Оптимальные системы суммы двух идеалов, допускаемых уравнениями гидродинамического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 2 (2014). С. 99-103.

УДК 517.3

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СУММЫ ДВУХ ИДЕАЛОВ, ДОПУСКАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА

С.В. ХАБИРОВ

Аннотация. Выведены правила построения оптимальной системы неподобных подалгебр суммы двух идеалов, для которых оптимальные системы известны. Приведены неподобные подалгебры пяти еще не рассмотренных алгебр Ли, допускаемых уравнениями гидродинамического типа, что заканчивает перечисления подалгебр всех алгебр Ли групповой классификации моделей уравнений газовой динамики по уравнению состояния.

Ключевые слова: уравнения гидродинамического типа, алгебра Ли, оптимальная система подалгебр.

Mathematics Subject Classification: 35B06, 35Q35

Введение

В работе [1] выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. Основными задачами программы являются: вычисление допускаемой группы (алгебры Ли), групповая классификация по уравнению состояния, построение оптимальной системы подалгебр для моделей групповой классификации, изучение подмоделей, построенных по подалгебрам. В работе [2] показано, что есть 10 неизоморфных конечномерных алгебр Ли для моделей гидродинамического типа. Для почти всех из них оптимальные системы построены. Осталось построить оптимальные системы для 5 алгебр Ли суммы двух идеалов, для которых оптимальные системы построены. Все модели гидродинамического типа допускают 11-мерную алгебру Ли Ь11, базис которой в декартовой системе координат состоит из переносов по пространству T3 = {Xi = dx,X2 = dy,X3 = dz}, галилеевых переносов Г3 = {X4 = tdx + du,X5 = dy + dv,X6 = dz + dw}, вращений S3 = {X7 = zdy — ydz + wdv — vdw, X8 = xdz — zdx + udw — wdu, X9 = ydx — xdy + vdu — udv}, переноса по времени Xi0 = dt и равномерного растяжения Xil = tdt + xdx + ydy + zdz [1]. Оптимальная система алгебры Lil построена в работе [1]. Модель газовой динамики с уравнением состояния с разделенной в произведение плотностью допускает алгебру Ли Ь12 = {Xi2}®Lil (полупрямая сумма подалгебры и идеала), где Xi2 = tdt — udu — vdv — wdw + 2рдр - еще одно растяжение. Оптимальная система для Li2 построена в работе [3]. Модель с нулевой скоростью звука допускает бесконечную алгебру Ли, которая имеет максимальную конечномерную подалгебру Li2 ФР3 (прямая сумма двух идеалов), где P3 = {Yi = dp,Yp = рдр + pdp, Yp2 = 2ррдр + p2dp} - простая алгебра не изоморфная S3 над полем действительных чисел R. Не подобных собственно подалгебр в Р3 только две: {Yi} , {Yi, Yp} [2]. Оптимальная система для Lil Ф {Yi}

S.V. Khabiroy, Optimal system for the sum of two ideals admitted by the hydrodynamic TYPE equations.

© ХАвиров С.В. 2014 .

Работа поддержана РФФИ (12-01-00648, 14-01-97027), Советом по грантам Президента РФ для государственной поддержки научных школ (№НШ-6706.2012.1), грантом № 11.G34.31.0042 правительства РФ по постановлению 220.

Поступила 5 декабря 2013 г.

построена в работе [4]. В настоящей работе будут описаны оптимальные системы для алгебр Ли, каждая из которых есть сумма двух идеалов: Ьц ф {У\,УР}, Ь11 ®{У1,УР,УР2}, Ьі2 Ф {Уі}, Ь12 ф {УьУ,}, Ь12 ф {У1,УР,УР2}. Структурные постоянные простой алгебры Р3 заданы коммутаторами: [У1,Ур] = У1, [У1 ,Ур2] = 2Ур, [Ур,Ур2] = Ур2, а для алгебры 53 -коммутаторами: [Х7,Х8] = Хд, [Х8,Хд] = Х7, [Хд,Х7] = Х8. Простых трехмерных алгебр Ли есть только две не изоморфных над полем Я.

Описание процедуры представления оптимальной системы суммы двух идеалов основано на уже построенных оптимальных системах каждого идеала. В каждом идеале действуют свои автоморфизмы. Коммутаторы базисных операторов подалгебры выделяют подалгебры из идеала, которые уже приведены внутренними автоморфизмами к подалгебрам из оптимальной системы идеала. Поэтому в дальнейшем внутренние автоморфизмы идеалов не понадобятся, и они здесь не приводятся. Выделенные подалгебры обладают специальными свойствами, с помощью которых они разыскиваются в оптимальной системе идеала. Достаточно перечислить эти подалгебры, чтобы по определенным правилам конструировать оптимальную систему суммы двух идеалов.

