ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КАВИТАЦИОННОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

Челябинский физико-математический журнал. 2023. Т. 8, вып. 2. C. 249-260.

УДК 621.455: 629.76.085.5 DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18208

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КАВИТАЦИОННОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

В. И. Пегов

Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, Миасс, Россия e-mail: src@makeyev.ru

Построен алгоритм численного решения задачи кавитационного обтекания тела вращения весомой жидкостью. При совпадении направления силы тяжести и направления вертикального потока возникают новые закономерности кавитационных течений, а образующиеся при этом каверны носят название вертикальных каверн. Для вертикальных каверн возможны отрицательные значения числа кавитации, когда давление газов в каверне превосходит статическое давление в окружающей жидкости на уровне схода струй с тела. Для схематизации течения применена обобщённая схема Рябушинского. Метод решения задачи основан на методе потенциала простого слоя, который сводится к решению системы интегральных уравнений. В процессе решения определяются форма каверны и распределение скорости в жидкости в зависимости от числа кавитации и числа Фруда. Определение формы каверны проводится с помощью метода установления. Примеры расчётов приведены для диска и конусов. Выполнена оценка точности расчётов и проведено сравнение с опытными данными.

Ключевые слова: каверна, метод потенциала, число кавитации, число Фруда, сила тяжести, кавитатор.

При движении подводных аппаратов возможно возникновение кавитации на их корпусе. Достаточно полно изучены кавитационные течения при горизонтальном движении в невесомой жидкости [1-3]. При совпадении направления силы тяжести и направления нисходящего вертикального потока возникают новые закономерности кавитационных течений, а образующиеся при этом каверны носят название вертикальных каверн. Первые систематические экспериментальные исследования вертикальных каверн приведены в работе [4]. В связи с выбором обтекаемых форм подводных аппаратов задача численного моделирования вертикальных каверн является актуальной.

Отличительной чертой развития вертикальных каверн в весомой жидкости является изменение гидростатического давления по продольной оси каверны, т. е. разным по глубине поперечным сечениям каверны x соответствуют различные значения местных чисел кавитации:

2 (Рте - рдх - Рк)

= -772- = а +

рУ2 Рг2(х)'

2(Р00-Рк)

где х — координата рассматриваемого сечения каверны; а = ру2—— число кавитации; Ег(х) = —9= — число Фруда; д — ускорение свободного падения; —

•у 9х

гидростатическое давление; Рк — давление в каверне; У — скорость потока. Для вертикальных каверн возможны режимы течения, при которых давление газов в каверне может превосходить статическое давление в окружающей жидкости на уровне схода каверны с тела. Эти случаи соответствуют отрицательным значениям числа кавитации.

Расчёт осесимметричных вертикальных каверн будем проводить при следующих предположениях: жидкость идеальная весомая и несжимаемая; вызванное течение жидкости — потенциальное; давление на свободных границах каверны — постоянное. При этих предположениях потенциал скорости ^ удовлетворяет уравнению Лапласа

д V + + 1 д^ + 1 д!^. = 0 (1)

дх2 дг2 г дг г2 дв2 ' которое записано в цилиндрической системе координат, и следующим граничным условиям:

— условие непротекания на смоченной поверхности тела шт

ду дп

= V ■ П, (2)

ШТ

п — внешняя нормаль к поверхности тела;

— условие постоянства давления Рк на поверхности каверны шк

Р 1шк= Рк; (3)

— при удалении от тела и границ каверны потенциал ^ стремится к нулю, т. е.

<^(х, г) ^ 0 при л/х2 + г2 ^ го. (4)

Для схематизации течения весомой жидкости примем обобщённую схему Рябу-шинского, согласно которой границы каверны замыкаются на тело конечных размеров (рис. 1). На рис. 1 координата х направлена параллельно вектору скорости У набегающего потока, совпадающему по направлению с ускорением силы тяжести д и с осью симметрии течения, г — расстояние по нормали к оси х.

На рис. 1 также приведены максимальный радиус Як и длина Ьк каверны, измеряемая от кавитатора до сечения х, где достигается максимальный радиус; Яр и хр — радиус и координата х замыкателя; ] — номер расчётной точки. В случае безвихревого движения интеграл Коши — Лагранжа служит для выражения потенциала ^ и давления на границе каверны Рк через скорости ит, У:

д<Рми2 Рк ( , Р- У2

7^ +^ + — д(х - хн) = — + , (5)

дЬ 2 р р 2

где ^ = Ух - ^абс. — потенциал течения при обращении движения; ит — касательная скорость на границе каверны; У — скорость невозмущённого потока.

