Симметричное обтекание тонкого профиля в канале с проницаемой рабочей частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 1987

№ 5

УДК 533.6.071.088

СИММЕТРИЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ В КАНАЛЕ С ПРОНИЦАЕМОЙ РАБОЧЕЙ ЧАСТЬЮ

О. Ю. Стариков

Рассматривается дозвуковое обтекание тонкого профиля без угла атаки в плоском канале, стенки которого являются проницаемыми в области рабочей части. В отличие от работ [1, 2], проницаемость стенок на участках втекания и вытекания газа различна. Уравнение Лапласа для потенциала скорости сводится к задаче сопряжения для аналитической функции комплексного переменного. Скачкообразное изменение краевого условия обусловливает нелинейность задачи. Находится решение для потенциала возмущенной скорости и определяется положение точки перехода зон вытекания и втекания газа.

1. Рассмотрим симметричное обтекание тонкого профиля в прямолинейном канале невязким сжимаемым газом с числом М<1. Рабочая часть канала окружена камерой постоянного давления и имеет проницаемые стенки. Хорду профиля примем за единицу длины. Обозначим: к — полуширина канала; ую — образующая профиля и и у —компоненты возмущенной скорости вдоль осей х и у соответственно, отнесенные к скорости набегающего потока; Ri и — параметры проницаемости стенки на вытекание и втекание газа; р = /1—М=<.

В работе [3] показано, что проницаемость стенки на участке ПС вытекания высоконапорного газа из рабочей части (рис. 1) меныде, чем на участке СВ втекания низконапорного газа из камеры давления, окружающей рабочую часть. Этот факт учитывается при постановке краевых условий для потенциала возмущенной скорости

Р2 чхх + туу = о ; Ту = о ; х < хв, х>хв,

^1 ?х + Фу = 0 ; < х < хс ,

Чх + <ру = 0 ; хс < х<_хв,

у*=к у = к у=к у = 0.

(1)

(2>

Ту= у ■а, (■*); о с * < 1,

Преобразование Прандтля—Глауэрта переводит уравнение (1) в уравнение Лапласа, а граничные условия (2) — в новые граничные условия

: 0 ; х<^л

Ту’

#1 ?Х -Т р Ту = 0; хв < X < хс , ЯзТУ + ?Ту = о ; ХС<Х<ХВ , Уш (х)

х>хв ,

ХС ’ У = Р*

Ь

0 < 1 ,

У = о

(3)

£________£_____у € __у__________3_____________А

Л=0 А-Л; ' Л д"^А2 А=0

Л*

7 Л

7^

Рис. 1

N

ТС2

рл

~П"| | I I I | | [Ч Ч V Ч Ч Ч 1 /■ / / И-] I | | | I | |

А в С п Е

Рис. 2

1 "П I VI11 ^ £

Н

2. Задача (1) — (3) сводится к нахождению по граничным условиям аналитической функции

(О = и — ш , и = ух , V = <ру ,

представляющей собой комплексно-сопряженную скорость. Воспользуемся симметрией течения относительно оси х и будем искать решение на полосе 0с(/<рЛ. Дополним граничные условия (3) соотношением ф„ = 0 на участках *<0, *>1, у—0, тем самым замкнем систему краевых условий и можем единственным образом определить аналитическую функцию в нашей односвязной области. Конформное преобразование

= ехр

т-

переводит исходную полосу на верхнюю полуплоскость. Соответствие точек показано на рис. 2.

Для функции со получаем равенство

йт dw (И и (

“ = — ------------- ------ (ы* — г"Р*) > (4)

йг сИ йг рЛ * *' у ’

где звездочкой помечены величины в новой параметрической плоскости. Граничные условия (3) приобретают вид

а (ц) и* + Ь (м.) и* = с (!х) .

(5)

Функцию “*==«* — /и* продолжим на нижнюю полуплоскость по принципу симметрии Шварца

“* (0 = “* (0 ■

Обозначим предельные значения функции со* на действительной оси в верхней и нижней полуплоскости соответственно

°>+ = ш* (к- + I 0) , о>_ = ([Л — / 0) .

Тогда

<*>+ + <»_ = 2м* ((X) ;

Ш_ — Ш+ = 21V* (ц) .

Используя эти равенства, перепишем уравнение (5) в виде краевого условия к задаче Римана:

+ (и) = о (и) М + ш М ;

-а (у) + 1Ь (н-) _ а ([а) + 1Ь (ц)

2с ((х)

б (н.) = ё ((*) =

а (ц) + 1Ь (ц)

Заметим, что

О ((д.) = | б (|х) | е1 агг 0 (1*) = е‘агг 0 ы ;

arg в ((х) = — я — 2аг<^

Ь (Н-)

+ 2пп ,

а (11)

(п = 0, 1, 2, ...) .

Значения функций О(ц) и а^О(|л) на различных интервалах действительной оси приведены в табл. 1. Выбор ветви функции аг§0(ц) обусловлен затуханием возмущенной скорости на бесконечности.

