CC BY
534
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
Если I2 > /э, то нижнее положение равновесия предельной системы устойчиво при любом к,
, mal , mal ^
верхнее положение равновесия неустойчиво при к ^ —-— и устойчиво при к > —-—, боковые
I2 — /э I2 — /э
положения равновесия неустойчивы.
Если I2 < /э, то верхнее положение равновесия предельной системы неустойчиво при любом к,
, mgl mgl
нижнее положение равновесия устойчиво при к ^ —-— и неустойчиво при к > —-—, боковые
/э — I2 /з — I2
положения равновесия устойчивы.
Если I2 = /э, то существуют только нижнее и верхнее положения равновесия предельной системы, причем нижнее положение равновесия всегда устойчиво, а верхнее неустойчиво.
Таким образом, при быстрых вибрационных вращениях оси качания Ox маятника вокруг неподвижной оси Oz верхнее положение равновесия предельной системы в некоторых случаях может стать устойчивым, с другой стороны, устойчивое в отсутствие вибраций нижнее положение маятника может стать неустойчивым при добавлении вибрационных вращений. Аналогичный эффект достигается в случае равномерного вращения оси качания Ox маятника вокруг неподвижной оси Oz [7].
Замечание. Отметим, что если в приведенных примерах добавить в исходную систему дис-сипативную обобщенную силу Qv = —ар, c > 0 (линейное вязкое трение), то такого же вида сила появится и у предельной системы. При этом невырожденные устойчивые положения равновесия предельной системы станут асимптотически устойчивыми по первому приближению. Тогда при достаточно большой частоте вибраций асимптотически устойчивыми будут соответствующие положения равновесия системы с вибрирующей связью [2, 3].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 18-01-00887).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1963.
2. Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. Теоретическая механика. М.: Изд. центр "Академия", 2010.
3. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988.
4. Петров А.Г. О вибрационной энергии консервативной механической системы // Докл. РАН. 2010. 431, № 6. 762-765.
5. Кугушев Е.И., Левин М.А., Попова Т.В. О голономных системах на быстро колеблющемся основании // Прикл. матем. и механ. 2017. 81, вып. 5. 523-533.
6. Кугушев Е.И., Левин М.А., Попова Т.В. О положениях равновесия и стационарных движениях голономных систем на вибрирующем основании // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Мат-лы XIII Междунар. конф. (1-3 июня 2016 г., Москва) / Под ред. В.Н. Тхая. М.: ИПУ РАН, 2016. 223-225.
7. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.
Поступила в редакцию 20.07.2017
УДК 539.3:534.1
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКИХ ЗВУКОВЫХ ВОЛН НА "ТВЕРДО-МЯГКОЙ" ПОЛУПЛОСКОСТИ
М. Ш. Исраилов1
Предложен простой метод решения задач дифракции плоских акустических волн на полуплоскости с разнотипными граничными условиями на ее лицевых сторонах (условиями Неймана на одной стороне и Дирихле — на другой). В отличие от существующих
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. Комплексного НИИ РАН, г. Грозный, e-mail: israiler@hotmail.com.
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
35
методов предлагаемый метод позволяет получать аналитические решения, справедливые как вблизи полуплоскости, так и на больших расстояниях от ребра.
Ключевые слова: звуковые волны, дифракция, "твердо-мягкие" барьеры, асимптотические решения.
A simple method is proposed for solving the problems of diffraction of plane acoustic waves on a half-plane with dissimilar boundary conditions on its surfaces (the Neumann condition on one surface and the Dirichlet condition on the opposite surface). In contrast to existing techniques, the proposed method allows one to obtain analytical solutions valid both near the half-plane edge and at far distances from the edge.
Key words: sound waves, diffraction, hard-soft barriers, asymptotic solutions.
