Моделирование динамики двойного электрического слоя в нестационарном по времени процессе. Ч. 1. О потенциале простого слоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2014, том 24, № 4, c. 22-29

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ

УДК 541.13 +537.362+537.364

© Н. Н. Князьков, Б. П. Шарфарец, Е. Б. Шарфарец

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВОЙНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СЛОЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПО ВРЕМЕНИ ПРОЦЕССЕ. Ч. 1. О ПОТЕНЦИАЛЕ ПРОСТОГО СЛОЯ

Поставлена задача о моделировании в электростатическом приближении динамики двойного электрического слоя в электрокинетических процессах при условиях неравновесного состояния потока ионов. Отмечается необходимость замены уравнения Пуассона—Больцмана краевой задачей Неймана для уравнения Пуассона в общей системе связанных уравнений, описывающих электрокинетический процесс в целом. В работе рассмотрена задача для простого слоя без учета объемной плотности зарядов. Приведены необходимые факты из теории потенциала. Полное решение поставленной задачи будет представлено в следующей части работы.

Кл. сл.: электрокинетические явления, уравнение Пуассона, уравнение Нернста—Планка, краевая задача Неймана, двойной электрический слой, потенциал простого слоя

ВВЕДЕНИЕ

В электрокинетических процессах одним из важнейших факторов является двойной электрический слой (ДЭС) Г1—3 и др.1. Обычно при его формализации исходят из равновесного состояния для потока каждого растворенного вещества, после чего из уравнений Нернста—Планка, описывающих эти потоки Г4, выражение (32)1, следует не зависящее от времени статистическое распределение Больцмана, связывающее концентрацию ионов с электрическим потенциалом Г4, выражение (8)1. Поэтому при использовании электростатического уравнения Пуассона для связи электрического потенциала с плотностью заряда ионов в растворе последний определяется именно из статического распределения Больцмана, и уравнение Пуассона преобразуется в уравнение Пуассона—Больцмана (см. [4, выражение (10)1, там же расшифровка обозначений):

Zec,

f

Др(r)- 2-0sh -р(r)

ssn

Ze

\

V kBT

= 0.

Это уравнение представляет собой уже не неоднородное уравнение Лапласа, каковым является уравнение Пуассона, а однородное эллиптическое уравнение типа уравнения Гельмгольца. Более того, в случае использования приближения Дебая оно преобразуется точно в уравнение Гельмгольца [4, выражение (14)]:

м г )"1т р( г ) =

л0

На практике приходится иметь дело с неравно-

весными процессами (наличие конвекции, временная нестационарность параметров жидкости и т. д.). Тогда, безусловно, следует исходить из нестационарного уравнения Нернста—Планка для потоков, что нарушает статистическое распределение Больцмана, связывающее концентрацию и электрический потенциал (см. выше). В этом случае получаются зависящая от времени связанная система уравнений для закона сохранения массы, где фигурирует электрический потенциал Г4, выражение (34)1

ÖCa dt

= -V-J„ + R =

= -V • (-zauaF(2aV р - DaVCa + Cav) + Ra

и уравнения Пуассона

Др = - ^L ssn

для электрического потенциала, в правой части которого фигурирует концентрация ионов Г4, выражения (4), (9)]. Тогда вместо стандартной правой части в уравнении Пуассона будет фигурировать произвольное зависящее от времени распределение плотности зарядов, и сразу возникает потребность в решении краевых задач для уравнения Пуассона.

Именно описанию методов решения краевых задач для уравнения Пуассона применительно к физике образования ДЭС в условиях неравновесных потоков ионов будет посвящена серия статей, первая из которых (настоящая работа) затра-

гивает для решения соответствующих задач ДЭС применение понятия потенциала простого слоя. При этом будем исходить из того, что имеет место приближение электростатики, что означает, что время релаксации заряда т много больше реального времени протекания процесса ^: т >> ^ (см. [4, выражение (41)] и комментарии к нему в обзоре).

ДВОЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ СЛОЙ

Описание процесса образования ДЭС содержится во многих работах, в частности в [1-3, 5, 6]. Коротко приведем основные моменты, связанные с образованием и физикой ДЭС.

На границе раздела фаз возникает двойной электрический слой, представляющий собой тонкий поверхностный слой из пространственно разделенных электрических зарядов противоположного знака; природа образования ДЭС разнообразна и описана, в частности, в указанных выше работах.

