Силы реакции при статическом нагружении колесной пары с развалом Текст научной статьи по специальности «Физика»

40

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

3. Фридлендер Ф. Звуковые импульсы. М.: ИЛ, 1962.

4. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 2. N.Y.: McGraw-Hill Book Co. Inc., 1953.

5. Holmes M.H. Introduction to Perturbation Methods. N.Y.: Springer, 1995.

6. Klinger R.E., McNerney M.T., Busch-Vishniac I. Design Guide for Highway Noise Barriers // Res. Rept. U.S. Dep. Transport. 2003.

7. Hohenwarter D. Railway noise propagation models //J. Sound and Vibr. 1990. 141, part 3. 17-41.

Поступила в редакцию 04.10.2017

УДК 531.391

СИЛЫ РЕАКЦИИ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ С РАЗВАЛОМ

Г. В. Гусак1

Рассматривается задача о статическом нагружении системы двух колес с деформируемой периферией, закрепленных на общей оси с ненулевым углом развала. Протекторы колес моделируются множеством упругих стержней, взаимодействующих с плоскостью по закону сухого трения. Изучается влияние развала в колесной паре на проскальзывание в зоне контакта и величину реакций со стороны дороги. Рассмотрен аналог непрерывной модели стержневого протектора, найдены величины нормальных и касательных реакций в зависимости от вертикального перемещения центра системы.

Ключевые слова: механическая модель колеса, стержневой протектор, колесная пара с развалом, проскальзывание, силы в пятне контакта.

Static loading of a wheel pair with a non-zero camber angle is considered. The periphery of each wheel is deformable and is modeled by a set of elastic rods interacting with the plane according to the law of dry friction. The effect of the camber in the wheel pair on the slip in the contact zone and on the magnitude of reaction forces from the road is studied. An analogue of the continuous model of the rod protector is considered. Depending on the vertical displacement of the center of the system, the values of normal and tangential reaction forces are found.

Key words: mechanical wheel model, rod protector, wheel pair, camber angle, slip, reaction forces, contact patch.

Для статически нагруженной колесной пары рассматривается задача о нахождении реакций со стороны дороги. Система состоит из двух колес с деформируемой периферией, закрепленных на общей оси под углом к ней (с ненулевым углом развала). Протекторы колес моделируются множеством изотропных линейно упругих стержней, расположенных по периметру дисков (рис. 1). Под действием вертикальной нагрузки колеса "проседают" на величину x. Целью настоящей работы является определение зависимости реакций, возникающих в пятне контакта, от величины вертикального перемещения системы. Развиваются идеи статьи [1], в которой была изучена задача о колесе со стержневым протектором в двумерной постановке (плоскость колеса перпендикулярна дороге).

В трехмерном случае становится возможным деформирование стержней в различных направлениях вне плоскости колеса, это оказывает влияние на фор-

Рис. 1. Модель колесной пары со стержневым протектором

1 Гусак Галина Валерьевна — e-mail: g_gusak@mail.ru.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4

41

му зоны контакта, а также на направление и суммарную величину реакций со стороны дороги. С целью определения этого влияния в настоящей работе рассмотрена задача о нахождении формы изогнутого стержня в пространстве. С учетом полученных решений вычислены реакции, действующие на элемент протектора. Определены зоны контакта в зависимости от вертикального смещения оси колесной пары и жесткости стержней. И, наконец, осуществлен переход от исследования отдельного стержневого элемента к изучению протектора, образованного множеством стержней. Найдены суммарные вертикальные и горизонтальные реакции, действующие на колесо со стороны дороги. Иные модели взаимодействия колеса и дорожного покрытия рассматривались в [2-5].

Представим колесную пару в виде системы, состоящей из двух абсолютно твердых дисков, жестко закрепленных на общей оси. По периметру дисков расположены два ряда деформируемых стержней, составляющих протекторы. Плоскости дисков образуют с плоскостью, ортогональной оси колесной пары, углы а, которые назовем "углами развала". Считаем систему симметричной относительно плоскости, перпендикулярной оси колесной пары и проходящей через центр данной оси — точку Со. Пусть а — радиус диска, I — длина стержней. В недеформированном состоянии каждое из колес является плоским, стержни жестко закреплены на дисках и перпендикулярны последним в точках закрепления. В случае приложения нагрузки к системе стержни протектора изгибаются и могут выйти из плоскости диска.

