Научная статья на тему 'Силы, действующие между двумя одинаковыми сферами, окруженными двойным электрическим слоем'

Силы, действующие между двумя одинаковыми сферами, окруженными двойным электрическим слоем Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
103
20
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Огарёв-Online
Область наук
Ключевые слова
ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ / ЗАКОН КУЛОНА / МУЛЬТИПОЛЬ / СУСПЕНЗИЯ / УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА-БОЛЬЦМАНА

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Еремкина Наталья Владимировна

В начальном приближении получено выражение для силы, действующей между двумя одинаковыми сферическими частицами, окруженными двойным электрическим слоем. Данный результат согласуется с законом Кулона.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The expression of initial-order accuracy is obtained for the force operating between two identical spherical particles surrounded by a double electric layer. This result agrees with the Coulomb's law.

Текст научной работы на тему «Силы, действующие между двумя одинаковыми сферами, окруженными двойным электрическим слоем»

ЕРЕМКИНА Н. В.

СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ОДИНАКОВЫМИ СФЕРАМИ, ОКРУЖЕННЫМИ ДВОЙНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ СЛОЕМ

Аннотация. В начальном приближении получено выражение для силы, действующей между двумя одинаковыми сферическими частицами, окруженными двойным электрическим слоем. Данный результат согласуется с законом Кулона.

Ключевые слова: суспензия, двойной электрический слой, уравнение Пуассона-Больцмана, мультиполь, закон Кулона.

EREMKINA N. V.

FORCES OPERATING BETWEEN TWO IDENTICAL SPHERES SURROUNDED BY ELECTRICAL DOUBLE LAYER

Abstract. The expression of initial-order accuracy is obtained for the force operating between two identical spherical particles surrounded by a double electric layer. This result agrees with the Coulomb's law.

Keywords: suspension, double electric layer, Poisson-Boltzmann equation, multipole, Coulomb's law.

Введение. Электростатическое взаимодействие между частицами взвеси может происходить при перекрытии двойных электрических слоев (ДЭС) их окружающих. ДЭС -это поверхностные слои пространственно разделенных электрических зарядов противоположного знака, образующихся на границе раздела «твердое тело - электролит» [1].

Толщина ДЭС определяет дальность электростатических взаимодействий в растворе и характеризуется величиной к-1 [1; 2].

При описании таких взаимодействий особый интерес представляют силы, которые возникают между частицами с перекрывающимися ДЭС. Вычислению сил, возникающих между двумя одинаковыми частицами посвящена данная работа.

Математическая модель. В неподвижной сплошной среде расположены две неподвижные сферические частицы Q(1) и Q(2) радиуса а. Для простоты введем декартову прямоугольную систему координат ОХ1Х2Х3 с началом O в центре первой частицы. Вектор х = (х1,х2,х3) задает положение произвольной точки пространства относительно центра первой частицы, а вектор х — г - относительно центра второй, который находится на оси Х3 на расстоянии г от начала координат.

Рис. 1.

В данном случае для описания поля нам достаточно указать его потенциал гр. Вне частиц он удовлетворяет уравнению Пуассона - Больцмана:

Агр = к2гр, (1)

где А - это оператор Лапласа.

На поверхности частиц потенциал постоянен, а вдали от частиц равен 0:

Ф1 дО(1) = Ф1дй(2) = 'Фа,

(2)

= 0.

На произвольную частицу О действует сила с компонентами

Ъ= фруПу-М. (3)

дП

В среде с неоднородным распределением потенциала компоненты тензора напряженийру вычисляются по формуле:

= дш £Р дуду

1рц = 8л дх5 дх5 и 4л дХ[ дх} ' (4)

Ьу есть символ Кронекера, ег - диэлектрическая проницаемость среды, по повторяющимся индексам идет суммирование в пределах от 1 до 3 [3].

Наша задача - из уравнений (3) и (4) вычислить силу Г, действующую на частицу О(1), а для этого необходимо найти функцию ш удовлетворяющую уравнению (1) и краевым условиям (2).