Введём безразмерные величины

- УЬ _ х _ г - Яр _ ит , .

- = х = - = Я,ЯР = ЯР, ит = 17, (6)

Ян Ян Ян Ян У

2

Рис. 1. Обобщённая кавитационная схема Рябушинского: 1 — кавитатор; 2 — каверна; 3 — замыкатель

и число Фруда

_ их _ и<г _

их = V иг = V' '

рг

р Ян дУ

- а =---

У Ян' У2 дЬ

У

л/2#ЯН

(7)

где Ян — радиус кавитатора. Из интеграла Коши — Лагранжа (5) с учётом соотношений (6), (7) найдём производную по времени от потенциала скорости на границе каверны

ОР ОР н

др 1 , 1

5? = 211 + " + Рг2

+ 2а-р — и

(8)

Будем рассматривать стационарное кавитационное обтекание тела, когда произ-

(д-р дУ \

водные от потенциала и скорости потока по времени равны нулю —^ = = и ,

дЬР дЬР

и из уравнения (8) можно определить точное значение касательной скорости ит на

границе каверны

ит =А/1 + а + ^^ (9)

Далее будем опускать чёрточки над буквенными обозначениями, считая, что в соответствии с приведёнными формулами (6) все величины безразмерные.

Задача для определения кавитационного осесимметричного течения сводится к смешанной краевой задаче, так как на поверхности тела шт задана производная от потенциала (2), а на поверхности каверны шк будем задавать значение потенциала. Действительно, поскольку из равенства (9) известно значение касательной скорости др

и —— = ит на границе каверны, то с помощью интегрирования ит по длине контура ds

s найдём значение потенциала на границе каверны шк:

p(s) = p(sN) + ит(e)de, sN ^ s ^ sp, (10)

J sN

sn и p(sn) — значение длины дуги меридионального сечения s и значение потенциала р в точке схода струй с поверхности кавитатора при s = sn (рис. 1). При этом числа кавитации и Фруда, форму кавитатора будем считать заданными, а форму каверны, распределение скорости ит и потенциала р, радиус Rp и координату xp замыкателя будем находить в процессе решения задачи.

Решение задачи будем проводить с помощью метода потенциала простого слоя, подробно изложенного на примере обтекания тела вращения [5]. По смоченной части поверхности тела и границе каверны распределим источники с поверхностной интенсивностью ц(Р), которая является функцией переменной точки Р поверхности тела шт и границы каверны шк (рис. 1). Выражение для абсолютного потенциала течения жидкости в цилиндрической системе координат x, r, в примет вид

Г

Рабс.(Р) = - -R-, (11)

1 /2

где R = [(x — £)2 + (r cos в — р cos $)2 + (r sin в — р sin $)2] ' — расстояние от расчётной точки Р(x, r, в) до текущей точки Q(£, р, $), dш = pddde — элемент поверхности; е — значение параметра s, характеризующее текущую точку Q поверхности.

С помощью выражения для потенциала (11) и ряда преобразований граничное условие непротекания (2) приводится к интегральному уравнению Фредгольма II рода для интенсивности источников g(s) на поверхности тела

pSM

g(s) = rr' — g(e)Kw(s,e)de, 0 ^ s ^ sn; sp ^ s ^ sm, (12)

J 0

в котором вместо ^(е) удобно рассматривать д(е), связанное с ^(е) соотношением д(е) = 2nr^/V, а ядро K10(s,e) интеграла выражается по формуле

Ko(s, е) = {BE(k2) + x' [K(k2) — E(k2)] }A,

где K(k2), E(k2) — полные эллиптические интегралы второго и первого рода соответственно,

,„2 2rP A =_1_ B 2r[x'(r — P) — r'(x — e)]

(x — e )2 + (r+р)2' v (x — e)2 + (r+р)2' (x — e)2 + (r — p)2

Для нахождения интенсивности источников на границе каверны воспользуемся рассчитанным значением ( на границе каверны (10) и общим выражением для ( в методе потенциала простого слоя [5]

г^ы

((в) = х — д(е)К12(в, в^ ^ в ^ вР, (13)

Jо

в котором К12(в, е) = АК(к2). Выражение (13) будем рассматривать как интегральное уравнение Фредгольма I рода для определения д(е) на границе каверны.