Пусть на колесную пару действует вертикальная нагрузка величины Р, приложенная к центру системы (точке Со). Опишем характер деформаций элемента протектора — гибкого растяжимого стержня длины I — под действием приложенной силы.

1. Определение положения равновесия стержня протектора. Силу реакции, возникающую в точке контакта стержня с плоскостью, представим в виде суммы вертикальной составляющей и горизонтальной составляющей Ет. Величины Еп и Ет будем считать положительными. Связь между ними определяется законом трения. Пусть р, 0 ^ р < п/2, — угол между недефор-мированной осью стержня и нормалью к плоскости дороги и ф — угол в плоскости дороги между направлением силы и горизонтальной проекцией недеформированного стержня (рис. 2).

Чтобы определить, как именно направлена сила в горизонтальной плоскости, найдем значение угла ф (рис. 2), при котором достигается минимум потенциальной энергии деформированного стержня.

Обозначим через в координату точки на стержне, 0 ^ в ^ I. Пусть и, V и и — соответственно продольное и взаимно перпендикулярные поперечные перемещения точки стержня с координатой в в сферической системе координат, начало которой находится в основании стержня. Тогда функционал потенциальной энергии изогнутого и сжатого стержня будет иметь вид

П

N

(и')2 йв +

Т

(V'')2 + К)2

йв,

(1)

Рис. 2. Силы, действующие на элемент протектора

где штрихом обозначена производная по координате в; N — продольная, а Т — изгибная жесткость стержня.

Уравнения равновесия точек деформированного стержня выводим из принципа возможных перемещений аналогично плоскому случаю [1]:

^и''(в)=0, 0 ^ в ^ I; Ти1¥(в)=0, 0 ^ в ^ I; Ти1¥(в)=0, 0 ^ в ^ I; и(0) = 0, N4' (I) = ^; v(0) = V' (0) = V''© = 0, Тг/''(1) = w(0) = и' (0) = и''(1) = 0, Ти'''(1) = .

2

2

Решение уравнений равновесия (2) имеет вид

Ф) = Ф) =

2

6

w(s) =

Fe (ls2 s3

6

T \ 2

(3)

где Fr, Fe и F(p проекции сил реакции Fn и Fт на оси сферической системы координат, единичный вектор ег которой направлен по оси недеформированного стержня, вектор е^ ортогонален ему и лежит в вертикальной плоскости, вектор ее расположен в горизонтальной плоскости и дополняет ег и е<^ до правой ортогональной тройки (рис. 2):

Fr = — Fn cos f — FT sin f cos ф, Fv = Fn sin f — FT cos f cos ф, Fe = FT sin ф.

(4)

Далее, подставим в выражение потенциальной энергии (1) решение уравнений равновесия (3). При этом выражение (1) примет вид

i

0

Y{l~s)) +{Y{1~s)

F2, . F2 + Fe2,s

ds = — l + 2 N

6T

l3.

(5)

Теперь, подставив в (5) значения сил Fr, Fv и Fe из (4), будем иметь

l3

l 2 l 2 l 2

П = —— COSÍ/? — Fr sinocos 0) + — SÍnt£> — Fr COS Lp COS ф) + — (-Fr sin'0) .

l3

2N

6T

6T

Чтобы найти значение угла ф, при котором достигается минимум потенциальной энергии, вы-

числим дП/дф и исследуем нули этой производной. Введя обозначение £ = 3Т/ (Ж12), получим

Ш F2¿3 дф

т " sin2 <ß sin Ф (1 — () ( ^ Ctg Lp + COS Ф

3T

FT

(6)

Величина Fn/FT, входящая в выражение для дП/дф, имеет смысл отношения нормальной силы реакции к силе трения и в общем случае превышает единицу. Функция ctg f стремится к бесконечности при значениях аргумента, стремящихся к нулю. В силу этого будем считать, что справедливо

условие

F Fn

— ctg у? > 1.

FT

Тогда выражение, стоящее в правой части соотношения (6), обращается в нуль, если выполнено одно из следующих условий.

