CC BY
31
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XV 198 4
№ 3
УДК 532.528
ОБ УНОСЕ ГАЗА, ОБУСЛОВЛЕННОМ ПУЛЬСАЦИЯМИ КАВЕРН
В. М, Лапин, Л. А, Эпштейн
Рассмотрена теория уноса газа за счет пульсаций плоских и осесимметричных каверн. Проведено сопоставление расчетов по предлагаемой схеме для плоского случая с экспериментами Сильбермена и Сонга. Показано удовлетворительное согласование теории и эксперимента.
В начале 60-х годов при исследованиях искусственных каверн, образованных за счет подачи в них воздуха или иного газа (вентилируемые каверны), были обнаружены [1] пульсационные режимы, при которых граница каверны на снимке с очень малой выдержкой имеет волнообразный характер. На рис. 1 приведена фотография каверны такого типа. Теоретическим и экспериментальным исследованиям пульсирующих каверн посвящено значительное количество работ [1—5], выяснивших ряд аспектов этого интересного явления.
Теоретическое рассмотрение, как правило, ограничивается изучением частоты процесса и отысканием условий его возникновения. Опытами установлено, что на длине каверны может располагаться различное целое число волн, что волны, если число их больше двух, бегут по каверне со скоростью их набегающего потока, что переход от режимов с числом волн п к режимам с числом волн /2+1 происходит скачкообразно.
Экспериментально определены расходы газа на пульсирующих режимах, измерены пульсации давлений в кавернах, высказаны различные соображения о расходе газа из каверн. Авторы отмечают порционный характер этого уноса. В [4] унос связан с периодическим отрывом
Рис. 1
вихрей и действием обратной струйки. В [2] полагается, что максимальный объем порций равен объему каверны, деленному на число пульсаций. Вудс [3], рассматривая пульсации каверн в плоской задаче для безграничной несжимаемой идеальной жидкости, рисует картину отрывающихся порций, но связывает унос газа со средним потоком массы, переносимой пузырьками в следе каверны.
В настоящей работе для плоских и осесимметричных течений предлагается теория уноса той части газа, которая обусловливается пульсациями. Расчеты по этой теории, относящейся к плоским кавернам, сравниваются с известными опытами [1].
1. Рассматриваемый в статье механизм потери газа из пульсирующей каверны может быть установлен только из того факта, что при пульсациях по каверне распространяются со скоростью Ыоо волны длиной А. При проведении дальнейших расчетов будем также полагать, что в соответствии с опытными данными на стационарной длине Ьк каверны укладывается приблизительное целое число п таких волн *. Длину каверны в произвольный момент времени обозначим Ь. Все рассмотрение будем пока вести применительно к плоской задаче для малых чисел кавитации а при отсутствии влияния силы тяжести.
Рассмотрим тонкую каверну, образованную кавитатором, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с размерами каверны. Аппроксимируем контур стационарной каверны полуволной синусоиды
Система координат и обозначения показаны на рис. 2.
Рис. 2
По границе каверны бегут волны со скоростью набегающего потока Иоо. Амплитуда е волн сначала нарастает, а затем остается постоянной и в области конца каверны
8 =
г
где е — малая величина.
Уравнение границы на участке, где е^согЫ, можно записать в виде
йк
2
2л
¿К
Є БІП -г- (X — Иое /)
* Это допущение непринципиально, но в ряде случаев упрощает выкладки.
В области конца каверны введем новую переменную определяемую соотношением
x = (2)
При этом профиль бегущей волны продолжается на малом интервале LK<x<LK{l + |) в соответствии с фотографиями экспериментов [1]; средняя линия волны прямолинейна и имеет наклон, равный наклону стационарного контура при x = LK. Вводя также величины
y=y¡(BJ2y, n = LJl\ » = 2im; / = и///,к> (3)
можно для целых п привести (1) к виду
у — — sin rcí + s.sin 0> (í — í) ,
или с учетом малости |
у = — rcf -f s sin ш (\ — i) . (4)
Введем величину
г = ш (1 — t) ; (5)
тогда из (4) получим
у ni ÍR\
=------------- S)n z. (6)
S WS £
Длина L каверны в любой момент времени I определится из условия У = 0:
• Jv . ТС , /
япг = —г + —/ . (7)
тег £
Это трансцендентное уравнение удобно решать графически. Левая часть в виде синусоиды всегда одна и та же, а правая определяет
прямую с угловым коэффициентом а = А? а начальной координа-
шг
той b •=-j-t. Определив точку пересечения прямой и синусоиды
при фиксированных ш, е и различных t по формулам (2) и (5), находим I и L.
