О движении колеса по снегу Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.391

О ДВИЖЕНИИ КОЛЕСА ПО СНЕГУ

В. Г. Вильке1, А. А. Семёнов2

В работе предлагается модель снежного слоя, представленного непрерывным набором столбиков, деформации которых описываются нелинейной моделью идеальной упругопла-стической сплошной среды, обладающей диссипативными свойствами. Поле касательных напряжений при взаимодействии твердого колеса со снегом определяется законом сухого трения. Из уравнений движения, описывающих плоскопараллельное движение колеса, определяются зона контакта колеса со снегом, стационарные движения колеса и режим пробуксовки колеса. Результаты исследований представлены в виде таблиц и графиков, полученных путем численного интегрирования нелинейных уравнений движения, содержащих определенные интегралы с переменными пределами.

Ключевые слова: механическая модель снега, движение недеформируемого колеса по снегу.

A model of a snow layer represented by a continuous set of columns whose deformations are described by the nonlinear model of an ideal elastic-plastic continuous medium with viscous properties is proposed. The field of shear stresses at interaction of a rigid wheel with snow is specified by the law of dry friction. From the equations of motion describing the planeparallel motion of the wheel, there are determined a zone of contact of the wheel with snow, the stationary motions of the wheel, and a mode of slipping the wheel. The research results are represented as tables and diagrams obtained by the numerical solution of the nonlinear equations of motion containing definite integrals with variable integration limits.

Key words: mechanical model of snow, motion of an undeformed wheel on snow.

1. Модель снежного покрова и его взаимодействие с твердым телом. В статье [1] приведены экспериментальные данные о взаимодействии снежного покрова со штампом. Эксперимент проводился на снегу толщиной H = 0,41 м и плотностью ро = 227 кг-м_3 при температуре —9° С. Штамп внедрялся в снег на глубину h, м, —0,2 ^ h ^ 0, под действием переменной нагрузки, и строилась зависимость "нормальное давление р—глубина hn [1, рис. 10]. Зависимость давления р, Па, от перемещения штампа определяется следующими параметрами: е = h/H — деформация столба снега; g = 9,8 м-с~2 — ускорение свободного падения, от которого зависит уплотнение столба снега и распределение его плотности по высоте; р, кг-м-1 — средняя плотность снега по высоте его столба, от которой зависит масса снега в столбе с единичной площадью основания. Согласно Пи-теореме, общий вид этой зависимости представляется в форме

p = pgH-1f(e)(l-signè)/2. (1)

Из формулы (1) следует, что давление на столб снега обращается в нуль, как только штамп начинает движение вверх. Это обстоятельство характеризует снег как нелинейную идеальную упругопласти-ческую среду. При è = 0 величина давления штампа на снег может принимать любые значения между нулем и р = рдН~1 /(е) в зависимости от сил, приложенных к штампу.

Различные зависимости "нагрузка-осадка" используются для описания динамических характеристик снега. По мнению авторов работы [1], наиболее удачной является зависимость h = qj (а + cq). Здесь q — нагрузка; h — осадка штампа; а, с — коэффициенты, связанные с физическими характеристиками снега (температура, плотность, влажность). Указанная зависимость может быть аппроксимирована квадратичной зависимостью в определенном диапазоне изменения входящих в нее величин.

На основании данных работы [1] составим табл. 1.

1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: polenova_t.m@mail.ru.

2 Семёнов Александр Александрович — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: upyachka5322Qgmail.com.

Таблица!

h, м 0 -0,10 -0,16 -0,19 -0,20

р, кПа 0 15 30 45 60

е 0 -0,244 -0,390 -0,456 -0,488

m 0 2,77 5,53 8,30 11,1

д,% 0 13 0 -15 0

В последней строчке таблицы приведены значения А, % относительной погрешности аппроксимации экспериментально полученных значений /(ь) параболой

Це) = -3,44 е + 32,4ь2.