1) sin ф = 0. Проверим, являются ли точки ф = 0 и ф = п экстремумами функции П. Анализируя выражение

д2П FT2l3 . 2 — -Sin' (fix

дф

2

3T

F

n

Рис. 3. Неподвижная система координат ОХ 1Х2Х3 и углы, задающие положение стержня в пространстве

х (1 — С) Г ctg V cos Ф + cos

заметим, что последняя скобка положительна в окрестности ф = 0 и отрицательна в окрестности ф = п. Таким образом, при ( < 1 минимуму потенциальной энергии соответствует значение ф = 0, а максимуму — значение ф = п. То есть сила FT, действующая на стержень в горизонтальной плоскости, направлена к "центру зоны контакта" (назовем так точку H — проекцию центра колеса на плоскость дороги (рис. 3)). При Z > 1 ситуация меняется на противоположную: ф = 0 соответствует максимуму, а ф = п — ми-

3

s

2

нимуму потенциальной энергии, и сила FT направлена от "центра зоны контакта", при этом она остается в плоскости наклона стержня. Данный результат согласуется с выводами, полученными при рассмотрении двумерной задачи.

2) Z = 1. Значение Z = 1 соответствует отсутствию проскальзывания концов стержня вне зависимости от величины коэффициента трения. В двумерном случае задача о движении колеса при условии Z = 1 подробно рассматривалась в статье [1].

Таким образом, в плоскости дороги конец стержня будет смещаться вдоль прямой, проходящей через конец стержня и проекцию центра колеса на поверхность дороги.

2. Зона контакта. Определение областей проскальзывания. Вычислим границы зоны контакта для колеса с развалом. Обозначим угол между плоскостью колеса и вертикальной плоскостью (угол развала) через а и будем считать его постоянным. Введем неподвижную систему координат OXiX2X3 с началом в точке O, совпадающей с центром колеса в недеформированном состоянии, т.е. до его смещения под действием нагрузки. Пусть ось OXi направлена вертикально вниз, OX2 горизонтальна и лежит в плоскости недеформированного колеса, OX3 образует вместе с OXi и OX2 правую ортогональную тройку и параллельна оси колесной пары (рис. 3).

Также введем подвижную систему координат Сх 1X2X3 с началом в центре диска, связанную уже не с колесом в целом, а с отдельным элементом протектора. Ось Cxi считаем направленной вертикально вниз, Cx2 — горизонтальной и параллельной прямой, соединяющей в плоскости дороги проекцию точки O с точкой, в которой недеформированный стержень касается дороги. Ось Cx3 образует с Cxi и Cx2 правую ортогональную тройку (рис. 4). Таким образом, система координат СЖ1Ж2Ж3 связана с актуальной конфигурацией системы диск-протектор, а OX1X2X3 — с начальной.

Пусть центр колеса переместился на величину x вдоль вертикальной оси OXi , что соответствует отрезку OC на рис. 3. Условие того, что стержень протектора находится в контакте с дорогой, запишется в виде

(а + 1) cos а cos рп ^ (а + 1) cos а — ж,

(7)

Рис. 4. ввязанная со стержнем еистема координат CxiХ2Х3 с началом в актуальном положении центра колеса

где через рп обозначен угол в плоскости колеса, задающий положение стержня на диске, —п ^ рп < п. Заметим также, что рп является проекцией угла р на плоскость колеса. Пусть значение рп0 соответствует крайнему стержню в зоне контакта и зона контакта определяется соотношением —рп0 ^ рп ^ рп0. Определим рп0 из (7), заменив знак неравенства знаком равенства:

(а + 1) cos а cos рп0 = (а + 1) cos а — x;

получим

рПо = arccos 1 —

ж

(а + 1) cos а

Положение конца стержня при условии, что он проскальзывает в процессе нагрузки, определяется в системе координат Сж^2ж3 вектором

R(1) = (R cos а — x)ei + (R sin р + y)e2,

(8)

где р — угол между стержнем и нормалью к плоскости, R = а + 1; ei и в2 — орты осей Cxi и Cx2; y — величина проскальзывания вдоль оси Cx2. С другой стороны,

R(1) = (R + u)er + vef = R +

IFr N

er +

¿4,

3 T

(9)

Учитывая, что ei = er cos р — ev sin р и e2 = er sin р + ev cos р, приравняем правые части соотношений (8) и (9) и получим выражения для Fr и F^:

N 3T

Fr = —— [(ж ~~ R cos а + R cos <Р)cos Р sin pj , Ftp = —р [(ж — -ñ cos а + R cos p) sin p + у cos p].

