CC BY
21Определение значений величин А Ла и F^ для конкретного больного не представляется возможным, однако табл. i можно использовать для сопоставления позы больного с результатами моделирования и для предположительной оценки этих величин: Ла ^ 3 см, F\ ^ 15G Н.
Итак, предложенная в работе модель операции тендомиопластики по А. М. Журавлеву описывает выпрямление исходной позы больного. Происходит подтягивание слабой мышцы голени за счет перенапряженной задней мышцы бедра. Результаты моделирования в основном совпадают с клиническими данными, и в соответствии с этим предлагаемый подход может служить основой для описания движений пациента.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00418).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Журавлев А.М., Перхурова И.С., Семенова К.А., Витензон А.С. Хирургическая коррекция позы и ходьбы при детском церебральном параличе. Ереван: Айстан, 1986.
2. Eggers G.W.N. Transplantation of hamstring tendous to femoral condyles in order to improve hip extension and to decrease knee flexion in cerebral spastic paralysis ^ J. Bone and Joint Surg. A. 1952. 34. 827-830.
3. Журавлев А.М. О хирургической коррекции хамстринг-синдрома, осложненного слабостью трехглавой мышцы голени, у больных детским церебральным параличом У У Вестн. травматологии и ортопедии им. Н.Н. Приорова. 2006. № 3. 40-43.
4. Кручинин П.А. Математическое моделирование позных нарушений больного при rectus-синдроме ^ Новые технологии в медицине: Сб. докл. Первой Международной дистанционной научно-практической конференции. СПб., 2004. 116-118.
5. Математическое моделирование движений человека в норме и при некоторых видах патологии У Под ред. И.В. Новожилова, П.А. Кручинина. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2005.
6. Гурфинкель В.С., Коц Я.М., Шик М.Л. Регуляция позы человека. М.: Наука, 1965.
7. Копылов И.А., Кручинин П.А, Новожилов И.В. О реализуемости движений по Н.А. Бернштейну У У Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2003. № 5. 39-49.
8. Фельдман А.Г. Центральные и рефлекторные механизмы управления. М.: Наука, 1979.
9. Зациорский В.М., Прилуцкий Б.И. Нахождение усилий мышц человека по заданному движению ^ Современные проблемы биомеханики. Вып. 7. Нижний Новгород, 1992. 81-123.
10. Воронов А.В. Анатомическое строение и биомеханические характеристики мышц и суставов нижней конечности. М.: Физкультура, образование и наука, 2003.
11. Levin M.F. Sensorimotor deficits in patients with central nervous system lesion: Explanation based on the Л-model of motor control ^ Hum. Mov. Sci. 2000. 19. 107-137.
12. Журавлев А.М. Система хирургической коррекции позы и ходьбы при детском церебральном параличе: Докт. дис. М., 1999.
Поступила в редакцию 02.07.2007
УДК 531.391
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ
В. Г. Вильке1, Б. А. Максимов2, С. А. Попов3
Исследуется качение железнодорожной колесной пары без проскальзывания по рельсам с учетом гипотезы увода. Колесная пара представляется двумя конусами, имеющими общее основание, а рельсы — двумя круговыми цилиндрами с параллельными осями. Определяются кинематические характеристики невозмущенного качения колесной пары,
1 Вильке Владимир Георгиевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: Polenova_T.M.@mail.ru.
2 Максимов Бадма Александрович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: badmich@yandex.ru.
3 Попов Сергей Александрович — асп. Матем. ин-та РАН, e-mail: ser.popov@gmail.com.
12 ВМУ, математика, механика, №2
когда ее центр масс движется по прямой, и возмущенного движения, когда центр масс колесной пары описывает синусоидальную траекторию. Для исследуемых движений находятся реакции связей с точностью до малых второго порядка от значений возмущенных переменных. При замене абсолютно жесткого точечного контакта упругим контактом используются гипотеза увода и метод усреднения по быстрым переменным и на основе усредненных уравнений устанавливается величина критической скорости, при превышении которой прямолинейное качение колесной пары становится неустойчивым.
