Дозвуковое обтекание тонкого профиля в канале с перфорированными стенками Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т ом ХХП 199 1

М2

УДК 533.6.071.088

ДО3ВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ В КАНАЛЕ С ПЕРФОРИРОВАННЫМИ СТЕНКАМИ

С. А. Глазков

Получено решение задачи обтекания профнля идеальной несжимаемой жидкостью в канале, у которого верхняя и нижняя стенки могут иметь различную проннцаемость в зависимости от того, втекает или вытекает газ из канала.

Рассчитаны распределения коэффициента давления на стенках канала и профиле, расположенном под углом атаки на оси симметрин канала.

В работах (1, 2] решалась задача обтекания профиля в канале с перфорированными стенками, параметр проницаемости которых является постоянным на перфорированном участке и одинаков на верхней и нижней стенках. Расчетные и экспериментальные исследования расходных характеристик перфорированных панелей [3, 4] показали, что для одного и того же коэффициента / = 5" 100%, где 5 — площадь отверстий на единицу поверхности, параметр проницаемости Я имеет разные значения для режимов втекания или вытекания газа из рабочей части. Учитывая это обстоятельство, в работе (5] была решена задача

о симметричном обтекании профиля в канале с параметром проницаемости Я, меняющимся скачком в точке нулевого расхода газа через стенку. Для пластины, расположенной под углом атаки в канале, верхняя и нижняя стенки которого имеют различную проницаемость, методом асимптотических сращиваемых разложений получено решение задачи об индукции [6]. Решение получено в предположении, что Ь^Н, Ь — хорда профиля, Н — полувысота канала.

В настоящей работе предложен метод решения задачи обтекания несущего тонкого профиля в канале, стенки которого могут иметь различную проницаемость в зависимости от знака расхода через перфорированную поверхность. В отличие от работ [1, 2], где проницаемость на границах канала задается симметрично для верхней и нижней стенки, предложенное решение более соответствует реальным граничным условиям течения в перфорированных границах.

Предложенный метод решения может быть применен для решения задачи моделирования обтекания профиля в канале с конечными перфорированными участками на нижней и верхней стенках, сообщающимися с замкнутыми камерами давления.

1. Предполагается, что в рабочей части канала осуществляется: потенциальное течение несжимаемой жидкости, верхняя и нижняя перфорированные стенки представляют : канал бесконечной длины. Коэффициенты перфорации верхней и нижней стенки /+ и соответственно, снаружи канал окружен полостью, в которой давление постоянно-(рис. 1). Профиль расположен на средней линии канала, углы наклона контура профиля к оси абсцисс к± (х) считаются малыми (Л+ (х)— для верхней части профиля и Л~(х) — для нижней).

Область й, в которой ищется решение задачи, представляет собой внутренность плоского канала, имеющего ширину Н, с разрезом вдоль-отрезка [О, 1], где расположен тонкий несущий профиль.

В линейной постановке снесением граничных условий на ось х имеем

V (х, +0) = А+(х), V (х, -0) = А-(*) , (1>

где V — возмущенная вертикальная компонента скорости, отнесенная к скорости набегающего потока. Условия на стенках

у = : х £(- 00, х), V = -& И; х £(л^, (0), V = -К+ и;

2 (2) у = — -у-: х Е (— 00, Х2), V=К?: И х Е (х2, (0), V = и , I

где и — возмущенная горизонтальная компонента скорости, отнесенная к скорости набегающего потока, Х1 и х — координаты точек, в которых: расход через перфорацию равен О, К*, &, КГ, К?: — параметры проницаемости, зависящие от коэффициента перфорации /+ и Г, а также от ■ того, втекает или вытекает газ из канала. На рис. 2 приведены результаты исследования проницаемости перфорированных панелей в работе [4].

Рещенце поставленной задачи сводится к отысканию аналитической функции Ф(г) = комплексного переменного г=х+1у в обла-

сти Д удовлетворяющей краевым условиям (1) и (2).

