Пульсации вертикальных каверн в тяжелой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И АГ И

Т о м XII

1 9 8 1

№ 3

УДК 532.5

ПУЛЬСАЦИИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ КАВЕРН В ТЯЖЕЛОЙ жидкости

Э. В. Парышев

Рассмотрена задача об устойчивости и пульсациях тонкой осесимметричной вертикальной каверны, наполненной упругим газом, в тяжелой жидкости. Исследовано линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с запаздывающим аргументом, описывающее малые колебания каверны в предположении, что масса газа в каверне постоянна. Проведено сравнение результатов расчетов с некоторыми экспериментальными данными.

Несколько лет назад Г. В. Логвиновичем [1] была разработана

приближенная теория расчета тонких осесимметричных каверн в произвольных переменных полях давления. Она позволяет рассчитать контур каверны, если известны закон движения кавита-тора и значения давления на бесконечности и в каверне. В частности, из нее следует, что площадь 5 поперечного сечения каверны, связанного с неподвижной жидкостью, изменяется согласно уравнению

где рт — давление на бесконечности для рассматриваемого сечения, рк — давление газа в каверне, р —плотность жидкости, К— постоянная, определяемая формой кавитатора, t■—время.

На основе этой теории автором была получена система нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающих изменения объема и давления газа для произвольной нестационарной каверны [2]. С использованием этой системы была рассмотрена задача об устойчивости и пульсациях каверны в невесомой жидкости в предположении, что масса газа в каверне постоянна. Было получено и исследовано дифференциальное уравнение третьего порядка с запаздывающим аргументом, описывающее малые колебания такой каверны [3]. Несмотря на столь сильное допущение, как постоянство массы газа в каверне, удалось получить хорошее согласование с известными экспериментальными данными.

В настоящей работе аналогичный подход применен к вертикальным кавернам в тяжелой жидкости.

(1)

/

1. Постановка задачи. Рассмотрим вертикальную осесимммет-ричную каверну, образованную обтеканием неподвижного кавита-тора нисходящим (или восходящим) потоком тяжелой жидкости с постоянной скоростью У (рис. 1). Давление в невозмущенном потоке (т. е. в отсутствие кавитатора) на уровне кавитатора будем считать постоянным:

рн = const.

Введем две вертикальные координаты, направленные по потоку: координату h, связанную с жидкостью, и координату х, связанную с кавитатором. Для кавитатора координата * — 0, координата h = H; место замыкания каверны имеет координаты х = 1, где I — длина каверны, h = h3iu. Очевидно, что

x — h — H.

Давление в невозмущенном потоке (давление на бесконечности) в сечении с координатой h

Poo (h) = Рп± ?gx = рн ± pg (h — И}, (2)

где ¿- — гравитационное ускорение, знак „4-“ берется для нисходящего потока, знак „ — “ для восходящего.

Предполагается, что масса газа в каверне постоянна. Требуется найти условия устойчивости и характеристики пульсаций каверны.

2. Уравнения с запаздыванием для вертикальных каверн в тяжелой жидкости. Поведение произвольной нестационарной каверны описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с переменной величиной запаздывания [2]:

Q —

к_

р

( Рсо (h, t)dh-f- — Рк (t) I + h

H

+ So V2 - V [ST (I) - S0] - VS'r (/) І,

dS (h3aM,

dt

+

dS (Лзам> t) dt

VS'T(l)

OS (/¿зам* 0 dh

■SrT (I)

(^заш О

дЬ

дБ (/¿зам* О

К_

?

[ Д/> (¿зам, ■») й1>, ¿—г

ал

= 50

1>(/ —т) т

К(г-т)

< и

I я*

(^замэ £ т) т

У(* —с)

+ и

^со (^зам>

/ = л

зам т = 1

дк -с <—т

#Ь= — I/,

я, / = /г,я

dvdu

\

:+1Л

К(«-х) ’

Ар (/г, г) =Роо(Н, ¿) - рк (¿),

5г =5г (х),

та — ту — сОр" псО)р“-1

Здесь Q —объем газа в каверне (между границей каверны и

замыкателем, помещенным в каверну); £■(,, 50 — постоянные, опре-

¿5

деляемые видом кавитатора (50 — площадь кавитатора, 50 =

при х = 0); 5г—площадь поперечного сечения замыкателя; 5г — ¿5Г (дг)

= —^—; £ — - — момент образования хвостового сечения (имеющего координату Лз,,,); т„, ту — секундный массовый поддув и унос газа из каверны; с — постоянная; 1 [п— показатель политропы. Две последние величины связаны с предположением о баротроп-, ности газа в каверне [4]:

Рк = СРк,

где рк—плотность газа.