Ключевые слова: динамика железнодорожной колесной пары, критическая скорость.
The railway wheelset rolling without slip is studied with consideration of the creep hypothesis. The wheelset is represented by two cones having a common base; the rails are represented by two circular cylinders with parallel axes. The kinematic characteristics of undisturbed rolling for the wheelset is determined when its center of mass moves along a straight line; these characteristics are also determined in the case of disturbed motion when the mass center of the wheelset moves along a sinusoidal trajectory. For these modes of motion, the constraint reactions are found with an accuracy up to the second order of smallness with respect to the values of disturbed variables. When the absolutely rigid point contact is replaced by the elastic contact, the creep hypothesis is used, the method of averaging with respect to the fast variables is applied, and the critical speed above which the rectilinear rolling becomes unstable is determined on the basis of the averaged equations.
Key words: railway wheelset dynamics, critical speed.
Железнодорожная колесная пара представляется твердым телом — двумя колесами, скрепленными осью. Поверхности колес являются частями поверхностей двух конусов, имеющих общее основание и одинаковые углы при вершинах. Рельсы, по которым катится колесная пара, представим двумя круговыми цилиндрами с одним и тем же радиусом. В случае симметричного расположения колесной пары на рельсах ее центр масс, лежащий на середине оси колесной пары, перемещается при качении колес по прямой. При нарушении симметрии траектория его движения в проекции на горизонтальную плоскость приобретает синусоидальную форму. Движение подобного типа можно назвать шимми железнодорожной колесной пары по аналогии с известным явлением шимми колес самолета при качении по взлетной полосе аэродрома [1]. Это движение, соответствующее качению колес без проскальзывания, анализировалось в 1883 г. Г. Клингелем [2]. В дальнейшем данная проблема изучалась в работах Ф. Картера [3] и И. Рокара [4]. В большинстве современных работ по этой тематике используется численное моделирование с привлечением моделей Ж. Калькера при описании взаимодействия колеса с рельсом [5]. Следует отметить, что в указанных моделях основой служит гипотеза увода, сформулированная в работах [3, 4]. И. Рокар использовал гипотезу увода при описании динамики колес с пневматическими шинами [1, 5].
В данной работе устойчивость прямолинейного движения колесной пары с использованием модели Рокара для бокового увода колес анализируется аналитическими методами с помощью метода усреднения. Получено условие, при котором такое движение асимптотически устойчиво, а именно найдено критическое значение скорости центра масс колесной пары, ниже которого прямолинейное движение устойчиво, а при превышении которого оно становится неустойчивым.
1. Постановка задачи. Голономные и дифференциальные связи. Рассмотрим модель колесной пары железнодорожного вагона. Контактирующие с рельсами участки поверхности колес зададим коническими поверхностями Ед. (к = 1,2), а поверхности рельсов представим в виде двух круговых цилиндров Щ (к = 1, 2). Пусть ОХ1Х2Х3 — неподвижная система координат, относительно которой поверхности рельсов задаются уравнениями (рисунок)
П : [Х2 + (-1)к (l+b sin в)]2 + (Хз+r+b cos в)2 = b2
к = 1,2.