Возможно использование и более точных аппроксимаций экспериментальных данных, например полиномами более высокохх) порядка но е, что приводит к усложнениям при использовании формулы (1) в расчетах сил нормальших) давления снега на колесо. Диееипативные силы, возникающие при деформациях, зависят от е. Учтем диееипативные силы и перепишем формулу (1) в виде

р = pgH~l{f{£) + d{Xe,£)){ 1 " sign ¿)/2, d(X£,£) =

(2)

где х коэффициент вязкости, а е) диесинативная функция. В простейшем случае исполь-

зуем закон линейных вязких сил й{хё, е) = —Формула (2) в этом случае принимает вид

р = рдН~1 (/(£)-Х£), ¿<0.

Если часть поверхности твердохх) тела, контактирующая со енмхш, перемещается в касательном направлении с относительной скоростью V, то возникает ноле касательных сил сг. В области контакта существует тонкая прослойка жидкости, вязкость которой характеризуется параметром ¡л, кг-м_1-е_1. В качестве определяющих закон трения параметров выберем величину нормальнохх) давления р, кг-м_1-е_2, и толщину прослойки жидкости Ь, м, между трущимися поверхностями. Из этих величин составим безразмерную величину

Mv,v)1/2 pb

и, согласно Пи-теореме, представим ноле касательных сил в виде

сг = —цb

-Чф(0 = -VvA), Do(0 = Р I ф(0

(3)

Здесь -Со(С) диесинативная функция, а Ф(£) функция, которая определяет тот или иной закон трения и вид которой может быть получен из эксперимента. В частности, функции Ф(£) = 113 соотношения (3) соответствует закон сухохх) трения с коэффициентом трения к:

сг = — npv(v, v)

(4)

а функции Ф(£) = const. закон вязкохх) трения Стокса. Квадратичное трение тел определяется функцией Ф(£) = 1де 7 постоянная величина. Диесинативная функция не определена в нуле в случае закона cyxoi'o трения, так как она равна -Do(£) = К,Р Соответственно не определено значение ноля касательных сил сг при v = 0. Если принять Ф(£) = fi1 = const, хде число

а > 0 мало, то при v = 0 величина сг

В литературе можно встретить законы трения вида Ф(£) = 1 — дi£2 + д2^ [21 и Ф(0 = A;iarctg(aiO-к'2 aretga^ ("магическая формула") [3]. В случае -Do (О = п\ In cosh (112О функция Ф(£) = ??i??2 tanh(?72^), п\ > 0, П2 > 0, может использоваться в качестве модели трения.

2. Контакт колеса со снегом. Постановка задачи. Рассмотрим колесо, взаимодействующее со снегом (рис. 1). Будем считать колесо неде-формируемым. Радиус колеса равен а,, a его ширина I. Пусть (Хг,Хз) координаты центра колеса С в неподвижной системе координат ОХ 1X2X3,

0, а сила трения зависит от скорости, как

Рис. 1

а угол ip — угол поворота колеса вокруг оси Сх\. На колесо действуют сила F = FqB2 — Ne3, приложенная к центру колеса, и момент Me\ относительно оси Сх\, где ei, в2, ез — орты системы координат Сх 1X2X3. Снег в начальном состоянии имеет толщину II. После взаимодействия с колесом в снегу образуется колея шириной I. Толщину снега в колее обозначим z\. Представим снег в виде непрерывного набора прямолинейных деформируемых стержней, продольные деформации которых описываются моделью вязкой нелинейной упругопластической среды, приведенной в п. 1. При деформациях точки стержней перемещаются только вдоль оси ОХ3, что следует рассматривать как связь, наложенную на перемещения точек снежного покрова. Используем теорему сложения скоростей для точки, являющейся концом стержня, контактирующего с колесом. Если подвижная система координат связана с колесом, то справедливо равенство

vae3 = ve + vr,

где ve = Хгв2 + Хзвз + афт, vr = vrT, т= в2 cos ip + е3 sin Lp. Далее получим

z(ip, t) = Х3 — a cos ср, (ip, t) = Х3 — Х2 tan ip,

(5)

vr = — X2COS-1 ср — аф, 0 ^ (р ^ (р\(t).