ДЭС подразделяется на плотную (адсорбционную) и диффузную части. Адсорбционная (плотная, неподвижная) часть ДЭС состоит из потен-циалопределяющих ионов и части противоионов, диффузная (подвижная) часть ДЭС образована остальными противоионами, поэтому при относительном перемещении фаз граница скольжения проходит на некотором расстоянии от твердой поверхности.

Скорость перемещения фаз в электрическом поле определяется величиной потенциала на поверхности скольжения, который поэтому назван электрокинетическим потенциалом и кратко обозначается как с-потенциал (дзета-потенциал). Этому потенциалу приписывают знак заряда твердой поверхности.

Противоионы находятся под действием электрического поля заряженной поверхности и теплового движения, стремящегося равномерно распределить их в объеме, что приводит к закономерному динамическому распределению противоионов подобно облаку, плотность которого убывает по мере удаления от заряженной поверхности; внешняя граница этого облака противоионов определяет толщину ДЭС.

Электрокинетические явления проявляются в разбавленных растворах электролитов с концентрацией < 0.1 н (здесь "н" означает нормальную концентрацию); электрокинетический потенциал имеет порядок д = 0.001 - 0.1 В.

Первичный адсорбционный слой (поверхность твердой фазы) имеет потенциал р0 (не поддающаяся измерению величина). Противоионы не могут приблизиться к поверхности ближе, чем на определенное предельное расстояние 5, которое

зависит от радиуса ионов. На этом расстоянии потенциал уменьшается до величины р5 , а за пределами этого расстояния в диффузном слое потенциал уменьшается до нуля. Плоскость скольжения может отстоять от твердой стенки на величину 5 либо дальше. В первом случае д = р5 , во втором д < р5 . Отметим, что с-потенциал реально измеряется по электроосмотической скорости коллоидных частиц в электрическом поле (см., например, [1, с. 34, выражение (2.6)]).

О МЕХАНИЗМЕ ОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ДЭС

В качестве простого примера рассматриваем плоскость у = 0, как границу раздела двух однородных полупространств с распределением диэлектрической проницаемости в средах 1 (у < 0) и 2 (у > 0)

£( У) =

£ у < 0;

у >

Пусть среда 1 — твердая фаза, среда 2 — жидкая фаза.

Как известно [7], поведение электрического потенциала р в системе СИ в отечественной нотации описывается уравнением Пуассона

Др = - р. ££

(1)

Здесь рг1, Кл/м3 — объемная плотность зарядов; £ — относительная диэлектрическая проницаемость, безразмерная величина; £0 = 8.85 х

х10-12 Кл/(В • м) = 8.85 -10-12 Ф/м — электрическая постоянная.

Предположим, что в начальный момент ^ = ДЭС отсутствует, а объемная плотность заряда в жидкой фазе ре1 = 0 . В силу различных описанных выше причин на поверхности твердой фазы образуется слой потенциалопределяющих ионов. В результате чего на ее поверхности образуется слой заряда с поверхностной плотностью заряда ц( ж), что эквивалентно наличию потенциала простого слоя [9] (см. Приложение). В этом случае первичное распределение потенциала в жидкой фазе не совпадает с уравнением Пуассона—Больцмана [4, выражение (10), либо (15) в случае приближения Дебая]. Покажем это.

Потенциал простого слоя находим для простого слоя (см. Приложение), который в случае границы у = 0 имеет вид

М(х)5з _ М(х)5(у)

££

££

(2)

Р0 (0, у,0 ) = р° (у ) = 4-£-1ММ

4%££,

Л

Мо

I 2 2 2

>/Х0 + ^ + у

4ж££0 я iх - Х2

^оФо =

^ =

Мо

2££о о у!рр + у2

¿Ро =

Мо л/Р^+у2

2££

о _ Мо5(у)

Др =-

££

(3)

Учитывая зависимость решения уравнения (3) только от переменной у , имеем

д 2 0

£( у)£о дрТ = -Мо5( у).

