О новой схеме замыкания кавитационной полости в задаче о влиянии стенок на кавитационное обтекание пластинки в канале Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.528

О НОВОЙ СХЕМЕ ЗАМЫКАНИЯ КАВИТАЦИОННОЙ ПОЛОСТИ В ЗАДАЧЕ О ВЛИЯНИИ СТЕНОК НА КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ В КАНАЛЕ

С. Л. Толоконников1

Решена плоская задача о кавитационном обтекании пластинки потоком идеальной несжимаемой жидкости в канале с использованием новой схемы замыкания кавитацион-ной полости на жидкую область, содержащую диполь. Найдено общее решение, проведен параметрический анализ. Построены зависимости относительных значений миделя и длины каверны от степени загромождения потока при разных числах кавитации.

Ключевые слова: несжимаемая жидкость, кавитационное обтекание, канал, диполь.

A plane problem of cavitation flow of an ideal incompressible liquid past a plate is solved with the use of a new cavity-closure scheme. The cavity is closed by a liquid region containing a source doublet. The general solution to the problem is found, and the parametric analysis is performed. The dependence of the relative length and frontal cross-sectional area of the cavity on the cross-section area reduction ratio of the flow is given for various cavitation numbers.

Key words: incompressible flnid. cavitation flow, channel, dipole.

В работе [1] предложены новые схемы стационарного симметричного (бесциркуляционного) кавитаци-онного обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости. В этих схемах кавитационная полость замыкается на ограниченную замкнутой линией тока область течения, окружающую либо диполь, либо пару точечных вихрей с одинаковой но величине, но противоположной но знаку циркуляцией. Схемы обладают физически оправданными свойствами однолистности и замкнутости течения [1|. Математическим обоснованием упомянутых схем служит описанный в [2, 3] численно-параметрический анализ решений задач о кавитационном обтекании "жидких цилиндров". В работе [1] эти схемы были апробированы в случае кавитационного обтекании пластинки безграничным потоком.

В настоящей работе представлено решение задачи о кавитационном обтекании пластинки длиной l в канале шириной И, ограниченном прямолинейными стенками, с использованием схемы с замыканием каверны на "атмосферу" диполя.

Для других кавитацнонных схем задачи об обтекании пластинки в канале конечной ширины были рассмотрены в [4 6]. Влияние стенок канала на размеры кавитацнонной полости и коэффициент сопротивления в приближенной постановке исследовалось в работе [7].

На рис. 1,а изображена схема верхней (y ^ 0) половины течения. Отрезок KF соответствует половине пластины и имеет длину 1/2. В точке C расположен диполь, ось которого направлена вдоль оси x. На свободной поверхности FBE давление и модуль скорости жидкости равны po, vo соответственно, в бесконечно удаленных точках D и S капала — v^. Рассматриваемая схема соответствует положительным значениям числа кавитации а = 2(рте — po)/pv^, где р — плотность жидкости.

D

К

а

®

В

F

ib

б

с as 1 к F

Е С A S DK

Рис. 1. Схема течения (а) и параметрическая область (б)

Решение задачи строится отображением областей изменения комплексного потенциала ш и комплексной скорости бш/бх течения на область изменения вспомогательного параметрического переменного и, в качестве которой выбирается верхний правый квадрант. Соответствие точек физической и параметрической областей указано на рис. 1,6.

Толокоиииков Сергей Лъоооич tolslOmecli.matli.msu.su.

капд. физ.-мат. паук, доцепт каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail:

Отображения йи!/йи(и) и dw/dг(u) строятся методом особых точек [8] с1ъи и(и — а) (и + а) (и — гЪ){и + гЪ)

Ои^ = (■и - 1 )(и + 1 ){и -з)(и + з)(и - с)2(и + с)2' ( ^

с1ъи . , . (и — а)(и + с)2л/и — к

——{и) = —1У о--—--—, , (2)

¿-г1 7 {и + а){и-с)2^Тк У>

где N — некоторая действительная постоянная.