1. Оптимальная система алгебры Ли Ь11 ф {У1,Ур,Ур2}

Любая подалгебра размерности к +1 в алгебре Ь11 ф {У1} представлена базисом ^1 = Xі1 + ..., ^2 = Хі2 + ..., ... ^к = Хік + ..., У1 + Zk+l, где Zk+l и многоточия после знака плюс есть линейная комбинация базисных элементов из Ь11, не содержащих Хіг ,...,Хік. Линейные множества ^1 ,...^к}, {Z1,...,Zk, Zk+1} - подалгебры в Ь11. Подалгебра {Z1,..., Zk} - идеал в {Z1,..., Zk^¿.+1}. Это следует из того, что оператор У1 коммутирует с любым элементом из Ь11. Правило перечисления подалгебр из Ь11 ф {У1} таково: для любой подалгебры из Ь11 надо найти подалгебру на единицу большей размерности, для которой подалгебра будет идеалом. Все такие подалгебры перечислены в [4]. Если к базису подалгебры из Ь11 приписать У1, то получается тривиальное расширение. Тривиальные расширения не приводятся в оптимальной системе работы [4].

1.1. Оптимальная система алгебры Ли Ь11 ф {У1,Ур}. Любая подалгебра размерности к + 2 в алгебре Ь11 ф {У1,Ур} представлена базисом из ранее введенных операторов Z1,...,Zfc, У1 + Zk+1 и оператора Ур + Zk+2, где Zk+2 есть линейная комбинация базисных элементов из Ь11, не содержащих Хіг, ... ,Хік. Линейные оболочки ^1 ,...^к}, ^ь...^к , Zk+l}, ^1, ...^к ,Zk+2} - подалгебры в Ьп. Подалгебра ^1,...^к} - идеал в {Zl,..., Zk, Zk+1} и в {Z1,..., Zk^к+2}. Линейные оболочки {Z1,..., Zk,У1 + Zk+1}, {Z1,..., Zk,Ур + Zk+2} - подалгебры оптимальной системы для алгебры Ь11 ф {У1}. Из равенства

[У1 + Zk+1,Уp + Zk+2] = У1 + [Zk+1, ^к+2]

следует соотношение

к

[Zk+1, Zk+2] = ^+1 + С12Zk (1.1)

1=1

или Zk+1 = 0 и С12 = 0.

В последнем случае надо взять подалгебру из Ь11 ф {У1}. В ней вместо У1 написать Ур и приписать к полученному базису оператор У1. Такие подалгебры тоже считаем тривиальными расширениями.

В первом случае правило нахождения подалгебр таково: найти две подалгебры из Ь11 ф {У1} вида Ьк ф {У1 + Zk+1}, Ьк ф {У1 + Zk+2}, проверить равенство (1.1), включить Ьк ф {У1 + Zk+1,Уp + Zk+2} в оптимальную систему алгебры Ли Ь11 ф {У1,Ур}. Просмотр оптимальной системы из [4] дает следующий результат: оператор Ур прибавляется к оператору, содержащему Х11. Оператор У1 прибавляется к оператору из подалгебры переносов

Т3, либо к оператору Х10. Всего получается 43 подалгебры, 18 из которых содержат оператор У1 + Х10. Нет смысла их перечислять, их легко можно усмотреть из таблицы работы

[4].

1.2. Оптимальная система алгебры Ли ¿п ф {У1,Ур,Ур2}. Любая подалгебра в алгебре ¿п ф {У1,Ур,У^2} с трехмерной проекцией на Р3 представлена базисом из ренее введенных операторов ^1, ... ,^, У1 + ^+1, Ур + Zk+2 и оператора Ур + ^к+3, где ^+3 есть линейная комбинация базисных элементов из ¿п, не содержащих Х^, ... ,Хік. Линейные оболочки ^ь...^}, ^ь...^, Zfc+l}, ^ь...^ ^+2}, ^ь...^ ,Zfc+з} - подалгебры в Ьц. Первая подалгебра есть идеал в остальных подалгебрах. Коммутаторы

[У1 + ^+1, Ур + ^+2] = У1 + [^+1, ^+2], [У1 + ^+1,Ур2 + ^+3] = 2Ур + [Zk+1,Zk+3],

[Ур + Zk+2, Ур2 + ^+3] = Ур2 + [Zk+2, ^+3] задают равенства с некоторыми постоянными

к

І^+Ь Zk+2] = Zk+1 + С12^"г,

1=1

к

[Zk+1, Zk+3] = 2^+2 + С13^

1=1

k

[Zk+2, Zk+3] = ^+3 + С23^,

1=1

которые показывают, что линейная оболочка ^1 ,...,Zk, Zk+1, Zk+2, Zk+3} есть подалгебра в Ьц. Проекция этой подалгебры на подпространство {Zk+1, Zk+2, Zk+3} есть простая алгебра Р3. Она изоморфна некоторой подалгебре в ¿11. Но в ¿11 есть только одна простая подалгебра 53, которая не подобна Р3 над полем Л. Противоречие. Значит, Zk+1 = Zk+2 = Zk+3 = 0 и получается только тривиальные расширения любой подалгебры из ¿11 .

