К определению крутильных динамических нагрузок, действующих в трансмиссии при движении колеса по неровной дороге

Дмитриев Павел Евгеньевич; Манянин Сергей Евгеньевич; Палутин Юрий Иванович; Слюсарев Анатолий Сидорович

УДК 629.113

П.Е. Дмитриев1, С.Е. Манянин1, Ю.И. Палутин2, А.С. Слюсарев3

К ОПРЕДЕЛЕНИЮ КРУТИЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ТРАНСМИССИИ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОЛЕСА ПО НЕРОВНОЙ ДОРОГЕ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева1 Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия2 Волжский государственный университет водного транспорта3

Технико-эксплуатационные свойства автомобиля лимитируются условиями взаимодействия колесного движителя с дорогой. Одной из приоритетных задач повышения эффективности использования автотранспортных средств является совершенствование системы «движитель - грунт». Приводятся уравнения движения без проскальзывания абсолютно жесткого колеса по абсолютно жесткой дороге с неровным профилем; определяется способ построения функции ординат профиля дороги; выполнен анализ решений нелинейного дифференциального уравнения движения колеса.

Ключевые слова: технико-эксплуатационные свойства автомобиля, колесный движитель, динамическая модель качения, крутящий момент, система «движитель - грунт».

Технико-эксплуатационные свойства автомобиля лимитируются условиями взаимодействия колесного движителя с дорогой. В связи с этим одной из приоритетных задач повышения эффективности использования автотранспортных средств является совершенствование системы «движитель - грунт». Существующие теории не обеспечивают требуемой объяснительной и предсказательной функций, поэтому задача построения динамической модели качения колесного движителя по неровной дороге и решение ее в аналитическом виде является актуальной.

Построение расчетной схемы и уравнений движения колесного движителя

На рис. 1 представлена динамическая схема абсолютно жесткого колеса, катящегося без проскальзывания по абсолютно жесткой дороге с неровным профилем.

Запишем сумму проекций сил, приложенных к колесному движителю, на ось п, т:

I Fn = 0;

Яп - ^ • сов(а) + Бих • 8т( а) - О • сов(а) = 0; (1а)

- Биу • 8т(а) - Бих • соз(а) - О • 8т(а) = 0, (1б)

где Rn - нормальная реакция, действующая на колесный движитель со стороны дороги; Rx - продольная реакция, действующая на колесный движитель со стороны дороги;

= т • Х0 - горизонтальная составляющая силы инерции неподрессоренной массы т, связанной с колесным движителем; Х0 - горизонтальная составляющая ускорения центра (точка О)

колесного движителя; Fuy = туо - вертикальная составляющая силы инерции неподрессоренной массы т, связанной с колесным движителем; уо - вертикальная составляющая ускорения центра (точка О) колесного движителя; G = т^ - вес неподрессоренной массы т, связанной

с колесным движителем; g = 9,81 — - ускорение свободного падения;

с2

а - угол между вертикалью и касательной к профилю дороги в точке контакта колесного движителя с дорогой (точка Р).

У

Уо У

- Ук

-а* Мк

Хо х х

Рис. 1. Схема колеса

Запишем сумму моментов, приложенных к колесному движителю, относительно точки

О:

(3)

X Mo = 0;

Mк - Mu - М - Rr• ^ = 0, (2)

где Мк - крутящий момент, подводимый к колесному движителю от полуоси; М = ^к - инерционный момент, оказывающий сопротивление ускоренному вращению колесного движителя; Jк - момент инерции колесного движителя; е= 'ф - угловое ускорение колесного движителя; Mf= Rn•f•rк - момент сопротивления качению колесного движителя; f - коэффициент сопротивления качению колесного движителя; гк - радиус колесного движителя.

Подставим в уравнение (2) выражения для крутящих моментов:

Мк -•ф-^ • £• гк -гк = 0 .

Выразим из уравнений (1а), (1б) величины Rn, R т и подставим в (3): ^ = т • у0 • ео8(а) - т • х0 • 8т(а) + т • g • ео8(а);

= т • у 0 • блХ а) + т • х0 • еов(а) + т • g • 8!п( а); М - -^к • Ф-{т • у0 • со8(а) - т • х0 • siп(а) + т • g • ео8(а)}^ £ • гк --{т•у0 • siп(а) + т• х0 • cos(а) + т• g• siп(а)}• гк = 0.

Сгруппируем в уравнении (4) слагаемые, при х0, уо, g:

Мк - 1к • ф + х0 • т • гк [£ • siп(a) - cos(а)]-у0 • т • гк [£ • cos(а) + sm(а)]-- т • g • гк [£ • cos(а) + siп(а)] = 0.

В уравнении (5) переменные х0, уо, ф, а являются взаимозависимыми, поэтому, чтобы уменьшить число переменных, выразим х0, уо через остальные.

Модуль вектора скорости центра колесного движителя (точка О) при качении без проскальзывания определяется по формуле:

М = ф • гк,

а его направление соответствует касательной т.

