CC BY
6
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 1.
УДК 532.5.031, 626.131.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-294-303
Кавитационное обтекание клина при наличии расположенного в
его вершине точечного стока
С. Л. Толоконников, А. А. Спасова
Толоконников Сергей Львович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: tolsl@mail.ru
Спасова Анна Алексеевна — аспирант, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: anya_spasova@mail.ru
Аннотация
В статье рассматривается задача о симметричном стационарном кавитационном обтекании клина безграничным потоком идеальной несжимаемой невесомой жидкости при наличии точечного стока заданной интенсивности, расположенного в вершине клина.
Для схематизации течения в кормовой части каверны использована схема Эфроса с возвратной струйкой, уходящей на второй лист римановой поверхности.
Точное решение задачи построено отображением областей изменения комплексного потенциала и комплексной скорости течения на область изменения вспомогательного параметрического переменного.
Проведен полный параметрический анализ задачи. Для широкого набора значений числа кавитации, безразмерного расхода стока и утла раствора клина найдены форма и размеры кавитационной полости, а также значения коэффициента сопротивления.
Ключевые слова: несжимаемая жидкость, кавитационное обтекание, клин, точечный сток.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
С. Л. Толоконников, А. А. Спасова. Кавитационное обтекание клина при наличии расположенного
в его вершине точечного стока // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 1, с. 294-303.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 1.
UDC 532.5.031, 626.131.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-1-294-303
On the crater of an ejection formed by an explosion of two flat
surface cord charges
S. L. Tolokonnikov, A. A. Spasova
Tolokonnikov Sergey Lvovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: tolsl@mail.ru
Spasova Anna Alekseevna — postgraduate student, Lomonosov Moscow State University (Moscow).
e-mail: anya_spasova@mail.ru
Abstract
In the article the problem of a symmetric stationary cavitation flow around a wedge by an infinite flow of ideal incompressible weightless fluid in the presence of a given intensity point effluent located at the top of the wedge is considered.
To schematize the flow in the aft part of the cavity the Efros scheme with a return stream going to the second sheet of the Riemannian surface is used.
The exact solution of the problem is constructed by displaying the areas of change complex potential and complex flow velocity per area change of the auxiliary parametric variable. A complete parametric analysis of the problem has been carried out.
For a wide range values of the cavitation number, dimensionless flow rate and angle wedge solution, the shape and dimensions of the cavitation cavity are found, and See also the values of the drag coefficient.
The shape and dimensions of the cavitation cavity and also the values of the resistance coefficient are found for a wide range of cavitation number values, dimensionless consumption of effluent and opening angle of the wedge.
Keywords: incompressible fluid, cavitation flow, wedge, point effluent.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
S. L. Tolokonnikov, A. A. Spasova, 2023, "On the crater of an ejection formed by an explosion of two flat surface cord charges" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 1, pp. 294-303.
1. Введение
Для улучшения аэродинамических характеристик обтекаемых тел широко используются системы активного управления потоком, к которым относятся, в частности, устройства отбора внешнего потока или выдува струй, что способствует устранению отрыва пограничного слоя, увеличению подъемной силы крыловых профилей и пр. Обширная библиография, посвященная указанной тематике, содержится в монографиях [1-3].
В значительном числе работ при теоретическом описании устройства управления потоком заменяются точечными или распределенными особенностями, расположенными на поверхности обтекаемого тела — стоком в случае отбора или источником в случае выдува [1, 2].
Интерес к задачам о кавитационном обтекании тел при наличии на поверхности тела или в потоке точечного источника связан в первую очередь с идеей акад. Л.И. Седова о возможном существенном снижении силы сопротивления при подаче из тела струи жидкости, направленной против потока [4, 5]. Так, например, в [5] показано, что при обтекании по схеме Кирхгофа сопротивление уменьшается в 2 раза по сравнению с сопротивлением тела без выдува струи, но с тем же асимптотическим законом расширения каверны.