В результате математическое описание задачи сводится к двум интегральным уравнениям Фредгольма I и II рода (12) и (13), которые эквивалентны уравнению Лапласа (1) с поставленными граничными условиями (2)-(4). Для решения задачи систему уравнений (12), (13) необходимо дополнить алгоритмом расчёта формы границы каверны.

Сначала задаётся приближённо форма каверны и затем с помощью метода установления проводится её уточнение. Схема расчёта с помощью метода установления реализуется в виде метода последовательных приближений, где на каждом шаге итераций проводится уточнение цилиндрических координат х, г границ каверны, радиуса Яр и положения хр замыкателя (рис. 1).

Согласно кинематическому условию [2] границу каверны можно рассматривать как непроницаемую поверхность, на которой выполняются условия непротекания (2), и интегральное уравнение (12) можно распространить при этом условии на всю поверхность (смоченную поверхность тела и границу каверны):

д(в) = гг' — д(е)Кю(в,е)&, 0 ^ в ^ вм. (14)

./о

По полученной при решении уравнения (14) интенсивности д можно рассчитать потенциал (3, скорость ит и производную -7—. При приближённом же задании формы каверны д не удовлетворяет интегральному уравнению (13) и производная от потенциала по времени

д( 1 Л х — хн „2 , ^

= 2 1 + а + — Мт), вм ^ в ^ вР,

как и в нестационарном случае, будет отличаться от нуля. Следуя методу установления и исходя из требований динамического граничного условия (3), с помощью интегрирования ^ с шагом по времени к уточним значения потенциала на границе каверны:

(*(в) = ((в) + —к, вм ^ в ^ вр. (15)

Новое значение интенсивности д*(в), соответствующее условию непротекания на поверхности тела (2) и динамическому граничному условию на свободной поверхности (3), найдём с учётом уточнённого значения потенциала (15) из совместного решения интегральных уравнений (12) и (13):

«ы

д*(в) = гг' — I д*(е)Кю(в,е)^е, 0 ^ в ^ в^, вр ^ в ^ вм, (16)

о

Г 8Ы

(*(в) = х(в) — / д*(е)К12(в,в^ ^ в ^ вР.

о

По полученному значению интенсивности 0*(-) рассчитываем составляющие скорости иХ, и* и и*, которые на данном временном шаге удовлетворяют на границе каверны динамическому граничному условию. Потребуем также, чтобы при значениях м£, и* и и* выполнялось на границе каверны и кинематическое граничное условие [2]. Тогда в расчётных точках на границе каверны получим следующую систему дифференциальных уравнений для уточнения координат т, г границы каверны, радиуса и положения замыкателя:

дт* и* ■ дг* и*.

и, и,

т3 = тт3 = , г'- = ^ = —3. (17)

3 д- и*/ 5 д- и*, 1 ;

Составляющие скорости ит,, их, и иг, (^ = Ж, N + 1, ..., Р) в расчётных точках каверны вычисляются по формулам

/«м

0(е)Кп(-з ,е)&,

г' г«м

их, = 1 - 03 — + / ^(е)К1з(8з,е)^е, (18)

г ./о

т' Гм

игз = 03--+ 0(е)Км(-з ,е)^е.

го

Здесь выражения для ядер Кп(-,е), К13(-,е) и К14(-,е) имеют вид

Кп(-,е) = (се(к2) + гг [К(к2) - Е(к2)]) А,

^ , N 2(т - , ^ , ч /2™ ,,2, К(к2) - Е(к2)N Кз(-,е) = 1 ;Е(к2)А, Км(-,е) = Е(к2) + —^-^ А,

г1 г1

С =2[Т'(Т - €) + г'(г - Р)], г2 = (т - £)2 + (г - р)2. г12 1

Интегрируя систему дифференциальных уравнений (17), обеспечиваем выполнение динамического граничного условия (3) на данном временном шаге. Многократное повторение вычислений по формулам (14)-(17) позволяет определить с требуемой точностью координаты т, г каверны и радиус Яр и положение тр замыкателя.

Одним из важных моментов при проведении вычислений является выделение главного значения несобственного интеграла, ядра которого при е ^ - стремятся к бесконечности. Для упрощения всего вычислительного процесса не будем переходить к новым переменным вблизи особой точки, а увеличим плотность расположения узлов интегрирования при приближении к ней. Расположение узлов интегрирования на участке |- - е| ^ определяется при этом по формуле [5]

2

, г -М • 1 о оп

е = - ± 2 ■ 103 - 2г2, г = 1, 2,..., 30,

где знак «-» принимается для точек е^ < -, а знак «+» — для точек е^ > -.