В уравнениях (3) и далее точка над символом означает полную производную по времени.

Для рассматриваемого случая:—вертикальной каверны в тяжелой жидкости при постоянной скорости потока и постоянном давлении на бесконечности на уровне кавитатора в предположении, что замыкателя в каверне нет и поддув и унос газа отсутствуют, — система (3) упрощается:

$=- у- [р. ± ■4- ?§1 -л <о] у+4ам +5;

^зам —

(/?зам*

д1

(^зам» О дк

№зам» О

дЬ

(^зам> О

¿-«С

дН

н — — V,

К

Рн±-9~ Рё1 — РкУ~ ')

I = уч = Лзам — Н, Qpк = const.

Сравнивая уравнения (4) с аналогичной системой, полученной в работе [3] для невесомой жидкости, видим, что учет весомости

_ 1

приводит к появлению дополнительных членов вида +“2“ Рё^ добавляемых к давлению рн.

Нелинейная система (4) описывает колебания вертикальной каверны с произвольной (в пределах применимости принятой физической модели [2]) конечной амплитудой. Для исследования устойчивости линеаризуем систему, считая амплитуду колебаний малой. Обозначим параметры каверны в положении равновесия через <30, рк о, Ьр0=рн—рк0, /0, х0 = /„/!/. Тогда

Рк = Рк0 + ЬРк, Q = Qo + ^0 4~ (5)

где 8 рк, о С}, 8/ — малые величины.

Подставляя (5) в систему (4) и пренебрегая членами второго и более высоких порядков малости, получим линеаризованную систему, соответствующую малым колебаниям каверны (значок 8 опускаем):

КУт. 1 Л

0. = ~Т*-[Рк (04-/>к(*-*о)] —-^г- I РкМ^, (6)

пС?оРк+ рк0<3 = 0-

Оказывается, что после линеаризации из уравнений исчезают члены, связанные с весомостью жидкости, и уравнения (6) полностью совпадают с соответствующими уравнениями для невесомой жидкости [3]. Однако это не означает, что весомость не сказывается на устойчивости и пульсациях вертикальных каверн. Она влияет на объем (30 и длину /0 каверны, а от величин <30 и /0, как будет показано ниже, зависят условия устойчивости и характеристики пульсаций каверн.

Далее, поступая аналогично случаю невесомой жидкости [3], получим из системы (6) дифференциальное уравнение с запаздыванием для давления рк

р1 (0 + А (¿) + р'к (7— — -4- Рх (*) + Рк О — хо) = 0. (7)

'о т0

Здесь знак означает производную по безразмерному времени ¿=4-, где Т—1/^1 .--Р.. — масштаб времени.

1 ' Рк 0 А И-Со

Уравнение (7) имеет единственный определяющий параметр — безразмерную величину _________

т0 | / РкО *'(> то = ^=|/ -7^7^- (8)

Уравнению (7) соответствует трансцендентное характеристическое уравнение [5]

А3 + X (1 + е-Ъ) — -¿г- (1 — е-йо) = 0, (9)

имеющее бесконечное множество корней. Анализ уравнения (9)

проведен в [3].

3. Условия устойчивости и пульсаций каверны. Из сказанного выше ясно, что уравнения малых колебаний каверны (6), (7) остаются точно такими же, как в случае невесомой жидкости. Таким образом, в рассматриваемой постановке (масса газа в каверне

постоянна) динамические свойства вертикальных каверн в тяже-

Рис. 2

лой жидкости и каверн в невесомой жидкости оказываются одинаковыми, а именно [3]:

1) существует единственный безразмерный параметр т0, определяющий устойчивость и колебательные свойства каверн. При 'го<С'1С1/Г2 каверны устойчивы, при г0>тг1/2—колебательно неустойчивы;

2) безразмерная круговая частота колебаний <» = юТ является функцией параметра т0. Зависимость <о (т0) имеет вид разрывной пилообразной кривой с шагом „пилы“ ~2тс и средним значением <о « 1 (рис. 2);

3) колебания давления газа приводят к деформациям каверны в виде волн, бегущих по ее границе. Отношение УУ=/0//в— длины каверны 10 к длине волны 1В близко к целому числу и скачкообразно меняется при непрерывном изменении параметра т0 (рис. 3).

