

(43)

сц4 = см4 + м2[С1 + С + 2В(е + п) - (1 + (е + п)2)Сц2] +

+1с - с3 - си2 + (е + п)1си2,

где новые искомые функции не зависят от м2. Следовательно, после подстановки представления (43) в условия инвариантности их можно расщеплять по переменной м2.

Из остатков четвёртого условия инвариантности после расщепления по u^, uH и

2 4

затем по u2 и по u4 следует, что

С? = 0, С = 0 ^ c = C = const,

R2 [(£ + n)Cu2 + с - Zu3 - С?] - с + cf + (£ + n)Zf = 0, (44)

Ci + C2 + 2D(£ + n) = 0 ^ D = 0, Ci + C2 = 0,

- R2[(i + (£ + n)2)CS + С? ] + + (1 - R2)(£ + n)Zu2 + (1 - R2)Zf = C (1 - R2), R2 [-(Cu3 + Zf)n + iZu2 + IQ2 (£ + n)] + (q - (£ + n)i)C - RCu1 = = Zq - (£ + n)(Cu3 + Zu2) - cu3.

Из равенств (41), (45) после подстановки функций (43) следуют равенства

23

С =0, cu = C.

45)

46)

Уравнения (44) выполняются тождественно. Уравнения (39), (42) и (46) принимают вид

<1 - СП = -дс|, с4 = -с3 - с|,

я2с) - дсП + (е+п)(с3 + Ф + с? = с ? - сд, (47)

с| = (е+п)с4.

Дифференцируем (47) по д, тогда в силу (36)

а = о, с!? = (е + п)с4, а = -с?3 - с?4

"" Sgq — S q Sq >

R2Cn4q + (C + n)(Zq3 + Zn2q) + Zjq = Zqq - C. Отсюда после интегрирования получим

Z4 = ß(n,q) + a4(C,n), Z1 = Z 4C,n), Z3 = ( 1C2 + nC)ß + ^3(C,n), Z2 = -a(C +1 nC2 +1 C3) + ^2(C,n), R2ßqn + (C + n)ßqПС + ßqC = Zqq - C.

Последнее уравнение расщепляем по C, получим ßq = 0, Zq = Cq + h(n). Таким образом, можно считать, что

Zu = cu + Zi(C,n), Z? = Ci, Zn = -Ci, Z1 = Zn - RZI,

Z| = -Z3 - Z4, (48)

Zf = (C + n)Z4,

R2Zn4 - RZn1 + (C + n)(Z3 + Zn2) + Zn3 = h(n).

Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Алгебра Ли преобразований эквивалентности системы (33) бесконечномерна и задаётся базисом

= дс - д? , Х2 = м'д« + дд?,

ХЛ(П) = Мп)д? + (*(ВД)д«,

= с0 (е,п)д„г,

где (г(^(п)) — частное решение неоднородной системы (48), (С,п) _ общее решение однородной системы (48) при Л, = 0.

Следствие 1. Ядро допускаемых алгебр системы (42) для произвольной функции д(п) = 0 порождается операторами Х1, XX? = (г(д(п))д«;. При д = 0 добавляется растяжение Х2 = мгд«4. Любое точное решение неоднородной системы порождает преобразование эквивалентности, приводящее систему к однородной.

7. Групповая классификация линейной системы

В системе (33) д = д(п) — произвольный элемент. Проведём групповую классификацию по произвольному элементу. Оператор, допускаемый системой (33), разыскиваем в виде

X = сс дс + сП дП + с« д« + (ОС С« - «с Ос Сс - «П Ос СП )д«| +

+ (0?С« - «сО?Сс - «ПО?Сп)д„п,

где координаты оператора (с, (П, (« зависят от переменных £, п, «г, а операторы полного дифференцирования имеют вид

Ос = дс + «с д«, О? = д? + ди.

Условия инвариантности системы (33) таковы:

ОС с П1 - «п Ос Сс - «1 ОС сП + Д(ОС с «4 - «П Ос СП) = о?Сп1 - («? - д«4)о?Сс - Чо?СП,

(49)

Ос с« + («3 + «4)Ос сс - «П Ос СП + С« + С« = 0, (50)

ос с «3 - (е + п)«4ос сс - «П ос сП = (е + п)с «4+«4(сс + сП), (51) Д2(о?с«4 - «40?сс - о?сП) - Д[о?сп1 - («П - Д«4)о?сс - «по?сП] +

+(е + п)(0?С«2 + («3 + «4)ОпСс - «ПО?СП + С«3)+ (52)

+«с + сп)(«?+«3) + о?с«3 - (е+п)«4о?сс - «о?сп = д?сп,

где выражается в силу последнего уравнения системы (33).