2. Процедуру получения решения разобъем на несколько этапов: ..

а) отыскание в области Б аналитической функции Ь (г) = Ь#_______

—И,, удоэлвТВОРя^щей граничному условию (2) только на линиях.

н

у± = + ~ и не имеющей разрыва на отрезке х£ [О, 1], у = 0.

у -

' л,

v^-e; и и

V

0 "■Ы Д.

■51

Рис. 1

xd'

гл. W"S+t4 (-

ш=іехр (jy

Риг. 2

а) ,

о)

j SГ/ft////////*’/)///f /// J t f t tT? Ят-Г-

о ъ s

' n' "Л; ф=(+і^' ф = -ш2

? і £',

Рис. 3

Положу в плоскости z, ограниченную линиями у± = +

н

конформным преобразованием w = i ехр ^z) переведем в верхнюю полуплоскость w = q + щ (рис. З, а). Для L (w (z)) условия (2) ;на действительней оси в плоскости W имеют вид

^ = 0

5Е (-то»£| (*1), L/ = — R+ Lr; &Е (Є1 (%і), О), L,= -R+ Lr ;

Є Е (О* £2 (х2) ), .L[=Rj lr;

Є Е (Єг (Ха), 00), L/ = R- Lr..

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Выпйшем в Общем виде аналитическую функцйО» L (w):

L (w) = (w — 5j)T* (w)t. (w — Є,)?

P{*o)

a,

Q (®)

тде a — комплексная константа, P(w) и Q (w) — произвольные полиномы с действительными коэффициентами, не зависящие от условий (3.1 — 3.4), yi, Y2> Уз — действительные константы. т „ 9предедим а, ІН 12» 18" При е Е (^2. <*>). ^ == О

L (w)=Lft <L, = |« — S,M e|'"|«-8,f» -§|- а,

ИЗ условия (З.4) а = ехр ( —і arctg R^); при ЄЕ (О, S2), ^ = О

L (w) = LR Е\ |тз| Є/Tt | Є — 62 |i‘ exp (i^T, + i arctg R2" ).

:из условия (3.3)

1і = —• при ЄЕ (Єї, О),

%

■щ =0

L (#) = Lr-tL/ = I 5 - $,|тз| Є |T. I I - ей I* £|L exp (Ifti! + і *12 +

+ i arctg #£■),

из условия (3.2) 12 = (arctg R+ + arctg Rf) + «2, где «2 = — 1,0; при е Е (-00, Ei), = О

L (w) = LR-iL= | \ — £,р*|?|т* | е - ;г|т “j- ехр (i1tYi + i1tl2 + i1tTs +

i arctg R;),

условия (3.1) 13 = -;- (arctg R+ — arctg R+)+«s, где П3 = -1,0;

из

« = «2 = я« = О из условия гладкости решения в случае непроницаемых стенок (Я = О).

(2тс \

— \ в плоскости С=( ' +

I функция I (С (ш (г))) в общем случае имеет ие

I (С (ш (г)) = | I | ехр (ё ?£) , (4).

где ?L = fi.0 + ?*,

?i. = ARG [(iVf- SO73] + ARG[(i lV0T’] +ARG [иУР—62)7] ,

<P* = ARG

р (1 Ур) Q ( 1 -у") .

б) найдем аналитическую функцию И (С) такую, чтобы в плос-" кости С = ехр ^— Е' + i V с ■ двумя разрезами вдоль

действительной оси е'Е (—00, О) и Е'Е [1, й = ехр она удов-

летворяла следующим условиям:

Е' Е (— 00, О) V = + О, 1т И = О , }

(5>

=О ■ I

= -?L> J

;' ЕР, *\ . У=±0, 1т ^= —

а также была ограничена в точках £--+-го, £=0, £=’ 1, £=^.