В процессе перемещения бегущей волны существует режим, при котором уравнение (7) имеет при одном и том же значении i\ два корня gi и |г, причем один из них соответствует точке касания бегущей волной оси каверны. В этот момент от каверны отрывается порция с площадью AS. Значения этого корня-|i и соответствующего момента времени ti находятся из системы уравнений
COS = —г , Sin Zx = Ar {zx -f- U)íi),
ШЕ 0)2
откуда
Zj = arccos —_ , tt = — I ~\f (— 1 — arccos Ar . (8)
cos L r \ 71 / 0)2 J
Используя (5) и первое из равенств (8), находим
/ (т)-' ■ (9)
Из (9) следует, что режимы, для которых существует корень, соответствующий касанию, т. е. отделению порций, определяется условием *
~ > 1 или 's > . (10)
С-учетом (2), (3) и (4) площадь (величина) порции
ДS = £?K¿K | ydl
т
Замечая, что площадь SK непульсирующей каверны
L.,
SK = 2fyKdx~A-BKLK
о
введем относительную площадь порции
Перейдем в (11) к переменной г. Используя (5) и (6), получим
(12)
*5=4-4-
2 w
! - i <■*+“*>>+а»*]äz ~ i- -=-/■ (сг) >
так как стоящии в правой части интеграл содержит подынтегральные выражение и пределы [см. (7), (8)], зависящие в момент отрыва порции
только от величины Ат ; это следует из того, что величина отсекаемой
0)£
от синусоиды sin z порции определяется только наклоном прямой, уравнение которой дается первым членом подынтегрального выражения.
* Механизм уноса в случае, когда условие (10) не выполняется, в статье не рассматривается.
Универсальная зависимость величины Д5 от одного только па-
£
раметра -?г показана на рис. 3 (кривая 1).
Таким образом, если известны частота со = 2л п, амплитуда е и размеры Вк и Ьк пульсирующей каверны, то по формуле (12) и универсальному графику (кривая 1 на рис. 3) можно найти площадь порции Д5 = А5-5К, после чего объемный (на единицу ширины) расход <3 ¡можно, очевидно, определить, умножив А5 на частоту отрыва / = :
¿к
Массовый расход получим, умножив на плотность газа, соот-
ветствующую давлению в каверне в момент отрыва порции.
2. Результаты расчетов расхода газа по изложенной выше теории были сопоставлены с измерениями, проведенными в [|1]*. Так как для расчетов требуется ряд сведений, то при сопоставлении использовались только те режимы из ![1], где помимо расхода и чисел кавитации о и (т„ были приведены все необходимые данные и, в частности, фотографии каверн, по которым определялись число волн, размеры каверн, амплитуды пульсаций и т. п. (см. таблицу). Подписи под фигурами содержат сведения о скорости потока и частоте. Для сопоставления расчета и эксперимента использовались шесть фотографий (см. [1], фиг. 9, с, д, е). Результаты обмера фотографий, пересчитанные на натуру, приведены в таблице, к9торая содержит и все другие сведения, необходимые для расчета расхода газа. В таблице обозначено: р«,, рк, Рь — давление в не-
* Опыты [1] проводились в вертикальной свободной струе.
возмущенном потоке, давление газа в каверне и давление насыщенных паров жидкости соответственно, р — плотность жидкости, ц — ускорение силы тяжести. Величины расчетного и измеренного весового расхода содержатся соответственно в последней и предпоследней строках таблицы.
Наибольшая погрешность обусловлена измерением амплитуды волны е. Для ее определения проводилась огибающая по выпуклостям и вогнутостям контура каверны. Каждый режим содержит фотографии для двух моментов времени, так что измерения можно было продублировать.
Сравнение экспериментальных и расчетных данных по определению
расхода газа
Б Номер фигуры из [1]
'с' % Величина фиг. 9, с фиг. 9, й фиг. 9, е Примечание
1 2 Число волн п Число кавитации Роо Рк Р«&/2 3 0,0655 4 0.0668 5 0,0726 Из эксперимента То же
3 4 Раа Ръ Р4''2 ‘ 00 Скорость и00, м/с 2,225 8,3 3,710 6.72 6,440 5,2 »
5 “со" Частота / = —^—, 1/с 49 48 52,5 .