ду

(4)

Ро (у ) =

\Лу + В, у < 0;

[Су + D, у > О с краевыми условиями

(5)

£( у)£

дрс

ду

(1 =О,

или иначе

дрО (+О) др0 (-О)

Исходя из соображений симметрии, понятно, что потенциал простого слоя зависит только от координаты у . Поэтому на всех плоскостях, параллельных плоскости у = О, потенциал должен быть одинаковым и меняться только в зависимости от величины у . Тогда эту зависимость можно

рассматривать, например, только в точке (О, у,О) . Имеем для потенциала простого слоя в этой точке (обозначим его через р0, подчеркивая связь с потенциалом простого слоя)

2 О 1

ду

( (+О) = ( (-О).

ду

Здесь символом ±О обозначается предельное значение выражения при стремлении аргумента к точке у = О справа (+) или слева (-).

Эти краевые условия, естественно, совпадают со стандартными краевыми условиями для электрической индукции и потенциала на границе раздела двух сред с различной диэлектрической проницаемостью при наличии на ней поверхностного заряда [7, с. 151].

Из (5) и (6) следует

В = D,

£2£ОС - £1£ОЛ = -МО

(7)

Последний интеграл справа табличный. Как видно, интеграл расходится. Тем не менее, для решения задачи применим стандартный подход нахождения решения дифференциального уравнения. Для этого рассмотрим соответствующее уравнение Пуассона (см. Приложение, (П8))

Последняя система недоопределена. Остается открытым вопрос о величине потенциала в точке у = О (В, D), который является несущественным, поскольку потенциал определен с точностью до аддитивной константы. Во втором уравнении величины Л и С связаны уравнением прямой (бесчисленное число решений). Например, в работе [11, с. 232-234] в подобной ситуации эту трудность удается обойти при условии £ = £2. Для доопределения уравнения (7) поступим следующим образом. Попытаемся вычислить напряженности электрического поля в интегральном виде, как выше было проделано для потенциала. Для линейного потенциала напряженность электрического поля должна быть постоянным вектором в каждом полупространстве, что позволяет рассчитать его в единственной точке с каждой стороны плоскости у = О . Учитывая, что

¿Е = -

1 ^г.

4л££0 R

Решение этой задачи в силу свойств ¿-функции таково (это следует из того, что везде, кроме точки у = О, решениями (4) являются прямые):

здесь г — единичный вектор, направленный из точки плоскости (хО, уО = О, zО), рассчитаем модули векторов Е в точках (О,у,О) и(О,-у,О) . Имеем по аналогии с потенциалом

Е

( О, ±у,О ) = ( ( у ) = ^ |

4^£,£о я х - х2

О/2^о =

Мо

I-

2££о о Р2 + у 7 = 1,2.

2 2^2 = РО + у'

4££о

Как видно, последний интеграл вновь расходится, однако ситуация небезнадежна. Образуем

1

X)

о

да

2

-2

отношение |E| / |E| при некотором р0 = t и перейдем к пределу при t ^ да

lim (IEl / IeI2 ) =

tv 11 1 12 ' г

Таким образом, получаем

dp0 (+0)

dy

dp0 (-0)

dy

Тогда в(7)

IC /I A\ = или IC = |A|

При / > ° вектора напряженности электрического поля направлены от плоскости у — 0 в противоположные стороны. Исходя из определения

E = - Vp0, получаем, что A > 0,

C <0,

В — О > 0 . Это значит, что в (7) второе уравнение можно переписать так:

— ^2^0 I I I ^АI —

= Г2Г0 \A\ 1 Г1Г0 \A\ = |Mü|. Г

Или окончательно:

A =

Мй

2Г1Г0

C = ■

Мй

2Г2Г0

(8)

При /и0 < 0 получаем В — О < 0, А < 0, а С > 0. Тогда второе уравнение (7) можно переписать так:

&2&0С А — ^2^0 | ^С| + ££ || — = £2£0 \А\~~" + £1£0 \А\ — |U°|,

В работе Г7, с. 1781 на границе проводника и диэлектрика (среда 2 — проводник), а в работе [2, с. 184] применительно к формализму ДЭС на границе электролита и диэлектрика (среда 2 — электролит) поставлено краевое условие, которое в теории краевых задач называется неоднородным краевым условием Неймана:

dp0(+0)

dy

1

-М)

(10)

Как видно, первое краевое условие в (6) отличается от краевого условия Неймана (10) некоторой

добавкой

Г dp0 (-0)

Г2 fy

Решение для потенциала во второй среде в случае краевого условия (10), как легко вычислить, будет иметь вид

Р0 (у) — Су + О — О-иу, у > 0, £1£0

где О — некоторая константа. В работе [2, с. 185, выражение (52-9)] приведена привязка плотности поверхностного заряда /и0 к электрокинетическому потенциалу (с-потенциалу) в случае равновесного состояния (т. е. в случае справедливости распределения Больцмана).