В рамках модели идеальной несжимаемой жидкости был исследован ряд задач о стационарных плоских и осесимметричных течениях с точечными источниками. В работе [6] было установлено, что замена встречной струи источником дает хорошее приближение для определения силовых характеристик и формы свободных границ течения. Решение задачи о кавитационном обтекании плоской пластинки с источником представлено в [7]. В работе [8] изучена задача о кавитационном обтекании клина при наличии источника на клине или в потоке. Исследованы силовые характеристики, указаны условия, при которых возможно появление тяги. Обтекание ограниченным потоком клина с источником в вершине рассмотрено в [9]. Работа [10] посвящена исследованию влияния гидродинамических особенностей на величину силы и асимптотический закон расширения осесимметричных полутел конечного сопротивления. В [11, 12] рассмотрены плоская и осесимметричная задачи о кавитационном обтекании тел при наличии источника на теле или в потоке. Для случая малых значений числа кавитации получены универсальные, не зависящие от формы тела соотношения между силой сопротивления, длиной и миделем каверны, числом кавитации и мощностью источника. В работе [13] решена задача о кавитационном обтекании пластинки, в центре которой расположен источник или сток, по схеме Кирхгофа, соответствующей нулевому значению числа кавитации.
В настоящей статье рассмотрена задача о симметричном стационарном кавитационном обтекании клина при наличии в его вершине точечного стока заданной интенсивности. Жидкость полагается идеальной, несжимаемой, невесомой. Течение является плоскопараллельным, установившимся, потенциальным. Рассмотрен случай положительных значений числа кавитации. Для замыкания каверны используется схема Эфроса.
2. Постановка задачи
Схема верхней половины рассматриваемого симметричного течения показана на рис. 1 ,а. Здесь отрезок КЕ - щека клина длиной I. Угол раствора клина равен 27га. Скорость и давление в бесконечно удаленной точке И безграничного потока, взаимодействующего с клином, равны г>оо и р^ соответственно.
На свободной линии тока ЕЕ, являющейся верхней границей кавитационной полости, давление и модуль скорости постоянны и равны ро и г>о соответственно. Для замыкания кавитационной полости используется схема Эфроса с возвратной струей, уходящей на второй лист римановой поверхности [14]. Точка ¿^ отвечает бесконечно удаленной точке возвратной струи.
а)
б)
©
а У
с к 1 а Р
А
К
Е С К £> А
Рис. 1: Схема течения (а), параметрическая область (б)
В вершине клина К расположен точечный сток заданной интенсивности —( < 0. В течении имеются две критические точки С и А. Точка С находится на щеке клина, точка А — в плоскости симметрии течения.
Рассматриваемая схема соответствует положительным значениям числа кавитации а = = 2(рж — ро)/ругде р — плотность жидкости.
В результате решения задачи следует определить распределение скорости и давления в области течения, форму и размеры кавитационной полости, и силу сопротивления, действующую на клин со стоком.
3. Аналитическое решение
Решение задачи строится отображением областей изменения комплексного потенциала — и ——
комплексной скорости —— течения на область изменения вспомогательного параметрического
аг
переменного и, в качестве которого выбирается правый верхний квадрант. Соответствие точек физической и параметрической областей указано на рис. 1 ,а,б.
Для построения отображения ——(и) проанализируем его особенности в параметрической
и
области.
В точке И (и = 1) функция ■(и) имеет простой полюс и логарифмическую особенность,
а ее производная ——(и) — полюс второго порядка. Вследствие нарушения конформности в и
тейлоровских разложениях — (и) в окрестности критических точек С (и = с) и А (и = а) отсутствуют линейные члены, функция —(и) имеет в этих точках нули первого порядка. Точка
и
К (и = к) соответствует точечному стоку. Комплексный потенциал —(и) имеет логарифмиче-
а ■
скую особенность в этой точке, а ——(и) — полюс первого порядка.
а и
При аналитическом продолжении —— (и) на всю плоскость и согласно принципу симметрии
а и
и = — а и = —
и = — 1 и = — к
Других особенностей во всей плоскости и отображение ——(и) не имеет, поэтому согласно
аи
теореме Лиувилля [14, 15] находим
—— и(и — а)(и — с)(и + а)(и + с)
~—й (и) = (и — 1)2(и + 1)2(и — к)(и + к)' ( 1
Постоянная N является действительной, в чем легко убедиться, вычисляя последнюю формулу в точках действительной оси.
