CC BY
07. Вариационные принципы механики (сб. статей классиков науки) / Под ред Л.С. Полака. М.: Физматгиз, 1959.
8. Federico S., Alhasad M. F. Inverse dynamics in rigid body mechanics // Theor. and Appl. Mech. 2022. 49. 157-181.
9. Зубелевич О.Э. Принцип Даламбера-Лагранжа: геометрический аспект // Сиб. журн. индустр. матем. 2020. 23, № 3. 31-39.
10. Poincare H. La Science et l'Hypothese. Paris, 1902 (Science and Hypothesis. N.Y.: The Walter Scott Publishing co., ltd., 1905).
11. Jovanovic B. Noether symmetries and integrability in time-dependent Hamiltonian mechanics // Theor. and Appl. Mech. 2016. 43. 255-273.
12. Jovanovic B. Affine geometry and relativity // Found. Phys. 2023. 53. 60.
13. Jovanovic B., Lukic K. Integrable systems in cosymplectic geometry //J. Phys. A: Math. and Theor. 2023. 56. 015201.
Поступила в редакцию 18.10.2023
УДК 532.528
СИММЕТРИЧНОЕ КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА ПРИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНОГО СТОКА НА ЕГО ПОВЕРХНОСТИ
А. А. Спасова1, С. Л. Толоконников2
Рассматривается задача о симметричном стационарном кавитационном обтекании цилиндра безграничным потоком идеальной несжимаемой невесомой жидкости при наличии точечного стока заданной интенсивности, расположенного на поверхности цилиндра. Аналитическое решение задачи построено отображением областей изменения комплексного потенциала и комплексной скорости течения на область изменения вспомогательного параметрического переменного. Проведен параметрический анализ задачи. Для широкого набора значений числа кавитации и безразмерного расхода стока найдены форма и размеры кавитационной полости, а также значения коэффициента сопротивления.
Ключевые слова: несжимаемая жидкость, кавитационное обтекание, цилиндр, точечный сток.
In the paper, the problem of a symmetric stationary cavitation flow around a cylinder by an infinite flow of ideal incompressible weightless fluid in the presence of a given intensity point effluent located at the front point of the cylinder is considered. The exact solution of the problem is constructed by displaying the areas of change complex potential and complex flow velocity per area change of the auxiliary parametric variable. A parametric analysis of the problem is performed. For a wide range values of the cavitation number, the dimensionless flow rate, the shape and dimensions of the cavitation cavity, and the values of the drag coefficient are found.
Key words: incompressible fluid, cavitation flow, cylinder, point effluent.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-5-7
С целью улучшения аэродинамических характеристик обтекаемых тел на практике широко используются системы активного управления потоком — устройства отбора внешнего потока или выдува струй, способствующие устранению отрыва пограничного слоя, увеличению подъемной силы крыловых профилей и пр. Библиография, посвященная указанной тематике, содержится в монографиях [1-3].
1 Спасова Анна Алексеевна — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Spasova Anna Alekseevna — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics,
Chair of Hydromechanics.
2 Толоконников Сергей Львович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Tolokonnikov Sergey Lvovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Hydromechanics.
© Спасова А. А., Толоконников С. Л., 2024 © Spasova A. A., Tolokonnikov S. L., 2024
(cc)
При теоретическом описании указанные устройства управления потоком часто моделируются точечными или распределенными особенностями, которые находятся на поверхности обтекаемых тел [1, 2].
При кавитационном обтекании тел наличие отбора потока или выдува струй может существенно влиять на форму и размеры кавитационной полости, а также на сопротивление обтекаемого тела. В работе [4] предложен способ возможного существенного снижения силы сопротивления, основанный на подаче из тела струи жидкости, направленной против потока. Было показано, что при обтекании по схеме Кирхгофа сопротивление уменьшается в 2 раза по сравнению с сопротивлением тела без выдува струи, но с сохранением того же асимптотического закона расширения каверны.
