Дифракция плоской упругой волны на градиентном слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

УДК 514.762.33

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ УПРУГОЙ волны НА ГРАДИЕНТНОМ СЛОЕ

A.B. Ануфриева, Д.Н. Тумаков

Аннотация

Исследована задача дифракции плоской упругой волпы па градиентном в поперечном направлении изотропном слое. Методом переопределенной граничной задачи получена система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями третьего рода, которая решена сеточным методом. Приведены результаты расчетов для случая кусочно линейных профилей скоростей упругой волпы.

Ключевые слова: дифракция, упругая волна, градиентный слой.

Введение

Слои неоднородной упругой среды с непрерывным распределением плотности и упругих модулей возникают в задачах геофизики [1]. В последние годы особый интерес вызывают исследования процессов прохождения упругих волн через мета-материалы [2 4]. В частности, исследованы задачи отражения и пропускания звука слоями неоднородных сплавов [5]. композитных материалов и пространственно ограниченных пористых структур [6]. Ряд работ посвящен прохождению звуковых волн через искусственные среды, например, в работе [7] рассмотрено отражение плоской звуковой волны от слоя Эпштейна [8].

Слои с градиентным распределением скорости можно также встретить и в задачах гидроакустики. Здесь подобные слои возникают в морях и океанах на различных глубинах [9]. Скорость звука в таких слоях может непрерывно изменяться на расстоянии от нескольких метров до нескольких километров [10].

Достаточно хорошо исследована задача дифракции волны на слое или на системе однородных слоев [7]. а также одномерные задачи [11. 12]. Для решения задачи дифракции на градиентном слое можно использовать различные численные методы. Например, в [13] эта задача решена с использованием импедансного метода расчета характеристик упругих волн.

В настоящей работе исследована задача дифракции упругой волны на неоднородном изотропном слое с неизменными упругими характеристиками вдоль оси волновода и с непрерывным распределением упругих параметров в сечении. Дифференциальные уравнения, описывающие задачу дифракции, рассмотрены отдельно в полуплоскостях и в слое. Задачи в полуплоскостях являются переопределенными. что позволяет установить связь между следами искомых функций на стыках сред [14]. Таким образом, исходная задача сводится к граничной задаче для системы Ламе с граничными условиями третьего рода. Затем применяется преобразование Фурье по переменной, по которой сохраняется однородность задачи. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решается сеточным методом.

Приведены результаты численных расчетов для случая кусочно линейных профилей скоростей упругой волны.

1. Постановка задачи

Пусть (см. рис. 1) на неоднородный слой толщины Ь (среда 2, {0 < у < Ь}, с плотностью р2 (у) и постоянными Ламе А2(у) и м2(у)) из среды 1 {у > Ь} под углом в падает упругая гармоническая волна вида и0(ж, у) ехр{ш£}. В результате дифракции возникают отраженная в среду 1 волна их(ж,у), прошедшая в среду 3 {у < 0} волн а из (ж, у) и пол е и2 (ж, у) в среде 2. Нужно найти полное дифрагированное поле. Среды 1 и 3 полагаем однородными и изотропными.

0 У 1в

Р1, Ах ,рх

® ь и2 Р2(У),\2(У),Р2(У)

0 /

® ! из рз,Аз ,рз

Рис. 1. Геометрия задачи

Будем искать для всех (ж, у) € Е2 щи у = 0 и у = Ь решения плоской гармонической задачи теории упругости

д°хи , дтп , 2 дтп , д&уп , 2

--Ь т;--Ь рпи ихп = 0, —--Ь —--Ь рпш иуп = 0,

дж ду дж ду

/Л О \ ^ди^ХП л ^д^^хП / л ¿-V \ /1 \

Сит = (Ап + 2/1,,)—--Ь Лп——, ауп = Ап—--Ь (Лп + 2рп) ——, (1)

дж ду дж ду

I дихп диуп т~п I1!! I г~ Н г;

ду дж

для п = 1, 2, 3 с постоянными коэффициентами Ламе А М и плотностью р при у > Ь и у < 0 и коэффициентами Ламе А2(у), м2(у) и плотност ью р2(у), являющимися функциями переменной ^^и 0 < у < Ь. Функции А2(у), М2(у) и р2(у)

у

На границе раздела сред должны быть выполнены следующие условия сопря-у=Ь

у=0

Мх1(ж, Ь + 0) + Мхо(ж, Ь + 0) = Мх2(ж, Ь - 0), Му1(ж, Ь + 0) + Муо(ж, Ь + 0) = Му2(ж, Ь - 0),