1. Постановка задачи. Предварительные замечания. При проектировании звуковых барьеров, скажем, защищающих жилые здания в черте города от шума автомобильного или высокоскоростного железнодорожного транспорта, важное значение имеет выяснение вопросов целесообразности частичного или полного покрытия поверхности барьера абсорбентом (звукопоглощающим материалом) либо конструирования барьеров с сильно рассеивающими звук поверхностями. Исследование указанных прикладных проблем для плоских барьеров приводит к необходимости постановки и решения задач дифракции звуковых волн на полуплоскости с различающимися (разнотипными) граничными условиями на сторонах полуплоскости, обладающих разными рассеивающими или звукопоглощающими свойствами. В предельном случае, когда одна сторона полуплоскости является идеально отражающей (акустически "твердой"), а другая — полностью поглощающей звук (акустически "мягкой"), граничные условия имеют форму условия Неймана на первой стороне полуплоскости и условия Дирихле — на второй. Решение таких задач для полуплоскости и клина традиционными методами, такими, как, например, методы Зоммерфельда и Винера-Хопфа, существенно усложняется в сравнении с решениями аналогичных задач при одинаковых (однотипных) краевых условиях на всей границе рассеивающего тела. Так, решение задачи дифракции на полуплоскости с разнотипными граничными условиями по методу Винера-Хопфа [1] сводится к связанной системе функциональных уравнений и необходимости выполнения сложной процедуры матричной факторизации (представления матрицы 2 х 2, элементы которой суть функции, аналитические в некоторой полосе комплексной плоскости, в виде произведения двух матриц с элементами, аналитическими в полуплоскостях, имеющих общей частью полосу аналитичности исходной матрицы). А. Д. Ро-улинз [1] преодолел эту сложность, угадав форму решения системы функциональных уравнений. Эта догадка, которую можно назвать полуобратным методом решения системы функциональных уравнений, основана на том, что до решения задачи определяется точный порядок особенности решения на ребре по способу Дж. Мейкснера [2]. Окончательное решение записывается в виде довольно громоздкого контурного интеграла, для которого удалось получить только асимптотическое представление в дальней зоне, справедливое на расстоянии от ребра полуплоскости, значительно превышающем длину звуковой волны.
С учетом сказанного и ввиду важности задачи дифракции акустических волн на полуплоскости при разнотипных граничных условиях для приложений к проектированию звуковых барьеров представляется целесообразным дать более простой способ решения этой задачи и вывести наиболее удобные для практического использования формы решения. Для инженера доступность предлагаемого способа решения задачи есть обстоятельство весьма значимое. Так, владение методом позволяет ему проверить правильность результатов и при необходимости видоизменять или получать заново решения с учетом особенностей или ситуаций, возникающих на практике и не учтенных в теоретическом исследовании.
Перейдем к постановке задачи. Малые возмущения, возникающие по той или иной причине в газе (воздухе) или идеальной сжимаемой жидкости, описываются в линейном (акустическом) приближении потенциалом скоростей частиц среды v, удовлетворяющим волновому уравнению или уравнению Гельмгольца
ДФ + к2Ф = 0 (1)
в случае стационарных движений с гармоническим законом изменения v по времени t:
v = grad Ф exp (—iwt).
В уравнении (1) Д есть оператор Лапласа, а волновое число к связано с частотой ш соотношением к = ш/c, где c — скорость звука в газе.
18 ВМУ, математика, механика, №4
Тому же уравнению (1) удовлетворяет и избыточное давление p = гшроФ (ро — плотность среды в состоянии покоя), возникающее из-за возмущений, в дополнение к давлению в среде в состоянии покоя. Пусть полуплоскость (барьер, вставленный в среду) является частью координатной плоскости и описывается в декартовой системе координат соотношениями y = 0, x > 0, —то < z < На полуплоскость набегает плоская звуковая волна v% = grad Ф^х, y) exp(—iwt), у которой компонента скорости vZ = 0 и плоскость равной фазы параллельна ребру барьера. Тогда движение в среде является плоским (vz = 0) и потенциал скоростей Ф, а также давление p зависят только от координат (x,y) или (r, в), если в плоскости z = const введены полярные координаты.
В соответствии со сказанным падающая волна, заданная в виде
Фi = exp {—ikr cos(6> — 0о)} , (2)
и есть плоская волна, образующая угол в0 с барьером.
Предположим, что сторона барьера в = 0 является идеально отражающей звук (акустически "твердой"), а сторона в = 2п — полностью поглощающей звук (акустически "мягкой"). Эти условия сводятся соответственно к однородным условиям Неймана и Дирихле для потенциала Ф на сторонах полуплоскости, т.е. к условиям
дФ/дв = 0 при в = 0 и Ф = 0 при в = 2п. (3)
Поскольку рассеивающее падающую волну тело (полуплоскость) имеет угловую точку, то для обеспечения единственности решения необходимо, чтобы выполнялись "условия на ребре"; вывод их для акустической среды дан, например, в монографии [3]. Полученные в [3] условия (формулы 5.2.3) могут быть записаны в следующей эквивалентной форме: единственность решения обеспечивается, когда
Ф = const + O (ra), а > 0, при r ^ 0 (4)
равномерно по в.