6 7 ¿к, м вк, м 0,54 4.1-Ю-з 0,53 4,1-10-2 0,516 3,84-10-2
8 $0 “ Вц ¿К, М2 1,42 -10 2 1,4-10-2 1,26-10-2 -
9 2$, м 1,1- Ю-з 0,95-10-2 0,7 10—2 ••
10 ; = ~ 0,28 0,23 0,183 ~
11 о = 2теп бтс 8я Юл •
12 те 0)£ 0.6 0,545 0,55 »
13 14 Ш £ д5 1,2 1,77-Ю-з 1,6 1,46-10-» 1,65 0,9-Ю-з Из расчетного графика, рис. 3 Расчет
15 16 17 18 19 20 Д5 = Д5.50, м» (? = №■/, М2/С рк, кг/м2 рк£, кг/мз Весовой расход газа по расчету, кг/с-м Весовой расход газа по эксперименту [1], кг/с-м 2,52-10-* 1,24-10-2 7900 0,97 1,21-Ю-з 1,26-10-г 2.04-10—4 0,98-Ю-з 8700 1,06 1.04-10-2 1,36-10-2 0,13-10—4 0,595-Ю-з 8900 1,08 0,65-10-2 0,58-10-2 9 и Я »
Зависимость размаха колебаний 2е от расстояния х до кавернообразующей пластинки показана на рис. 4.
По результатам измерений, изображенных на рис. 4 в виде точек, проведены осредняющие кривые, с которых и снимались значения, необходимые для расчета. Давление в каверне рк и соответствующая ему плотность газа рк вычислялись по формулам
2
/>к = ^р-(°г,— О) +Рг„ Рк£= ?Аё]Г^ •
Следует отметить, что проведенный расчет относится к той доле уноса газа, которая обусловлена пульсациями, тогда как экспериментальные данные относятся к суммарному расходу газа, в который могут внести вклад другие формы уноса.
Удовлетворительное соответствие расчета и эксперимента свидетельствует о том, что, по-видимому, порционная форма уноса для рассмотренных каверн является доминирующей.
Замена плотности газа в момент отделения порции на среднюю плотность газа в каверне обусловлена тем, что погрешность при такой замене составляет для обследованных режимов ~ 1 % и практически не сказывается на результатах сопоставления по строкам 19 и 20 таблицы. Эта погрешность существенно меньше других погрешностей, связанных как с сопоставлением, так и с самой точностью эксперимента по определению расхода и других используемых характеристик.
3. Предложенный расчет потери газа из пульсирующих плоских каверн легко модифицировать на случай осесимметричных пространственных каверн. При этом заменится на объем
ДУ’ = *£к/>у*(1)<*5 ,
Г
где уЛ и те же, что и в плоской задаче. Вместо 5К рассматривается объем каверны
Универсальная зависимость для расчета относительного объема порции ДI/ = Д V/ 1/о будет иметь вид
Эта зависимость показана на рис. 3 (кривая 2). Объемный расход
Несмотря на большое количество опытов с горизонтальными пульсирующими кавернами за осесимметричными телами, проведение непосредственного сопоставления расчетов по предложенной теории с результатами эксперимента произвести нельзя, так как в этих опытах вег сомость приводит к существенному искажению концевой области каверн, образованию вихревых шнуров, уносу газа по полости этих шнуров, а также нарушает симметрию пульсаций, особенно на верхней и нижней границах каверны.
1. Silberman Е., Song С. S. Instability of ventilated cavities.— J. Ship Research, June, 1961.
2. Song C. S. Pulsation of ventilated cavities.—J. Ship Research, March, 1962.
3. W о о d s L. C. On the instability of ventilated cavities. — J. Fluid Mech., 1966, 26, № 3.
4. Мишель Ж. М. Вентилируемые каверны. К исследованию механизма пульсаций/Доклад на Международном симпозиуме по неустановив-шимся течениям воды с большими скоростями. — Л.: 1971, «Механика» № 4.— М.: «Мир», 1972.
5. П а р ы ш е в Э. В. Теоретическое исследование устойчивости и пульсаций осесимметричных каверн. — Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1907.
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 20/1 1983 г.