а ■
Перейдем к построению отображения (и). В критических точках С (и = с) и А (и = а) а ■
функция (и) имеет простые нули, в точке К (и = к) — особенность вида (и — к)а-1.
Других нулей и особенностей отображение —— (и) в параметрической области не имеет. При
а
и = — и = — а
особенность вида (и + к)1-а в точке и = — к. Следовательно, функция —^—(и) имеет вид
——, , (и — а)(и — с)(и + к)1-а , .
~г(и)= Здт-Г7-Г7-ТТ1— • (2)
' (и + а)(и + с)(и — к)1-а KJ
В формуле (2) учтено также, что —— (ж) = —— (0) = — еша.
аг аг
Из (1) и (2) следует
йх N и(и + а)2(и + с)2
йи(и) = щ (и2 — 1)2(и — к)а(и + к)2-а' (3)
В формулы (2) и (3), дающие общее решение задачи, входят неизвестные параметры
N, а, с, к, подлежащие определению из дополнительных условий.
к
йи
о
к
Так как г (к) — г(0) = — (и)йи, то с помощью (3) находим
N = ^о т = / и(и + а)2(и + с)2 (4)
3' У (и2 — 1)2(и — к)а(и + к)(2 — а)' ()
о
С помощью (4) формула (3) может быть записана в виде
1 йх 1 и(и + а)2 (и + с)2
(и) = 3 (и2 — 1)2(и — к)а(и + к)2-« ' (5)
а, , к
числения геометрических характеристик течения.
В бесконечно удаленной точке И потока известно значение комплексной скорости
(1) = — у—. Поэтому с помощью (2) находим
у— = (а — 1)(1 — с)(1 + к)1-а (6)
уо (1 + а)(1 + с)(1 — к)1-« ()
Отношения скоростей, входящее в (6), может быть выражено через число кавитации с
помощью интеграла Бернулли: —— = .
уо V1 + а
Так как лучи И А и К И лежат на одной прямой у = 0, то есть в плоскости симметрии
течения, следует потребовать Иев—(1) = 0, что приводит к соотношению
йи
+ — ак + 1—к =0. (7)
1 + а 1 + — 1 — к2
Выражение для безразмерного расхода стока находится интегрированием (2) по бесконечно
и = к
_ = о_ = ^(а2 — к2)(к2 — с2) (8)
О = I уо = 3 (к2 — 1)2 ' (8)
Суммарная сила сопротивления определяется формулой [2]
X = — ^ (рпх + рупУх) й,в,
где интеграл берется по поверхности 5 клина со стоком, нормаль п направлена в сторону жидкости. Выражение для величины X может быть получено с применением интегральных законов сохранения массы и количества движения [14]:
X = ру1ё + ру—(Уо5 + О),
где 5 — ширина возвратной струи в бесконечно удаленной точке.
При переходе с АР на РЕ в параметрической области по четверти бесконечно большой окружности значение 1тии(и) увеличивается на г>о5/2. Интегрируя (1) по указанной четверти
У()5 7Г , . _ 7т1
окружности, находим -= — ТУ, откуда с учетом (4) имеем о = —.
¿1 ¿1 и
Для коэффициента сопротивления, отнесенного к миделеву сечению клина, получаем выражение
с X = УГ+^[тг(УГ+^ + 1) + щ
Уравнения (6), (7), (8) при заданных а, а и (2 образуют замкнутую систему уравнений для нахождения параметров а, с, к7 которая в дальнейшем решается численно. Для исследования системы (6-8) используется следующая методика. Параметр а из (6) выражается через остальные параметры, и после подстановки полученного выражения в уравнение (7) получается соотношение, связывающее с ж к. Полученное уравнение имеет решение с Е (0, к] только при к Е где 0 < к\ < < 1- Для каждого к из этого промежутка находится
единственное значение с Е (О, А:], а после определения а, с и к по формуле (8) вычисляется безразмерный расход источника С}. Таким образом, варьируя значение к в промежутке [к\, А^), мы можем вычислить все возможные значения (2, соответствующие рассматриваемой схеме течения. Расчеты показывают, что при фиксированном а > 0 с ростом к значение (3 монотонно увеличивается от нуля до некоторого С}тах1 зависящего от а и а. Решение задачи для случая (3 = 0, т.е. для клина без стока, может быть получено из представленного выше при с = к.