Наконец, решение стационарной динамической задачи должно удовлетворять условию излучения на бесконечности. Чтобы правильно сформулировать это условие в случае наличия границ, простирающихся до бесконечности, необходимо выделить из решения падающую волну и все отраженные волны, которые не обязаны удовлетворять условию излучения. Представим Ф в виде суммы падающей Ф^ отраженной Фг и дифрагированной Ф^ волн, т.е. в виде
Ф = Фi + Фг + Ф^ = Ф0 + Ф<*. (5)
Тогда для обеспечения единственности решения функция Ф^ должна удовлетворять в рассматриваемом двумерном случае следующему условию излучения на бесконечности:
lim r1/2 (дФа/дг — ikФd^ =0 (6)
равномерно по в. Знак минус в (6) согласован со знаком во временной экспоненте для падающей волны. Физически условие излучения (6) означает, что возмущение, возникающее дополнительно к падающей и отраженным волнам, ведет себя на бесконечности как уходящая от точечного источника волна.
2. Решение для случая, когда освещенная сторона полуплоскости является акустически "твердой". Пусть в уравнении плоской волны (2) имеем 0 < во ^ п. Это означает в соответствии с граничными условиями (3), что освещенная сторона в = 0 барьера является акустически "твердой". Поскольку отраженная волна от стороны полуплоскости (на которой должно выполняться однородное краевое условие Неймана) элементарно определяется, то для суммы падающей и отраженной волн Ф0 = Фi + Фг получим (эта часть решения называется решением геометрической оптики):
{exp [—ikrcos^ — в0)] + exp [—ikrcos^ + в0)] , 0 < в < п — в0; exp [—ikr cos^ — в0)], п — в0 < в < п + в0;
0, п + в0 < в < 2п.
Видно, что решение геометрической оптики (7) имеет разрывы на линиях, разделяющих области: теневую, освещенную одной падающей волной, и освещенную падающей и отраженной волнами. Таким образом, задача сводится к нахождению дифрагированной волны Ф^, компенсирующей эти разрывы.
Наиболее простой путь построения решения задачи (1)—(6) состоит в использовании метода Фурье. Тогда ряд
Ф(г, в) = Ф0 + Фа = - У" Ф(г, п) п "'
cos ■
n=0
1{п)в ~2~'
2п
/(n)0
Ф(r,n) = I Ф(г, б1) cos <1в
(8)
будет удовлетворять граничным условиям (3) почленно, если 1(п) = 1 = п + 1 /2 (п = 0,1, 2,...).
Подставляя (8) в уравнение (1), получаем для коэффициентов ряда уравнения Бесселя, решения которых, удовлетворяющие условию на ребре (4), имеют вид
Ф(г,п) = anJi(n)/2 (kr).
(9)
Следовательно, ряд (8) с коэффициентами ф(г, п), определенными равенствами (9), удовлетворяет всем условиям задачи, кроме условия излучения (6). Найдем теперь константы ап в (9) так, чтобы и это условие удовлетворялось. Пусть, как и для Ф, черта над буквой означает конечное косинус-преобразование Фурье функции, определенное в формуле (8). Тогда дифрагированное поле, задаваемое формулой (5), будет иметь при йг ^ то асимптотическое представление
Фd = anJi/2 (kr) - фо
2
nkr
an cos
, п /п\ /00
kr —---- — 7г cos — exp
4 4/ 2 p
4
(10)
Формула (10) получена с использованием асимптотических свойств функций Бесселя при больших значениях аргумента [4] и асимптотического представления интеграла Фурье Фо(г, п) методом стационарной фазы [5, с. 306-307].
Подставляя (10) в условие излучения (6), получаем константы ап и окончательное решение поставленной задачи (в форме ряда Фурье-Бесселя):
Ф(г, 0) = 2 ехР (—i/(n)n/4 ) Jl(n)/2(kr) cos [/(n)0o/2 ] cos [/(n)0/2 ].