Т1(ж,Ь + 0)+ то(ж,Ь + 0) = Т2(ж,Ь - 0),

<7у1 (ж, Ь + 0) + ауо(ж, Ь + 0) = Оу2(ж, Ь - 0),

Мхз(ж, 0 - 0) = Мх2(ж, 0 + 0), Муз(ж, 0 - 0) = Му2(ж, 0 + 0),

тз(ж, 0 - 0) = Т2(ж, 0 + 0), ауз(ж, 0 - 0) = Сту2(ж, 0 + 0).

(2)

(3)

Из возможных решений системы (1) (3) будем выбирать решения, соответствующие уходящим на бесконечность волнам.

2. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поле в градиентном слое

у

(0, Ь) будем рассматривать в классе Ь1^с (Е) и будем считать, что эти функции

имеют медленный рост на бесконечности по переменной х. Это позволяет применять к (1) преобразование Фурье по х, допуская как затухающие па бесконечности,

х

ременной £ и получим

— ¿£^х2 + т' + Р2^2их2 = 0, -г£г2 + а'у2 + Р2^2«у2 = 0, Ох2 = —«(А2 + 2^2)£«х2 + А2МУ2, ^у2 = -¿А2£Мх2 + (А2 + 2^2)^2, (4) т2 = М2 (иХ2 — ¿£му2) •

Подставим выражения для напряжений, полученные в трех последних уравнениях (4), в первые два. Получим систему уравнений Ламе при у € (0, Ь)

(^2^X2)' + [Р2^2 — (А2 + 2^2)£2] «х2 — ¿£(А2 + ^2)и'у2 — ¿£м2«у2 = 0, ((А2 + 2^2)^2)' + [Р2^2 — М2£2] «у2 — ¿£(А2 + ^2)^X2 — г£А'мх2 = 0

относительно образов Фурье перемещений их2(£, у) и иу2(£, у).

Отметим, что неизвестные их2(£, у) и иу2(£, у) по у являются обычными функциями, и следовательно, все производные этих функций понимаются в классическом смысле. Это позволяет в дальнейшем дискретизировать задачу по переменной у. При каждом фиксированном у искомые функции по переменной £ являются распределениями медленного роста.

3. Граничные условия

Для верхней полуплоскости {у > Ь} будем предполагать, что решения (1) принадлежат Ь^ос(Д) и корректно определены их следы Т1(х, Ь + 0), сту1(х, Ь + 0), их1(х, Ь + 0) и иу1(х, Ь + 0). Будем считать, что искомые функции - распределения медленного роста на бесконечности (то есть функции, растущие на бесконечности не быстрее, чем полином некоторой степени) и, более того, следы функций также

распределения медленного роста на бесконечности. В работе [14] показано, что ре-

у

удовлетворяют равенствам, связывающим между собой образы Фурье следов компонент поля

£т1(£, Ь) + 71д(£)о-у1(£, Ь) — 2гМ1£7м(£К1(£, Ь) —

— г(р!^2 — 2^1£')иу1(£, Ь) = ^

— 72,1 (£)Т1 (£, Ь) + £СТу1(£, Ь) + г(р1^2 — 2М1£2)«х1(£, Ь) —

— 2«М1£72,1(£)иу1(£, Ь) = 0,

где к21 = р1^2/(А1 + 2^), к'1 = р^2/^, а ветви корней у функций 71,1 = = \]к^ — £2, 72,1 = к^ — £2 выбираем так, чтобы вещественная часть была положительной, а в случае, если вещественная часть равна нулю, выбираем корни с положительной мнимой частью.

у=Ь

так как рассматриваемые функции непрерывны во всей плоскости, предел будем

у=Ь

поступать и для других следов искомых функций.

В равенствах (6) перейдем от следов функций из среды 1 к следам функций слоя. Для этого выразим их из условий (2) и подставим полученные выражения

в (6). Получим следующие граничные условия для образов Фурье компонент поля, определенных в слое:

£т-2(£, Ь) + 7м(£К2(£, Ь) - 2гм1£71,1(£К2(£, Ь)-

- г(р^2 - 2М1е2)«у2(е, Ь) = /1(£),

- 72,1 (От- (е, ь)+е^-(е, ь) + г(р^2 - 2м1е2к-(е, ь)-

- 2гМ1£72,1(£К2(£, Ь) = /-(е), /1(е) = Ст^о Ь) + 71,1(е)ау0(0 Ь) - ^М^мЮ^хо^ Ь) - г(Р1^2 - 2М1е2)иуо(е Ь),

/-(е) = -72,1(е)то(е, ь)+е^уо(е, ь)+¿(р1^2 - 2М1е2Ко(е, ь) - 2^72,1 (е)%о(е, ь).

