Система уравнений электрогидродинамики применительно к электроосмотическим процессам Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2019, том 29, № 1, c. 135-142

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ

УДК 539.19+ 532.5.032 © Б. П. Шарфарец, 2019

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИКИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ

В работе получена замкнутая система электрогидродинамических (ЭГД) уравнений для такого специфического подраздела электрогидродинамики, как электроосмотические явления. ЭГД-система не содержит уравнения диффузии для поиска поля концентраций ионов. В работе они рассчитаны проще в приближении Дебая—Хюккеля. Это позволяет упростить расчет электроосмотических потенциалов и плотностей зарядов ионов. Проведена коррекция других уравнений ключевых ЭГД-системы с учетом особенностей электроосмотических процессов. Наличие в системе уравнения теплопроводности позволяет рассчитывать поле температуры в жидкости, что является крайне необходимым для поддержания необходимого температурного режима при реализации на практике излучателя нового типа.

Кл. сл.: электрогидродинамика, электроосмотический процесс, электрогидродинамическая система уравнений, приближение Дебая—Хюккеля, концентрация ионов

ВВЕДЕНИЕ

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

В работе [1] был проведен анализ стандартной системы уравнений электрогидродинамики (ЭГД) в целях описания физических процессов, протекающих при возбуждении акустической энергии в электроакустическом преобразователе нового типа. Однако (и в [1] это было частично отмечено) стандартная математическая ЭГД-модель нуждается в адаптации к физическим процессам, происходящим в излучателе нового типа. Одной из важнейших физических особенностей изучаемого процесса является наличие двойного электрического слоя (ДЭС) на границах раздела фаз вне зависимости от наличия стороннего электрического поля. Известно, что в ДЭС нарушается условие электронейтральности электрических зарядов в жидкой фазе. В существующих ЭГД-моделях эта особенность не учитывается, в частности при записи уравнения закона сохранения энергии, в котором в выражении для источника джоулева тепла отсутствует учет ДЭС. Кроме того, в системе ЭГД-уравнений для вычисления концентраций электрических зарядов необходимо решать уравнения массопереноса (диффузии), что безусловно усложняет и без того непростую ЭГД-систему уравнений. Вместе с тем в электроосмотических моделях используется аппарат электрохимического потенциала (т.е. химического потенциала электрически заряженных частиц и квазичастиц (ионов, электронов и т.д.) в электрическом поле).

Работа посвящена учету ряда особенностей электроосмотического процесса в стандартной ЭГД-модели, для чего проводится детализация отдельных уравнений ЭГД-системы, приводятся реальные оценки их параметров, основываясь в частности на материалах работы [2]. Кроме того, необходимо адаптировать ЭГД-систему под решение электроосмотических задач путем привлечения хорошо развитого аппарата электрохимического потенциала заряженных частиц.

РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ

ЭГД-система

Выпишем вначале ЭГД-систему, заимствованную в [3] и представленную в [1] выражениями [1, (15)-(21)]:

+ ^ = +^Ау + pg + f , (1)

V-v = 0,

^ + v -VT = XAT + ^

а pcP

E = -Vp,

(2)

(3)

(4)

а(еЕ)

] = стЕ + реу + е0 ' +Ух(P ху) ,

ал

V-] = о,

f = р Е - е Е ^е + е VI Е 2р —

2

2

ар

(5)

(6)

(7)

Jт

Здесь р — плотность; у — поле вектора скорости; р — поле давления в жидкости; g — вектор ускорения силы тяжести; f — объемная внешняя сила; г) — динамическая вязкость жидкости; Т — абсолютная температура в жидкости; % — коэффициент температуропроводности жидкости; ср — удельная теплоемкость при постоянном

давлении; и — удельная электропроводность; Е — вектор напряженности приложенного электрического поля; р — скалярный потенциал поля Е; Р — вектор поляризации; ] — плотность тока; р — плотность электрического заряда в жидкости; е0 и е — соответственно электрическая постоянная и диэлектрическая проницаемость; Е = |Е| — модуль вектора Е.

В приведенной ЭГД-системе уравнение (1) — это уравнение Навье—Стокса (сохранения импульса) для несжимаемой жидкости; (2) — уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости; (3) — уравнение сохранения энергии (теплопроводности); объемная сила f в (1) принимается равной пондеромоторной силе (7), возникающей вследствие приложения к жидкости внешнего поля Е.

Представляется целесообразным откорректировать по крайней мере два уравнения из приведенной выше ЭГД-системы (1)-(7): уравнения (3) и (5). В обоих случаях для этого понадобится уточнить формулу (5) плотности тока ]. Поэтому первоначально обратимся к вопросу о плотности тока в жидкостях.