Здесь г, Ь — радиусы колес и рельсов, 21 — расстояние между точками контакта колес с рельсами, когда ось колесной пары параллельна оси ОХ2,
а в — угол конусности колеса. Свяжем с колесной парой подвижную систему координат ÜX\X2X3, относительно которой поверхности колес представим уравнениями
{Xlfc = -(r + Uk sin в) sin ,
X2k = (-l)k+1 (l - Uk cos в), k = 1,2,
X3k = -(r + Uk sin в) cos Pk,
где Uk, Pk — параметры. Положение подвижной системы координат CX1X2X3, связанной с колесной парой, относительно неподвижной системы координат OX1X2X3 зададим вектором перемещений ее начала Re = ^3=1 Xí£í, где £, — орт оси OX,, и матрицей поворота Г1(0), Г3(ф), Г2(р), где
Г1О?) =
/10 0 \
0 cos в — sin в \0 sin в cos в J
Г3(ф) =
cos ф - sin ф 0 sin ф cos в 0
V 0 0 1/
Г2(р) =
( cosP 0 sinр\ 0 1 0 V — sin P 0 cos P )
Пусть K1 — точка контакта правого колеса с правым рельсом. На рельсе этой точке соответствуют цилиндрические координаты (Z1,Y1), а ее радиус-вектор в неподвижной системе координат представляется в виде (рисунок)
R1r = Z1É1 + [l + b(sin в — sin Y1)] £2 + [b(cos Y1 — cos в) — r] £3. (1)
Полярный угол Y1 близок к углу в и отсчитывается от оси, параллельной оси OX3 и проходящей через точку O1 — центр окружности, образующей цилиндрическую поверхность правого рельса. С другой стороны, точка контакта K1 принадлежит конической поверхности правого рельса и ее радиус-вектор в неподвижной системе координат представляется в виде
3
R1w = Ys Xí£í + Г1(в)Г3(ф)Г2(р + P1) [(l — U1 cos в)®2 — (r + U1 sin в)в^ . (2)
í=1
Здесь e, обозначает вектор-столбец с единицей на г-м месте и нулями на остальных местах. Аналогичные соотношения получим для точки K2 — точки контакта левого колеса с рельсом:
R2r = Z2^1 — [l — b(sin 72 + sinв) £2 — [b(cos в — cos 72) +r] £3, (3)
3
R2w = J] Xí£í — Гl(в)Гз(ф)Г2(р + P2) [(l — U2 cos в>2 + (r + U2 sin ^3] . (4)
í=1
Угол 72 отрицателен, близок к углу (—в) и отсчитывается от оси, параллельной оси OX3 и проходящей через точку O2 — центр окружности, образующей цилиндрическую поверхность левого рельса. Когда ось колесной пары параллельна оси OX2 (симметричное положение колесной пары на рельсах), величины U1 = U2 = 0. Приравнивая правые части соотношений (1) и (2), (3) и (4), получим шесть скалярных уравнений относительно обобщенных координат, определяющих положения точек контакта на колесах и рельсах.
Поверхности колес и рельсов в точках контакта имеют общие касательные плоскости, и, следовательно, соответствующие нормали к этим поверхностям коллинеарны:
9Rkw 9Rkw . (9Rkr 9Rkr
-x -= Хк I x
dUk dPk
= k = WL (5)
Здесь \к (к = 1, 2) — коэффициенты пропорциональности. Обозначим р + фи = фи и заметим, что при качении колесной пары по рельсам углы в, ф, р\, р2 малы. Аналогичное утверждение справедливо для безразмерных компонент вектора перемещений центра масс колесной пары Х2/1, Хз/1 и величин П\/т, щ/т, определяющих смещения точек контакта по образующим конических поверхностей колес. Используя это обстоятельство и сохраняя члены первого порядка малости по этим переменным, представим правые и левые части соотношений (5) в виде
dR1w dR1w
dU1 dP1
13 ВМУ, математика, механика, № 2
= Г1(в)Г3(ф)Г2 (P1 ){(cos в e2 + sin в e3) х [e2 х (r + U1 sin в) e3] }
( 1 —ф ФЛ
[(cos в е2 + sin в е3) х ei] =
— (r + ui sin в) ф 1 —в
V—ф1 в 1 J
= (r + u1 sin в) — (ф sin в + ф1 cos в)$1 + (sin в + в cos в)£2 + (— cos в + в sin в)£з], (6)
Х ^f = Х &[cos^2 + sin71^3] = 6(sin71^2 - COS 7i£3).
