CC BY
39
УДК 532.528.1
КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ВЫСТУПА ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТЬЮ
ПО СХЕМЕ РЯБУШИНСКОГО
В. П. Житников, Р. Р. Муксимова
CAVITY FLOW OF FLUID UNDER GRAVITY AROUND THE ANNULAR LIP ACCORDING TO THE RYABUSHINSKY SCHEME V. P. Zhitnikov, R. R. Maksimova
В данной работе исследуется кавитационное обтекание кругового цилиндра идеальной весомой жидкостью по схеме Рябушинского. Рассчитывается форма свободной границы, и анализируются зависимости коэффициента сопротивления, скорости жидкости в наивысшей точке границы каверны, длины и ширины каверны от положения точки отрыва.
The paper focuses on cavity flow of the ideal weight fluid around a circular cylinder using the Ryabushinsky scheme. The form of the free boundary is calculated and dependences of resistance, fluid velocity at the highest point of the cavityboundary, the cavity length and width on the position of the separation point are analyzed.
Ключевые слова: кавитационное обтекание, комплексный потенциал, условие Бриллуэна, схема Рябушинского, функция Жуковского, численная фильтрация, оценка погрешности.
Keywords: cavity flow, complex potential, Brillouin condition, Ryabushinsky scheme, Zhukovsky function, numerical filtering, error estimation.
Рассматривается задача кавитационного обтекания идеальной весомой жидкостью кругового цилиндра по схеме Рябушинского (рис. 1а), согласно которой для замыкания каверны вводится замыкатель В'С', симметричный кавитатору ВС. Слой жидкости над цилиндром считается достаточно большим, так что влияние стенки или свободной поверхности не оказывает существенного влияния на течение вокруг препятствия. Такой схемой может моделироваться обтекание выступа на дне.
Подобная задача в несимметричной постановке решалась Л. М. Котляром [1]. Кавитационное обтека-
ние кругового цилиндра невесомой жидкостью исследовано в [2]. В данной работе особое внимание уделяется исследованию зависимостей параметров от положения точки отрыва от поверхности цилиндра.
Пусть давление в каверне равно Р0, давление на бесконечности на оси X - Рх. Число кавитации опре-Р - Р
ГЛ 1 х -'о
деляется как К = -
pv:/2
где р - плотность жидкости; V. - скорость на бесконечности.
1б
Рис. 1. Схема течения: 1а - физическая плоскость; 1б - плоскость изменения функции Жуковского
Согласно уравнению Бернулли:
2 т „d v р р*
V2 2 gR Y „
—г + —^--------------------+ 2--
V2 V2 R pV2
00 00 I 00
= 2-
= 1 + 2
P.
р^2 р^2 На границе каверны Р = Р0, тогда получим краевое условие в виде:
2 Y
Fr2 R
= 1 + K , Fr =
V.
4sr
Обозначим гипотетическую скорость на части оси X внутри каверны V = ¥0, тогда
(1)
V.
= 1 + K .
(2)
Для решения задачи применяются методы теории функций комплексного переменного.
На плоскости комплексного потенциала Ж = ф + /у образом верхней половины области течения является верхняя полуплоскость (рис. 2).
2
2
+
W = -ф„
Производная
dW 1 -а2
~dF — -фо-------
аС а
1 — а
2 С
а
а2 +
1 С4 +1
Y1/2
а
С2
а2 +
1 С4 +1 С2
у/2
а
1—
(3)
(4)
Рассмотрим функцию Жуковского:
dW
ю = i ln
V0 dZ
= 9 + ÍZ :
z — ln
(5)
Для задачи о течении невесомой жидкости (V = V0 на CD) условия на границах (рис. 1) следующие:
- на CD: т = 1шга = 0, (6)
- на BAиAD: 0 = Rera = 0, (7)
- на BC|Z| = R . (8)
Согласно условиям (6), (7) функцию ®(С) можно аналитически продолжить на весь круг по принципу симметрии.
Выразим функцию Жуковского в виде суммы:
®(0=®о (0+®1 (0+®2 (0, (9)
где ш о (х) - функция Жуковского для задачи кавитационного обтекания пластины невесомой жидкостью по схеме Рябушинского. Для этой задачи условия (6), (7) дополняются условием:
- на BC: 0 = Re ш = я/2.