Разница между случаями тяжелой и невесомой жидкости проявляется только в различии физического смысла' параметра т0.

4. Физический смысл параметра т0. Формула (8) дает для г0 выражение через объем и длину каверны, которое является одинаковым как для невесомой, так и тяжелой жидкости. Если же

геометрию каверны связать с числом кавитации, то представление для -t,, в этих случаях окажется различным.

Для невесомой жидкости было получено [3]:

(10)

2рк о 2Д/?о 2/?н

где ак = , а —-------число _ кавитации; ал = —^------паро-

вое число кавитации. Здесь числа а и ал вычисляются по давлению на бесконечности ра, которое в данном случае одинаково для всех сечений.

Аналогичный результат можно получить для тяжелой жидкости. Для этого воспользуемся интегралом уравнения (1), который имеет вид [2]:

t U

S(h, t) = S0 + So V(t{)(t— t,)— — j j Д/7 (h, V) dvdu. (11)

р и n

Здесь v, и — переменные интегрирования, tl — момент образования сечения с координатой h, t1 = ti(h). При фиксированном t уравнение (11) дает контур каверны S (/г).

Определим контур стационарной вертикальной каверны в тяжелой жидкости. Для стационарной каверны рк — const. Принимая выражение (2) для внешнего давления, в котором х (v)= V (v -tx), и выполняя интегрирование в (11), получим

SW = 50 + 5^--^(a/70±J-p^). (12)

Выражение (12) содержит разность давлений на бесконечности и в каверне Д/?0 = /7н — рк, относящуюся к сечению на уровне кави-татора. В других сечениях внешнее давление и разность Др будут другими.

Пусть каверна замыкается на цилиндрическое тело (например, штангу, удерживающую кавитатор) с площадью поперечного сечения ST. Тогда объем, занимаемый газом, будет

'1 ^3 / л

Qo = jIs (х) - St ] dx — (S0 — St) /0 + ~y s'o /о - (дРо± №lo)-( 13)

Добавим сюда условие замыкания каверны на теле

5 (/„) = Sr = S0 + 5; /0 - -0^ (др0 ± ± Р£/0) . (14)

Совместно (13) и (14) дают

Qo = ^(S0~Sr)l0+1!~r2 (д/>о±4'Р^о)- (15)

В случае малых чисел кавитации и достаточно тонкого замы-

кателя, в том числе при свободной каверне (5У = 0), первым слагаемым можно пренебречь в сравнении с объемом Q0. Тогда

j2p v2 (Д)Ро — ~2~ ^0) ’ и выражение (8) принимает вид

12 ~ рк0 ■ _ /г 12 рк0 /юч

" АРо ± 4" №‘о

к

Рн + —¡j- Pg ¡0 — Рко

V10/

В отличие от (10) здесь к разности Д/?0 добавляется перепад гидростатического давления на расстоянии, равном полудлине каверны (со знаком „ + “ при нисходящем потоке и со знаком „ — “ при восходящем потоке). Иными словами, параметр вычисляется

по внешнему давлению р<х=*рн + Рё^о> взятому на середине

длины каверны. В этом и состоит основная особенность вертикальных каверн. Аналогично (10) можно записать

Г _ л/ 12 ^ 12 °К = л[_Ц_ / °пср \

‘° V П Дрср У п чер V П аср ~1) .

где индекс „ср“ означает, что данная величина вычисляется для сечения, расположенного на середине длины каверны:

Д/^ср------Рн + 9 9gk рко, °ср —

уср Ун _±_ 2 гб 0 ГКО’ ср —у

- ' , \

1

Рп± ~2 Зп ср — 1

ср

2

Приведем для вертикальных каверн еще некоторые соотношения, которые могут быть полезны.

Найдем длину стационарной каверны (для определенности возьмем случай нисходящего потока). Исходя из тех же соображений, которые позволили в (15) пренебречь членом (50 — 5Г) /0, примем в (14) 50^5г, после чего найдем

/_ ЗА,0 / 9^ «¿У»

'■ 2Р^ + К 4Р^2 + ^ *1/'

Для кавитатора в виде кругового диска известно [1], что

К = ^, = (18)

где Сх — коэффициент сопротивления кавитатора, #н — радиус кавитатора, а — „константа потенциала“, а «1,5.