В рамках модели идеальной несжимаемой жидкости были получены решения ряда задач о стационарных плоских и осесимметричных течениях с точечными источниками в потоке и на поверхности обтекаемых тел. В работе [5] установлено, что замена встречной струи источником дает хорошее приближение для определения силовых характеристик и формы свободных границ течения. Решение задачи о кавитационном обтекании плоской пластинки с источником представлено в [6]. В работе [7] изучена задача о кавитационном обтекании клина при наличии источника на клине или в потоке. Работа [8] посвящена исследованию влияния гидродинамических особенностей на величину силы и на асимптотический закон расширения осесимметричных полутел конечного сопротивления. В [9, 10] рассмотрены плоская и осесимметричная задачи о кавитационном обтекании тел при наличии источника на теле или в потоке; для случая малых значений числа кавитации получены универсальные, не зависящие от формы тела соотношения между силой сопротивления, длиной и миделем каверны, числом кавитации и мощностью источника. В работе [11] решена задача о кавитационном обтекании пластинки, в центре которой расположен источник или сток, по схеме Кирхгофа. В [12] исследована задача о кавитационном обтекании клина с расположенным в его вершине точечным стоком.
В настоящей работе представлено решение задачи о симметричном стационарном кавитацион-ном обтекании кругового цилиндра радиуса К при наличии на его поверхности точечного стока. Жидкость полагается идеальной, несжимаемой, невесомой. Течение является плоскопараллельным, установившимся, потенциальным. Рассмотрен случай положительных значений числа кавитации. Для замыкания каверны используется схема Эфроса.
Схема течения представлена на рис. 1, а. В передней точке О цилиндра расположен точечный сток заданной интенсивности —Q < 0. Скорость и давление в бесконечно удаленной точке С безграничного потока, взаимодействующего с цилиндром, равны и рсоответственно. Точки 0\ и — критические точки, расположенные на смоченной поверхности ЛОБ цилиндра и равноудаленные от точки О. Линии ЛЕ и БЕ являются свободными границами кавитационной полости. Точка Е — бесконечно удаленная точка возвратной струи, уходящей на второй лист римановой поверхности. Точка Н — критическая точка, расположенная на плоскости симметрии течения. На границе каверны давление и модуль скорости постоянны и равны ро и Уо соответственно. Рассматриваемая схема соответствует положительным значениям числа кавитации Ок = 2(рте — ро)/ру'^>, где р — плотность жидкости.
Рис. 1. Схема течения (а), параметрическая область (б)
Решение задачи строится отображением областей изменения комплексного потенциала и и ком-¿■и
плексной скорости —— течения на область изменения вспомогательного параметрического переменам
ного и, в качестве которого выбирается полукруг единичного радиуса. Соответствие точек физической и параметрической областей указано на рис. 1, а,б. ¿и
Отображение ——(и) строится методом особых точек [13, 14]:
dw {и2 + 2ius'ma — 1){и2 — 2ius'ma — 1){и2 — 1){и2 + h2){u2 + 1/h2)
— {u)=Nv0 U(U2 + 1)(u2+c2)2(u2 + 1/c2)2 ' С1)
где N — некоторая действительная постоянная.
Согласно методу Леви-Чивиты [13], комплексная скорость течения ищется в виде
dw , . ^, . F(,л , (u — ih)(hu — i)(u + i)(u2 — 2iu sin a — 1)
— (u) = G(u)e ( ', G(u) = v0-ttti-9--
dz (u + ih)(hu + i)(u — i)(u2 + 2iu sin a — 1)
(2)
где функция F (u) принимает чисто мнимые значения при действительных u и вследствие симметрии
течения является нечетной. Ее разложение в ряд Тейлора имеет вид F(u) = iA\u--- Н--- — ...,
3 5
где Ai,A3, A5,... — действительные постоянные. Отметим, что входящее в (2) выражение G(u) представляет собой комплексную скорость симметричного кавитационного обтекания пластинки при наличии в ее центре точечного стока.