Тем самым, образом области течения на плоскости Ю для этой задачи является полуполоса. Функция ©о(С) получается конформным отображением:
1 -С С-1
ю0(С) = г 1п-----------------= я + г 1п-. (10)
0 ъ 1+С С+1
Функция Ю1 (с) определяется в виде ряда по нечетным степеням с действительными коэффициентами С2т1
ю
,(С)=¿X с 2 т-,с2
(11)
Для моделирования течения весомой жидкости условие (6) должно быть заменено на (1). При этом мнимая часть ю(С) не равна нулю на СБ и сумма (9) дополняется слагаемым:
С) = i X d2 С
-Í
С1
С +1.
Y
Рис. 2. Плоскости: а - комплексного потенциала; б, в - параметрические
В виду симметрии области течения относительно действительной и мнимой оси рассмотрим правую верхнюю ее четверть. В качестве параметрической выберем плоскость С, на которой образом четверти области течения будет четверть единичного круга (рис. 2б).
Функция Ж (с) получается с помощью конформного отображения:
(12)
Г I I
т=0 т=0
которое определено на параметрической плоскости С1 (рис. 2в), связанной с С следующим образом:
С1 = -¿
С-1
¿а, — —¿ -
а — 1 1 — а
• — ¿-
^ +1 а +1 1 + а
Отметим, что видоизменение вида функции Жуковского для удовлетворения условию (1) не может быть осуществлено путем добавления в (11) нечетных слагаемых, в связи с невозможностью аналитического продолжения ®(С) на левый полукруг и разложения в сходящийся ряд Тейлора. Функция же ш2(^1) имеет нулевую действительную часть как на BC, так и на DAB, и поэтому для ее аналитического продолжения на круг может быть применен принцип симметрии. Производная функции Жуковского:
d® 2i l\ f~2 т-2
- + iY(m -1)2^m 2 +
d{ С2-1 2
m—1
(С+1)2
X(- 1)m 2md2
m—0
С-1 С+1.
2
Уравнение окружности
d9
1
с учетом того,
йи Я
что на границе потока дифференциал дуговой абсцис, йф . йф
сы ш1 =--------= е — , примет вид:
V V
d9 v e d9 1
ds 0 й?ф R
Поскольку на BC С — e¿a , то из (4) найдем: dф а2 -1 sin 2а
da ауі2 ( 1
(13)
.11 , f а +—- I - cos 2а I
21 а J )
Тогда из (13) получим краевое условие на BC:
m—1
С
1
4
| ФИЗИКА
й9
= -Ле-ф) йст ! 1
8т2ст
1
-1а ,—- I - ео8 2ст
Л =
2 V а 1 -а2 ф0
3/2
а
л/2 Я^ '
(14)
Отсюда при ст^-0 (точка В)
х
-Е ( 2 т - 1 ) С 2 т -
2: с 2 т-1 й 0 8 л/2~а
= - Ле т -1 ----------
С - а 2 )3
При ст^-л/2 (точка С) из (14) следует:
х
-Е(-1)т-1 (2т -1)2 С2т-1 =
= -е
4л/2а3 Л (а2 +1)3'
При заданном числе кавитации К выполняется уравнение
1 - а
■(а) = 1п---------+ V с2 а
К } 1 + а £ 2т-1
-К- 1)т й2
а -1
1
= -у!п (к +1).
ные величины умножаются на реальный размер Я, а скорости - на V0.
Численно задача решалась методом коллокаций. Уравнение окружности (14) удовлетворялось в отдельных точках дуги ВС С т = е,ст т (стт = тп/(2п),
(15)
(16)
(17)
т = 1, п -1). Для выполнения условия (21) в точке ст0 = 0 использовалось равенство (15).
Уравнение (1) также удовлетворялось в отдельных точках дуги СБ С = е'ст т (ст т = тя/(2п),
т = 1, п ).
В точке отрыва либо удовлетворялось условие Бриллуэна (18), чему соответствует угол отрыва 0С = 0С 0, либо величина 9С задавалась.
Получаемая при этом система 2п + 2 нелинейных уравнений (совместно с равенством (17)) относительно параметров Л, а, с2т_1 (т = 1, п ), й2т (т = 0, п -1) решалась методом Ньютона с регулированием шага путем минимизации суммы квадратов невязок по всем уравнениям.