С учетом (18) выражение (17) принимает вид

/ _ ЗДА , \[ 9А^0 ЗаЯиУ»

■° —■ 2Рё- ^ V 4р2 ¿»’Г е.

или, в безразмерной форме, /о 3

срг+/-^а2рг2+^ • (19>

Здесь а — -.------число кавитации в сечении на уровне кави-

татора, Иг = У!У^ ~ число Фруда по диаметру кавитатора ¿£=2/?н. Зависимость

/(0Рг) = -4-аРг-ь/-^^Рг2+^-

приведена на рис. 4; она представляет собой монотонную убывающую функцию произведения о Иг.

где рн

Выражение (16) для т0 приведем к виду

<.= V-

Рн

12 2рн — срг2

о Рт2 ± 10

(20)

Р ё<1

1о — А) /

В случае кавитатора-диска в нисходящем потоке выражение (20) с учетом (19) может быть представлено в виде

Функция

V

2рн — а Рг2

Рг [а Рг+/(а Рг)] 1

(21)

/а Рг + / (а Рг)

приведена на рис. 5. Она сравнительно слабо меняется с изменением а Иг, имея максимум около 0,85 при арг =--------^=~. Из форму-

лы (21) видно, что основным параметром, определяющим величину т0, является число Фруда (при заданном давлении рн на бесконечности на уровне кавитатора). Чем меньше величина Иг, тем больше значение параметра ^0> тем большее количество волн укладывается на длине каверны (см. рис. 3) и тем они относительно мельче.

5. Сравнение с результатами эксперимента. Экспериментальные материалы по пульсациям вертикальных каверн чрезвычайно ограничены. Специальных экспериментов в этом направлении, насколько известно автору, не проводилось. Некоторые данные

можно получить из опытов С. И. Гульнева и Е. Н. Капанкина [6], которые проводили эксперименты с вертикальными кавернами при стационарных внешних условиях (скорость V потока постоянна, давление рн в невозмущенном потоке на уровне кавитатора постоянно), соответствующих постановке рассматриваемой задачи.

В ряде опытов на фотографиях обнаруживаются волны на поверхности каверны, имеющие более или менее регулярную форму, которые можно рассматривать как проявление пульсаций давления газа в каверне. Фотографии являются единственным источником сведений о пульсациях каверн в этих опытах, так как переменная составляющая давления газа в каверне не регистрировалась. Следует, однако, заметить, что в основном эти волны не столь четко выражены, как в опытах с горизонтальными кавернами в гидроканале, и хуже поддаются расшифровке. Частично это связано с весьма малой длиной волн — 10-—15 мм).

Для сравнения предлагаемой теории с экспериментом применялась следующая процедура. По фотографиям определялась длина волны 1В на поверхности каверны и находилось число волн УУ=/в//в, укладывающихся на длине каверны 10, которое сравнивалось с теоретической ступенчатой кривой рис. 3. Значения параметра т0 для экспериментальных точек вычислялись по формуле (20), в'которой величины рн, а, Иг и /0 брались из опытов (показатель политропы 4 = 1, что соответствует изотермическому процессу).

Основная группа экспериментальных точек вполне удовлетворительно согласуется с теоретической зависимостью. Наиболее сильное отклонение дают точки с малыми значениями произведения с/Рг, которым соответствуют наиболее короткие волны (—10 мм). В целом проведенное сравнение имеет скорее качественный характер, что объясняется, в основном, невысокой возможной точностью расшифровки длин волн по фотографиям, а также малым количеством экспериментальных точек. На рис. 4 приведено сравнение теоретической длины каверны, даваемой формулой (19), с экспериментальными данными, которое показывает их хорошее совпадение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Логвинович Г. В. Вопросы теории тонких осесимметричных каверн. Труды ЦАГИ, вып. 1797, 1976.

2. Парышев Э. В. Система нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающих динамику нестационарных осесимметричных каверн. Труды ЦАГИ, вып. 1907,

1978.

3. Парышев Э. В. Теоретическое исследование устойчивости и пульсаций осесимметричных каверн. Труды ЦАГИ, вып. 1907, 1978.

4. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. 1. М., Физматгиз, 1963.

5. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

М., „Наука“, 1971.

6. Гульнев С. И., Капанкин Е. Н. Об особенностях кавитационного обтекания тел вертикальным потоком чжидкости. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VI, № 2, 1975.

Рукопись поступила Ь\1Х 1979 г-