4. Результаты численных расчетов
На рис. 2 показаны рассчитанные формы границ кавитационной полости для трех значений угла раствора клина 2ъа = 7г (пластинка), 27г/3 и тг/2 при фиксированном числе кавитации а = 0.5 и нескольких значениях безразмерного расхода С}. Линии 1 соответствуют случаю (3 = 0, т.е. обтеканию клина без особенности в вершине.
Как видно из рис. 2, рост значения (2 приводит к существенному уменьшению размеров кавитационной полости. Уже при (3 = 0.7 длина каверны примерно в 2 раза меньше, чем в случае отсутствия стока. При фиксированных сг и уменьшение а также приводит к сокращению размеров каверны.
у/1 х/1
-30 б)
У/1
Рис. 2: Форма границ каверны для а — 0.5 и значений а — 1/2 (а), 1/3 (б), 1/4(е) при различных <3: 0, 0.3, 0.7, 1.7, 2 (линии 1-5 соответственно)
Дополнительную информацию о влиянии интенсивности стока на размеры кавитационной полости дают представленные на рис. 3-5 зависимости относительных длины Ь/1 и миделя к/1 каверны от величины ф для трех указанных выше значений угла раствора клина и при нескольких значениях числа кавитации. Длина каверны Ь определяется как разность абсцисс точки Е и точки свободной линии тока ЕЕ, в которой касательная к этой линии параллельна оси у. Следует отметить, что для значений близких к Ятах^^)^ величина Ь/1 близка к нулю, и решения для случая ф ~ Ятах следует рассматривать как нефизичные.
Рис. 3: Зависимость относительных длины Ь/1 и миделя к/1 каверны от (5 для а = 1/2 (пластинка) и значениях числа кавитации а: 0.9, 0.7, 0.5, 0.4 и 0.3 (линии 1-5 соответственно)
Рис. 4: Зависимость относительных длины Ь/1 и миделя Н/1 каверны от (5 для а = 1/3 (пластинка) и значениях числа кавитации а: 0.9, 0.7, 0.5, 0.4 и 0.3 (линии 1-5 соответственно)
Рис. 5: Зависимость относительных длины Ь/1 и миделя к/1 каверны от (2 для а = 1/4 (пластинка) и значениях числа кавитации а: 0.9, 0.7, 0.5, 0.4 и 0.3 (линии 1-5 соответственно)
На рис. 6 показаны зависимости коэффициента сопротивления Сх от (3 для трех различных углов раствора клина и нескольких значений числа кавитации. Для всех рассмотренных случаев с увеличением ф коэффициент сопротивления возрастает.
Рис. 6: Зависимости коэффициента сопротивления Сх от С} для а = 1/2 (а), 1/3 (б), 1/4(в) при различных а: 0.01, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9 (линии 1-6 соответственно)
5. Заключение
В рамках модели идеальной несжимаемой жидкости получено точное решение задачи о ка-витационном обтекании клина с расположенным в его вершине точечным стоком. Установлено, что форма и размеры каверны существенно зависят от величины расхода стока. Показано, что безразмерный расход по величине не может превосходить некоторого максимального значения, зависящего от угла раствора клина и числа кавитации. Установлено, что при фиксированном значении числа кавитации с ростом величины безразмерного расхода стока наблюдается возрастание коэффициента сопротивления.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Елизаров A.M., Ильинский И. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. М.: Наука, 1994. 436 с.
2. Ильинский И. Б., Абзалилов Д. Ф. Математические проблемы проектирования крыловых профилей: усложненные схемы течения; построение и оптимизация формы крыловых профилей. Казань: Казан, ун-т, 2011. 284 с.
3. Шурыгин В.М. Аэродинамика тел со струями. М.: Машиностроение, 1977. 200 с.
4. Седов Л. И. Об обтекании идеальной жидкостью тела со встречной струей // Доклады АН СССР. 1972. Т. 206. № 1. С. 41-42.
5. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука. 1994. 560 с.