Проекции вектора скорости центра колесного движителя на горизонтальную х и вертикальную у оси соответственно:

(4)

(5)

(7)

Хо = Ф • гк • со8(а); (6)

У о = Ф• Гк • ял(а).

Проекции вектора ускорения центра колесного движителя на горизонтальную х и вертикальную у оси соответственно определятся дифференцированием выражений (6):

Х0 = ф• гк • ео8(«)-ф• гк • 8т(а)•а; уо = ф• гк • sin(а) + ф• гк • ео8(а)•а.

Подставим выражения (7) в уравнение (5) и соберем подобные слагаемые: Мк - 1К • ф + т • гк [£ • sin( а) - cos(а)]• \ф • гк • cos(а) - ф • гк • sin( а) • а]- т• гк \£ • cos(а) + sin(а)] [ф• гк • sin(а) + ф• гк • cos(а) • а]-т• §• гк Г • cos(а) + sin( а)] = 0;

Мк - ф \.1К + т • г2 ]- ф • а • т • гк2 • Г - т • § • гк Г • cos(а) + sin( а)] = 0. (8)

Уравнение (8) содержит две переменные ф и а, которые, в случае движения колесного движителя без проскальзывания, должны однозначно выражаться друг через друга, то есть необходимо найти зависимость а = а(ф). Но угол поворота колесного движителя ф выражается через длину дуги S профиля дороги по формуле:

s

s = р • % или р = — .

гк

Таким образом, для установления зависимости а = а(ф) необходимо найти так называемое «натуральное» уравнение кривой а = а^), описывающей ординаты профиля дороги.

Построение функции ординат профиля дороги

Как правило, неровности дороги моделируют синусоидальным законом, но в данном случае применение такой кривой неудобно, ввиду того, что ее натуральное уравнение не выражается в элементарных функциях.

Подберем функцию ординат профиля дороги у=у(х) из следующих соображений:

• вид функции должен отражать, по крайней мере, основные характерные черты профиля дороги: иметь ограниченную осцилляцию значений, не иметь разрывов и неоднозначностей;

• меть простое натуральное уравнение, выражающееся в элементарных функциях.

Выбор подходящей функции основывается на следующих соображениях. Будем искать функцию ординат профиля дороги у=у(х) в параметрическом виде от натурального параметра s (длины дуги):

Iх = х(^; (9)

У = уф.

Функции (9) связаны с а (угол наклона касательной к кривой в точке, определяемой s) соотношениями:

— = cos(a); * .

— = sin( а). ds

Продифференцируем соотношения (10) по s :

d2x . , ч dа

= - sin(а)--;

d2y , ч dа

—- = cos(а)--.

ds2 ds

Величина = р(Б) - является по определению кривизной кривой.

ёБ

Уравнения (11) с учетом выражения для кривизны и формул (10) запишутся в виде:

ё х ёу

—г = -Р(б) • —;

ёБ

ёх

2 = Р(б) • — •

ёБ ё у

(12)

„ ёБ ёБ

Решая систему двух дифференциальных уравнений второго порядка (12) получим решения х^), у^) для любой заданной кривизны р(б).

Следует заметить, что мы свободны в выборе только четырех произвольных постоянных и длины кривой L, поэтому нельзя задать положения и наклоны обоих концов кривой, так как для этого нужно иметь шесть условий.

Примем р(б) = и • соб(х^ б) , где и = ~, X = 1, тогда система уравнений (12) примет

вид:

ё2х

дБ ёБ2

2 =-7 СОБ(Б) • —'

ёБ

7 г ч ёх

= — соб(б)--•

3 ёБ

(13)

Решение системы двух дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами (13) для визуализации графика решения и определения его соответствия требованию (1) выполнено в МаШСАО (рис. 2).

Рис. 2. Кривая ординат профиля дороги

Для нахождения зависимости а = а(Б) воспользуемся формулой:

ёа , ч

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

— = и с°з(х-б); s

ёБ

ёа = и • соб(х • б) • ёБ, откуда

и •, „ ^ и

С и

а = I и • cos(x • л) • ds = — sin( х •

X Х^ гк

^ ГКф);

ёа _ ё ё1 ё1

и

Х^ гк

х^ гк •Ф)

= иф• С0Б(гк •ХФ) .

(14)

(15)

(16)

7

Подставим выражения (15), (16) с учетом /л = —, х = 1 в уравнение (8), окончательно

получим:

<

MK - ф Фк + m • rK ]"(ф)2 f • m-(rK )2 •f • cos(rK • ф)

m • g • r

f

f • cos

ж sin (rK • Ф )

K

Л f + sin

ж sin (rK • Ф )

V •

(17)

= 0.