Исключим из полученных условий образы Фурье напряжений, использовав уравнения (4). Получим таким образом уравнения, связывающие следы образов Фурье смещений в слое на верхней границе

«1 (е)их2 (е Ь) + «-(О^х-^ Ь) + «3 (О^у-^ Ь) + а4(е)иу2 (е Ь) = /1(е),

(")

«5(е)uХ2(е, Ь) + «6 (е)их2 (е Ь) + «7(е)иу2 (е, Ь) + «8(е)uy2(е, Ь) =

«1(е) = м-(ь)е, «-(е) = -(а-(ь) + 2^1^71,1(0, «з(е) = (а-(ь) + 2м-(ь))71,1(е), «4(е) = -¿(р1^2 - (2м -м-(ь))е2),

«5(е) = -м-(ь)72,1(е), «б(е) = ¿(р^2 - (а-(ь) + 2т)е2), «т(е) = (а-(ь) + 2м-(ь))е, «8(е) = -¿(2^1 -М2(ь))е72,1(е).

{у < 0} Ь1, (Е)

с медленным ростом на бесконечности, считая, что следы т3(ж, 0), ау3 (ж, 0), мх3(ж, 0) и му3(ж, 0) корректно определены и также принадлежат Ь1^с (Е). Тогда

решения из класса распределений медленного роста, соответствующие волнам, ухо-

у

ющим следы образов Фурье компонент поля [14]

ет3(е, 0) - 71,3(еК3(е, 0) + 2^71,3(е, 0К3(е) - »(р3^2 - 2№е2 ме, 0) = 0,

72,3(е)т3(е, 0)+е^у3 (е, 0) + г^2 - 2М3е2К3(е, 0) + 2*^72,3(ек3(е, 0) = 0,

которые эквивалентны условиям относительно следов составляющих поля на нижней границе:

ет-(е, 0) - 71,3(ек-(е, 0) +2*^71,3(ек-(е, 0) - г^2 - 2№е2 к-(е, 0) = 0,

72,3(е)т- (е, 0)+е^у- (е, 0) + г^2 - 2№е2К2 (е, 0) + 2^72,3^4- (е, 0) = 0.

Воспользовавшись (4), получим

&1(е)<2(е, 0) + ыеК2(е, 0) + &3(е)иу-(е, 0) + меме, 0) = 0,

(8)

Ь5 (ек- (е, 0) + мек- (е, 0) + ь7 (ек- (е, 0) + ыек- (е, 0) = 0, ые) = м-(0)е, ь-се) = ¿(а-(0) + 2^71,3(0,

Ь3(е) = -(А-(0) + 2м2(0))71,3(е), Ь4(е) = -г(Р3^2 - (2М3 - М-(0))е-),

Ьб(£) = М2(0)72,З(£), Ьб(£) = г(рз^2 — (А'(0) + 2Мз)£2), Ы£) = (А'(0) + 2М'(0))£, Ы£) = г(2Мз — М'(0))£72,з(£).

Решения уравнения (5) с граничными условиями (7) и (8) физически представляют собой смещения (их2, иу2), которые описывают поле при 0 < у < Ь в задаче дифракции на упругом слое.

4. Аппроксимация задачи

Обозначим функции их2(£, у), иу2(£, у) через мх(у), иу(у), полагая £ параметром. Тогда уравнение (5) примет следующий вид:

(9)

(С1<)' + с2«ж + Сз^у + C4Uy = 0,

(c5«y)' + СвМу + cr^x + С8МХ = 0,

С1 = M2, С2 = P2^2 - (A2 + 2^)£2, С3 = -i£(A2 + ^2), С4 = -¿£^2,

С5 = A2 + 2M2, С6 = P2^2 - M2£2, cr = -i£(A2 + M2), С8 = —i£A2.

