CC BY
19
ЕРЕМКИНА Н. В.
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ОДИНАКОВЫМИ СФЕРАМИ, ОКРУЖЕННЫМИ ДВОЙНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ СЛОЕМ
Аннотация. В начальном приближении получено выражение для силы, действующей между двумя одинаковыми сферическими частицами, окруженными двойным электрическим слоем. Данный результат согласуется с законом Кулона.
Ключевые слова: суспензия, двойной электрический слой, уравнение Пуассона-Больцмана, мультиполь, закон Кулона.
EREMKINA N. V.
FORCES OPERATING BETWEEN TWO IDENTICAL SPHERES SURROUNDED BY ELECTRICAL DOUBLE LAYER
Abstract. The expression of initial-order accuracy is obtained for the force operating between two identical spherical particles surrounded by a double electric layer. This result agrees with the Coulomb's law.
Keywords: suspension, double electric layer, Poisson-Boltzmann equation, multipole, Coulomb's law.
Введение. Электростатическое взаимодействие между частицами взвеси может происходить при перекрытии двойных электрических слоев (ДЭС) их окружающих. ДЭС -это поверхностные слои пространственно разделенных электрических зарядов противоположного знака, образующихся на границе раздела «твердое тело - электролит» [1].
Толщина ДЭС определяет дальность электростатических взаимодействий в растворе и характеризуется величиной к-1 [1; 2].
При описании таких взаимодействий особый интерес представляют силы, которые возникают между частицами с перекрывающимися ДЭС. Вычислению сил, возникающих между двумя одинаковыми частицами посвящена данная работа.
Математическая модель. В неподвижной сплошной среде расположены две неподвижные сферические частицы Q(1) и Q(2) радиуса а. Для простоты введем декартову прямоугольную систему координат ОХ1Х2Х3 с началом O в центре первой частицы. Вектор х = (х1,х2,х3) задает положение произвольной точки пространства относительно центра первой частицы, а вектор х — г - относительно центра второй, который находится на оси Х3 на расстоянии г от начала координат.
Рис. 1.
В данном случае для описания поля нам достаточно указать его потенциал гр. Вне частиц он удовлетворяет уравнению Пуассона - Больцмана:
Агр = к2гр, (1)
где А - это оператор Лапласа.
На поверхности частиц потенциал постоянен, а вдали от частиц равен 0:
Ф1 дО(1) = Ф1дй(2) = 'Фа,
(2)
= 0.
На произвольную частицу О действует сила с компонентами
Ъ= фруПу-М. (3)
дП
В среде с неоднородным распределением потенциала компоненты тензора напряженийру вычисляются по формуле:
= дш £Р дуду
1рц = 8л дх5 дх5 и 4л дХ[ дх} ' (4)
Ьу есть символ Кронекера, ег - диэлектрическая проницаемость среды, по повторяющимся индексам идет суммирование в пределах от 1 до 3 [3].
Наша задача - из уравнений (3) и (4) вычислить силу Г, действующую на частицу О(1), а для этого необходимо найти функцию ш удовлетворяющую уравнению (1) и краевым условиям (2).
1 ОХ; ОХь
Решение задачи. В [4] распределение потенциала было найдено в виде разложения по мультиполям:
ф = С0(1)Л0(Х) + С](1)А](Х)+С]к(1)А]к(Хс) + С0(2)Л0(Х - г) + + Ст(1)Лт(Х)+Стт(1)Лтт(Х) + • + С)(2~)Л)(Х -Г) + С)к(Г)Л)к(Х -г)+ (5) +С/к1(2)Л/к1(Х - г) + С]к1т(22)Л]к1т(Х — г)+- ■■
Функция Л0 определяется следующим образом:
. ехр(—к|Х|)
Ло(ХС) =--г.-,
|х|
а мультиполи более высокого порядка суть частные производные Л0:
д д Х " дХк
Искомыми величинами служат тензорные коэффициенты Со(Ы), С/Ы), С/к(Ы),... в этом разложении. Номер N = 1,2 указывает на частицу, к которой относится тот или иной коэффициент.