(11)
n=0
Суммирование ряда и построение точного аналитического решения. Используя представление бесселевой функции в виде интеграла (см., например, [4]), приведем решение (11) к следующему виду (0 < arg Z < 2п):
т / 1 [ exp{-V2kr(C - с ^jA.-iisl Oiste: 1{п)во 1(п)0 ,, Цг,в) = — -----С 2е 4 cos—cos—
ni p Z n=0
(12)
Интеграл в (12) берется по любому петлеобразному контуру Р, ветви которого уходят в +то действительной оси и который обходит начало координат (точку г = 0) против часовой стрелки. Полезно взять контур Р обходящим круг радиуса 1; тогда ряд (12) может быть просуммирован. Действительно, элементарными преобразованиями, использующими представление произведения косинусов в виде суммы четырех экспонент, ряд в (12) сводится к сумме четырех сходящихся геометрических рядов £ К-1/2 е^'/2 ) , каждый из которых имеет сумму (1 - (-1/2 е^'/2 ) , где
п=0^ ' ^ '
обозначено <^1)2 = ±(0 — 0о) + п/2, = ±(0 + 0о) + п/2. С помощью этого результата решение (12) может быть записано в виде суммы двух слагаемых:
Ф(г, 0) = I(r, 0 - 0о) + I(r, 0 + 0о),
1{г, а) = — cos ^ ein/8 v ' ' 2т 4
exp{-i/2kr (С - Z-1)}
Z1/4 - z-1/4 e'n/4
p
Z
Z1/2 + iZ-1/2 - 2ein/4 cos(a/2)
dZ-
(13)
Дальнейшее упрощение решения связано с преобразованием контурных интегралов, входящих в (13), в интегралы по действительной оси путем замены переменной интегрирования Л =
^("У2 + При такой замене контур интегрирования Р переходит в контур L, идущий из
точки +оо действительной оси в точку —оо действительной оси, а подынтегральная функция имеет в Л-плоскости простой полюс в точке Ао(а) = \/2 ег7Г/4 cos(o;/2) и точку ветвления Ai = \/2ег57Г/4, расположенные на диаметре АВ (л/2 ег5?г/4, л/2 ег7Г/4) окружности радиуса л/2, образующем угол 45° с действительной прямой. Кроме того, бесконечно удаленная точка (Л = то) является существенно особой точкой. Легко показать, что если радиус окружности в Z-плоскости равен 1 + 5, где 5 > 0 — малая величина, то контур L обходит диаметр AB сверху. Для окончательного представления интеграла замкнем контур L контуром Li : (-то, +то), идущим вдоль действительной оси, и применим к области, заключенной между ними, теорему Коши о вычетах. Единственная особая точка, которая может находиться в этой области, — это простой полюс Ло(а). Этот полюс движется вдоль диаметра AB с изменением а (изменением 9 и 9о) и находится в верхней полуплоскости (в интересующей нас области), когда —п < а < п, и на действительной оси при а = п (напомним, что 0 < 9о ^ п). Пусть полюс Ло(а) находится в верхней полуплоскости; случай а = п пока исключается. Тогда вычет в этой точке легко вычисляется, что приводит к результату
2
ргкт а г p-krX2
I (г a) = е~гкгсо8а____еш/8 cos — / _—__(14)
21/4?гг Ул+72^ [Л - У2е-/4 cos (а/2) ] '
В соответствии с (13) сумма двух слагаемых (14) для а = а1 = 9 — 90 и а = а2 = 9 + 90 дает решение задачи. Сумма внеинтегральных членов в решении (13), (14) совпадает с функцией Фо в представлении (5), определяемой формулой (7). Следовательно, сумма I(r,а) двух интегральных членов для а = а1 и а = а2 дает дифракционное поле Ф<*(г, 9).
Если а = п (а1 или а2), то полюс подынтегральной функции в (14) попадает на действительную ось, в точку Л = 0. В этом случае путь интегрирования L2 : (—то, +то) в интеграле деформируется в верхнюю полуплоскость так, чтобы обойти этот полюс полуокружностью малого радиуса.