6. Сотина Н.Б., Фоминых В. В. О моделировании источником тонкой струйки, вытекающей из тела // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. № 5. С. 47-54.
7. Мухина Т. Р О кавитационном обтекании пластинки с источником. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. №5. 1979. С. 157-161.
8. Сотина И. Б., Фоминых В. В. Кавитационное обтекание клина при наличии источника в клине или потоке // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. № 6. С. 137-141.
9. Пик-Пичак Е.Г. Обтекание ограниченным потоком клина с источником в вершине // Отчет института механики МГУ № 2565. 1981. 56 с.
10. Сотина Н.Б. Асимптотический закон расширения каверны при наличии в потоке гидродинамических особенностей // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1977. № 3. С. 153-155.
11. Петров А. Р, Сотина Н. Б. Универсальные, не зависящие от формы кавитатора, соотношения при малых числах кавитации // Журнал прикладной механики и технической физики. 1984. № 5. С. 110-117.
12. Петров А. Р Аналитическая гидродинамика. М.: Наука, 2010. 520 с.
13. Штанько В. А. О струйном обтекании пластинки, в центре которой расположен источник или сток. // Тр. НИИ прикл. матем. и механ. при Томск, ун-те, 1976. Т. 7. С. 120-123.
14. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.
15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
REFERENCES
1. Elizarov, A.M., Ilvinsky, N.B., Potashev, A. V. 1994, "Inverse boundary value problems of aerohydrodynamics: theory and methods for designing and optimizing of the shape of the wing profiles ", Nauka, Moscow, 436 p.,fin Russian].
2. Ilvinsky, N.B., Abzalilov, D.F. 2011, "Mathematical problems of designing wing profiles: complicated flow patterns; building and optimization of the shape of the wing profiles", Kazan University, Kazan, 284 p.,fin Russian].
3. Shurvgin, V. М. 1977, "Aerodynamics of bodies with jets", Mashinostroenie, Moscow, 200 p.,fin Russian].
4. Sedov, L. I. 1972, "On the flow around an ideal fluid of a body with counter jet", Doklady AN SSSR« vol. 206, no. 1, pp. 41-42, fin Russian].
5. Sedov, L.I. 1994, "Continuum mechanic", vol. 2, Nauka, Moscow, 560 p.,fin Russian].
6. Sotina, N.B., Fominvkh, V. V. 1979, "Simulation by a source of a thin jet from a body", Fluid Dynamics, vol. 14, no. 5, pp. 673-679.
7. Mukhina, T. G. 1979, "Cavitation flow over a plate with a source", Fluid Dynamics, vol. 14, no. 5, pp. 764-767.
8. Sotina, N.B., Fominvkh, V. V. 1979, "Symmetric cavitation flow past a wedge in the presence of a source on the wedge or in the flow", Fluid Dynamics, vol. 14, no. 6, pp. 927-931.
9. Pik-Pichak, E.G. 1981, "Flow around a limited wedge with a source at the top", Report Inst. Mech. Moscow State Univer. no. 2565, 56 p.,fin Russian].
10. Sotina, N.B. 1977, "Asymptotic law of expansion of a cavity in the presence of hydrodvnamic singularities in the flow", Fluid Dynamics, vol. 12, no. 3, pp. 469-472.
11. Petrov, A.G., Sotina, N.B. 1984, "Universal, cavitv-shape-independent relations for cavitation flow with small cavitation numbers", J. Appl. Mech. and Techn. Phys., vol. 25, no. 5, pp. 758-766.
12. Petrov, A.G. 2010, "Analytical hydrodynamics", Nauka, Moscow, 520 p.,fin Russian].
13. Shtanko, V. A. 1976, "On the jet flow around a plate, in the center of which there is a source or drain", Trudy Nil Apll. Math, and Mech. Tomsk Gos. Univ., vol. 7, pp. 120-123.
14. Gurevich, M.I. 1979, "Theory of the ideal liquid jets", Nauka, Moscow, 536 p.,fin Russian].
15. Lavrentiev, M. A., Shabat, B.V. 1973, " Methods of complex variable functions theory", Nauka, Moscow, 736 p.,fin Russian].
Получено: 27.11.2022 Принято в печать: 24.04.2023