Из соотношений (1) и (2) определяется связь между областями изменения г и п:

с1г ¿Ж и(и + а)2(и2 + Ъ2)л/и + к -(и) =

du vq (и2 - 1 )(и2 - s2)(u + с)4л/и - к

В точках D (u = 1) и F (u = оо) известно значение dw/dz(1) = dw/dz(o) = v^, откуда с помощью (2) находим

Voo _ 1 _ (1-а)(1 + с)2 /к- 1

Wo УГТ^ (1 + а)(1 — с)2 V Л + 1' ■üoo 1 _(s-a)(s + c)2 I к — s

vo л/TTä {s + a){s - с)2 V к + s

(4)

В точке u = c, соответствующей диполю, функция w(u) не должна иметь логарифмическую особенность, поэтому следует потребовать, чтобы Res dw/du(c) = 0, что приводит к соотношению

1 + -ГГШ + Т^-Л + = 0- (5)

а2 — с2 с2 + Ь2 1 — с2 в2 — с2

Расход в точке О равен и^И/2, интегрирование (1) по бесконечно малой полуокружности вокруг точки О (п = 1) дает

п(1 - а2)(1 + b2)'

оо

/dz il

-¡—(и) du = — находим N = Vol/2J, где du 2

[' и,(и, + а)2(и2 + Ь2)л/и, + к

= .1 (■и2 - 1 )(и2 - 82)(и + сУ^Д^Ъ и~ к

Сравнивая два выражения для константы N, получаем формулу, определяющую отношение длины пластины к ширине канала:

I 1 2.1 (1 — в2)(1 — с2)2

Я УГТ^ 7г(1 — а2)(1 + Ь2)

(6)

Согласно работе [1] необходимо потребовать также конечность кривизны свободных границ течения БЕ и ВЕ в точке В. Это условие обеспечивает выполнение условий Бриллуэна (см. [8]), т.е. отсутствие пересечения свободных границ в окрестности точки Б (однолистность) и требование, чтобы для части течения, расположенной вне замкнутой области, содержащей диполь, модуль скорости жидкости во всех точках, не принадлежащих свободной поверхности ВЕ, бьш меньше Ьо.

Б

d j ídw

du \vo dz

= 0,

u=ib

откуда следует

2 а к 4с

WTti2 + WTW ~ WT^ = ( }

k

Сопротивление пластинки определяется интегрированием давления но поверхности пластинки, коэффициент сопротивления выражается формулой

1 + а

Сх~~Г

(и — а)2(и + с)4(и — к) (и + а)2(и-с)А(и + к)

и(и + а)2 (и2 + Ь2)\/и + к ---—---сш

(и2 - 1 )(и2 - ¿2)(и + с)4у/и - к

Для неизвестных параметров с, а в, к и Ь получена замкнутая система уравнений (3)-(7). Как показал расчетный анализ, при фиксированных 1/Н и а > 0 эта система имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям 0 < с < а < в < 1 < к, Ь > 0.

При этом имеются ограничения на значения 1/Н и а. Так, при фиксированном значении 1/Н число кавитации а > атщ, вде минимальное число кавитации атщ определяется значением 1/Н. При стремле-аа

стремится к течению но схеме Кирхгофа, в котором каверна имеет бесконечную протяженность. При фиксированном числе кавитации значения 1/Н £ (0, (1/Н)тах), где (1/Н)тах зависит от а. При приближении 1/Н к (1/Н)тах течение вырождается в схему Кирхгофа.

На рис. 2 представлены зависимости относительных миделя Н/1 (а) и длины Ь/1 (б) каверны от 1/Н при нескольких значениях а. Длина каверны Ь определялась как расстояние от точки В до плоскости пластинки. При малых 1/Н параметры течения соответствуют случаю неограниченного потока. Для каждого а с ростом 1/Н размеры каверны возрастают, при приближении к (1/Н)тах величина Н/1 стремится к значению, соответствующему схеме Кирхгофа (пунктирная линия), а длина каверны неограниченно возрастает (вертикальные асимптоты соответствуют схеме Кирхгофа).

Рис. 2. Зависимости относительных миделя Н/1 (а) и длины Ь/1 (б) каверны от 1/Н при значениях

а = 0,5; 0,75; 1; 1,25; 1,5; 1,75 (кривые 16 соответственно)

В рассмотренном диапазоне чисел кавитации а ^ 1,75 зависимость коэффициента сопротивления от 1/Н очень слабая. При фиксированном а коэффициент сопротивления с ростом 1/Н убывает, но относительная разность 014) значений для предельных случаев неограниченного потока и течения но схеме Кирхгофа составляет менее 1%. Таким образом, для ук^анного диапазона изменения а коэффициент сопротивления можно считать зависящим только от а, зависимость Сх(а) может быть получена из решения задачи для случая неограниченного потока.