Частные случаи уравнения движения и режимы качения колесного движителя

(18)

Уравнение движения (17) является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с ограниченной вариацией нелинейных слагаемых. Перепишем слагаемые, входящие в уравнение (17) в другом порядке и введем следующие обозначения параметров:

MK = ф-[jK + m• г,;2]+ ф a-m• rK2 • f + m• g• rK[f • cos(a) + sin(a)] =

= ф • Jnp + фф)2 • F(a) + m • g • rK • щ(а) = M + M + M, где M = Ф • Jnp - инерционный момент сопротивления ускоренному вращению колесного движителя; Jnp = JK + m • r2 - суммарный приведенный момент инерции колесного движителя; M2 = (ф)2 • F(a) - момент сопротивления, обусловленный неровным профилем дороги; F(a) -функция, вид которой определяется скоростью изменения ординат профиля дороги; M3 = m • g • % • y(a) - момент сопротивления движения, обусловленный силой тяжести; щ(а) = f • cos(a) + sin( a) - коэффициент сопротивления дороги.

1. В случае ровного профиля дороги (a = 0 , a = 0 ), уравнение (18) примет вид:

мк = ф•[jk + m• rK]+m• g• rK •f , которое показывает, что крутящий момент, подводимый к движителю, уравновешивается инерционным моментом и моментом сопротивления качению колесного движителя.

2. В случае достаточно малых ординат профиля дороги (a « 0, a ^ 0 ), уравнение (18) примет вид:

MK = ф• [jk + m• r2]+ ф• a • m• rK2 • f + m• g• rK • f , где второе слагаемое M2 = ф • a • m • rK • f принимает как положительные, так и отрицательные значения (в зависимости от режима движения). Третье слагаемое M3 = m • g • rK • f строго положительное вне зависимости от режима качения. Если принять далее, что крутящий момент Mk, подводимый к колесному движителю, имеет постоянную величину (Mk = const), то угловая координата движителя будет изменяться таким образом, чтобы уравновешивались крутящие моменты M1 и М2:

ф •J + m • r2 ]- ф • a • m • rK2 • f = 0;

ф•[jk + m• ri2]-(Ф)2 f •m•(%)2 •f • cos(rk • Ф) =

3

Для численного решения уравнения (17) в МаШСАО приведем его к стандартному виду: ё р

dt da

= a ;

1

dt JK + m • rK

MK - со2 •f • m •(rj, )2 • f • cos(rK • ф) -

m • g • rK

f • cos

[f • sin (rK • ф)] + sin [f •sin (rK • Ф)

3

r

K

Проведенный численный анализ системы уравнений (18) позволил выявить качественную картину бифуркационной диаграммы рис. 4.

Мк

Рис. 4. Диаграмма параметров бифуркации

На диаграмме рис. 4 показаны три зоны с качественно различной топологической структурой фазового пространства.

1. При крутящем моменте, не превышающем критическое значение Мк < М^, имеют место осцилляционные движения колесного движителя; при превышении величины крутящего момента критического значения происходит движение колесного движителя.

2. В случае, если Мк < М^, возможно движение колесного движителя при начальном значении превышающим критическое.

3. В области критических значений параметров наблюдаются солитонные решения.

4. В процессе качения колесного движителя по дороге с неровным профилем возможно чередование режимов качения.

Библиографический список

1. Шухман, С.Б. Теория силового привода колес автомобилей высокой проходимости / С.Б. Шух-ман, В.И. Соловьев, Е.И. Прочко; под общ. ред. С.Б. Шухмана. - М.: Агробизнесцентр, 2007. - 336 с.

2. Кравец, В.Н. Теория движения автомобиля: учебник / В.Н. Кравец. - Нижний Новгород: НГТУ им. Р.Е. Алексеева, 2014. - 697 с.

Дата поступления в редакцию: 09.10.2018

P.E. Dmitriev1, S.E. Manyanin1, Y.I. Palutin2, A.S. Slusarev3

ON THE ISSUE OF TORSIONAL DYNAMIC WHEEL LOADS DETERMINATION, ACTING IN TRANSMISSION ON THE ROUGH ROAD

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alekseev 1 Nizhny Novgorod state agricultural academy2 Volga state university of water transport3

Purpose: The article presents the equations of motion without slipping of an absolutely rigid wheel along an absolutely rigid road with an uneven profile; provides a method for constructing the function of the vertical profile of the road; The analysis of solutions of the nonlinear differential equation of motion of the wheel is performed.

Design/methodology/approach: Technical and operational properties of the vehicle are limited by the conditions of interaction of the wheel propulsion with the road. Therefore, one of the priority tasks to improve the efficiency of the use of motor vehicles is the improvement of the propulsion-soil system. Findings: In the region of critical values of the parameters, soliton solutions are observed/

In the process of rolling wheel propulsion on the road with a rough profile, it is possible alternation of rolling modes. Research limitations/implications: Existing theories do not provide the required explanatory and predictive functions, so the task of building a dynamic model of rolling of a wheel drive on a rough road and solving it in an analytical form is relevant.

Originality/value: As a rule, road irregularities are simulated by a sinusoidal law, but in this case, the use of such a curve is not convenient, since its natural equation is not expressed in elementary functions.

Key words: vehicle technical and operational properties, wheel propulsion, dynamic rolling model, torque, propulsion-soil system.

Текст научной работы на тему «К определению крутильных динамических нагрузок, действующих в трансмиссии при движении колеса по неровной дороге»