Контакт колеса со снегом происходит на той части поверхности колеса, на которой угол <р принадлежит интервалу (<po(t), <p\(t)). Углу <po(t) соответствует точка колеса, в которой выполняется равенство z(ipo,t) = Х3 — Х2 tan ipo(í) = 0. При ip > <fo(t) имеем z((po,t) < 0, и столб снега испытывает сжатие, а при <р < <po(t) имеем z(<po,t) > 0, но согласно свойствам идеальной пластической среды высота столба снега не может увеличиваться и остается постоянной. Это означает, что контакт снега с колесом прекращается.

Угол <рi, определяющий другую границу зоны контакта колеса со снегом, подлежит определению. Он удовлетворяет равенству

Х3 — Н = a cos <pi. (6)

Верхняя площадка столбика снега взаимодействует с колесом. На эту площадку размером adípdX\ действуют поверхностные нормальные и тангенциальные силы р„и<т соответственно. Проекция их суммы на ось Сх3 равна давлению на столб снега со стороны колеса (рис. 1):

рп +atanip = pgH(f(e) - x¿), (7)

где а = сгт, рга = рпn, n = — sint£>e2 +cosc/?e3. Согласно соотношениям (5), имеем

е = z((p, t)H~l — 1 = Х3 — ai cos Lp ^ 0, ё = z(<p, t)H~l = ±3 — ±2 tan ip, хз = X3 H~l — 1 = ai cost^i, а\ = аН~1, ±2 = X2 H~l.

Рассмотрим класс регулярных движений колеса, когда проекция поля касательных сил в зоне контакта на единичный касательный вектор т во всей зоне контакта положительна, что соответствует неравенству

vr = —X2C0S-1 <р — аф > 0, <fio(t) ^ <fi ^ <fii(t)- (8)

В этом случае закон сухого трения (4) принимает вид

а = -крпт , (9)

где к — коэффициент сухого трения снега о поверхность колеса. В результате из соотношений (7) и (9) получим

_ pg(f(e) ~ X¿)

Рп —

H(l +nth-nip)' (10)

f(é) — x¿ = —3,44 ai (cos ipi — cos ip) + 32,4 af (cos — cos^)2 — %(¿3 — ¿2 tan ip).

Главные вектор сил и момент сил относительно центра колеса вычисляются по формулам

Г = Ег + Ез,

VI

Mi = крдН~1а21 í d(fe

, J J 1 + Ktan tp * '

Vo

vi

к — tan Lp (11)

__i , , к — taño?

F2 = pgH al / {fie) - xe) ——--eos tp dip e2,

J 1 + к tan Lp

Vo

vi

F3 = pgH~lal J(f(e)~x¿) eos ipd(pe3.

Vo

Заметим, что условие X2COS-1 ip + аф < 0 выполняется в случае, когда колесо катится с неотрицательным ускорением по горизонтальной плоскости или в гору. Тогда ф < 0, и проскальзывание в зоне контакта во всех точках происходит в одном направлении.

Согласно последнему соотношению в формулах (5), проскальзывание в зоне контакта может отсутствовать только в одной точке, которая разбивает зону контакта на две области с противоположными направлениями относительных скоростей скольжения. Сложность состоит в том, что значение угла <£>*, при котором направления проскальзывания меняют знак, заранее неизвестно и подлежит определению в процессе решения задачи.

При перемещении колеса вдоль оси ОХ2 очередной столбик снега входит в контакт с колесом. Этот процесс моделируется мягким ударом и характеризуется силой, возникающей на передней кромке зоны контакта при <р = <рКоличество движения, которое сообщается столбику снега, примем равным

АтАи = PAt,

где Am = poHlX2At, А и = (Х3 — Х2 tany?i)/2. В последнем соотношении принято линейное распределение скоростей в столбике снега, вся масса столбика т сосредоточена в его центре, А и — скорость центра масс. В результате получим силы и момент, характеризующие мягкий удар по колесу в передовой граничной точке зоны контакта:

Р = Р2 + Р3,

Т ПК тгЗ 7 х2(хз - x2tmip>i)

Li = -0,5 кроН al-——--еь

1 + Ktan^i ^^

Р2 = —0,5 роН31х2(хз — ¿2 tan ip{) eos <pi ез,

-г. ^ ттч,. /. ч к— tan^i

Р3 = -0,5 роН°1х2{Хз - х2 tan ipi) --eos <pi e2.