В общем виде функция Р(£), удовлетворяющая условию (5), имеет

вид:

^(С) =

а Ь 1 к 1 ь1

= с*-* (с __ 1)Т*’ —С)}-*3 (! ?£ (<) -£—(^~-—

1

+ Ро + Pi с

) ■

где кх = 0,1, ^2 = 0,1, кз = О,1, Ро = сомЪ р, = со^^

Отсюда видно, что ни при каких А, условие ограниченности во всех указанных точках выполнено быть не может, как минимум в одной точке из указанных четырех Р(с:р) не ограничена, если не наложено.

дополнительное условие на фь при kl+k2+kз = {д Ро = Р1 = О. Имея в виду свободный параметр <?*, потребуем, чтобы выполнялось условие

S (jJ* vt Vd-t Vt — і J Tl» У_ Vd-t Vt -1 ' (6)

1 1

С учетом этого покажем, что при условии (6) для целых положительных k1( к2, кз, таких, что ki + k2 + кз = { ® р0 = Pi = О, выполняется равенство

. d

Y5YiC-T Vd-C 5 (<PL.+<P.) уттггттттт—г 1

111" 111 = CT*‘ (С - 1)г (d - С)гкз S (^ + ?*) (t -1)k,-2 (d _ .

(7)

Достаточно показать для случая ki= k2=O, кз= 1 справедливость равенства (7), так как остальные аналогичны.

Рассмотрим разность левой и правой части в выражении (7):

{Vd-C / (^ +'»*> Г-Гм№|,-, -

1 .

d ---------- d

~W- S *&£Г(-г} _y /с-i S №, + ?,)X 1 1

Х (/di - V g) Т77-=П~--о=У- y—1 Td-T S (fL.+^*) X

1

*vwStv^rn vx=l ivhi ■ 0=0 ,

что и требовалось показать. Таким образом, при условии (6) искомая аналитическая функция имеет вид

d

F( ■ dt -

(jJ Vt -і Vd -t (t-() ”

в) рассмотрим аналитическую функцию Т (С) = 1 (С) ехр (Р (С». Функция Т (С) имеет разрывы вдоль линии Е ( — 00, 0), ц' = 0 и на отрезке Є' Е [1, */], ч\' = 0. Легко убедиться: Т(С) = Тй— удовлетворяет на линии Е'Е (—00, О), т]' = О условиям, аналогичным' граничному условию (3) для I (С). а на отрезке Є' Е [1, ії], •»)' == О, функция Т (С) ^действительна.

Введем, еще одну вспомогательную фукцию ф' = Ф/Т, тогда с учетом этапов а) и б) для ф' граничные условия в плоскости £ имеют вид:

т' = + 0, Е'Е(—оо, О), 1т ф'± =0; Ч' = ±о, 5' Е [1, *], 1т ф'± =-А± (е)/т± (е)

где знак « + » соответствует верхнему краю разреза, а знак «—»— ;нижнему.

Представим аналитическую функцию Ф' как сумму симметричной и антисимметричной аналитических функций: Ф'= Ф^ + Ф^, таких, что

Фд (е', V) = ИА - i V,, иА (Е', Ч') = - иА (е', -V), ' . ;

Уа (е', 0 = V, (е', -чГ) ;

ф; (е', V) = и5 - ^, V* (е', "I}') = - V* (е', - ч'), и5 (е', Ч')=и5 (е', - V) .

Тогда для Ф^ и Ф^ условие (8) даст

ч' = ±0, е'Е (-00, О), 1т Ф^±=0; ч' = + 0, 6'6(1, <*], 1шФ/ = _(^+ + ^Ц- ■■

\Т+ Т~/ 2

Ч' = ±0, Е'£(-оо, О), 1ш Ф^± = О;

1 = + 0, е' Е [1, *], 1т Ф'± = __(*+ _^|_ ■

\Т+ Т~У 2

С учетом условия Жуковского на задней кромке профиля и ограниченности функции на бесконечности, согласно [7], получим