Условия инвариантности расщепляем по динамическим переменным «4, «1, «?, . Приравнивая нулю коэффициенты при «4, получим

(52) ^ с! + д-1с«4 = 0, с«2 = (е + п)с«4,

с«3 = д-2с«4, с? + с«4(д-2д - (е + п)«3) = 0,

(50), (51) ^ С«П4 = ДСП, С«2 - ДСП? + («3 + «4)(С«4 - ДС!) = 0,

е; - дсп3 = (е + п)«4(с«4 - дс!),

(49) ^ с! = ДС1, с; - ДСП! + Д(С«44 - ДС4) = 0. (53)

Отсюда следует, что

с1 = с1 (е), с4 = яс;, * = 2,3.

Расщепление по остальным динамическим переменным приводит к равенствам

(49) ^ СЧ2 = СЧ3 = 0, С| = СП, С21 = (е + п)я-2(С- ЯС|П), СИ1 = я-2(С4 - ЯСП), (54)

си1 - (м3+м4)си1 + (е+п)м4си1 + я [си4 - (м3+м4)е4 + (е+пке4] -

-я-1(5 - (е + п)м3)сп = с:1 + с:4 я-2(^ - (е + п)м3);

22

(50) ^ Сп = Сп(п), 0=0 = СЦ4,

с:2 - (м3+м4)с:4 + (е+п)м4с:3 + (м3+м4)с|+с:3+с:4 = 0; (55)

33

(51) ^ 0=0 = о,

с:3 - (м3+м4 )с3 + (е + п)м4с:3 + (е + пкс| = (е + п)с:4+м4(с1 + сп); (56)

(52), (53) ^ с:4 = с:4, с:4 = я2о4,

я2о4 - (е+п)с:4 - + я-1с:4 (е+п) + (е+п)о2+с1+сп+с:3 = 0; (57) яс:4 - с:4 - яс:1 + я-1^ + (е+п)о2+с:3 = 0, (58)

я2с:4 + (о4 - сп - я-1е4х? - (е+пх3) - яс:1+ +(е + п)(с:2 + с3)+м3(с1 + сп) + с:3 = а'сп.

(59)

Из этих равенств следует

с1 = ве + С1, сп = Вп + С2,

(54), (55) ^ С:4 = см4 + с4, с = С3 - (е + п)С32 - в,

с4=м3С22 - с3 - с:2 - вм3, с:1 = с(е,п)м1 + с 1(е,п).

В равенствах (56)-(59) переменная м4 свободная. Приравнивая нулю коэффициенты

4

при м4, получим

с = С — постоянная,

с2 = (с+в)м2 + с2(е,п,I), I = м3 + (е + п)м2,

с:3 = -(с + С2 + с (е + п))м2 + с 3(е, п, I),

с:4 = см + с4(е,п,м2,м3), с:1 = см + с 1(е,п), с4 = м2(С1 + С2) + с! - с3 - с| + с? [I(е + п) - м2(1 + (е + п)2)].

С этими выражениями равенства (56)-(59) имеют свободную переменную м2. Приравнивая нулю коэффициенты, получим

(1 + (е + п)2)(с3 - с+(е+п)с2) = 2(е + п)(с + с2), (60)

с3 +1(с1 + с2 - с3(е + п)) = (е + п) [^ке + п) - с3 - с|], (61)

сь = 0 = <3/,

с + с2 - (е + п)с|/ + (-1 + (е + п)2)с! + 2В(е + п) = 0, (62)

я2[с- с3 - с!| + ске+п)] - с+(е + п)С/2 + с3 = 0, (е + п)(с + с2 - 2(1) + (1 + (е + п)2)(с - с3 - с|/) = 0, с! - а + я[-с3 - & + 2IC| -1(с + с2 + (е + п)(с - с3 - &))] = 0, -2В(е + п)2 - 2(с1 + с2)(е + п) + С3 - с + я2(с - С3 - С!/) = 0,

я2^2 - с3 - С|2п) + (с - в)(а - (е+п)I) - ясп + (е + п)(с2 + с 3)+

+I (с1 + с2 + В(е + п)) + <3 = 5'(Вп + с2).