ПЛАН ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

План полностью совпадает с соответствующим планом работы [4] по решению связанной системы уравнений. И если все пункты плана достаточно ясны, то особенности решения краевой задачи для уравнения Пуассона необходимо конкретизировать. Что и будет проделано в следующей работе.

ВЫВОДЫ

что вновь приводит к значениям (8) для искомых коэффициентов. Таким образом, окончательно имеем

p (y ) =

Ay + B, y < 0, = Cy + D, y > 0,

2Г1Г0

H + sgn (М0 )| B|. (9)

Подобную задачу можно рассмотреть для ограниченной плоской поверхности раздела, для бесконечного или ограниченного цилиндра и т. д.

Замечание. Из первого уравнения краевых условий (6) следует следующее соотношение для второй среды:

dp0 (+0)

dy

1 г dp0 (-0)

М0 +-

dy

Таким образом, в условиях неравновесного состояния потоков ионов становится несправедливым распределение Больцмана, связывающее концентрацию с электрическим потенциалом. Поэтому необходимо решать не уравнение Пуас-сона—Больцмана (типа уравнения Гельмгольца), как в случае равновесных потоков, а краевые задачи для уравнения Пуассона совместно с уравнением материального баланса [4, выражение (34)]. В настоящей работе рассмотрена задача для простого слоя без учета объемной плотности зарядов. В следующей работе будет описано решение уравнения Пуассона для общего случая, в частности, при наличии ненулевой плотности объемного заряда.

/

а

ПРИЛОЖЕНИЕ

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО (КУЛОНОВА) ПОТЕНЦИАЛА

О формуле Грина и краевых задачах

Рассматриваем трехмерное пространство R3. Пусть V + — ограниченная область, V + с R3, Я = дV + — ее граница и V- = R3 \ V + — дополнение до всего пространства. Вначале приведем фундаментальную формулу Грина [7, с. 154], [8, с. 31О], [9, с. 36О], [1О, с. 527]. Выпишем эту формулу для пары функций: функции р(х) , удовлетворяющей уравнению Пуассона (1), и функции

I—1—г, удовлетворяющей уравнению Лапласа вез-

Iх - У|

де, кроме точки х = у . Пусть р(х) — функция

непрерывная вместе со своими первыми производными на границе Я и дважды дифференцируема в самой области V +. Тогда справедлива следующая формула Грина:

д(х)р(х) = Дрх +1

1 др

х - х2| я |х - х2 дп

ч>

дп

,х - х2|

VI °| /

=

что уже совпадает с выражением, приведенным в [7, с. 154].

Как будет видно ниже, функция р(х) представляется в виде суммы трех кулоновских (ньютоновых) потенциалов. В случае р(х2) = О функция р(х) удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является гармонической и в последнем выражении для нее остаются только поверхностные интегралы:

1 г 1 др Ь д ' р(х) = ^"..1-1^Г^оI

4л Я х - хО дп 4л* дп \

1

\

,х - хО|

а^о. (П1)

В теории краевых задач решение уравнения Пуассона ищется в виде суммы частного решения уравнения Пуассона при условии, что это решение удовлетворяет однородным краевым условиям первого (Дирихле), второго (Неймана) или третьего рода на границе Я, и решения уравнения Лапласа, удовлетворяющего фактическим краевым условиям [9]. Однако из теорем единственности для задач Дирихле и Неймана следует, что, вообще говоря, не существует гармонической функции р(х) с произвольно заданными значениями р

и — на Я. Поэтому формулу Грина (П1) нельзя

дп

непосредственно использовать для решения поставленных краевых задач [9, с. 415]. В этой связи используются другие подходы, в частности, подходы, основанные на теории потенциала.

1-1РЦ ахо + ГТ 1 др

?С » V _ V »

N>1 Я Iх - хо| дп

\я>

дп

,х - х2|

VI °| /

где д(х) определяется формулой Гаусса для потенциала двойного слоя

■_д_ дп

1

,х - х2|

VI °| /

а^о = д(х) = <

4л, х е V +; 2л, х е Я; . О, х е V-.