Фа = - -2т у /е/ (£ + £) /£=? ;

Ф ~ | (£ - Т-)т.. -1- М.®‘

Общий вид решения для Ф имеет вид |

Ф = Гф,

—1 2^

гв|« /«.. | (т++£) /1=! ^ +

+1(т+-Я;?;+«-4

где Мя (С)-полином с действительными коэффициентами. Нетрудно убедиться, что затухающее решение (Ф,-+ О, х..+ 00) может оыть получено единственно при условии Р(да.)/0| (да) = (Лё КС+ 1)- и М,. (С) = Со=сопя\. Величина константы с0 определяется из условия отсутствия полюса в точке С = — ^УА.

Комплексно сопряженная скорость может быть записана в следующей форме:

Ф (С (г» = и - ^ = (- (*• 1-/Е - МТа ('• Уер' (г УС _ О* X

Х ехр [-11С ^ - С /С -1 | (^0 + 'Р*) ур

Л

й

Х '

| Г й+/ехр (^+)-й /ехр +

I I (() I ехр (< (?£.+?*)) (* —У

+ уё 1/7-" Г_____________й+/ехРс^+) + й-/ехР(^УТЕ!______________Л + со! ,

Г С — 1 1 I I (О I ехр (' ('1'/,0 + '1'*) )У* У^ -* (^ — С) )

де

С =ехр(: () » ^ =— ехр (77-X!) , £г == - ехр(Х2

1

р± = - Т ТТТт-ту—чТ—) - *(^+ 'Р*) =

= + ^,—‘(?£„ + СР.), *£ [!, *], . словиях:

/ (^о+?*)^^4туГ_Г<р*=-агс4®(А^): *9Л)

1

| (-«,<А> ,« + (А) х

•/ I I (О I и+Уиг1)

при следующих условиях: й

Х |А | — т/"* + Г (й+/ехр (-Р0)+/г/ехр (А,») У*-1 ^ +

У V ИГ1 +1 ^ I I (О I у! У* — (! + у ТАг|-0

+ Со = 0 , (9.2)

а

ГмоЦТй!) ' +

+ ^ 1 /1+^1. Г -^+(ехр.( Ы, + " /е:ар. ■А°) V* — 1 ^ + Со == о, (9.3)

V 1 1 =^7(7+^

1

й

Г Д+/ехр (—^о) —Л~/ехр (Г0) . _

3 I I ^ |(#+6») а1

е -.,/1 + ^ Г А+/ехр(-А,) + А /ехр (А,) у, П /« ,ч

V пт!. ] ~мI/;к^(*+^г у-ы'+с" “о- <9-4)

прийлаженш ~т ш

^-* \9,1)

А"'

Решен,,! ЛР-л (9,2)

4"'

X

Со^мгтног деш^/ше 86у*ура6нсний (9,3-9,ч)

г(л)

-С/

} > .г^ ..£ "

Рст

I *Г'-*Лк

1х]я,,,-х<п)1!<е

Рис. 4

Условия (9.1) и (9.2) были оговорены выше, условия же (9.3) и (9.4) для определения х и х автоматически. следуют из того обстоятельства, что при прохождении вдоль стенки через точки Х1 и Х2 коэффициент давления и вертикальная компонента■скорости меняют свой знак.

По существу решение задачи сводится к определению. четырех констант А, со, Х1, Х2. Схема решения системы уравнений (9.1) — (9.4) приведена на рис. 4.