Плотность тока в жидкостях

Плотность тока в жидкости неразрывно связана с подвижностью ионов. Подвижность иона и представляет собой его среднюю скорость в жидкости при действии на него силы в 1 Н/м независимо от происхождения этой силы [4, с. 245]. Приведем ход рассуждений при определении ионной подвижности в случае действия поля Е (см., например, [5, с. 144]). Подвижность иона определяется из рассмотрения баланса сил трения Стокса Fs и Кулона Fc, действующих на ион с зарядом е . Сила Кулона Fc равна Fc = еЕ . Сила Стокса Fs

равна Fs = -6пг)Кк уе. Здесь — гидродинамический радиус иона (он обычно превышает реальный радиус иона а вследствие процесса сольватации ионов, заключающегося в том, что вокруг иона концентрируется облако молекул, сцепленных с ним дипольными силами; в [5, с. 145] приводятся порядки этих величин: а ~ 0.05 нм; ~ 0.2 нм). Баланс этих сил при скорости уе дает

^ уе = Л П

^ и = -

^ + Ц = 0 ^ еЕ = 6)уе ^

е

Е = иЕ ^ у = -

е

е

6л7^Rh

Е = иЕ ^

6)ь

где и — подвижность иона. Очевидно, что знак подвижности и совпадает со знаком заряда иона. Как видно из последнего выражения, в случае рассмотрения подвижности ионов и в нарушение приведенного выше определения заряд иона е искусственно внесен в определение подвижности из соображения удобства. В [5, с. 145] приведены величины подвижностей некоторых ионов.1

При определении плотности тока кроме рассмотренных выше сил Стокса и Кулона обычно рассматривают еще одну силу, вызванную давлением на ион со стороны других ионов. Это давление определяется в приближении идеального газа выражением р = с^Т, а сама сила (обозначим ее

FB) равна Ев =-—V( ckBT) [2, с. 22]. Здесь посто-с

янная Больцмана ^ равна ^ = 1.38064852 Дж/К.

Коэффициент диффузии 1 -го иона Di связан с его подвижностью соотношением Эйнштейна [4, с. 258]2 Dl = и£Т .

Очевидно, что плотность тока ]т однотипных ионов с зарядом ei, связанная только со скоростью уе1 определяется домножением миграционной скорости на плотность заряда этих ионов р7 = ciei, Т. е. выражением ]т = уе7 = Ре,у е1 = Р„игЕ (ток ]т называется миграционным [4, глава 11], [5, с. 157]). Используя предыдущее соотношение, а также соотношения ]т = сгЕ и уе1 = uiЕ, легко

1 При увеличении температуры подвижность ионов в газах и жидкостях ведет себя по разному. В газах с ростом температуры мобильность падает, а в жидкостях растет [2, с. 23-24]. Поэтому, как будет очевидно далее, падает и растет удельная проводимость соответственно газа и жидкости.

2 Приведенная в [4, с. 258] формула адаптирована здесь применительно к отдельному иону (см. также [6]).

е

получить выражение для удельной ионной проводимости аi для рассматриваемого типа ионов [5,

с. 145]: < = с1е1иг = Региг ■

Далее выпишем выражение для вектора суммарной скорости движения этих ионов и; под воздействием указанных сил, а также с учетом движения самой жидкости [2, с. 24]:

и = у - d

Ус,.

+ у = иЕ - уВг + у .

(8)

Ъ = X Ъ = Х( Ри Е - Dypгl + рг1 у ) = ]'+ рг у , (10)

1=1 1=1

N N

Ъ = Х(Рей;Е-DlУpel) = <Е-Xре;, (10а)

В работе [2, с. 24] в выражении (2.17), соответствующем выражению (9) настоящей работы, допущена описка, учтенная в (9).

ры ионов одинаковой валентности, но разного знака, запишем для них выражение (10) для плотности тока, не подразумевая выполнения условия электронейтральности, т.е. р+е + ре Ф 0 . Имеем

Ре1 = ре

ре 2 = ре ,

е1 = Ч,

Здесь уе1 = uiЕ — миграционная скорость рас-

Ус

сматриваемых ионов; у0 = Di —'- — их скорость,

с

вызванная диффузионными процессами, и у — скорость самой среды.