1 гр( хо )^о + _!_ г дршо

р(х) = I ^ * + ±I

1д

--I р-

4л * дп

4л * х - х2 дп

-

,х - х2| VI °1 /

Простой и двойной слои

Простым слоем называется следующее обобщение 5 — функции на поверхности [9, с. 98]. Пусть Я — кусочно-гладкая поверхность и м(х) —

непрерывная функция от х = ( х, у, z) , заданная на Я. Вводится обобщенная функция, действующая по правилу

(м5я ,р) = | М( х )р(х ) &

М5Я = О , х ё Я.

После деления на д получается формула Грина в каноническом ее виде. Для области V + получаем

Обобщенная функция ¡и53 и называется простым слоем на поверхности Я с плотностью м(х) . Эта обобщенная функция описывает поверхностную плотность м( х) монопольных зарядов на поверхности Я.

Обобщением производной дельта-функции 5' (х) является двойной слой [9, с. 115]. Пусть п —

единичная нормаль к поверхности Я и м(х) — непрерывная функция, заданная на Я. Вводится

д

1

д

1

1

обобщенная функция ——(у58 ) , действующая по

дп

правилу

Н К) 4м1 )дР* •

д

Обобщенная функция--(у53 ) называется

дп

двойным слоем на поверхности S с плотностью V (ж), ориентированным по нормали п . Эта обобщенная функция описывает плотность зарядов, соответствующую распределению диполей на поверхности S с поверхностной плотностью момента v(х) и ориентированных вдоль заданного направления нормали п на S .

Объемный потенциал, потенциалы простого и двойного слоев

Пусть х е R3. Фундаментальным решением Е3 уравнения Лапласа является решение уравнения

АЕ3 — 8 (х - х0)

которое равно [9, с. 202]

Е —-

1__1_

4л х -х„

Пусть V+ — замкнутая область трехмерного пространства с гладкой границей S — дV +, V- — (V+ и 5) . Интегралы, зависящие от х как от параметра:

и ( х )—|

Р( х0 )

dx°

V + Iх х0|

и0 ( х ) — /

/( х0)

d5n

и1 ( х ) — И х0)

дп

VI /

dsn

(П2) (П3) (П4)

где п0 — внешняя нормаль в точке х0 е 5 к поверхности 5, называются соответственно (ньютоновым, кулоновским) объемным потенциалом, потенциалом простого слоя и потенциалом двойного слоя [9, с. 146-147], [10, с. 523].

Описанные потенциалы обладают целым рядом свойств (см. [7-10]). Здесь приведем некоторые из них [9, с. 394-396], [10, с. 524, 525].

Объемный потенциал. Пусть р(х) — абсолютно интегрируема на V + и р(х) — 0, х е^. Тогда объемный потенциал и (х) и его производные первого порядка непрерывны всюду в R3, причем их можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла. Производные второго порядка непрерывны всюду вне 5, но при переходе через поверхность 5 они претерпевают разрыв. В области V + удовлетворяется уравнение Пуассона

Аи ( х ) — -4лр( х ),

(П5)

а в области V — уравнение Лапласа (потенциал — гармоническая функция)

Аи (х ) — 0;

при х е V" потенциал и (х) допускает непрерывное дифференцирование под знаком интеграла бесконечное число раз.

Потенциалы простого и двойного слоев. Пусть 5 — ограниченная кусочно-гладкая поверхность, п — выбранное направление к ней и / и V — непрерывные функции на 5. Тогда потенциалы (П3) и (П4) представляют собой локально интегрированные функции в R3 Эти потенциалы удовлетворяют уравнению Пуассона соответственно [9, с. 396, 397]

д

Аи0 — -4л/8, , Аи1 — 4л—^ ) .

дп

(П6)

Потенциалы и0 и и1 — гармонические функции вне поверхности 5, и0 непрерывна в R3 и, согласно [9, с. 398],

и0 ( х ) — О

,х,

VI I/

и1 ( х ) — О

' 1 ^

х ^ да.

Потенциал двойного слоя и нормальная производная простого слоя на границе 5 претерпевают разрыв [9, с. 407, 409]:

ди0

ди1

0 Л

—

я I I я —4л/(х):

дп / V дп .