Коэффициент давления на проницаемой границе равен

■=-2и=Т°!" ( С (*+' т))

Х

и

х ехр (V /[с] ут=г: уЦ^ТТ |

(»10 +9*) &

V'tVd-tVt (*-£)

X

Х

{ Г Л+/ехр (—^о) — й /ехр (^р) л/ — и ! £ (0 | (0 - О — 1 ±т V, ,

-* /ехр. (^о)_ у.^—у М +- Со 1

I £ (0) I/ о -V а-о (0 - о• }

где

cos (— arctg Я?) cos (— arctg + *1,) cos (— агс^ Я2+ + * : (11 + 7*)) с

. C0S ( — aгctg Я2+ + К (11 +12 + 1з))

с__с /„ ,• Н х > х, | нижняя

с_с (х — Т] Х < Х, } стенка

С (Х + I !!.) х < х, (верхняя

V 2 ]Х > Х1 стенка

Коэффициент давления на профиле равен

с; = - 2и± = I I (С (х + і О»)

х

Хехр-^+^-^С-м/^^—) X VI Г л+/ехр (-Ро) - Г/ехр (Ро) ^ +

Х і] і ^ «) і « -о —

а л

±^ё т/^С Г Л+/ехр (-Р0)~ Л~/ехр (Ро!_ ]/7—у гі* + с0 } ,

- ' У с - і ^ I і (« і V? V** - ? « - С) і

ГдЄ знак « + » — для верхней поверхности профиле а «—» для нижней.

3. ВЫЧиСления давления по стенкам профиля, вып°лненные для сравнения в простейшем случае (симметричное задание граничных уСловий на верхней и нижней стенках, или Н_оо), дали полное совпадение с результатами расчета, выполненного по работам [1, 2 и 5].

На рис. 5 и 6 . представлены расчеты обтекания пластины под углом атаки 3° в канале (Н = 6) в' зависимости от граничных условий на проницаемых стенках.

Ф^-й^-й^О,! -

®яг-О,>,я;*#л*гО, ' ер/2 і ® на «*«№

1 ; ; ’ ■! фя;-к;-й;-ъ-о,1

ф » 0.2.

* 0.5

ф " 1,0 '

® {(;-й;-о,2, й^-к;-о,1 Ф * 0.1, » 0,5

Фй;-й;-й,‘-й;-о,5 » 10

®#-0,5,яМ0 н,‘*н;-м

Рис. 5

Рис. 6

Как следует из работ [3 и 4], симметричное задание на верхней и нижней стенках канала параметра проницаемости Я соответствует различному коэффициенту перфорации этих стенок.

Как правило, в аэродинамических трубах коэффициент перфорации одинаков для верхней и нижней стенок. Как видно из приведенных расчетов, несимметричное задание граничных условий на перфорированной поверхности заметно меняет картину течения. Изменение по длине канала параметра проницаемости на верхней стенке слабо сказывается на распределении давления На границе, а В' области расположения пластины практически отсутствует.

Таким образом, при одинаковом коэффициенте перфорации стенок необходимо учитывать различие параметра проницаемости в зависимости от того, куда течет газ — в канал или из канала. Причем, это существенно только в области непосредственно над или пбд моделью.

Автор благодарит В. М. Нейланд и О. К. Семенову за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. М а £ е в ц е в а Н. А. Обтекание тонкого профиля в канале с прбНицаемыми стенками. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № 2.

2. М а р е в ц е в а Н. А. ■ Обтекание тонкого профиля в канале с проницаемой рабочей частью. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, № 4.

3. И в а И о в А. И. Экспериментальное исследование течения газа вблизи перфорированных стенок трансзвуковой аэрОДиНамической трубы. — Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 13, № 3.

4. Г о р б у ш и н А. Р., И в а н о в А. И., Х о з я е н к о Н. Н. Два метода исследования граничных условий на проницаемых стенках трансзвуковых аэродинамических труб. — IV Всесоюзная школа по методам аэро-физических исследований, Новосибирск, 1986.

5. С т а р и к о в О. Ю. Симметричное обтекание тонкого профиля в канале с Проницаемой рабочей частью.— Ученые записки ЦАГИ, 1987,

Т. 18, № 5.

6. Н е й л а н д В. М. О сопротивлении модели при обтекании идеаль-

ной жидкостью в канале с проницаемыми стенками. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. 17, 6.

7. Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.

Рукопись поступила 2/111 1990 г.