Интегральные уравнения решаются с помощью замены их системой алгебраических уравнений, т. е. методом Фредгольма. Для этого всю длину контура - смоченной части тела и поверхности каверны разобьём на М отдельных участков и в середине каждого участка расположим расчётные точки. Будем предполагать, что

на каждом выделенном участке интенсивность д(е) изменяется по е по квадратичному закону.

Тогда интеграл

гвы

I (^ )=/ д(е)К (в,- ,е)& (19)

Jо

можно представить в виде суммы

м

1 ^) = X] ^ак ),

к=1

где — интенсивность в расчётной точке 5 = ,

а* (з) = / (е)К (з,е)^е+

вк-2

+ / (е)К (5,е)& + (е)К (з,е)&; (20)

ак-1 " ак

2 и 1; 1 и зк, зк и — верхняя и нижняя границы соответственно (к — 1)-го, к-го и (к + 1)-го участков,

(е) = <е — «>_)(е — «»-■) , Дкд.(е) - (е — 5к-)(е — 8к+1)

в ^(е) = (е — зк+1)(е — зк+2)

Последовательно полагая з = з1, з2, ..., зм, например, интегральное уравнение (14) приведём к системе алгебраических уравнений М-го порядка с М неизвестными

м

& = О^ — X дкак к=1

где в формулах (19), (20) будем полагать К(^,е) = ,е). С использовани-

ем формул (19), (20) нетрудно перейти от системы интегральных уравнений (16) к системе алгебраических уравнений М-го порядка с М неизвестными, а также провести вычисление составляющих скорости , , в расчётных точках (18). Система алгебраических уравнений решается методом Гаусса.

Проведём оценку точности численного решения. При рассматриваемом нами безвихревом обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью согласно парадоксу Даламбера главный вектор сил давления потока на тело, а также проекция его на ось х должны быть равны нулю [6]:

= = 0,

где = шн + шк + шз, шн — поверхность кавитатора, шк — поверхность каверны, шз — поверхность замыкателя, — проекция внешней нормали на ось х.

Давление на поверхности ^е определяется согласно интегралу Бернулли по формуле

V2 2

Р = + Р~у(1 + мт) + рд(х — Хн).

в

Проводя интегрирование по поверхности шц, получим следующее равенство:

^ = Ен - Ез + р0Ткав. - Р0(тр - тн)пД2 = 0, (21)

где Ен, Ез — сопротивление кавитатора и замыкателя; ткав. — объём каверны. После введения безразмерных коэффициентов

Е Е г

__н _ ^ з — ' кав.

схн . , схз . , Тк

V2 ' V2 ' кав^ пД3

Р"2" Р^" н

равенство (21) перепишется в безразмерном виде

С _ с »2 + Ткав. тР - тн »2 = о

Схн Схз»р + рг2 »Р

Из последнего выражения следует, что в точном решении при выполнении парадокса Даламбера коэффициент п, записанный в виде

^^Р 'т н с I Р н

хз

Рг

П = -Г"^, (22)

Р (с + ^кавЛ

^Схн + рт2;

равен единице (п = 1.0).

Последовательные вычисления по формулам (14)-(17) (обычно требуется от 3 до 6 итераций) позволяют подобрать форму каверны, радиус и положение замыкателя таким образом, что на смоченной поверхности тела выполняется условие непротекания (2), а на поверхности каверны — динамическое условие (3). Контроль за вычислительным процессом будем проводить по значению коэффициента П, рассчитываемому по формуле (22): достаточная точность расчёта достигается при значении п, близком к единице (п = 1.0 ± 0.025).

Обобщённая схема Рябушинского позволяет расширить границы области применения расчёта осесимметричных кавитационных течений в поле силы тяжести, направленном вдоль оси симметрии тела. Так, становится возможным рассчитывать течения с отрицательными и нулевыми числами кавитации. При задании же положительных чисел кавитации (а > 0) и параметра 1/Рг2 = 0 приходим к течению невесомой жидкости.

Основные примеры расчётов выполнены для диска (вн = 180°) и острых конусов (вн = 120°; 90°). Форма замыкателя в расчётах представлялась также в виде диска (вз = 180°) и острых конусов (вз = 120°; 90°).