Заметим, что c„ - функции от переменной y и параметра £. Уравнение (9) в новых обозначениях удовлетворяет граничным условиям

biuX(0) + b2Ux(0) + 6змУ(0) + 64МУ (0) = 0,

(10)

65<(0) + Ьб«х(0) + bruy (0) + b8Uy (0) = 0

а1мх(Ь) + а2«х(Ь) + аз^у (Ь) + а4«у (Ь) = /1,

/ / (П) а5^х(Ь) + авМх(Ь) + аг^у (Ь) + авМу (Ь) = /2.

Сделаем некоторые замечания относительно зависимости решения задачи (9) £

£

££

Если же /1 и /2 — сингулярные распределения по £, то и сами решения будем полагать также сингулярными. Например, если /1 = С1^(£ — £0) и /2 = С2^(£ — £о), то их (у) = ¿(£ — £о)^х(у; £о) и «у (у) = ¿(£ — £о)^у (у; £о). В таком случае удобно «пронормировать» граничную задачу на £(£ — £о). Для этого формально заменим всюду £ на £о и разрешим (9)-(11) относительно (у; £о) и (у; £о).

Поэтому в случае, когда образы Фурье следов падающего поля являются сингулярными распределениями, например в случае, если падающая волна является плоской, решением задачи будут также сингулярные распределения с таким же носителем. Отсюда следует, что в результате дифракции одной плоской волны отражается и проходит по две волны продольная и поперечная.

Построим разностные аппроксимации уравнений (9) с погрешностью аппроксимации О (Л2), где Н - шаг по сетке:

— их,г-1с1,г-1/2 + их,г (с1,2—1/2 + с1,г+1/2 — с2,гН2) — их,г+1С1,4+1/2 +

НН

+ %,г-1СЗ,г- - иу^С^И? - = 0, (12)

- иу,г-1С5,г-1/2 + иу,г (с5,г-1/2 + с5,г+1/2 - с6,г^2) - иу,г+1С5,г+1/2 +

н н

+ и;с,г-1С7,г~ - и:с,гСЦ,гЬ2 ~ 'И г,г+1 с7,г ^ = 0. (13)

Далее аппроксимируем граничные условия (10)

- «х,№-1«1 + («1 + а^Н) - -1«3 + («3 + Я4Н) = /1Н,

- «х,№-1«5 + («5 + ЯбН) - —1«7 + («7 + ЯвН) = /2Н

(14)

и условия (11)

«х,о(б1 - 62Н) - их,161 + иу,о(Ьз - 64Н) - «у,163 = 0, «ж,о(Ь5 - ЬбН) - ^,165 + «^,0(67 - 6вН) - «у,167 = 0.

Представим (12) (15) в матричном виде:

'А1 Б^ (их\

g2

Б1 А2 / V и

(15)

с векторами-столбцами

( «х,0 \ «х,1

-1

\ )

( «у,0 \

-1

\ )

gl

0 0

0

g2

0 0

0

Ум/

и трехдиагональными матрицами

/61 - 62Н -61 0 0 0 0 0

С1,1/2 ¿1 -с1,3/2 0 0 0 0

0 с1,3/2 ¿2 -С1,5/2 0 0 0

А1 = 0 0 0 0

0 0 0 -с1,№-5/2 из -с1,№-3/2 0

0 0 0 0 - с1,№-3/2 -1 -с1,№-1/2

\ 0 0 0 0 0 -Я1 «1 + «2Н у

/б7 - 6вН -67 0 0 0 0 о \

- С5,1/2 Я -с5,3/2 0 0 0 0

0 -с5,3/2 .72 -с5,5/2 0 0 0

А2 = 0 0 0 0

0 0 0 -с5,№-5/2 из -с5,№-3/2 0

0 0 0 0 -с5,№-3/2 ^ -1 - с5,№-1/2

\ 0 0 0 0 0 - Я7 07 + явН у

где ^ = с1,г-1/2 + с1,г+1/2 - С2,»Н2, Л = с5,г-1/2 + с5,г+1/2 - Сб,гН2,

B

1 —

B

2 —

/65 - b6h -65 0 0 0 0 0

„ h С7,1 о -cs.ih2 h — С7 i — 2 0 0 0 0

0 h С7'22 -C8,2h2 -С7,2 /г 2 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 h Cr, N-2 — -C8,N- -2h2 -C7,N - h 22 0

0 0 0 0 C7,N - h 12 -C8,N - ih2 h — Сг,ДГ-1 —

V 0 0 0 0 0 -05 05 + 06h /

/6з - 64 h -6з 0 0 0 0 0 \

h сздз -c4j1h2 h -СЗД2 0 0 0 0

0 h -C4,2h2 -C3,2 h 2 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 C3,N - h 22 -C4,N- -2h2 -C3,N - h 22 0

0 0 0 0 C3,N - h 12 -C4,N - ih2 h — Сз,ДГ-1 —

0 0 0 0 0 -03 03 + 04h /

Таким образом, искомая задача дифракции сведена к системе линейных алгебраических уравнений (12) (15) с ленточными матрицами.