Из соотношений (1) и (2) находится связь между областями изменения z и u:
1 dz N (и2 + 2iu sin а — I)2 (и2 — 1) (и + ih)2(и + i/h)2 -f{u)
u{u + i)2{u2 + c2)2{u2 + 1/c2)2 6 ' ^
dw
В точке С (и = ic) известно значение —— (ic) = г^, откуда с помощью (2) получаем
= 1 ={c+l){c-h){hc-l){c2-2cúna + l) ( л Аз з Аъ 5 \ vo V1 + (с — 1)(с + К) {he + 1)(с2 + 2csina + 1) PV 1 3 5 "')' У>
Выражение для расхода стока находим интегрированием (1) по бесконечно малой полуокружности вокруг точки O (u = i):
_ Q _ Ж 4тгс4 cos2 a(l -h2)2 q~Rv0~R h2{l-c2Y • ()
Значение функции z(u) после обхода точки u = ic по замкнутому контуру должно возвращаться
dz
к первоначальному. Для этого потребуем Res——(¿с) = 0. Указанное условие приводит к соотношению du
4c + 4 sin a 2c 2 2h 2 2 4c3 „2,4
Для выполнения условий Бриллуэна [13] необходимо потребовать, чтобы кривизна свободных границ в точках A и B была конечной и равной кривизне цилиндра. Это обеспечивается выполнением d dw
= 0 при и = ± 1, которое приводит к соотношению
равенства Re
^ du vo dz ^
1 - Т4^2 - ^--Al + Лз - + ... = 0. (7)
1 + h2 sin a
Полученная система уравнений (4)—(7) для неизвестных параметров N, c,h,a,A\, A3, A5,... не является замкнутой. При выполнении (4)—(7) соотношения (2) и (3) в общем случае определяют
решение задачи об обтекании некоторого симметричного криволинейного контура AOB. Следует дополнительно потребовать, чтобы в каждой точке этого контура его кривизна была равна 1/R, и тогда AOB будет являться дугой окружности.
Получим далее выражение для кривизны контура. Вследствие симметрии течения рассмотрим только его верхнюю половину OA. С помощью (2) имеем
И ni^(e-) v0 dz
A3
= во — А\ cos a + — cos 3<r — A$ cos 5a + ..., (8)
3
в = Re
где в0 = п/2 на AD1 (п — a < а ^ п) и в0 = —п/2 на D1O (п — a < а ^ п).
Используя (3), находим выражение для дифференциала дуги контура: йз =
du( )
d = N 4с4 sincr(sina + sma)2{ti2 + 2frsin<г + l)2 sin<T_fosin3<T+^sinSa-... dj (g) /?2(sin а + l)(c4 + 2c2 cos 2a + l)2
d0 1
В каждой точке контура О А кривизна — — = —, откуда с помощью (8) и (9) получаем соотношение 1s R
N _ (Ai sin а — sin За + sin 5а - .. .)h2(sina + 1)(с4 + 2с2 cos 2а + I)2
■ X
R 4c4 sin a(sin а + sin a)2(h2 + 2h sin a + 1)2 (10)
0—A\ sin<т+4Д sin 3a— 4r sin 5<j+...
xe
которое должно быть выполнено для всех о € [п/2,п].
В частности, для о = п, п/2 и 3п/4 получаем соответственно
N Н2(г2 + 1)4(Л1 — 3Лз + 5Л5 — ...)
R 4c4 sin2 a(h2 + 1)2
N _ h2(l-c2)HAi + A3 + A5 + ...)
(11)
p-A 1--f--f-... /-121
R 2c4(l + sin a)2(h +1)4 ' 1 ;
N = (2 + V2)h2(c4 + 1)2(A! - A3 - A5 + ...) R 8c4 (sin a + %2{li2 + y/2h + l)2
(13)
В дальнейшем используем приближенный метод, успешно примененный в задаче об обтекании цилиндра без особенности [13]. В разложении функции ^(и) ограничимся конечным числом членов и примем, что начиная с некоторого номера Л2т+1 = 0. Выполнения условия (10) будем требовать для конечного числа точек контура ОЛ, причем их количество выбирается таким образом, чтобы полученные условия совместно с соотношениями (4)—(7) образовывали замкнутую систему относительно параметров.
Так, например, для первого приближения, в котором принимаются нулевыми Л2т+1 при т ^ 2, оказывается достаточным использовать условия кривизны для двух точек, например О и Л, и тогда значения параметров N/К,c,h,a,Лl,Лз находятся из системы соотношений (4)—(7), (11) и (12). Если используется второе приближение, в котором в общем случае отличны от нуля Л1, Лз, Л5, то к указанной системе следует добавить соотношение (13).
Расчеты показали, что, как и в задаче о кавитационном обтекании цилиндра без особенностей на его поверхности [13], уже для первого приближения форма контура ОЛ, вычисленная с помощью (3), оказывается с удовлетворительной точностью близка к дуге окружности, а результаты, полученные в первом и втором приближениях, имеют малое отличие. Далее приведены результаты расчетов, выполненные для второго приближения.
Рис. 3. Зависимости относительной длины каверны Ь/К (а) и ее миделя т/Д (б) от <3 при различных значениях 0,3; 0,5; 0,7 и 0,9 (кривые 1-4 соответственно)
На рис. 2 представлены рассчитанные формы границ кавита-ционной полости для двух значений числа кавитации Uk и нескольких значений безразмерного расхода Q. Пунктирные линии 1 соответствуют случаю Q = 0, т.е. обтеканию цилиндра при отсутствии стока.