Расчёты вертикальных каверн за диском и острыми конусами проведены при изменении числа кавитации от -0.2 до 0.1 и числа Фруда от 5 до 14 (-0.2 ^ а ^ 0.1; 5 ^ Рг ^ 14). Примеры расчёта профилей вертикальных каверн за диском представлены на рис. 2. Из приведённых на рис. 2 профилей каверн следует, что увеличение числа Фруда при неизменном числе кавитации приводит к увеличению размеров каверн, а при неизменном числе Фруда увеличение числа кавитации — к уменьшению размеров каверн.

Примеры расчёта вертикальных каверн за острыми конусами (вн = 90°; 120°) приведены на рис. 3. Для каждого конуса наблюдаются такие же качественные закономерности изменения размеров каверн в зависимости от чисел а и Рг, как и для диска. Для конуса с большим углом раствора (вн = 120°) при одинаковых числах

г/Ян 10 8 6 4 2 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 х/Яи

а)

г/Ян

4

3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 х/Ян

б)

--№7; - №10;

Рис. 2. Примеры расчёта вертикальных каверн за диском: а) а = —0.2; б) а = 0

г/Ян 3

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 х/Ян

а)

г/Яи 3 2 1 0

О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 х/Ян

б)

--№7; - №= 10;

Рис. 3. Примеры расчёта вертикальных каверн за острыми конусами: а = 0;

а) конус вн = 120°; б) конус вн = 90о

а и й размеры каверн получаются больше, что имеет место и для кавитационного обтекания конусов невесомой жидкостью [3].

Для вертикальных каверн при положительных числах кавитации (а > 0) распределение коэффициента давления Р на смоченной поверхности кавитатора слабо зависит от числа Фруда и практически совпадает со значениями, приведёнными в работе [3] для невесомой жидкости. При нулевом числе кавитации (а = 0) и отрицательных числах кавитации (а < 0) Р на поверхности кавитатора также слабо зависит от числа Фруда, поэтому значения коэффициента Р приведены в таблице в зависимости только от числа а.

Диск Острые конусы

вн 180° 120° 90°

а 0 -0.1 -0.2 0 -0.1 -0.2 0 -0.1 -0.2

г/Ян Р

0 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.2 0.99 0.99 0.99 0.91 0.91 0.92 0.78 0.79 0.81

0.4 0.97 0.97 0.97 0.83 0.84 0.85 0.69 0.70 0.72

0.5 0.95 0.96 0.96 0.78 0.80 0.81 0.63 0.65 0.68

0.6 0.92 0.93 0.94 0.72 0.74 0.77 0.58 0.61 0.64

0.7 0.88 0.89 0.90 0.66 0.69 0.72 0.51 0.55 0.59

0.8 0.81 0.83 0.84 0.58 0.61 0.65 0.45 0.49 0.53

0.9 0.68 0.71 0.73 0.49 0.51 0.55 0.35 0.39 0.44

0.95 0.54 0.59 0.64 0.42 0.45 0.45 0.26 0.32 0.38

0.98 0.36 0.43 0.48 0.29 0.42 0.38 0.18 0.24 0.31

0.99 0.26 0.35 0.42 0.05 0.41 0.35 0.16 0.22 0.29

1.00 0 0.10 0.20 0 0.10 0.20 0 0.10 0.20

Рис. 4. Зависимость от параметра 1/¥т2: а) длины каверны Xк; б) максимального радиуса Як каверны

Следует отметить, что используемая нами обобщённая кавитационная схема описывает процесс всплывания тела к поверхности воды, однако она также позволяет интерпретировать полученные результаты расчётов и для случая заглубления тела, имеющего форму замыкателя. Кавитатор же в этом случае приобретает роль замыкателя. Значения числа кавитации а * и числа Фруда Рг* (Рг* = V/ у/2дЯз) при заглублении замыкателя рассчитываются по формулам а* = а +(хз - хн)/Рг2, Рг* = Рг/^Яр. Так, случаю а = -0.2, Рг = 10 (рис. 2, а) соответствует профиль каверны при заглублении диска при Яз = 5.8, числе кавитации а * = 0.47 и числе Фруда Рг = 4.2.

Построены расчётные зависимости длины Ьк и максимального радиуса Як каверны от параметра 1/Рг2 при различных значениях числа кавитации а для диска и острых конусов (рис.4). Здесь в качестве характерного размера принят радиус кави-татора Ян: Ьк = Ьк/Ян; Як = Як/Ян.