Асимптотика решения в дальней зоне. При больших kr основной вклад в значение интеграла (14) дает окрестность точки Л = 0. Строгая оценка интеграла (14) приводит к следующей асимптотике дифрагированного поля в дальней зоне (kr ^ то):
Ф^ = Ф^ — Фо ~ Dhs = —
e
—in/4
л/irkr
v , -ikr cos(e-e0)cos [УДА - 6>o)] . \ v (\n h 1 r-ikr cos(e+e0)cos [УДА + ^0)] ln F/in h\
cos [72(9 — 9о)] cos [!/2 (9+9) |Q+| F , (15)
те
Q± = V2kr cos [72(0 ± 0O)] , F(z) = J еУ dfx
Полученные решения и их асимптотики помечены индексами "hs" (hard-soft), чтобы подчеркнуть, что результат относится к дифракции на "твердо-мягкой" полуплоскости, у которой освещенная сторона является идеально отражающей. Формула (15) справедлива для всех значений 9 и определяет равномерную асимптотику решения, справедливую как вне, так и внутри малых окрестностей особых линий а^2 = 9т9о = п. Вне этих окрестностей (более точно при |(9 т 9о) — п| > е > 0,
где е — число более высокого порядка малости, чем (kr)— /2) выражение (15) для Dhs существенно упростится, если воспользоваться хорошо известной асимптотикой функции Френеля F(z) для больших значений аргумента. Тогда вне указанных областей имеем
ei(fcr-Hr/4) icos[l/4(g_go)] CQS [74(0 + 0о)Ц 2 ^kv \cos [1/2{9 - 6>o)] COS [1/2(в + в0)} J ' 1 j
3. Решение для случая, когда освещенная сторона полуплоскости является акустически "мягкой". Этот случай реализуется, если поменять местами в (3) граничные условия на сторонах полуплоскости 9 = 0 и 9 = 2п и считать по-прежнему, что угол падения волны 0 < 9о ^ п.
Тогда ряд по синусам (с теми же l(n)) вместо (В) будет удовлетворять измененным граничным условиям и, таким образом, решение задачи дифракции на "мягко-твердой" полуплоскости будет даваться той же формулой (11), в которой функции cos [l(n^/2j заменены на sin [1(п^/2]. Далее, применяя для суммирования этого ряда метод, изложенный в п. 2, получим окончательное решение задачи в виде формулы (13), в которой необходимо только изменить знак на противоположный перед вторым слагаемым, содержащим функцию от аргумента (в + во). Соответственно и асимптотики решения в дальней зоне будут даваться формулами (15), (16), в которых перед вторыми слагаемыми изменены знаки (плюс на минус).
Очевидно, что тот же результат можно получить и иначе, а именно, полагая в задаче п. 2 угол падения волны большим п (п < во < 2п). Тогда освещенной будет сторона полуплоскости в = 2п, являющаяся согласно краевым условиям (3) акустически "мягкой", или поглощающей звук. Нетрудно убедиться, что решение для этого случая дается функциями (13) и (15), (16), в которых сделана замена аргументов: во ^ 2п — во, в ^ 2п — в (углы отсчитываются от акустически "мягкой" стороны полуплоскости). Так, например, Dsh(r, в, в0) = Dhs(r, 2п — в, 2п — в0) и Dsh(r, в, в0) = Dhs(r, 2п — в, 2п — в0).
4. Анализ и сравнение результатов с известными. С точки зрения практического использования при проектировании звуковых барьеров полученные в настоящей работе результаты имеют ряд преимуществ. Перечислим некоторые из них.
1. Как отмечено в п. 1, решение А. Д. Роулинза [1] приводит к обозримым результатам лишь в дальней зоне, в то время как полученные здесь решения удобны для аналитического и численного анализа во всей области дифракции. Так, представление в виде ряда (11) оказывается эффективным при исследовании поведения решения для конечных kr и в особенности вблизи угловой точки. Используя свойства бесселевых функций, из (11) легко получить, что скорости в среде содержат в угловой точке два сингулярных члена порядков г-з/4 и r-1/4 (в отличие от решений для однотипных граничных условий, в которых скорости имеют одночленную особенность порядка r-1/2). В [1] указано на наличие только первой из этих сингулярностей. Между тем знание всех сингулярностей акустической задачи необходимо, например, при рассмотрении в аналогичной постановке задач дифракции упругих волн, решаемых, как правило, методом "гашения" сингулярностей акустической части решения.
2. Автомобили на автостраде производят звук в области частот от 1Q до 2QQQ Гц. Пик интенсивности (в децибелах) достигается для колебаний частоты, равной примерно 5QQ Гц [6]. При качении колес железнодорожного состава по рельсу частота колебаний варьируется от 5Q до 4QQQ Гц с пиковым значением интенсивности для колебаний частоты 16QQ Гц [7]. Таким образом, при скорости звука в воздухе, равной 33Q м/с, основной вклад в создаваемый шум вносят звуковые колебания с длинами волн, равными 66 см в первом случае и ^ 2l см во втором. Расстояния от барьеров, размещаемых вдоль автотрассы и железной дороги, до защищаемых от шума зданий или других объектов в черте города значительно превышают указанные длины волн. Поэтому важное значение имеет получение асимптотических решений рассматриваемых задач в дальней зоне (вдали от ребра барьера). Формулы (15) дают такое решение, справедливое для всех углов в и позволяющее исследовать затухание звука в том числе и вблизи границы теневой области.