Из условий (5) при k = 1 (контакт правого колеса) с учетом соотношений (6) получим
ф1 -—ф tg в, 71 - в + в. (7)
Для левого колеса (k = 2) аналогичные выкладки приводят к соотношениям
ф2 - ф tg в, 72 -—в + в. (8)
Запишем соотношения Rfcw = Rfcr (k = 1, 2) в виде системы шести уравнений, сохраняя малые первого порядка, с учетом (7) и (8):
X — ф1 = Z1 + гф1, ( X1 + ф1 = Z2 + гф2,
X2 + в(г + b cos в) = U1 cos в, < х2 + в(г + b cos в) = —u2 cos в, (9)
. X3 + в(1 + b sin в) = u1 sin в, [ X3 — в(1 + b sin в) = u2 sin вИз второго и пятого уравнений системы (9) следует равенство u1 + u2 = 0, а из третьего и шестого — равенства 2X3 = (u1 + u2) sin в = 0 и u1 = —u,2 = (b + l/ sin в)в. Далее найдем
X2 = (l ctg в — г)в, Z1 = X1 — (l — r tg в)ф, Z2 = X1 + (l — r tg в)ф- (10)
Полученные соотношения свидетельствуют о том, что все переменные величины выражаются через три величины X1, ф, в. Отметим, что движение колесной пары по рельсам без проскальзывания является мгновенно вращательным движением твердого тела, поскольку ось мгновенного вращения проходит через точки контакта K1 и K2. Последнее означает, что вектор угловой скорости колесной пары коллинеарен вектору
R,1r — R,2r = (Z1 — Z2)^1 + [b(sin 71 — sin 72 + 2 sin в) + 2l] £2 + b(cos 71 — cos ъ)€3-
Угловая скорость колесной пары в неподвижной системе координат имеет вид
П = в*1 + ффГ1(в)е3 + фГ1(в)ВД)е2 - (в — фф+ ф^2 + (ф + фв)$3-
Условия коллинеарности найденных векторов имеют вид
в — ф ф ф ф + ф в -(/ - г tg [3)ф ~ 1 ~ -Ьв sin/3'
откуда следуют уравнения
в — к1фф = 0, ф + к2фв = 0, k1 = rl-1 tg в> 0, k2 = (l + b sin в)- > 0. (12)
Считая ф > 0 и обозначая штрихом производную по ф, представим систему уравнений (12) в комплексной форме:
W' + i^/hk¡W = 0, W = в + гф^кхк^1 W = qexp[-i(tf + а)}, V = ул/к^к2, (13)
где q, а — произвольные действительные постоянные. Далее найдем
(11)
в = gcos($ + а), ф = —дл/к\к2 sin($ + а). (14)
Следует отметить еще одну дифференциальную связь: скорости точек колесной пары, лежащих на оси мгновенного вращения, в проекции на эту ось равны нулю (качение колес без проскальзывания). Это условие имеет вид
Vc • К, K2 + [П х CK1] • K-K2 = 0. (15)
Рассматриваемая механическая система представляется голономной системой с одной степенью свободы, поскольку количество параметров, определяющих положение системы, равно 14 (Xi, X2, Xз, в, ф, р, ui, pi, U2, Р2, Z-, 71, Z2, 72), а количество связей между этими параметрами равно 13 (четыре условия (5), шесть условий (9), два условия (12) и одно условие (15)). Линеаризованные дифференциальные связи (11), (15) интегрируются в явном виде, и система может трактоваться как система с голономными связями, зависящими от начальных условий движения. Эта зависимость проявляется в формулах (14) как зависимость от произвольных постоянных q, а. В качестве обобщенной координаты можно принять угол р — угол поворота колесной пары вокруг оси Cx2. Скорость центра масс колесной пары равна
Vc = П х (Rc - Riw), (16)
где
Rc - Riw = -Г1(в)Гз(ф)ВД1)[(l - ui cos в)®2 - (r + ui sin в)ез].