(10)

e

После введения обозначения г(р, а, x) = x — R cos а + R cos р, имеющего смысл вертикального смещения конца стержня, выражения для сил (10) перепишутся в виде

N NZ

Fr = — — [(z(p, а, х) cos р — у sin р] , F^ = -у- [z(p, a, x) sin p + y cos p]. (11)

Заметим, что представление сил (11) совпадает с формулами для Fr и F^, полученными в статье [1] для двумерного случая. Отличие состоит лишь в виде функции, обозначенной буквой z. Для плоского случая при фиксированном значении перемещения центра колеса x функция вертикального смещения конца стержня z зависит только от координаты стержня на диске рп; в трехмерном случае добавляется зависимость z от угла развала а.

Используя соотношения (11), найдем проекции Fn и FT реакции в точке контакта на оси Cxi и

Cx2:

Fn = - j [z(l + С tg2 p) + y{С - 1) tg p] cos2 p < 0, FT = j [z(( - 1) tg p + y(tg2 p + 0] cos2 p.

(12)

При симметричном относительно центра зоны контакта отклонении концов стержней нормальная компонента реакции Fn является четной функцией угла р, а касательная компонента FT — нечетной. Отметим, что Fn и FT, определяемые формулами (12), вообще говоря, могут не совпадать по знаку с Fn и FT из п. 1, где мы считали эти величины положительными. Так происходит вследствие того, что в п. 1 силы считались положительными с неизвестным направлением в случае FT, которое предполагалось определить, а в п. 2 эти силы являются проекциями силы реакции на оси заданной заранее системы координат.

Таким образом, мы нашли компоненты реакции, действующей на конец стержневого элемента протектора.

Рассмотрим теперь задачу, где взаимодействие конца стержня с плоскостью дороги описывается законом сухого трения с коэффициентом f. Условие равновесия стержня (и как следствие отсутствия проскальзывания) в области контакта будет иметь вид

|Ft| < —f ■ Fn

или с учетом формул (12)

|z(Z — 1)tgр + y(tg2р + z)| < f ■ [z(1 + ztg2 р) + y(Z — 1)tgр]. (13)

Значения y, удовлетворяющие неравенству (13), определяют возможные положения равновесия конца стержня при заданной величине z^, а, x). Таким образом, для стержня с наклоном р при заданном перемещении центра колеса x и фиксированном угле развала а неравенство (13) позволяет определить множество значений горизонтальных смещений y конца стержня, при которых возможно равновесие системы. Рассмотрим несколько важных следствий неравенства (13).

Если сухое трение в точке контакта с дорогой отсутствует (f = 0), то согласно (13) область возможных положений равновесия конца стержня сводится к одной точке, а его горизонтальное смещение yo определяется уравнением

z(Z — 1)tg р + yo(tg2 р + z) = 0,

откуда

tg2 р + z

Заметим, что перемещение yo конца стержня неотрицательно при (1 — z) tg р > 0 и неположительно при (1 — z) tg р < 0. Для отрицательных углов р картина противоположная. Таким образом, концы стержней, определяемых разными значениями угла р, перемещаются либо от "центра зоны контакта", когда z < 1, либо к "центру зоны контакта", когда z > 1. Отметим, что здесь имеется в виду перемещение конца стержня относительно первоначальной точки контакта. При этом независимо от значения z деформированная ось стержня находится с внешней стороны от оси недеформиро-ванного стержня.

Теперь определим области проскальзывания и прилипания внутри зоны контакта при наличии сухого трения в точке контакта. Сравним результат, полученный для колеса с развалом, и решение

аналогичной задачи для вертикально расположенного колеса [1]. Если проскальзывание отсутствует, то у = 0, и неравенство (13) принимает вид

|(Z - I)tg и < f • [1 + Z tg2 р.