Расчеты показывают, что рост значения Q приводит к существенному уменьшению размеров кавитационной полости. Положение точек отрыва свободных границ от цилиндра также меняется. При фиксированном значении Q уменыне-ние числа кавитации приводит к увеличению размеров кави-тационной полости.
Дополнительную информацию о влиянии интенсивности стока на размеры кавита-ционной полости дают представленные на рис. 3 зависимости относительных длины L/R и миделя m/R каверны от величины Q для нескольких значений числа кавитации. Длина кавитационной полости L определяется как разность абсцисс точки свободной линии тока AE, в которой касательная к этой линии параллельна оси Рис. 4. Зависимости угла отрыва 7 (а) и коэффициента сопротивле-у, и точки отрыва А. Мидель ния Сх (б) от Q при различных значениях ак: а — 0,3; 0,5; 0,7 и 0,9 m — величина максимального (кривые 1-4 соответственно); б — 0,01; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 и 0,9 (кривые поперечного сечения каверны. 1-7 соответственно)
Суммарная сила сопротивления определяется формулой
X = - J(pnx + pVnVx)ds[2],
где интеграл берется по поверхности 5 клина со стоком, нормаль п направлена в сторону жидкости. Выражение для величины X может быть получено с применением интегральных законов сохранения массы и количества движения [13]: X = ру06 + ру^(у05 + где 5 — ширина возвратной струи в бесконечно удаленной точке. Значение 5 = пК находится интегрированием (3) по бесконечно малой полуокружности вокруг точки и = 0.
Для коэффициента сопротивления получаем выражение
х -------------(н)
Сх -
pv'L R
= VI + (Тк + + 1) + <2j
На рис. 4, а показаны зависимости угла отрыва 7 от СЦ при нескольких значениях а к. Угол 7 определяется как угловая величина дуги О А окружности. Его значения находятся с помощью формулы (8) при подстановке а = тт. Как видно из рисунка, с увеличением С,) значение 7 растет, т.е. длина смоченного участка цилиндра возрастает.
На рис. 4, б приведены рассчитанные с помощью (14) зависимости коэффициента сопротивления Сх от СЦ при различных значения а к. Для всех рассмотренных случаев с увеличением СЦ коэффициент сопротивления возрастает.
В заключение сделаем замечание по поводу возможных ограничений для значений параметров <Tfc и Q. При фиксированном а к > 0 с ростом Q длина каверны монотонно убывает и начиная с некоторого значения Q становится столь малой, что рассмотренную схему Эфроса для таких режимов следует считать нефизичной. Аналогичная ситуация наблюдается и в случае относительно больших значений числа кавитации а^ даже при отсутствии стока.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. М.: Наука, 1994.
2. Ильинский Н.Б., Абзалилов Д.Ф. Математические проблемы проектирования крыловых профилей: усложненные схемы течения; построение и оптимизация формы крыловых профилей. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2011.
3. Шурыгин В.М. Аэродинамика тел со струями. М.: Машиностроение, 1977.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1994.
5. Сотина Н.Б., Фоминых В.В. О моделировании источником тонкой струйки, вытекающей из тела // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1979. № 5. 47-54.
6. Мухина Т.Г. О кавитационном обтекании пластинки с источником // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1979. № 5. 157-161.
7. Сотина Н.Б., Фоминых В.В. Кавитационное обтекание клина при наличии источника в клине или потоке // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1979. № 6. 137-141.
8. Сотина Н.Б. Асимптотический закон расширения каверны при наличии в потоке гидродинамических особенностей // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1977. № 3. 153-155.
9. Петров А.Г., Сотина Н.Б. Универсальные, не зависящие от формы кавитатора соотношения при малых числах кавитации // Журн. прикл. механ. и техн. физ. 1984. № 5. 110-117.
10. Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика. М.: Наука, 2010.
11. Штанько В.А. О струйном обтекании пластинки, в центре которой расположен источник или сток // Тр. НИИ прикл. матем. и механ. при Томск. ун-те. 1976. 7. 120-123.
12. Толоконников С.Л., Спасова А.А. Кавитационное обтекание клина при наличии расположенного в его вершине точечного стока // Чебышёвский сб. 2023. XXIV, вып. 1 (87). 294-303.
13. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.
14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
Поступила в редакцию 27.10.2023