5. Численные результаты

Смещения в однородной изотропной п-й среде в общем виде могут быть представлены следующим образом [15]:

ихп(у) = £А„в-^У - £Б„в^1пУ + 72„У + 72„П„в^пУ,

(y) — YinAne-ÍYlny + YinBneÍYlny - eC„e-ÍY2ny + ^DneÍY2ny.

С учетом условия па бесконечности и выводов п. 4 относительно отраженного и прошедшего полей смещения для отраженного поля примут вид

их1(у) = ЧоБ^11 (у-Ь) + 721Ае^(у-Ь), иу1(у) = 711В1в^1(у-Ь) + ,

а для прошедшего

ихз(у) = СоАз в-^13У + 7 2зСзв-^23У,

иуз(у) = 71зАзв-®713У - £оСзе-^зУ.

Для нахождения неизвестных коэффициентов Б1, П^ Аз и Сз сперва решим численно задачу (12) (15). Затем из (2). (3) найдем следы компонент полей

Рис. 2. Зависимость коэффициента отражения |Вх|/|Ао| для волны вида (16), дифрагирующей на градиентной полосе толщиной Ь = 10 м, расположенной в песчанике (р = = 2400 кг/м3, Ур = 3300 м/с, у3 = 2000 м/с), от угла паденпя в. До середины слоя продольная и поперечная скорости линейно увеличиваются до значений у^1™ = 3900 м/с и у3тах = 2360 м/с соответственно, а затем линейно уменьшаются до первоначальных значений. Первый график соответствует круговой частоте ш = 2 • 103, второй - ш = 4 • 103, третий - ш = 6 • 103

в полуплоскостях н неизвестные коэффициенты. Например, если определить следы смещений, то

D UyiY2i - „ UxiYii + MyiCo

£>1 — -—pi—j D1 — -~~7т I

7ii72i + £o Yii Y2i + £o

%3723 + '»-а-ЗцО n _ Ц-а-3713 ~ %3&l 7i3723 + £2 7i3723 + £2

где uxn и uyn - следы смещений n-й среды.

Пусть на слой набегает плоская продольная волна со смещениями вида

ux0(x, y) = A0kiji sin 0 exp{-¿kiji sin 0x — ¿kiji cos 0 (y — L)}, uy0(x, y) = A0ki,i cos 0 exp{—¿kiji sin Ox — ¿kiji cos 0 (y — L)}.

(16)

Применим преобразование Фурье к компонентам падающего поля, получим дельта-распределение 6(£ — £0), £0 = ki,i sin0. При этом 71;1(С0) = ki,i cos0. Так как правые части (11) являются сингулярными распределениями, то задачу (12) (15) достаточно решить при одном £ = £0.

Приведем результаты численных расчетов для песчаника с постоянными плотностью р = 2400 кг/м3 и скорости ми vp = 3300 м/с и vs = 2000 м/с во всей плоскости, за исключением слоя толщиной L =10 м. В первой половине слоя продольная скорость линейно увеличивается с vp = 3300 м/с до vpmax = 3900 м/с, а затем происходит линейное уменьшение до прежней скорости vp. На этой неоднородности также изменяется и поперечная скорость от vs = 2000 м/с до vmax = 2360 м/с, таким образом, что во всей плоскости выполняется соотношение vp(y)/vs(y) = 1.65.

На рис. 2 показана зависимость коэффициента отражения |B1|/|A0| для волны

0

лах (менее 40°) подавляющая часть энергии проходит в среду 3. При 0 > 70° большая часть энергии переходит в отраженную продольную волну. В переходной

Рис. 3. Зависимость прошедшей и отраженной энергии от угла падения 0 волны вида (16) на градиентный слой толщины L = 10 м при частоте ш = 2 • 103. Параметры совпадают с параметрами рис. 2. Первый график соответствует энергии отраженной продольной волны, 2 прошедшей продольной, 3 отраженной поперечной, 4 прошедшей поперечной

зоне при в £ (40°, 70°) малые частоты соответствуют более медленному нарастанию коэффициента отражения, большие частоты более резкому изменению «прозрачности» слоя на полное отражение.