Функция й’(ц) отлична от нуля только на интервале где она при-

нимает значение

&м=-

Ш

7Г|Л

(8)

У функции 0([х) есть особые точки |Хл, в которых ее аргумент скачкообразно меняет свое значение. Обозначим

Т* = ^ аг8 6 (н-а 0) aгg О (|хй 0).

Значения параметра ук в особых точках представлены в табл. 2.

Таблица 1

Функция рс < Iх < Ро {*£><И- СО [А>0

0((х) 1 — Яз + ^Р Яз + ^Р —+ 1 р К-1 + г'Р 1 1

aгg О (ц) 0 В — я —2а^ — А2 В — 71—2ап^ — Кх 0 0

Таблица 2

к 1 2 3

Рк К хв ехр рл я хс ехр рЛ 71 Хв ехр

На 1 1 р _+_а(с,г_ 1 р 1 р — аг^ —— — аг^ — 71 и 1 1 р -Т-Т«,С18-

Задачу Римана (6) с разрывными коэффициентами решаем известным методом [4]. Канонической функцией задачи является функция

- П (<-р*)т*«Г(,) ,

*=1

где

Г (*)

ио

=— г

2 к1 ,]

1п О (т)

т — t

Решением задачи является функция

... х у) С1__

“*( )_ 2те г J *+(0 (*-<) •

—00 '

Используя равенства (4), (7), (8), выпишем решение для возмущенной комп-лексно-сопряженной скорости:

00

X

Й = 1

При г=х + 1&11 (на верхней стенке) получим

X

I (х) ( кхв Я Х\Т| / %ХС ялЛТа

“(г) = 1?т1ехрТХ -ехрЫ \ехРТГ-ехРут]

/ те Хр те л:\Тз

х \ехр ~р7Г_ ехр-рА/ ’ х<хо>

I (х) I пхв ялЛЬ / пхс теллъ

(г) = (-1)7з12Т(,ехрТТ-ехр^ 1ехр7л“ехр1л) X

тех ял:п\тз

х 1ехр рА- ехр"рТ/ х0<х<хс\

Р2 А / к Хв те Х,\Т1 ! тех кхс

. (г) - (_1)Т3+Тз_ (^ехр -р- - ехр -р) (ехр —к - ехр -щ

/ те X те

х (,ехр"р"л — ехр"рТ) ’ хс<х<хв ;

I (х\ I % х к хпХ<'

»(г) = (-1)Т1+т*+7*-рТЗГ (ехр^-ехр-р^) X

/их те -*(ЛТ» /тел: я -£д\Тз

х\ехр ра_ехр77Г/ 1ехр7А-ехР “I - х>хв< Ути

с\т*

X

/ те£ я АГС\—Тз / те?

1ехрМ + ехр Т/г] 1ехррТ +

На рис. 3 показано распределение возмущенных скоростей « и и при й = 2, #1 = 0,1, ^2=0,4, М=0,6, Хв=—2, хв = 3, полученное интегрированием выписанных уравнений численным методом для профиля уте = 0,05* (1—х). Положение точки хс перехода зоны вытекания в зону втекания газа определялось в процессе счета методом итераций. За нулевое приближение принималась величина ^^=0 (координата носика профиля). Проводился расчет скоростей и(х) и и(х) и определялось положение точки х((), в которой график скорости v(x) пересекал ось х. Координата этой точки выбиралась в качестве следующего приближения для хс. Итерационный процесс продолжался до тех пор, пока не выполнялось условие сходимости вида|х^+1^—

<8, где е — малая величина. При е= 10—3 процесс сходился через 6—8 итераций.

Рис. 3

Если стенки канала целиком проницаемые, то задача упрощается, и ее решение

Л (ЛГ)

“ (*) = -(|)Тз ~ртг ехр

'(2) = (-1)1а+Тз4¥-ехр

/ п X

( -1ТЗ р.

ехр •

71 АГ\Т

А (-*0

« X

ехрТл~ С (6)«

_ еХр Р'А; тс

ехр-

х<^хс ; , *>*с

те лгс\Тз ( \

~рг) ехр 17» л)

На рис. 4 показано распределение возмущенных скоростей для этого случая при тех же значениях параметров М, Л, #2.

Необходимо отметить, что во всех случаях точка перехода вытекания на втекание газа находится перед профилем, следовательно, в области основных исследований преобладает перетекание газа из камеры давления в рабочую часть. Этот факт

следует учитывать при постановке граничных условий для задач об определении

индукции проницаемых стенок на обтекание моделей.

Автор благодарит В. М. Нейланд и А. В. Пилюгина за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маревцева Н. А. Обтекание тонкого профиля в канале с

проницаемыми стенками. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, № 2.

2. Маревцева Н. А. Обтекание тонкого профиля в канале с

проницаемой рабочей частью. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, № 4.

3. И в а н о в А. • И. К расчету граничного условия на проницаемых стенках аэродинамических труб. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, №1.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.

Рукопись поступила 26/У1 1986 г.