Совокупная плотность тока рассматриваемого типа ионов получается умножением в (8) совокупной скорости I -го вида ионов иг на величину плотности заряда этих ионов ре = с{е{. Для иона I -го вида получено [2, с. 24], [4, с. 249]3

Ъ = Ре,и,Е - еАУС + реI у =

= реиЕ - ^УРе1 + Рег У = Ъ + Рег У, (9)

л = реиЕ - D¡Уpe¡= <Е - D¡Уpe¡, (9а)

Для совокупной плотности тока с учетом ионов всех типов суммирование последних уравнений дает:

N N

е2 = -ч . Здесь ч заряд иона в единицах заряда протона. Таким образом, р+е = чс1, ре = дс2, где с1, с2 — концентрации положительного и отрицательного зарядов соответственно. Как отмечено выше, подвижность отрицательного иона является отрицательной величиной. Подставляя приведенные величины в (10), получаем 2

Ъ =Х(ре,и,Е - ^УРе, + Рег У ) =

1=1

= ( р>1 - р- К|) Е-(DlVРe+ - D2VРe-) +

+(Ре++ р;) у.

(11)

Как видно, конвективная составляющая плотности тока отлична от нуля.

случае выполнения условия электроней-

В

где ре = X рг — совокупная плотность заряда

г=1

N

в жидкости; = ргии{ и а = XРгги{ — парциаль-

¿=1

ная и полная удельная проводимости соответственно. В (9а), (10а) Ъ и Ъ — соответственно парциальная и совокупная часть плотности тока, равная сумме токов проводимости и токов, вызванных диффузией ионов; ргу и реу — их конвективная часть.

Уравнения типа (9), (10) носят название соотношения Нернста—Планка (см., например, [5, с. 57]). Далее, допуская наличие в жидкости только па-

тральности рр = -ре из (11) следует

] = рр (и + \и2\)Е -(ДУр+ -D2Vp-г ) = Ъ'. (12)

В этом случае конвективная составляющая тока пропадает. Если равны и концентрации ионов с1 = с2 = с, и коэффициенты диффузии D1 = D2, то выпадает и диффузионная составляющая плотности тока и остается только ток проводимости

] = Р+е{щ + |и2|)Е = аЕ .

Однако для равенства коэффициентов диффузии ионов должны быть, как показывает приведенная выше формула Эйнштейна, равны подвижности катиона и аниона, составляющих ионную пару. Поэтому при условии электронейтральности в общем случае для плотности тока наиболее вероятна формула (12).

Как правило, жидкости электронейтральны (см. [4, гл. 11]), однако в случае наличия ДЭС электронейтральность нарушается [4, с. 247], [5, § 8.3], что влечет за собой неравенства концентраций с+ Ф с- и плотностей зарядов р+ Ф р] . Тогда для вычисления функции плотности тока \ необходимо пользоваться общим выражением (11). Те же рассуждения справедливы при наличии в жидкости произвольного числа пар ионов.

В приложении приведены выражения для плотности зарядов и концентраций в ДЭС.

+

их= и

и2= и

с

81]:

Коррекция уравнений (3) и (5)

Вначале приведем ЭГД-систему из [2, ч. I, с. 24,

'ау

1. р^—+ (у-V) у^-Ур + )Ау + рg + ^

2. V-у = 0,

3. аТ + у ^Т = %АТ +

ал рсР

4. V х Е = 0,

N

5. ] = ]'+ ре У, ] ' = ИЕ D1Vре1,

6. И =Ё ре,и,,

(

ае

\

/г

(13)

7. f = рЕЕ2Vе + —V Е2р —

Ие 2 2 ^ ар

8. V-D = е^-еЕ = ре,

9. V-]'+аре = 0.

ал

Сравнение этой системы с системой (1)-(7) показывает совпадение уравнений (1) и 1 из (13), (2) и 2 из (13), (4) и 4 из (13), (7) и 7 из (13). Уравнение 3 из (13) отличается от (3) наличием дополнительного источника джоулева тепла в виде плотности тока, вызванной диффузией зарядов

-I DlУрe

(14)

ствует ЭГД-система, включающая гидродинамические уравнения 1, 2 из (13), а также в той или иной форме электродинамические уравнения 4, 5, 6, 7 и 8 из (13).

На основании изложенного выше может быть записана искомая ЭГД-система, учитывающая электроосмотические эффекты.

ЭГД-система применительно к электроосмотическим явлениям

В искомую систему должны быть включены уравнения 1-8 из (13). Уравнение теплопроводности 3 из (13) должно быть откорректировано с учетом наличия ДЭС и его особенностей, разобранных выше.

Очевидно, что уравнение 3 из (13) при условии наличия ДЭС должно быть записано так

аТ Е -(]'+ аре у)

— + у -VT = %АТ +—^-^,

ал рсР

а=

[0 вне ДЭС, [1 внутри ДЭС.