2. Оптимальная система алгебры Ли ¿12 ф {УьУр,Ур}

Оптимальная система для ¿12 построена в работе [3]. Не нулевые коммутаторы операторов Х12, Хц таковы: [Xl2,Xk] = Xk, к = 4,5,6, [х^Хю] = -Х10, [ХИ,Х1 ] = -Х1,

I = 1, 2, 3, [Х11 ,Х10] = —Х10. Другие коммутаторы не понадобятся.

2.1. Оптимальная система алгебры Ли ¿12 ф {У1}. Любая подалгебра размерности к +1 в алгебре ¿12 ф {У1} представлена базисом из ранее введенных операторов Z1, •^2, ..., Zk и оператора У1 + Х12 + Zk+1, или из ранее введенных операторов Z1, ... ,Zk-1 и операторов Zk + Х12, У1 + Zk+1, где Zk+1, Zk есть линейная комбинация базисных элементов из ¿11, не содержащих Х^, ... ,Хік. В первом случае линейная оболочка ^1,..., Zk} - подалгебра в ¿11, ^1,..., Zk, Х12 + Zk+1} - подалгебры в ¿12, подалгебра {Z1,..., Zk} - идеал в ^1,..., Zk, Х12 + Zk+1}. Правило нахождения подалгебр из ¿12 ф {У1} таково: подалгебра из ¿12 должна иметь подалгебры на единицу меньшей размерности из ¿11. Легко проверить, что все подалгебры из оптимальной системы ¿12 обладают этим свойством. Значит, достаточно прибавить к оператору, содержащему Х12 (он присутствует только в одном базисном операторе), оператор У1. Такое расширение тоже можно считать тривиальным.

Во втором случае правило нахождения подалгебр из ¿12ф{У1} таково: ^1,..., Zk-1, Zk+1} -подалгебра в ¿11, •(^, ..., Zk-1, Х12 + Zk, Zk+1}, {-^1, ..., Zk-1, Х12 + Zk}, {Z1, ..., Zk-1, Zk, Zk+1} -подалгебры в ¿12; {Zl,..., Zk-l} - идеал в ^,...^-1^+1} и в {Zl,..., Zk-l, Zk};

[^, ^+1] - линейная комбинация остальных операторов. Очевидно подалгебра из ¿12 удовлетворяет этим свойствам, если оператор, не содержащий Х12, коммутирует с остальными, к одному из них прибавляется У1. Такие подалгебры считаются тривиальными расширениями. Все двумерные подалгебры такие. Для любой неабелевой подалгебры из ¿12 размерности не меньше трех выбирается базисный оператор, не содержащий Х12, чтобы остальные образовывали идеал. К этому оператору, не коммутирующим с остальными, прибавляется Проверяется условие подалгебры. Просмотр оптимальной системы из [3] дает следующий результат. Оператор У1 прибавляется к оператору, содержащему либо Х7, либо Х11, либо Х10, если в операторе, содержащим Х12, стоит комбинация Х12 — Х11. При этом к операторам полной подалгебры вращений ничего прибавлять нельзя. Подалгебры легко выписываются по таблице из работы [3] и не приводятся здесь из-за большого объема.

2.2. Оптимальная система алгебры Ли ¿12 ф (У1,Ур). Любая подалгебра размерности к + 2 в алгебре ¿12 ф |У1, Ур} представлена базисом из ранее введенных операторов ^1, ... ,^к, У1 + ^.+1 и оператора Ур + Х12 + ^.+2, или из ранее введенных операторов ^1, ... ,^^-1, ^ + Х12, У1 + ^+1, Ур + ^к+2. В первом случае линейная оболочка |^1,..., ^} -идеал в подалгебрах |^1,...,^^,^^+1} С Ь11, |^1,...,^^,Х12 + ^+2} С ¿12 и выполняется равенство

к

[^к+1,Х12 + ^к+2] = ^к+1 + О1 ^. (2.1)

1=0

Отсюда следует, что |^1,...,^к,^к+1,Х12 + ^к+2} - подалгебра в ¿12. Если ^к+1 = 0, то О1 = 0 и у любой подалгебры алгебры ¿12 ф {У1} вместо У1 надо написать Ур и приписать У1. Получается тривиальная подалгебра из ¿12ф{У1, Ур}. Если ^к+1 = 0, то у любой подалгебры из ¿12 ф {Ур} надо выбрать оператор, не коммутирующий с Х12 + ^к+2, а остальные должны образовывать идеал, и проверить равенство (2.1). Просмотр оптимальной системы показывает, что это возможно только для подалгебр с базисным оператором Х10, к которому прибавляется оператор У1, и нет оператора Х11 в других базисных операторах.