На рис. 3 показано распределение энергии между возбуждаемыми в полуплос-

в

распределяется между продольными волнами. Лишь в переходной зоне доля энергии, уносимая поперечными волнами, увеличивается, достигая « 0.1.

6. Выводы

Представленный в работе метод эффективен прежде всего, когда образы Фурье следов падающего поля являются сингулярными распределениями. Тогда аппроксимирующая задача решается при одном £ = • Если же образы Фурье - регулярные распределения (например, при дифракции на пластине гауссова пучка), то задачу (12)—(15) нужно решать при нескольких параметрах

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 12-01-97012-р_поволжьо_а).

Summary

A.V. Anufrieva, D.N. Tumakov. Diffraction of a Plane Elastic Wave by a Gradient. Layer.

In this article, the problem of diffraction of a plane elastic wave by a gradient layer isotropic in a transverse direction is investigated. A system of second-order ordinary differential equations with boundary conditions of the third kind is obtained using an overdet.ermined boundary-value problem. This system is solved by the grid method. The calculation results for the case of piecewise linear scaling of elastic wave velocities are given.

Key words: diffraction, elastic wave, gradient layer.

Литература

1. Slawinski М.А. Seismic Waves and Rays in Elastic Media. Amsterdam: Pergamon. 2003. 402 p.

2. Wen W., Sheng F. Two- and three-dimensional ordered structures formed by electro-mag-net.orlieological colloids // Pliysica B. 2003. V. 338, No 1. P. 343 346.

3. Milton G. W., Briane M., Willis J.R. On cloaking for elasticity and physical equations with a transformation invariant form // New J. Pliys. 2006. V. 8, No 10. P. 248-1 248-20.

4. Chen В., Chan C.T. Acoustic cloaking in three dimensions using acoustic metamaterials // Appl. Phys. Lett. 2007. V. 91, No 18. P. 183518-1 183518-3.

5. Lee S.-J., Moon S.E., Ryu B.-C., Kwak M.-H., Kim Y.-T., Ban S.-K. Microwave properties of compositionally graded (Ba,Sr)Ti03 thin films according to the direction of the composition gradient for tunable microwave applications // Appl. Phys. Lett. 2003. V. 82, No 13. P. 2133 2135.

6. Ghakraborty A.J. Prediction of negative dispersion by a nonlocal poroelastic theory // Acoust. Soc. Am. 2008. V. 123. P. 56 67.

7. Бреховскш Л.М., Годин, О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

8. Epstein Г. Reflection of waves in an inhomogeueous absorbing medium // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1930. V. 16, No 10. P. 627 637.

9. Врехооских Л.М. Акустика океанской среды. M.: Наука, 1989. 222 с.

10. Ярошеико А. А., Ластоиеико О.Г., Лисютии В.А., Калиток И.В. О влиянии профиля скорости звука и течений па распространение акустических воли в море // BicmiK Сумського державного ушверситету. Сер1я Ф1зика, математика, мехашка. 2007. .Vs 1. С. 178 186.

11. Шоарцбург А.В., Ерохии B.C. Градиентные акустические барьеры (точно решаемые барьеры) // Усп. физ. паук. 2011. Т. 181, Л» 6. С. 627 646.

12. Anufrieva A.V., Tumakov D.N., Kipot V.L. Elastic wave propagation through a layer with graded-index distribution of density // Proc. Int. Conf. "Days on Diffraction 2012". St. Petersburg, Russia, 2012. P. 21 26.

13. Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Расчет коэффициента отражения звуковых воли от твердых слоисто-пеодпородпых сред // Акуст. жури. 1986. Т. 32, Л'2. С. 122 129.

14. Пле.гцииская И.Е., Плегциискмй В.Б. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений с частными производными и их применение в теории дифракции волн // Учеп. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2005. Т. 147, кп. 3. С. 4 32.

15. Вдооииа К.В., Плегциискмй В.В., Тумаков Д.В. Об ортогональности собственных воли полуоткрытого упругого волновода // Изв. вуз. Матем. 2008. Л' 9. С. 69 75.

Поступила в редакцию 02.11.12

Ануфриева Анастасия Вадимовна студент Института вычислительной математики и информационных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: nasty a- anufrieva Qmail. ru

Тумаков Дмитрий Николаевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: dtumakovQksu.ru