Принцип построения общего решения (5) является достаточно общим и может быть применен для моделирования ДЭС в системах с произвольным количеством и конфигурацией частиц. Эти частицы могут, например, образовать бесконечную трехмерную периодическую решетку [5]. В любом случае структура коэффициентов определяется группой симметрии, которую имеют граничные условия исходного уравнения в частных производных.
В нашей работе конфигурация частиц имеет осевую симметрию, поэтому Сг = СБ-Ъг, С = СС-ЬЪъ Суы = СВ-ЪЬЬкЫ,..., где Ъг - компоненты единичного направляющего вектора оси симметрии Охз.
Чтобы найти коэффициенты Со, СБ, СС, СП и им подобные, вводятся малые безразмерные параметры, характеризующие расстояние между частицами и толщину ДЭС по сравнению с их радиусами:
а г
Е = — , 8 = КГ =
Г К 1 '
В работе [4] коэффициенты разложения были найдены с точностью до восьмой степени малых параметров.
Пользуясь этим решением, мы в начальном приближении нашли силу, действующую на частицу с центром в начале координат.
С точностью до второй степени малых параметров коэффициенты имеют вид: С0(1) = С0(2) = Ч-ЕЧ + 8ЕЧ,
СВ(1) = -СВ(2) = аЕ2Ч.
Остальные коэффициенты имеют более высокий порядок малости и потому считаются равными нулю. Здесь и далее ¥ = офа / ека.
Подставив (5) и выражения для коэффициентов (6) в (4) и (3), получим:
,2
а
что равносильно
п eF
Fi = -v2J2.b. (7)
Анализ решения. Можно показать, что при е ^ 0 и 5^0 заряд Q, сосредоточенный на поверхности частицы Q(1), равен
Q = SfV.
Поскольку частицы одинаковы, на поверхности Q(2) сосредоточен такой же заряд.
Выражая отсюда V и подставляя в (7), получаем известный закон Кулона:
Q2
Ft = -^тbi.
i eFr2 1
Это означает, что выражение (7) верно. В пределе, когда сферы, окруженные ДЭС, расположены далеко друг от друга, их можно считать точечными зарядами.
Так как вектор b сонаправлен с осью 0x3, то знак «-» в выражении (7) говорит о том, что сила действует со стороны частицы Q(2) на частицу Q(1) в направлении (-Х3), а значит, является силой отталкивания. Именно такие силы должны действовать между частицами с одноименными зарядами.
Заключение. Итак, полученный результат согласуется с законом Кулона. В пределе при r ^ <х, s^ 0 частицы, окруженные ДЭС, ведут себя как точечные заряды. Так как распределение ^симметрично, заряды частиц равны; поэтому они должны отталкиваться.
Выражение (7), полученное вручную, можно использовать в качестве теста при проведении более сложных расчетов на ЭВМ, например, в системе Wolfram Mathematica. Результаты, найденные с более высокой степенью точности, в пределе должны переходить в формулу (7).
Саму найденную силу Ft можно применять для детального описания суспензии, например, исследовать движение частиц и жидкости под действием такой силы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии: учебник для вузов. - СПб: Химия, 1995. - 400 с.
2. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. Физические основы электрогидродинамики. - М.: Наука, 1979. - 320 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. - М.: ГИФМЛ, 1959. - 532 с.
4. Сыромясов А. О., Еремкина Н. В. Математическое моделирование электростатического взаимодействия двух одинаковых сфер, окруженных ДЭС // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17, № 3. -С.100-108.
5. Сыромясов А. О. Электрогидродинамика структурированной суспензии // Труды Средневолжского математического общества. - 2006. - Т. 8, № 1. - С. 301-306.