Во втором случае линейная оболочка {^1,..., ^к-1} - идеал подалгебры {^1, ..., ^к-Ъ Х12 + ^к, ^к+1, ^к+2} С ¿12. Выполняются равенства

к- 1 к- 1

[^к+1,Х12 + ^к] = ^ А1^, [^к+2,Х12 + £к] = ^

1=0 1=0

к-1

[^к+1, +^к+2] = ^к+1 + °1 ^1. (2.2)

1=0

Если ^к+1 = 0, О1 = 0, то подалгебра тривиальна: приписывается оператор У1 к подалгебрам из ¿12 ф {Ур}.

Правило составления оптимальной системы для ¿12 ф {У1 ,Ур} таково. Для подалгебры из ¿12 выбираются три базисных оператора, включая базисный оператор, содержащий Х12, так, чтобы остальные образовывали идеал. Для выбранных операторов проверяется равенство (2.2).

Перебор подалгебр из ¿12 с этими свойствами приводит к следующему результату. Если подалгебра {^1,..., ^к-1, ^к+1, ^к+2} абелева, то для нее подалгебру из ¿12 ф {У1, Ур} образовать нельзя. Обязательно, У1 прибавляется к оператору Х10 (или к Хп,п = 1, 2), при

этом ^к+2 содержит Х11, а оператор с Х12 имеет вид Х12 — Х11 + ...( или не содержит Х11).

Просмотр оптимальной системы из работы [3] выделяет следующие подалгебры: 3.2(а=1,Ь=-1); 4.5, 7(Ь=1), 7(Ь=0), 9, 10, 18; 5.5, 7(а=1,Ь=-і), 8(а=1,Ь=-1), 12, 17(а=1,Ь=-1), 21(а=1,Ь=0), 23, 24(а=0), 25, 33, 34, 35, 36; 6.5, 7, 8, 10, 11, 12, 13(а=1,Ь=0), 17(а=1,Ь=0), 18, 19, 20, 20(а=0); 7.5, 6, 8, 9(а=1,Ь=-1), 13(а=1,Ь=0), 13(а=1,Ь=-1), 15,

16(a=0), 19(a=1,b=0), 20(a=0), 21, 21(a=0); 8.5, 7, 9(a=1,b=0), 9(a=1,b=-1), 10, 10(a=0), 11(a=1,b=0), 12, 16; 9.2, 3, 4(a=1,b=0), 4(a=1,b=-1), 5, 6; 10.4.

Например, подалгебры порожденные 5.34 из [3] бывают двух типов {Yi + X3, aXi + X2, X4, Yp + X11, X12} и {X3, Yi + aXi + X2, X4, Yp + Хц, X12}.

Любая подалгебра в алгебре L12 ф {У1,Ур,Ур2} с трехмерной проекцией на Р3 представляется базисом вида Z1 = Xix + ..., ... ,Z = Xik + ..., Y1 + Z+, Yp + Z&+2, Yp2 + Z&+3, где Zfc+1, Zfc+2, Zfc+3 и многоточия есть линейная комбинация базисных элементов из L12, не содержащих Xj1, ... ,Xik. Рассуждения аналогичные тем, которые были сделаны в конце пункта 1, приводят к тривиальным расширениям, т.е. к любой подалгебре из L12 надо приписать операторы из P3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Газовая динамика // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30-55.

2. Хабиров С.В. Неизоморфные алгебры Ли, допускаемые моделями газовой динамики // Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3, № 2. С. 87-90.

3. Макаревич Е.В. Опимальная система подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае уравнений состояния с разделенной плотностью // Сибирские электронные математические известия. 2011. Т. 8. С. 19-38.

4. Сираева Д.Т. Опимальная система 11-мерной алгебры Ли, расширенной коммутирующим оператором // Уфимский математический журнал. 2014. Т. 6, № 1, C. 94-107.

Салават Валеевич Хабиров,

Институт механики УНЦ РАН,

Проспект Октября, 71,

450054, г. Уфа, Россия E-mail: habirov@anrb .ru