1 + к tan Lp 1

Уравнения движения колеса получим из теоремы об изменении количества движения его центра масс и теоремы об изменении момента количества движения относительно центра масс:

тх2Н = F0 + F2 + Р2,

тхзН = -N + F3 + P3, (13)

JCp М • Л /1 • /.,.

где, согласно (11) и (12), имеем F^ = F^e^., Р^ = Рkek, к = 2,3; М\ = Miei, L\ = Liei, a J — момент инерции колеса относительно оси Сх\. Система уравнений (13) дополняется равенством (6) и условием, определяющим угол ipo(t):

Х3 = а\ cosc^i, ¿3 = ¿2 tan^o- (14)

Полная система уравнений (13), (14) при заданных Fo, N, М содержит пять уравнений относительно пяти неизвестных ¿2, Хз, ф, Lpo, Lp\. Полученные уравнения справедливы, если выполняется неравенство (8).

3. Стационарные движения колеса. Рассмотрим множество стационарных движений, когда ¿2 = v = const ^ 0, Хз = const > 0, ф = со = const < 0, <ро = 0, ipi = const > 0 и справедливо неравенство (8). Очевидно, что стационарные движения возможны, если величины Fo, N, М в уравнениях (13) постоянны и выполняются равенства

Fo + F20 + Р20 = 0, -N + F30 + Рзо = 0, М + Мю + Lio = 0,

(15)

хз = a i cos ip i.

Здесь второй нулевой индекс в переменных означает, что в выражениях (11), (12) следует принять ¿2 = V, Хз = 0, <p>o(t) = 0. Решение системы (15) можно найти численно.

Рассмотрим вопрос о предельных значениях угла ^ и нагрузки N, когда колесо буксует на горизонтальной плоскости, т.е. v = 0, Fq = 0, со = const < 0. Примем следующие значения параметров:

а = 0,5 м, I = 0,2 м, Я = 0,41 м, р0 = 227 кг-м"1.

Полагая в уравнениях (15) скорость поступательного движения колеса v = 0 и рассматривая режим пробуксовки с постоянной угловой скоростью со < 0, достаточной, чтобы выполнялось неравенство в (8), представим систему уравнений (15) в виде

^20 = 0, -N + F30 = 0,

16

М + Мю = 0, хз = а\ cos ср.

Если в первом уравнении системы (16) заменить хз выражением а\ costal и учесть второе равенство в соотношениях (10), то получим нелинейное уравнение относительно угла р)\\ <pi

J (—42 (cos ípi — cos tp) + 48,15 (cos <p>\ — cos <p)2) ^^ tan у ^^ tpdip = 0. (17)

0

После того как определен угол <р\ из уравнения (17), вычисляются значения N и М, при которых колесо буксует на месте и не может двигаться вперед. Определяющим параметром в данном случае является коэффициент трения колеса о снег п. Результаты численных расчетов на основе Таблица2 соотношений (16), (17) приведены в табл. 2.

Найдем параметры стационарного движения v, <р>\, М из уравнений (15), полагая в качестве примера Fo = 0, N = 1800 Н, к = 0,35, % = 1 с. Угол <р>о = 0 при стационарном движении согласно второму уравнению системы (14). Угловая скорость вращения колеса при его стационарном движении не входит в правые части уравнений (15) и может принимать любое постоянное значение. Ее постоянство обеспечивается соответствующим выбором момента внешних сил М.

В результате численного интегрирования уравнений (14) при выбранных числовых значениях параметров найдем ip\ = 0,79 рад, v = 1,90 м-с-1, М = —304,6 Н-м. Напомним, что при стационарном движении должно выполняться неравенство в соотношениях (16). В данном случае и) < —v(aicosipi)~1 = —1,631 с-1.

4. Переходный процесс. Исследование динамических процессов, описываемых уравнениями (13), базируется на их численном интегрировании. Представляется, что в зависимости от значений внешних сил Fo, N и момента М, а также начальных условий движения характер динамических процессов может претерпевать изменения. В частности, движение может стремиться к стационарному движению, или к буксованию колеса на месте с увеличивающейся угловой скоростью вращения, или к ускоряющемуся движению центра колеса вдоль оси ОХ2.