3. Вне окрестностей двух особых линий, разделяющих области геометрической оптики (теневую, освещенную одной падающей волной, и освещенную падающей и отраженной волнами), присутствие в решении (31) работы [1] функций Френеля от аргумента (kr/2 )1/2 |(cos в + cos во)/sin в| не оправдано, и они могут быть заменены на первый член асимптотики функции Френеля при kr ^ то (присутствие в области с исключенными окрестностями особых линий функций Френеля не уточняет асимптотику решения, имеющую порядок O ^(kr)-1/2^, а усложняет ее выражение из-за наличия
членов более высокого порядка малости). Можно показать, что полученное в п. 2 решение в дальней зоне (16) преобразуется в решение А. Д. Роулинза, упрощенное только что указанным способом, однако решение (16) значительно проще.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 17-QВ-QQQ66).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rawlins A.D. The solution of a mixed boundary value problem in the theory of diffraction by a semi-infinite plane ^ Proc. Roy. Soc. London. 1975. A346, N 1647. 469-484.
2. Meixner J. The behavior of electromagnetic fields at edges. New York University, Institute of Mathematical Scienses, Res. Rept. N EM-72. N.Y., 1954.
3. Фридлендер Ф. Звуковые импульсы. М.: ИЛ, 1962.
4. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 2. N.Y.: McGraw-Hill Book Co. Inc., 1953.
5. Holmes M.H. Introduction to Perturbation Methods. N.Y.: Springer, 1995.
6. Klinger R.E., McNerney M.T., Busch-Vishniac I. Design Guide for Highway Noise Barriers // Res. Rept. U.S. Dep. Transport. 2003.
7. Hohenwarter D. Railway noise propagation models //J. Sound and Vibr. 1990. 141, part 3. 17-41.
Поступила в редакцию 04.10.2017
УДК 531.391
СИЛЫ РЕАКЦИИ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ С РАЗВАЛОМ
Г. В. Гусак1
Рассматривается задача о статическом нагружении системы двух колес с деформируемой периферией, закрепленных на общей оси с ненулевым углом развала. Протекторы колес моделируются множеством упругих стержней, взаимодействующих с плоскостью по закону сухого трения. Изучается влияние развала в колесной паре на проскальзывание в зоне контакта и величину реакций со стороны дороги. Рассмотрен аналог непрерывной модели стержневого протектора, найдены величины нормальных и касательных реакций в зависимости от вертикального перемещения центра системы.
Ключевые слова: механическая модель колеса, стержневой протектор, колесная пара с развалом, проскальзывание, силы в пятне контакта.
Static loading of a wheel pair with a non-zero camber angle is considered. The periphery of each wheel is deformable and is modeled by a set of elastic rods interacting with the plane according to the law of dry friction. The effect of the camber in the wheel pair on the slip in the contact zone and on the magnitude of reaction forces from the road is studied. An analogue of the continuous model of the rod protector is considered. Depending on the vertical displacement of the center of the system, the values of normal and tangential reaction forces are found.
Key words: mechanical wheel model, rod protector, wheel pair, camber angle, slip, reaction forces, contact patch.
Для статически нагруженной колесной пары рассматривается задача о нахождении реакций со стороны дороги. Система состоит из двух колес с деформируемой периферией, закрепленных на общей оси под углом к ней (с ненулевым углом развала). Протекторы колес моделируются множеством изотропных линейно упругих стержней, расположенных по периметру дисков (рис. 1). Под действием вертикальной нагрузки колеса "проседают" на величину ж. Целью настоящей работы является определение зависимости реакций, возникающих в пятне контакта, от величины вертикального перемещения системы. Развиваются идеи статьи [1], в которой была изучена задача о колесе со стержневым протектором в двумерной постановке (плоскость колеса перпендикулярна дороге).
В трехмерном случае становится возможным деформирование стержней в различных направлениях вне плоскости колеса, это оказывает влияние на фор-
Рис. 1. Модель колесной пары со стержневым протектором
1 Гусак Галина Валерьевна — e-mail: g_gusak@mail.ru.