(14)

Отметим, что для вертикально расположенного колеса (в этом случае р = рп) неравенство (14) всегда выполняется в некоторой окрестности р = 0, т.е. в "центре зоны контакта" обязательно существует область, в которой отсутствует проскальзывание [1]. В трехмерном случае, когда плоскость колеса отклонена от вертикали на угол а, область прилипания в "центре зоны контакта" появляется не при любых условиях. Это связано с тем, что угол р зависит от угла развала а:

cos р = cos рп • cos а,

(15)

где рп — угол в плоскости колеса, "координата" стержня на диске. Из-за присутствия постоянного множителя cos а левая часть неравенства (14) необязательно стремится к нулю при малых значениях угла рп. То есть неравенство (14) может нарушаться даже в центре зоны контакта при определенных соотношениях Z, f и а. Для того чтобы определить границы зоны проскальзывания в зависимости от угла на диске рп, подставим выражение (15) в неравенство (14). Сначала перепишем (14) в виде

IZ -1|

1

cos2 р

-1 < f

(1-0 + -1-

cos2 р

а затем после подстановки (15) получим

IZ -1|

cos2 рп • cos2 а

- 1 < f

(1 - Z) +

cos2 рп • cos2 а

(16)

При фиксированной величине угла развала а значения рп, удовлетворяющие неравенству (16), определяют стержни, концы которых не проскальзывают. Таким образом, в трехмерной задаче, в отличие от плоской, границы области проскальзывания будут зависеть и от угла развала. Отметим, что величина зоны контакта, где проскальзывание отсутствует, не зависит от вертикального смещения диска колеса х после того, как нарушается неравенство (16).

Из анализа неравенства (16) следует, что существует условие, при котором проскальзывание будет отсутствовать в любой точке зоны контакта, а именно £ = 1 или 3Т = Ы12. Очевидно, что в процессе конструирования протектора желательно, чтобы это условие выполнялось, так как оно обеспечит отсутствие проскальзывания в точках контакта при любом коэффициенте трения и уменьшит тем самым износ протектора шины. Нарушение этого условия может привести к появлению областей проскальзывания в зоне контакта при достаточно малых коэффициентах сухого трения.

Зоны проскальзывания определяются значениями углов рп, при которых нарушается неравенство (16).

3. Переход к модели непрерывного протектора. Реакции, действующие на колесо с деформируемой периферией. Найдем для колеса с развалом а суммарную величину вертикальных составляющих реакций в точках контакта, полагая существование непрерывного множества стержней, расположенных вдоль радиусов диска колеса, в случае отсутствия проскальзывания концов стержней. Заменим продольную жесткость одного стержня N на удельную жесткость п = характеризующую продольную жесткость единицы длины непрерывного стержневого протектора (здесь г — общее количество стержней). Положим в первом равенстве (12) у = 0 (следствие отсутствия проскальзывания) и найдем величину нагрузки как сумму нормальных реакций всех стержней:

P =2

1 П - 2

fn0 №q

/2nR f

\Fn\dipu = —j— / [cos2 рп • cos2 ail — () + (] (x — Rcos a + Ecospn • cos a) dpn- (17)

Z

1

Суммарная касательная сила для вертикального колеса равна нулю в силу симметрии зоны контакта. Для колеса с развалом вычисление суммарной касательной силы представляет интерес,

так как FT имеет ненулевую проекцию на ось OX3 и определяет, таким образом, силу, действующую на ось колесной пары:

<рщ

PT = 2 J FT cos £ dpn, 0

где через £ обозначен угол на горизонтальной плоскости между проекциями оси стержня и оси OX3 (рис. 3).

Угол £ определим из тетраэдра CMHK: CK = R, ZHCK = р, ZMCH = a, ZMCK = рп, ZMHK = £, CH ± KH и CH ± MH, MK ± MH и MK ± MC, где

^ . MH R cos рп ■ sin a cos рп ■ sin а

МН = R cos рп • sin а, cos £ = -7-77 =---=-.

KH R sin р sin р

Тогда в случае отсутствия проскальзывания (y = 0) имеем

^ nR(Z — 1) sin 2а /■ . ^ ^ . 2 , .

Рт =--- / (ж — Rcos а: + Rcos рп • cos а) cos рп«рп- (18)

0

Полагая малым вертикальное смещение ж, получим приближенные значения интегралов для Pn и PT. Для этого разложим подынтегральные выражения в ряды Тейлора и отбросим члены порядка

4

малости выше рп.