Рассмотрим в качестве примера переходный процесс, описывающий движение колеса, стремящегося к стационарному движению. Сохраним значения параметров механической системы и значения сил и момента, соответствующие стационарному движению, найденному в п. 3. Обозначим со = Х3Н, z = ф. Запишем систему уравнений (13) в виде

к ч>ъ рад N, Н М, Н-м

0,2 0,59 186 -18,4

0,25 0,74 473 -58,1

0,3 0,90 1070 -156

0,35 1,05 2020 -341

0,4 1,20 3460 -663

'fil

80г> = 543 J(48,2 (cos ipi — cos ф)2 — 4,2 (cos ipi — cos ф) — ш +

fiO

(18)

. 0,35 — tan Lp 9 0,35 — tan Lp

+ -г; tan </?)-cos wrfw + 1,56 (гт — ш -cos ld\,

1 + 0,35 tan y v v v ; 1 + 0,35 tan ip ^

'■pi

80 cü = 543 J(48,2 (cos Lpi — cos Lp)2 — 4,2 (cos Lpi — cos ф) — ш +

fio

+ v tan íp) cos Lp dp + 1,56 v2 cos — 1800,

Lpl 9 9

_ f 48,15 (cos Lp\ — cos wV — 4, 2 (cos Lp\ — cos ф) — ш + гг tan w , 4s = 95 / -i---—-i---—-- dip +

J 1 + 0, 35 tan Lp

fiO

0, 27 (v2 - vu)

+ 7—тт^т—- - 305'

1 + 0, 35 tan Lp i

2со / -1ч

(ybi =--, <¿?o = arctan icov ).

sin Lp i

Числонноо решение системы (18) с начальными условиями

?;(0) = ОД м-с"1; ш(0) = 0 м-с"1; ^(0) = 0,6; z(0) = -Зс"1

соответствует начальному положению колеса, погруженного в снег и вращающегося вокруг своей оси с отрицательной угловой скоростью. Скорость колеса вдоль осп ОХ2 положительна, но меньше своего стационарного значения. Фактически речь идет о начале движения колеса в режиме проскальзывания.

На рис. 2 представлены графики, описывающие переходный процесс, когда колесо начинает двигаться с малой начальной скоростью г>(0) и отрицательной угловой скоростью с(0). На рис. 2,а изображен процесс возрастания скорости поступательного движения X?, которая стремится к своему стационарному значению. Скорость центра колеса по оси ОХз представлена на рис. 2,6, а по графику на рис. 2, г можно определить изменение угловой величины правой границы зоны контакта. Левая граница зоны контакта колеса со снегом определяется отрицательным углом Lpo(t) (рис. 2, в),

Ф0,рад фррад Z;C-l=i¡/

Рис. 2

который стремится к нулю при стремлении скорости центра колеса к стационарному значению. Все величины на рис. 2 стремятся к стационарным значениям.

Из характера графиков следует, что величины Х3, ipo, ip приближаются к своим стационарным значениям в течение первой секунды от начала движения. Величины Х2, оказываются в окрестности своих стационарных значений к концу шестой секунды от начала движения. Отметим, что угол (pi(t) определяет величину просадки колеса в снежном покрове а( 1 — cost^i).

Другие режимы движения могут быть получены путем численного интегрирования системы уравнений (13) с другими значениями параметров и другими начальными условиями движения.

В заключение отметим, что интегродифференциальные уравнения движения (18) содержат в правых частях определенные интегралы, пределы и подынтегральные функции которых зависят от искомых переменных ip\, со, v.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, уникальный идентификатор проекта RFMEFI57714X0080.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барахтанов Л.В., Блохин А.Н., Денисенко Е.Г., Носков A.M. Способ определения силы сопротивления движению по снегу колесного транспортного средства // Актуальные вопросы машиностроения. 2013. Вып. 2. 179-185.

2. Вилъке В.Г., Шаповалов И.Л. Автоколебания двух тел с нелинейным трением // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 4. 39-45.

3. Pacejka Н.В. Tyre and Vehicle Dynamics. L., UK: Elselvier, 2005.

Поступила в редакцию 17.12.2014