1 ОХ; ОХь

Решение задачи. В [4] распределение потенциала было найдено в виде разложения по мультиполям:

ф = С0(1)Л0(Х) + С](1)А](Х)+С]к(1)А]к(Хс) + С0(2)Л0(Х - г) + + Ст(1)Лт(Х)+Стт(1)Лтт(Х) + • + С)(2~)Л)(Х -Г) + С)к(Г)Л)к(Х -г)+ (5) +С/к1(2)Л/к1(Х - г) + С]к1т(22)Л]к1т(Х — г)+- ■■

Функция Л0 определяется следующим образом:

. ехр(—к|Х|)

Ло(ХС) =--г.-,

|х|

а мультиполи более высокого порядка суть частные производные Л0:

д д Х " дХк

Искомыми величинами служат тензорные коэффициенты Со(Ы), С/Ы), С/к(Ы),... в этом разложении. Номер N = 1,2 указывает на частицу, к которой относится тот или иной коэффициент.

Принцип построения общего решения (5) является достаточно общим и может быть применен для моделирования ДЭС в системах с произвольным количеством и конфигурацией частиц. Эти частицы могут, например, образовать бесконечную трехмерную периодическую решетку [5]. В любом случае структура коэффициентов определяется группой симметрии, которую имеют граничные условия исходного уравнения в частных производных.

В нашей работе конфигурация частиц имеет осевую симметрию, поэтому Сг = СБ-Ъг, С = СС-ЬЪъ Суы = СВ-ЪЬЬкЫ,..., где Ъг - компоненты единичного направляющего вектора оси симметрии Охз.

Чтобы найти коэффициенты Со, СБ, СС, СП и им подобные, вводятся малые безразмерные параметры, характеризующие расстояние между частицами и толщину ДЭС по сравнению с их радиусами:

а г

Е = — , 8 = КГ =

Г К 1 '

В работе [4] коэффициенты разложения были найдены с точностью до восьмой степени малых параметров.

Пользуясь этим решением, мы в начальном приближении нашли силу, действующую на частицу с центром в начале координат.

С точностью до второй степени малых параметров коэффициенты имеют вид: С0(1) = С0(2) = Ч-ЕЧ + 8ЕЧ,

СВ(1) = -СВ(2) = аЕ2Ч.

Остальные коэффициенты имеют более высокий порядок малости и потому считаются равными нулю. Здесь и далее ¥ = офа / ека.

Подставив (5) и выражения для коэффициентов (6) в (4) и (3), получим:

,2

а

что равносильно

п eF

Fi = -v2J2.b. (7)

Анализ решения. Можно показать, что при е ^ 0 и 5^0 заряд Q, сосредоточенный на поверхности частицы Q(1), равен

Q = SfV.

Поскольку частицы одинаковы, на поверхности Q(2) сосредоточен такой же заряд.

Выражая отсюда V и подставляя в (7), получаем известный закон Кулона:

Q2

Ft = -^тbi.

i eFr2 1

Это означает, что выражение (7) верно. В пределе, когда сферы, окруженные ДЭС, расположены далеко друг от друга, их можно считать точечными зарядами.

Так как вектор b сонаправлен с осью 0x3, то знак «-» в выражении (7) говорит о том, что сила действует со стороны частицы Q(2) на частицу Q(1) в направлении (-Х3), а значит, является силой отталкивания. Именно такие силы должны действовать между частицами с одноименными зарядами.

Заключение. Итак, полученный результат согласуется с законом Кулона. В пределе при r ^ <х, s^ 0 частицы, окруженные ДЭС, ведут себя как точечные заряды. Так как распределение ^симметрично, заряды частиц равны; поэтому они должны отталкиваться.

Выражение (7), полученное вручную, можно использовать в качестве теста при проведении более сложных расчетов на ЭВМ, например, в системе Wolfram Mathematica. Результаты, найденные с более высокой степенью точности, в пределе должны переходить в формулу (7).

Саму найденную силу Ft можно применять для детального описания суспензии, например, исследовать движение частиц и жидкости под действием такой силы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фридрихсберг Д. А. Курс коллоидной химии: учебник для вузов. - СПб: Химия, 1995. - 400 с.

2. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. Физические основы электрогидродинамики. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. - М.: ГИФМЛ, 1959. - 532 с.

4. Сыромясов А. О., Еремкина Н. В. Математическое моделирование электростатического взаимодействия двух одинаковых сфер, окруженных ДЭС // Журнал Средневолжского математического общества. - 2015. - Т. 17, № 3. -С.100-108.

5. Сыромясов А. О. Электрогидродинамика структурированной суспензии // Труды Средневолжского математического общества. - 2006. - Т. 8, № 1. - С. 301-306.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.