Продифференцируем равенство (16) по времени, учитывая зависимость от времени и ui. В результате с точностью до членов первого порядка малости получим
Xi = гф + 1ф + фв(1 + b sin в), X2 = —г(в - фф), хХз = -1в + ripфtg в. (17)
Далее, согласно (12), найдем XXi = гф, X3 = 0. Учитывая первые равенства соотношений (10) и (14), можно утверждать, что проекции точек контакта колес с рельсами на плоскость OX1X2 описывают с точностью до малых высшего порядка синусоиды, амплитуды и фазы которых зависят от начальных условий движения. Период синусоидальной волны L = 2ттг / л/к\к2- Изменение угла р во времени определяется из уравнения Лагранжа второго рода с учетом внешних сил и моментов, действующих на колесную пару, или из закона сохранения энергии, если внешние силы консервативны, поскольку наложенные связи идеальны.
2. Определение реакций связей. Для построения модели взаимодействия колеса с рельсом необходимо знать реакции Ni и N2 в точках контакта. Вернемся к исходной задаче, освободимся от связей в точках контакта Ki, К2 и запишем теоремы об изменении количества движения и момента количеств движения относительно центра масс колесной пары:
mXi = (Ni + N2)^ - mg§3i&, i = 1,2,3,
J(Шi + рв2) +Ш1 х J(ш1 + фe2) = Гз(-Ф)Г-(-в) [CKi х Ni + CK2 х N2] + M2в2, (18)
J = diag{A, B, A}, Ш1 = вГз(-ф)е1 + фез.
Найдем проекции реакций связей на оси неподвижной системы координат, учитывая при вычислении только малые первого порядка в, в, ф, ф и предполагая ф = и = const. Постоянство угловой скорости ф может быть достигнуто соответствующим выбором момента внешних сил M2. Представим равенства (14) в виде
в = <7cos($ + а), ф = — \Jk~[lk2 q sin($ + а), $ = шЬл/к\к2- (19)
Реакции связей найдем в виде N^ = N^q + AN^ (k = 1, 2), где реакции N^q соответствуют невозмущенному прямолинейному качению колесной пары и определяются из уравнений нулевого приближения уравнений (18):
N10 + N20 = тд&з, х (N10 - N20) = 0.
Предполагая, что в невозмущенном случае реакции ортогональны соприкасающимся поверхностям колеса и рельса, получим
Nio& i = N20&1 = 0, N10= -N20&2 = -тд tg в/2, N10^ = N20^ = тд/2.
14 ВМУ, математика, механика, №2
Возмущения реакций удовлетворяют уравнениям первого приближения (члены первого порядка малости) системы уравнений (18):
mXi = (ANi +AN2)£i, i = 1,2,3,
Ав - Биф = mg(r - l ctgв - bcos-1 в)в + l£3(AN1 - AN2) + r£2(AN + AN2),
\20/
0 = M2 - r^ 1(AN1 + AN2),
Аф + Бив = mgl tgв(1 - W - 1(ANi - AN2).
Проекции ускорения центра масс колесной пары (17) с учетом соотношений (19) запишутся следующим образом:
X =0, XX2 = -ru2qk2(1 - h) cos(i? + a), X3 = 0, а система уравнений (20) примет вид
(AN1 + AN2)i1 = 0, (AN1 + AN2)£2 = -mru2qk2(1 - k^ cos(tf + a), (AN1 + AN2)£3 = 0, l(AN1 - AN2)£3 + r(AN1 + AN2)£2 = Ав - Биф + mg(b cos-1 в + l ctg в - r)B, r(AN1 + AN2)^1 = M2, l(AN1 - AN2)i1 = -Аф - Бив + mgl(1 - k1) tg вф-
Из уравнений (19), (21) определяются возмущения реакций связей: 1 /ТГ~
(_l)fc+iANfcil = __ q sin(tf + [mg{i _ kl) tg/? + к1Ш21-1{Ак2 - В)] , М2 = 0,
(AN1 + AN2)^2 = -mru2qk2(1 - k!)cos(tf + a), k = 1,2, (22)
(21)
(-l)fc+1AN^3 = |cos(1? + a)
mr2uj2k2{l — k\) — k2U)2(Ak\ — B) + mq f —+ I ctg 13 — r
1 cos в
В рассматриваемой задаче можно определить только сумму проекций возмущений реакций связей на ось OX2, поскольку рельсы и колесная пара являются абсолютно твердыми телами, контактирующими в двух точках, и задача определения реакций в каждой из них является некорректной без дополнительных предположений.