Отметим, что в случае ж ^ 1 для угла рп0 верна аппроксимация

рПо = arceos (i - —^—) pa J 2Х . (19)

0 V Rcos a) V Rcos a

Используя под знаком интеграла формулы разложения тригонометрических функций cos рп, cos2 рп и cos3 рп в ряды Тейлора в окрестности рп = 0, а затем вычисляя определенный интеграл с учетом аппроксимации (19), представим формулу (17) для вертикальной составляющей силы реакции Pn в виде

АпКл/2 (, 9 Л 9 4 3/9 8( - 7 (cos2 а + (sin2 а)

Рп «-; (cos2 а + С sin2 a) x¿/2 + —--—----- ж5/2+

ЗУ Reos a ' 20-ñ cos а

+ 2(Ц0со^аж7/2 + , 7/2 5R cos a V

Отбросив в последней формуле члены порядка малости выше 5/2, получим приближенное значение интеграла (17) для суммарной вертикальной силы реакции в случае отсутствия проскальзывания:

АпКлД о/о (/ 9 i. 9 \ 8( - 7 (cos2 а + (sin2 a) \ , ч

Рп к-, ж (cos2 а + С sin2 a) + —-^—----ж . (20)

3¿\/iícosa lV Ц У 20-ñcos a i v ;

Заметим, что в случае, когда угол развала а = 0, т.е. плоскость диска колеса перпендикулярна плоскости дороги, выражение (20) приобретает вид

4nRV2 /2/ 8С-7 п 3IVR^ V 20 RX

что совпадает с результатом, полученным в работе [1] для двумерной задачи, а также качественно согласуется с результатами контактной задачи Герца [6].

Далее определим величину суммарной касательной реакции PT, действующей на протектор со стороны плоскости. Разложив подынтегральные функции cos рп и cos2 рп в ряды Тейлора в окрестности рп = 0 и вычислив определенный интеграл из выражения (18) с учетом аппроксимации (19), получим

р и nR(( — 1) sin 2а / 2V2 ^3/2__7_V2_^5/2 _4^/2_^7/2 7/2

I 13 Vr cos a 30(R cos a)3/2 15(R cos a)5/2

4га(3Сг 1-> л/2-Rcos a • sin a • ж3/2 (l — ^ЛГЕ

20Rcoea X) ■

Для вертикального колеса (a = 0) суммарная касательная реакция PT будет равна нулю.

Когда в зоне контакта присутствует проскальзывание, формулы для Pn и PT усложняются. Тогда интегрирование должно вестись отдельно по области контакта и области прилипания с учетом актуальной величины проскальзывания у, зависящей в общем случае от истории нагружения.

Постановка данной задачи была предложена автору профессором В.Г. Вильке (1938-2016). Автор приносит благодарность доценту А.С. Кулешову за обсуждение результатов и ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вильке В.Г., Гусак Г.В. Об одной модели армированной шины со стержневым протектором // Прикл. матем. и механ. 2011. 75, вып. 3. 350-354.

2. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ, 1997.

3. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.

4. Левин М.А., Фуфаев Н.А. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989.

5. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. London: Elselvier, 2005.

6. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1942.

Поступила в редакцию 06.12.2017

УДК 532.517.4

О ПОДДЕРЖАНИИ КОЛЕБАНИЙ В ТРЕХМЕРНЫХ БЕГУЩИХ ВОЛНАХ В ПЛОСКОМ ТЕЧЕНИИ ПУАЗЕЙЛЯ

В. О. Пиманов1

Численно исследованы два решения трехмерных уравнений Навье-Стокса, описывающие движение жидкости в плоском канале. Решения имеют вид бегущей волны и периодичны в продольном и боковом направлениях. Показано, что в каждом решении колебания возникают в результате линейной неустойчивости осредненного вдоль потока поля скорости. Его неустойчивость связана с наличием продольных полос — областей, в которых скорость выше или ниже среднего значения. Выявлен механизм поддержания продольных вихрей, ответственных за формирование полос. Полученные результаты подтверждают и расширяют существующие представления о механизме образования пристенных турбулентных структур.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, прямое численное моделирование, плоский канал, турбулентное течение, пристенные полосы, продольные вихри.

Two solutions of the three-dimensional Navier-Stokes equations are studied numerically. The solutions describe the fluid motion in a plane channel. They are traveling waves that are periodic in streamwise and spanwise directions. We show that, in each solution, oscillations arise as a result of a linear instability of the streamwise averaged velocity field. We associate the instability with the existence of streamwise streaks that are domains with relatively high and low fluid velocity. We present the streamwise vortices generation mechanism and show that

1 Пиманов Владимир Олегович — науч. сотр. Ин-та механики МГУ, e-mail: pimanov-vladimir@yandex.ru.