Отметим, что решения аналогичной задачи с использованием других схем замыкания навигационной полости обладают теми же качественными особенностями, что и приведенные в настоящей работе. Рассчитанные значения геометрических характеристик каверны, представленные на рис. 2, и коэффициента сопротивления также; оказываются очень близкими к полученным в работах [4, 9], где использоватиеь схемы Эфроса и Тулина Терентьева.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13 01 00218).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карликов В.П., Толокоиииков С.Л. О возможных схемах замыкания кавитационных полостей // Изв. РАН. Мсхап. жидкости и газа. 2004. № 2. 133 139.

2. Карликов В.П., Толокоиииков С.Л. Струйно-кавитационнос обтекание "жидких цилиндров" // Изв. РАН. Мсхап. жидкости и газа. 2004. № 1. 143 151.

3. Карликов В.П., Толоконников С.Л. Струйно-кавитационное обтекание "атмосферы" пары вихрей // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 6. 22-27.

4. Гуревич М.И. Симметричное кавитационное обтекание пластинки, помещенной между параллельными стенками // Изв. АН СССР. Отделение техн. наук. 1946. № 4. 487-498.

5. Биркгоф Г., Плессетп М., Симоне И. Влияние стенок в кавитационном течении. Ч. 1, 2 / Пер. с англ. Механика. Период, сб. перев. М.: Мир, Т. 1. 1951; Т. 2. 1953.

6. Ву Яо-цзу Т. Кавитационные и спутные течения / Пер. с англ. Механика. Период, сб. перев. Т. 5. М.: Мир, 1973.

7. Карликов В.П., Шоломович Г.И. Метод приближенного учета влияния стенок при кавитационном обтекании тел в гидродинамических трубах // Изв. АН СССР Механ. жидкости и газа. 1966. № 4. 89-93.

8. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.

9. Васильев В.Н. Обтекание решетки пластин с развитой кавитацией // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары: Изд-во Чуваш, гос. ун-та, 1977.

Поступила в редакцию 21.05.2014

УДК 511

ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЦИИ БИНС И ОДОМЕТРА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МЕХАНИКИ КОРРЕКТИРУЕМЫХ

ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ. ЧАСТЬ 1

А. А. Голован1, И. В. Никитин2

Исследуется задача навигации наземного объекта, приборный комплекс которого состоит из бескарданной инерциальной навигационной системы и одометра. Приводятся функциональные схемы решения задачи, их интерпретация с точки зрения механики корректируемых инерциальных навигационных систем. Во второй части работы будет представлено математическое описание собственно алгоритмов интеграции.

Ключевые слова: БИНС, одометр, навигационное решение, схемы интеграции.

The navigation problem of a land vehicle is studied when a strapdown inertial navigation system and an odometer are used. The analysis is done from the viewpoint of mechanics of aided inertial navigation systems. Different functional schemes of integration are analyzed. In the second part of the paper, a mathematical description of integration algorithms will be given.

Key words: strapdown INS, odometer, navigation solution, integration schemes.

В статье анализируются методические аспекты задачи навигации наземного объекта, приборный комплекс которого состоит из бескарданной инерциальной навигационной системы (БИНС) и одометра. Совокупный состав указанной навигационной информации избыточен, что позволяет анализировать различные функциональные схемы решения задачи. Обсуждение возможных вариантов решения задачи, их интерпретация с точки зрения механики корректируемых БИНС важны для приложений, поскольку становится доступной картина алгоритмических решений и их особенностей. Статья предваряет математическое описание собственно алгоритмов интеграции, отражая только методическую сторону задачи. Формальная сторона будет описана во второй части статьи.

Объект и его уравнения движения. Будем использовать терминологию и систему обозначений, принятые в [1, 2]. Под объектом будем понимать колесный автомобиль, на котором установлены БИНС и одометр. За точку M, отождествляемую с объектом, принимается точка, совпадающая с приведенным центром БИНС, под которым здесь и далее понимается положение чувствительной массы пространственного ньютонометра БИНС. Поведение объекта описывается векторным уравнением

X = F (X,U), X (to) = Xo, (1)

где X — вектор состояния, U — внешнее измеряемое воздействие на систему, F — известная вектор-функция.

1 Голован Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aagolovanQyandex .ru.

2Никитин Илья Вячеславович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ilv.nikitinQgmail.com.