\ /+ V /-

(и1 )+-(и1)-— - 4лv(х) .

Здесь нижние индексы + и - характеризуют предельные значения стоящих в скобках величин при стремлении х к поверхности 5 изнутри (+) и извне ( ).

В электростатике для потенциалов формулируются несколько отличные от (П5-П6) уравнения

2

х

д

1

Пуассона, которые следуют из представленных в [7, с. 171, 173] выражений для потенциалов простого и двойного слоя в интегральном виде. Так, вместо (П5) рассматривается уравнение (1), вместо (П6), как легко видно, необходимо рассматривать уравнения с также несколько измененной правой частью. Для наглядности выпишем их все (для удобства обозначения работы [7] приведены к принятым в настоящей работе)

Ар = - —,

ssn

Ар0 =-

Ар1 = бп

ju(x)Ss

ssn

И x )ss )

ssn

(П7) (П8)

(П9)

Здесь р0 — аналог потенциала простого слоя, представляется в виде [7, с. 171]

Р (*) = — f

^ v ' А-п-гг J

U( xo )

4S s |x-x0

(П10)

ар — аналог потенциала двойного слоя, представляется в виде [7, с. 173]

1 f

р (x )=4^ss7 и xo)

бП

f

1

\

VI 0I /

dV (П11)

Здесь множитель -, В • м/Кл, в правой части

££0

уравнений по сравнению с работой [9] появился вследствие теоремы Гаусса для электростатики в однородной среде

¥• D — ¥• (££0Е) — ££0Ч • Е = -££0Ар — ре1,

приводящей к уравнению Пуассона (1). Появление этого множителя урегулирует, кроме того, равенство размерностей в обеих частях последних уравнений

В В

Пуассона для уравнений (П8)-(П9): — — —.

м м

В уравнениях Пуассона учтены также размерности

Г п Кл г п Кл г п Кл • м Кл г „ п 1

[Pel ] = "Г, М = "Т, И =-— = — , [Ss ] = - .

м м мм м

Размерность SS следует из определения одномер-

да

ной S -функции: j S(x —x0)f (x) dx = f (x0) в слу-

—да

чае, когда [ x] = м.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Духин С.С., Дерягин Б.В. Электрофорез. М.: Наука,

1976. 332 с.

2. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. М.: Мир,

1977. 464 с.

3. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford University Press, 2008. 346 p.

4. Князьков Н.Н., Шарфарец Б.П., Шарфарец Е.Б. Базовые выражения, используемые в электрокинетических явлениях. Обзор // Научное приборостроение. 2014. Т. 24, № 4. С. 13-21.

5. Глинка Н.Л. Общая химия. 24-е изд. Л.: Химия, 1985. 702 с.

6. Золотое Ю.А., Дорохова Е.Н., Фадеева В.И. и др. Основы аналитической химии. Т. 2. Методы химического анализа. М.: Высш. шк., 2004. 503 с.

7. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. М.: Огиз, 1948. 539 с.

8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 798 с.

9. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

10. Математическая энциклопедия. Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984. 1215 с.

11. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. М.: МЦНМО, 2003. 303 с.

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, [email protected]

Материал поступил в редакцию: 13.10.2014

б

MODELING THE DYNAMICS OF THE ELECTRICAL DOUBLE LAYER IN THE NON-STATIONARY TIME PROCESS. PART 1. ABOUT THE SIMPLE LAYER POTENTIAL

N. N. Knyaz'kov, B. P. Sharfarets, E. B. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, RF

We put the problem of modeling in the electrostatic approximation of the dynamics of the electrical double layer in electrokinetic processes in conditions of non-equilibrium state of the ions' flow. It is the necessity of replacing of the Poisson—Boltzmann equation by the solution of the Neumann's boundary problem for the Poisson equation in the general system of related equations which describe the electrokinetic process as a whole. In this work we considered the problem for a simple layer without account of bulk density of the charges. The required facts from potential theory are presented. The full solution of the problem will be presented in the next part of the work.

Keywords: electrokinetic phenomena, Poisson equation, equation of Nernst—Planck, Neumann's boundary problem, electrical double layer, simple layer potential

REFERENCES

1. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford University Press, 2008. 346 p.

Contacts: Sharfarets Boris Pinkusovich,

[email protected] Article arrived in edition: 13.10.2014