На этих рисунках отчётливо видны ранее отмеченные закономерности: при увеличении числа Фруда и соответствующем уменьшении параметра 1/Рг2 при неизменных числах кавитации происходит увеличение длины вертикальной каверны и её максимального радиуса, при увеличении же числа кавитации при неизменном числе Фруда, наоборот, происходит уменьшение Ьк и Як. При одинаковых значе-

ниях числа Фруда наибольшие значения LK и RK приобретают при отрицательном числе кавитации а = -0, 2. Для сравнения здесь же нанесены экспериментальные значения LK и RK, полученные при проливках дисков в вертикальной гидротрубе

[4].

На основании проведённого сравнения для кавитатора в виде диска расчётных и экспериментальных зависимостей LK(a, Fr) и RK(a, Fr) можно заключить о достаточно полном их соответствии, что может служить подтверждением надёжности и достоверности разработанного численного метода расчёта вертикальных каверн.

Список литературы

1. Иванов А. Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л. : Судостроение, 1980.

2. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев : Наукова думка, 1969.

3. Пегов В. И. Численное моделирование кавитационного обтекания тела вращения // Челяб. физ.-мат. журн. 2021. Т. 6, № 4. C. 440-448.

4. ГульневС.И., Капанкин Е. Н. Об особенностях кавитационного обтекания тел вертикальным потоком жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 1975. Т. 6, № 2. C. 56-62.

5. Дегтярь В. Г., Пегов В. И. Гидродинамика подводного старта ракет. М. : Машиностроение-Полет, 2009.

6. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1987.

Поступила в 'редакцию 17.05.2022. После переработки 03.06.2023.

Сведения об авторе

Пегов Валентин Иванович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия; ведущий научный сотрудник, Южно-Уральский федеральный научный центр минералогии и геоэкологии УрО РАН, Миасс, Россия; e-mail: src@makeyev.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2023. Vol. 8, iss. 2. P. 249-260.

DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18208

NUMERICAL SIMULATION OF CAVITATIONAL FLOW OF FLUID

UNDER GRAVITY AROUND A ROTARY BODY

V.I. Pegov

Academician V. P. Makeyev State Rocket Centre, Miass, Russia

South Urals Federal Research Centre of Mineralogy and Geoecology of the Ural Branch of

Russian Academy of Sciences, Miass, Russia

src@makeyev.ru

A created algorithm to solve a problem of cavitational flow of fluid under the gravity around a rotary body is presented. If the direction of gravity coincides with the direction of a downward vertical flow, new laws of cavitational flows arise and caverns generated in this case are referred to vertical caverns. Negative cavitation numbers can appear in the vertical caverns, when the gas pressure in a cavern exceeds the static pressure of surrounding fluid, where jets come off the body. The generalized Ryabushinsky scheme is applied to simulate the flow numerically. The problem is solved with a method based on the potential of simple layer, which resolves itself to solving a set of integral equations. While solving, the cavern shape and the velocity structure in the fluid are defined versus the cavitation number and the Froude number. The relaxation method is used to define the cavern shape. As examples analyses for a disk and a cone are presented. The accuracy of calculations is evaluated, the analytical results are compared with experimental data.

Keywords: cavern, potential method, cavitation number, Froude number, force of gravity,

cavitator.

References

1. IvanovA.N. Gidrodinamika razvitykh kavitatsionnykh techeniy [Hydrodynamics of developed cavitating flows]. Leningrad, Sudostroyeniye, 1980. (In Russ.).

2. Logvinovich G.V. Gidrodinamika techeniy so svobodnymi granitsami [Hydrodynamics of flows with free boundaries]. Kiev, Naukova dumka, 1969. (In Russ.).

3. Pegov V.I. Chislennoye modelirovaniye kavitatsionnogo obtekaniya tela vrashcheniya [Numerical simulation of cavitational flow around a rotary body]. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2021, vol. 6, no. 4, pp. 440-448.

4. GulnevS.I., KapankinE.N. Ob osobennostyakh kavitatsionnogo obtekaniya tel vertikal'nym potokom zhidkosti [On features of cavitation flow around bodies by vertical fluid flow]. Uchyonye zapiski TsAGI [Scientific notes of Central Aerohydrodynamic Institute], 1975, vol. 6, no. 2, pp. 56-62. (In Russ.).

5. Degtiar V.G., Pegov V.I. Gidrodinamika podvodnogo starta raket [Hydrodynamics of rocket launches from underwaters]. Moscow, Mashinostroenie / Mashinostroenie-Polyot, 2009. (In Russ.).

6. Loytsiansky L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of fluids and gas]. Moscow, Nauka, 1987. (In Russ.).

Article received 17.05.2022.

Corrections received 03.06.2023.