3. Гипотеза увода при учете упругости в точках контакта и устойчивость прямолинейного движения. Согласно гипотезе увода Рокара, колесо и рельс в зоне контакта обладают упругой податливостью, которая проявляется в деформациях в окрестности точек контакта. Точки контакта в случае качения абсолютно твердых колеса и рельса перемещаются по поверхностям рельсов. При наличии реакций, ортогональных скоростям точек контакта, возникают противоположно направленные этим реакциям малые скорости увода, пропорциональные величинам составляющих реакций и скоростям движения точек контакта. Траектории точек контакта на рельсах представляются формулами (1) и (3). Согласно проведенному выше анализу, все величины, входящие в эти формулы, зависят от времени и двух параметров q и а. По формуле Эйлера (16) найдем проекцию скорости точки C на ось OXi:
X1 = тш + 1шк2в + lф ^ X1 = rut + const.
Введем в точках контакта колес с рельсами ортонормированные базисы (тk, пд, Ьд), где
гк = -j^- =£i -x(cos7fc£2+ sin7fc£3), X = —, \Rkr\ тш
nk = - sin Yk$2 + cos Yk$3,
Ьд = [nk x тk] = X$i +cos Yk$2 + sin Yk$3, к = 1, 2.
Гипотеза увода для каждого колеса формулируется в виде
^q + ^á = -cr\co\(Nk,bk)bk, к = 1,2, (23)
где c — коэффициент податливости при боковых перемещениях колеса относительно рельса в зоне контакта, \u\r = V — модуль скорости центра масс колесной пары в проекции на ось OX\. Системе векторных уравнений (23) соответствует система скалярных уравнений
а\\кй + ai2ka = -cr|w|(Nfc, bfc), апк = hk^j , «т = bfc
(д Rk 1 (д Rk 1
a22k = I )' ^ = 1,2,
из которой определяются производные q и а:
cr\w\ cr|w|
q = —7—«22fc(Nfc, Ьд.), a = —-—a2ifc(Nfc,bfc), Ak = anka22k - ai2ka2ik. (24)
Ak Aк
Используя формулы (1), (3), (7), (8), (13), (14), вычислим коэффициенты в уравнениях (24), пренебрегая малыми величинами более высокого порядка:
аик = а12к - -Ь^, а21к - (-l)fc/(l - h) а22к - (~1)к1(1 - h)
dq да dq да
Ак^ (-1)^(1-А^У^Аъ к = 1,2,
и представим уравнения (24) в форме
4 = -ет\ш\Ь-1(^к, Ък)еов(# + а), а = -сг\ш\Ь-14-1 Ък) 81п(г? + а), к = 1,2. (25)
Уравнения (25) содержат в правых частях неизвестные проекции возмущений реакций в точках контакта колес с рельсами на ось ОХ2. Суммируя правые и левые части уравнений (25), получим уравнения с известной правой частью
cr
q =--^ [x(ANi + AN2)£i + (AN! + AN2)£2 cos (3 + (AN! - AN2)£3 sin0\ cos(tf + a),
à = [x(ANi + AN2)£i + (ANi + AN2)£2 cos/3 + (ANi - AN2)£3 sin/3] sin(tf + a).
(26)
Далее, используя формулы (22), представим уравнения (26) в виде cr ^
q = —^ (Dцо2 - D2)q cos2(tf + a), Di = mrk2{ 1 - h)2 cos f3 + k2l~l{Aki - В) sin/3, 2b
cr ^
a = -^I(V-52)sin2(i? + a), D2 = mg[{l - ki) cos/3 + Ы1 tg/3].