При решении исследовано поведение безразмерных параметров:
- коэффициента сопротивления:
2 ^с
Сх =----^1ш | (Р - Р0)сК =
Х Р^2Я £
2с [ V2 ^ й1 2 УСУ йУ
т = 0 V а + 1 .
Если рассматривается течение с гладким отрывом струи от кавитатора (в точке С), то выполняется условие Бриллуэна-Вилла
4Н1 ) = - 1 + 2 (- 1 )т 1 (2 т - 1 ) С 2т-1 - (.8)
аЪ т = 1 (18)
х
- 2 V тй2 т = 0т = 0
Задача решалась в безразмерном виде: параметры Я (радиус цилиндра) и V0 полагались равными единице. Для возвращения к размерным величинам линей-
= (1 + К )1т |1 1 -
0 V V2) Я Рг20 Я Я
- (1 + К)1т |С(1-е2х)
йZ 1 УС
Я Рг2 Я2
- скорости жидкости в наивысшей точке Б гра-
ницы каверны:
^ = А 1+К -А У,
V V Рг2 Я
- полудлины и полуширины каверны:
1 ^ 1 Г*» йЖ ^ 1 0 ,Ю йЖ „
, + /Уб = — I йZ =---I е -----йС +-----I е ----йС ,
Я 0 Я^0 1 йС ^ Я^0 \ йС ^
-1&б
14
12
10
8
6
4
2
О
-|8б 2^=-
¿г
*
У
0
1.5
2.5
1.5
2 25
а б
Рис. 3. Оценка погрешности параметров: а - Сх: б - Ур/У„ для К = 3, Гг = 1
т = 1
3
т=1
X
а б
Рис. 4. Оценка погрешности параметров: а - хв: б - ув для К = 3, Гг = 1
Для оценки погрешности использовалась численная фильтрация результатов расчетов [3; 4], полученных при различных числах точек коллокаций п. Результаты фильтрации изображены на рис. 3, 4, где по оси абсцисс отложены десятичные логарифмы числа п, по оси ординат - десятичные логарифмы оценок относительной погрешности искомого параметра 8 = |Ди/и|.
Цифрой 0 обозначены вычисленные результаты, цифрами 1, 2, ... - результаты 1-й, 2-й и т. д. фильтрации. Толстыми линиями показаны результаты попарного вычитания, тонкими - сравнения с эталоном [3]. Эти
результаты показывают, что для приведенных вариантов рассматриваемые величины определяются с относительной погрешностью около 10-14.
Вычисленные значения: для К = 3, Рг = 1:
Сх = 2.05652555285525; 9С = 0.40711777812;
VD/Vх = 1.23514949742572; хБ = 3.98129071176209;
уБ = 1.23720285950449.
На рис. 5, 6 приведены графики зависимостей исследуемых параметров для течений, удовлетворяющих условию (18) при К =1; 2; 3; 4 (кривые 1 - 4) от числа, обратного числу Фруда (1/Рг).
Рис. 5. Зависимости параметров от 1/Гг: а - Сх; б - У«/Уо
Рис. 6. Зависимости параметров от 1/Гг: а - хв: б - ув
Следует отметить, что бесконечный рост числа Рг Рг в данной модели свободная поверхность сжимается возможен только для К < 3. Для К > 3 при увеличении в точку, происходит смыкание кавитатора и замыка-
теля, т. е. в пределе реализуется безотрывное обтекание кругового цилиндра. При безотрывном обтекании
^=2=,/1+кД- Ь..
V/ V Рг2 Я
Тогда, так как Уп = Я , 9Г = 0, то
]_
Рг
К - 3
2
схема течения переходит в вариант схемы Кирхгофа. При этом
1 + К-- 2
Рг2 Я
В предельном решении согласно [5]
Сх = К -1 - .
х 3 2
Согласно рис. 5б при уменьшении числа Рг скорость жидкости в наивысшей точке свободной поверхности VD приближается к V,. При этом длина каверны стремится к бесконечности, а ширина остается ограниченной (в отличие от задачи обтекания невесомой жидкостью, когда при К^-0 стремятся к бесконечности и длина, и ширина каверны). Тем самым
У Рг 2
Отсюда найдем связь параметров — =--------К.