Отсюда следует, что

С2 = ¿I + С2, С3 = eI + С3, (60) ^ е = с - (е + п)й + 2(с + с2) е + п

(61) ^ й = (с + с2)-

1 + (е + п)2: (е+п)4 + з

(1 + (е + п)2)3'

(62) ^ В = 0, с1 + с2 = 0 ^ е = с, й = 0.

Остальные равенства принимают вид

с:1 = см1 + с 1(е,п), с:2 = см2 + с2(е,п), г3 = см3 + с3(е,п), С:4 = см4 + С 4(е,п), С! = с1, сп = -с1; <1 = С - яс|, а = -с3 - с4, С3 = (е + п)с4, я2С4 - яСп1 + (е + п)(Сп2 + С3) + С3 = -5'с1 - сд.

Результат вычислений позволяет сформулировать классификационное утвержде-

ние.

Теорема 2. Алгебра Ли, допускаемая однородной системой (33) (д = 0), задаётся базисом

Х1 = - , Х2 = , = С0 (е, п)д:; = «0>,

где — любое решение однородной системы.

При постоянной д = ( базис допускаемой алгебры таков:

Х1 = - , Х2 = (М - Сг((>)дад;, (Со>,

где (г((> — частное решение неоднородной системы.

При функции общего вида д(п) базис алгебры имеет вид

Х1 = дс - д? - 0(д')д«, Х2 = (« - 0<д»д„г, (С0). Коммутаторы базисных операторов таковы:

[Х1,Х2] = 0, [Х1, (Со)] = (С0с - Со?), [Х2, (С0)] = - (Со), [(С1о), (С2о)] = 0.

Таким образом, алгебра Ли разлагается в полупрямую сумму абелевой подалгебры и абелева идеала Ь = (ХьХ2}ф ).

Внутренние автоморфизмы по оператору Х1 являются решениями задачи

Ха 1 = [Х',Х1 ] = -(СЙ - С0П)д«, Х'|„1=о = Х = х1Х1 + х2Х2 + (Со). Решение имеет вид

1. Со = а(е - °1, п + а1).

Аналогично вычисляются автоморфизмы для других базисных операторов.

2. Со =е"2со.

3 / о' — х'(/" о — о ) — о I /■ о чо = х (Чос чо?) х чо + Чоо-

С помощью внутренних автоморфизмов вычисляется оптимальная система неподобных подалгебр [8]:

1-мерные подалгебры Х1 + аХ2,Х2, (С0);

2-мерные подалгебры

{Х1,Х2}, {Х2, (со)}, {Х1 + аХ2, (с:)}, {Х2, (Со)}, {(со), «2)},

где С!, С2 — два линейно независимых решения однородной системы.

Подалгебра {Х1 + аХ2, (С:)} должна удовлетворять условию замкнутости

[Х1 + аХ2, (Со)] = (Сос - Со?) - а(С0) = А(С0).

Отсюда следует, что

(с^с - Со?) = (А+а)С0 ^ со = (А+а)е + со(*), * = е+п -

решение однородной системы (33). Общее решение имеет вид

1 2

С1 = А1 + (А + а)(Д + 1 + Д-1)* - -*2Д-1 + -*3Д-2,

2 3

с2 = а2 + (А + а + А3 + А4)* - 1 *2(А + а)Д-1 - 1 А4*3 + -1(А + а)(1 + Д-1)*4,

2 6 12

С:3 = А3 + (А + а)* + -А4*2 - -(А + а)(1 + Д-1)*3,

2 3

С4 = А4 - (А + а)(1 + Д-1)*,

где А1 — произвольные постоянные. Множество таких решений £1 = образуют абелеву подалгебру Ь4 с базисом >, к = 1,2,3,4. Получаем

3-мерные подалгебры

{Х1 + «2 >, (С >}, {Х1, (&>, (с:2>1, {Х2, «1 >, «2 >}, {«1 >, «2 >, «3 >};

4-мерные подалгебры

{Х1,Х2 + «2 >, (о, (&>}, {х, (&>, (&>, (с13>},

{Х2, (С£ >, к =1, 2, 3}, {(С >,к =1, 2,..., 4};

5-мерные подалгебры

{х + (С2 >, «:* >, к = 1,2, з}, {х, (& >, к = 1,2,..., 4},

{Х2, «£ >, к =1, 2,..., 4}, {(С >,к =1, 2,..., 5};

6-мерные подалгебры

{Х1,Х2 + (С2 >, «:* >,к =1, 2,..., 4}, {Х2, «£ >, к =1, 2,..., 5}, {(С£ >,к =1, 2,..., 6};

/-мерные подалгебры, / > 7,

{Х2, «£ >, к = 1, 2,...,/- 1}, {(С >,к =1, 2,...,/}.