(27)
Уравнения (27) содержат периодические функции времени вида cos sin § и имеют стандартную форму для применения метода усреднения по "быстрому времени" поскольку величина упругой податливости определяет безразмерный малый параметр системы е = c\u\/(mg). В результате усредненные уравнения (27), описывающие эволюцию амплитуды и фазы возмущенных движений колесной пары, примут вид
. = {в^2 _ á = Q (28)
Характер решения первого уравнения системы (28) зависит от знака выражения D(u) = Diи2 — D2: если D(u) < 0, то нулевое решение асимптотически устойчиво q(t) = 0); если D(u) > 0, то нулевое
решение неустойчиво q(t) = то). Коэффициенты Di и D2 положительны для параметров, соответ-
ствующих реальной конструкции рельсов и колесных пар. Это означает, что функция D(u) меняет знак с отрицательного на положительный при значении угловой скорости качения колеса lo* = \JD2/D\. При выполнении неравенства \и\ < и* имеет место асимптотическая устойчивость прямолинейного качения колесной пары, а при \и\ > и* — неустойчивость. Этот вывод следует из анализа решений уравнения (25),
15 ВМУ, математика, механика, №2
полученного в результате применения метода усреднения и линеаризации. Найдем явное выражение критической угловой скорости колесной пары и*. Имеем
и
__тд [(1 - ki) cos (3+ bl 1 tg /3]
~ k2 [l~l{Aki - В) sin(3 + mr( 1 - kx)2 cos (3] '
Критическая угловая скорость определяется геометрическими параметрами конструкции колеса и рельса, а также радиусами инерции колесной пары рг, р2 (А = тр1, В = тр2). Упругая податливость в зоне контакта колеса с рельсом не влияет на характер устойчивости прямолинейного движения, а обусловливает величину производной от амплитуды боковых колебаний центра масс колесной пары. Значение величины упругой податливости, обратно пропорциональной величине жесткости в зоне контакта колеса и рельса, может быть получено на основе эксперимента или численного расчета контактной задачи теории упругости. Согласно второму уравнению усредненной системы, фаза колебаний точек контакта в возмущенном движении не изменяется.
Замечание. Полученные результаты справедливы для углов в > 0, так как при в = 0 поверхности колес становятся цилиндрическими, угол в = 0, а угол ф при любом движении постоянен. В этом случае центр масс колесной пары движется по прямой с постоянной скоростью, если момент внешних сил относительно центра масс колесной пары отсутствует.
В качестве примера рассмотрим следующие числовые значения параметров [2]: г = 0,5 м, I = 0,84 м, Ь = 0,3 м, в = 0,17 рад, т = 1300 кг, А = 825 кг-м2, В = 75 кг-м2. Тогда
кг = 0,102; ^ = 1,06; и* = 4,68 с"1 ^ V* = ги* = 2,34 м/с.
Если принять, что величина вертикальной нагрузки, действующей на колесную пару, в девять раз превосходит ее вес, то критическая скорость увеличится в три раза и будет равна 7,02 м/с.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 07-01-00134, 08-08-00553, 08-01-00600).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.
2. Slivsgaard Е.С. On the Interaction between Wheels and Rails in Railway Dynamics. Lyngby, Denmark, 1995.
3. Carter F.W. On the Stability of Running of Locomotives // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1928. 121. 585-611.
4. Rocard Y. L'instabilite en mecanique. Automobiles. Avions. Ponts suspendus. Paris: Masson, 1954 (пер. с фр.: Рокар И. Неустойчивость в механике. Автомобили. Самолеты. Висячие мосты. М.: ИЛ, 1959).
5. Kalker J.J. Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990.
Поступила в редакцию 20.11.2007
УДК 539.3
ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ ИЗ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Л. В. Олехова1
В работе рассмотрена проблема отыскания эффективных характеристик в задаче о чистом кручении прямолинейного стержня. Задача сводится к определению функции напряжений при кручении, которая находится из решения краевой задачи в поперечном сечении для уравнения с частными производными с переменными коэффициентами. Для
1 Олехова Любовь Владимировна — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: olekhova@gmail.com.