Я 2
Конкретные значения этих и других параметров получаются численно.
На рис. 7, 8 приведены графики зависимостей исследуемых параметров для К = 3 от дуговой абсциссы у = я/2 - 9С (кривые 0 - 4соответствуют Рг =х; 2.5; 1.25; 1; 0.97). Положение точки отрыва, соответствующее выполнению условия (25) (9 С =9 С0), отмечено на графиках жирной точкой. Видно, что при 9С = 9С зависимости, предположительно, имеют локальные экстремумы.
Рис. 7. Зависимости параметров от у: а - Сх; б - Уо/Ух
а б
Рис. 8. Зависимости параметров от у: а - хг б -уг
б
а
Следует отметить, что, основываясь на данных графиках, это предположение можно сделать весьма грубо, поскольку точность передачи графической информации обычно не превышает двух значащих цифр (погрешность > 0.01) от диапазона исследования. При этом если в точке экстремума зависимости имеют вид /(х) и у0 + к(х - х0 )2, то при определении у0 с погрешностью 0.01, значение х0 определяется примерно до 0.1. Поэтому для проверки и обоснования предположения об экстремуме в конкретной точке нужна бо-
лее высокая точность и другая форма графического представления.
В соответствии со сделанными выше оценками, погрешность исследуемых параметров после фильтрации не превышает 10-12. Согласно этому, выберем шаг по параметру 9С равным 10-6 и рассмотрим разности Ди = и - и0 в зависимости от Д9С = 9С - 9С0,
где и0, 9С0 - значения параметров и и 9С при выполнении (25).
Эти зависимости иллюстрируются на рис. 9, 10. При этом одна масштабная единица по оси абсцисс равна 10-6, по оси ординат - 10-12. На точечные графики зависимостей нанесен график функции / (х)« кх2 с подобранными коэффициентами к. Как
а
Рис. 9. Зависимости приращения
показывают графики, положение экстремума с высокой точностью совпадает с 9С 0 , а зависимости близки к квадратичным.
б
от приращения Д0С: а - CX; б - Уя/У„
а б
Рис. 10. Зависимости приращения параметров от приращения Д0С : а - xD; б - yD
Выводы
Таким образом, в данной работе с помощью видоизмененного метода Леви-Чивиты проведено численное решение задачи о кавитационном обтекании полукруглого выступа на дне потоком весомой жидкости.
Исследование показало, что зависимости многих параметров от положения точки отрыва имеют локальные экстремумы при выполнении условия гладкого отрыва. Применение технологии фильтрации численных результатов позволило установить этот факт с высокой точностью.
Литература
1. Котляр, Л. М. О некоторых течениях с развитой кавитацией в поле силы тяжести / Л. М. Котляр, О. В. Троепольская // Вопросы прикладной математики и механики. - Чебоксары: Чуваш. гос. ун-т, 1974. -Вып. 3. - С. 86 - 95.
2. Гуревич, М. И. Теория струй идеальной жидкости / М. И. Гуревич. - М.: Наука, 1979. - 536 с.
3. Житников, В. П. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов / В. П. Житников, Н. М. Шерыхалина, С. С. Поречный // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - СПб., 2009.
- № 3(80). - С. 105 - 110.
4. Житников, В. П. Многокомпонентный анализ численных результатов / В. П. Житников, Н. М. Шерыха-лина. - Saarbrücken, Germany: LAPLAMBERTA cademic Publishing GmbH&Co. KG, 2012. - 389 c.
5. Житников, В. П. Обобщение метода Леви-Чивиты для исследования плоских и осесимметричных течений с нелинейными условиями на неизвестных границах: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / В. П. Житников. - Уфа, 1993. - 327 c.
Информация об авторах:
Житников Владимир Павлович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерной математики Уфимского государственного авиационного технического университета, 8(347-2)73-32-00, [email protected].
Vladimir P. Zhitnikov - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Headof the Department of Computer Mathematics, Ufa State Aviation Technical University.
Муксимова Роза Равилевна - кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации, 8-9817044394, [email protected].
Roza R Muksimova - Candidate of Technical Science, Assistant Professor at the Department of Applied Mathematics, Saint-Petersburg State University of Civil Aviation.