Для каждой подалгебры можно рассматривать дифференциально-инвариантные решения [8].

8. Интегральные преобразования системы

В системе (33) вернёмся к физической переменной £ = е + п:

Ru4 = и1, u2 = —u3 — u4, u3 = tu4,

?2Л,4 D„,l I + Л..3 „,2 л,2\ , „,3 , „,3

(63)

R2u4 — Rul + t(u3 — u2 — u^) + u3 + u3 = q(n). Преобразование Фурье по n для функций f (n) ^ 0 при n ^

те те

У f (n) exp-^ dn = fto, У f'(n) exp—^ dn = —¿w/(w)

—те —те

приводит систему (63) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Ru4 = — ¿wm1 , u? = — и3 — и4, и? = tu4,

4 4 (64)

—¿w(R2m4 — Rm1) + 2t(M3 + и4) + tiwM2 — гши3 = g¿w.

Если перейти к одному уравнению для и3, то получится уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами.

Преобразование Лапласа [9] по t (M^t) ^ Ul(w,s), g ^ Q) приводит систему (64) к виду

R(U4 — u4) = —¿Wu 1, sU2 — M2 = —U3 — U4, sU3 — M3 = — U4, —R2U4 + RU1 — [U2 — 2¿W—1(U3 + U4)]s — U3 = Q,

где M0 — начальные данные функций í?(w, t) при t = 0.

Для функции U4 получим уравнение второго порядка [10]

(1 + 2¿w—1s)sUSs — 2(s2 + 1)(síw—1 + 1)Us4 + s(1 + s2)U4 = = — (Q + ¿w—1R2M4)s3 + sM0 — M0(2 + 2¿w—1s + s2).

Заключение

Для инвариантной подмодели ранга 2 квазилинейной системы гидродинамического типа рассмотрены аналитические способы получения решений: интегралы, характеристический вид, преобразования эквивалентности, групповая классификация по произвольному элементу интеграла, интегральные преобразования. Получены и исследованы некоторые точные решения.

Список литературы

1. Овсянников, Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика / Л. В. Овсянников // Приклад. математика и механика. — 1994. — Т. 58, вып. 4. — C. 30-55.

2. Хабиров, С. В. Неизоморфные алгебры Ли, допускаемые моделями газовой динамики / С. В. Хабиров // Уфим. мат. журн. — 2011. — Т. 3, вып. 2. — С. 87-90.

3. Хабиров, С. В. Оптимальные системы суммы двух идеалов, допускаемых уравнениями гидродинамического типа / С. В. Хабиров // Уфим. мат. журн. — 2014. — Т. 6, вып. 2. — С. 99-103.

4. Сираева, Д. Т. Оптимальная система неподобных подалгебр суммы двух идеалов / Д. Т. Сираева // Уфим. мат. журнал. — 2014. — Т. 6, вып. 1. — С. 94-107.

5. Хабиров, С. В. Лекции. Аналитические методы в газовой динамике / С. В. Хабиров. — Уфа : Гилем, 2003. — 192 с.

6. Сираева, Д. Т. Движение объема частиц, соответствующее инвариантному решению подмодели ранга 2 гидродинамического типа / Д. Т. Сираева // Тр. Ин-та механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН. — 2016. — Т. 11, вып. 2. — С. 205-209.

7. Сираева, Д. Т. Распространение возмущений звуковой волны на инвариантном решении модели ранга 2 гидродинамического типа / Д. Т. Сираева // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании. Математика. Физика. Химия : сб. тр. IX Междунар. шк.-конф. для студентов, аспирантов и молодых ученых (г. Уфа, 3-7 октября 2016 г.). Уфа : РИЦ БашГУ, 2016. — С. 35-42.

8. Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю. А. Чиркунов, С. В. Хабиров. — Новосибирск : НГТУ, 2012. — 659 с.

9. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. — М. : Наука, 1987. — 831 с.

10. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М. : Наука, 1976. — 576 с.

Поступила в 'редакцию 28.01.2018 После переработки 15.02.2018

Сведения об авторах

Сираева Дилара Тахировна, аспирант, ассистент кафедры математики, Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа, Россия; e-mail: sirdilara@gmail.com.

Хабиров Салават Валеевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН, Уфа, Россия; профессор кафедры математики, Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа, Россия; e-mail: habirov@anrb.ru.

56

T. CupaeBa, C. B. XaSnpoB

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 1. P. 38-57.

INVARIANT SUBMODEL OF RANK 2 ON SUBALGEBRA OF TRANSLATIONS LINEAR COMBINATIONS FOR A HYDRODYNAMIC TYPE MODEL

D.T. Siraeva1'", S.V. Khabirov126

1 Ufa State Aviation Technical University, Ufa, Russia

2Mavlutov Institute of Mechanics of Ufa Scientific Center of RAS, Ufa, Russia "sirdilara@gmail.com,, bhabirov@anrb.ru

The equations of hydrodynamic type with the equation of state in the form of pressure, represented as a sum of density and entropy functions, are considered in the article. For the invariant submodel of a 2-dimensional subalgebra in the form of a linear combination of translations chosen from the previously constructed optimal system of non-similar subalgebras, we find the integrals of the system, determine the type of the system, reduce the system to the symmetric form and the characteristic form, find exact solutions, define equivalence transformations for the linearized system, the group classification problem is solved, an optimal system of non-similar subalgebras is constructed, and the application of integral transformations is shown.

Keywords: subalgebra, invariant submodel, exact solution, group classification, equivalence transformation.

References

1. Ovsyannikov L.V. The "podmodeli" program. Gas dynamics. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1994, vol. 58, no. 4, pp. 601-627.

2. KhabirovS.V. Nonisomorphic Lie algebras admitted by gasdynamic models. Ufa Mathematical Journal, 2011, vol. 3, no. 2, pp. 85-55.

3. KhabirovS.V. Optimal system for sum of two ideals admitted by hydrodynamic type equations. Ufa Mathematical Journal, 2014, vol. 6, no. 2, pp. 97-101.

4. SiraevaD.T. Optimal system of non-similar subalgebras of sum of two ideals. Ufa Mathematical Journal, 2014, vol. 6, no. 1, pp. 90-103.

5. Khabirov S.V. Lektsii. Analiticheskiye metody v gazovoy dinamike [Lectures. Analytical methods in gas dynamics]. Ufa, Gilem Publ., 2003. 192 p. (In Russ.).

6. SiraevaD.T. Dvizheniye obyoma chastits, sootvetstvuyushcheye invariantnomu resheniyu podmodeli ranga 2 gidrodinamicheskogo tipa [The motion of the particles volume corresponding to invariant solution of rank 2 submodel of hydrodynamic type]. Trudy Instituta mekhaniki imeni R.R. Mavljutova UNTc RAN [Proceedings of the Mavlyutov Institute of Mechanics of Ufa Scientific center of RAS], 2016, vol. 11, no. 2, pp. 205-209. (In Russ.).

7. Siraeva D.T. Rasprostraneniye vozmushcheniy zvukovoy volny na invariantnom reshenii modeli ranga 2 gidrodinamicheskogo tipa [Propagation of perturbations of a sound wave on an invariant solution of a hydrodynamic type model of rank 2]. Fundamental'naya matematika i yeyo prilozheniya v yestestvoznanii. Matematika. Fizika. Khimiya [Fundamental mathematics and its applications in the natural sciences. Mathematics. Physics.Chemistry]. Proceedings of IX International School-Conference for students, graduate students and young scientists (Ufa, October 3-7, 2016). Ufa, Bashkir State University, 2016. Pp. 35-42. (In Russ.).

8. Chirkunov Yu.A., KhabirovS.V. Elementy simmetriynogo analiza differentsial'nykh uravneniy mekhaniki sploshnoy sredy [Elements of differential equations symmetry analysis for continuum mechanics]. Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University, 2012. 659 p. (In Russ.).

9. KornG.A., KornT.M. Mathematical handbook for scientists and engineers: definitions, theorems, and formulas for reference and review. McGraw-Hill, Inc., New York, 1961. 943 p.

10. KamkeE. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 576 p. (In Russ.).

Accepted article received 28.01.2018 Corrections received 15.02.2018