После этого можно записать искомую ЭГД-систему в окончательном виде:

р(ау+(у-V)у 1=^+)Ау+рg+f, (15)

V-у = 0,

аТ Е -(]'+ аре у )

— + у -VT = %АТ + —^-^,

ал рсР

а=

[0 вне ДЭС, [1 внутри ДЭС,

(16)

(17)

Отличаются также по форме записи выражения

(5) и 5, 6 из (13) для плотности тока4. Выражение

(6) V - ] = 0 представляется неверным в общем случае, т. к. дивергенция от плотности тока V - ] (5) при потенциальном поле Е (см. 4 из (13)) в общем случае нулю не равна. В [2, ч. I, с. 81] добавлены уравнения Пуассона (8 в (13)) и уравнение непрерывности (9 в (13)). Последнее уравнение представляется избыточным, т.к. применительно к поставленной в работе задаче не используется (например, в рамках одной монографии [2], состоящей из частей написанных разными авторами, в части 1 это уравнение присутствует, а в части 2 отсутствует).

Отметим, что в работе [5, гл. 8] также присут-

Vх Е = 0.

] = ] '+ ре^ ]' = иЕ -1 ^ре,

и

= 1 р е,

f = реЕ - е Е^е + е VI Е2р —

22 V-D = ^-еЕ = ре.

ар

(18)

(19)

(20)

(21)

Идентичная 5, 6 из (13) форма записи плотности тока приведена в [4, с. 249].

Кроме того, в условиях переменной концентрации ионов к системе (15)-(21) должно быть добавлено уравнение диффузии (массопереноса) [2, с. 123], однако в рамках решения поставленной

Т

задачи в этом нет необходимости, т.к. вне зоны ДЭС концентрация ионов в электроосмотических процессах полагается равновесной, а в зоне ДЭС распределение концентраций ионов может вычисляться без решения уравнения диффузии. Подробности такого подхода приведены в Приложении.

Отметим, что система (15)-(21) не замкнута в том виде, в каком она записана. На этом вопросе остановимся ниже.

Некоторые замечания к ЭГД-системе (15)-(21)

1. Начнем с системы уравнений Навье—Стокса

(15), (16). Уравнение (15) — это уравнение сохранения импульса, а уравнение (16) — уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости. В случае сжимаемой жидкости вместо (15) и (16) должны фигурировать соответствующие уравнения для сжимаемой жидкости. Например, один из вариантов уравнения Навье—Стокса для сжимаемой жидкости записан в [2, с. 47].

Система (15), (16) не является замкнутой, т.к. содержит на четыре уравнения пять неизвестных (р, р, у = (У1, у2, у3 )). Для ее замыкания необходимо добавлять пятое уравнение, например уравнение состояния р = р ( р, 5 ) , или р = р(р,Т) , где 5 — удельная энтропия.

2. Уравнение теплопроводности (17) при наличии конвективного члена у -УТ является связанным, т. е. должно решаться в рамках ЭГД-системы совместно с системой уравнений (15),

(16) и добавленным к ним уравнением состояния. Если же конвективным членом можно пренебречь, то это уравнение может быть решено самостоятельно после вычисления стоящей справа функции источника джоулева тепла.

В записи (17) уравнение теплопроводности записано неполно. Например, справа отсутствует член, учитывающий термоэлектрический эффект и член Ф / рср, где Ф — диссипативная функция.

Более полная версия уравнения теплопроводности с учетом стороннего электрического поля представлена в [2, с. 79].

3. Уравнения (18) и (21) определяют электростатический характер рассматриваемого ЭГД-процесса. Подробнее об электростатическом приближении можно посмотреть в [2, гл. 1].

4. Уравнение (19) для плотности тока в жидкости выписано в наиболее общем виде. Часто существует возможность пренебрежения тем или иным слагаемым. В случае электронейтральности ре = 0 выпадает конвективная составляющая ре у , а в случае однородной концентрации выпадает диффузионная составляющая.

5. Сила f в (20), называется электрической или пондеромоторной силой. Составляющая этой

силы — сила Кулона реЕ обычно доминирует, особенно при наличии постоянного электрического поля Е в проводящих жидких диэлектриках. Второй член — сила, прикладываемая к жидкости при наличии неоднородности электрического поля. Обычно она меньше силы Кулона и может доминировать при приложении переменного электрического поля к изолятору. Третий (потенциальный) член называется стрикционным давлением и может объединяться с гидродинамическим давлением [2, с 124]. Как было показано в [1], при подаче наряду с постоянным электрическим полем и переменного электрического поля при существенной величине второго и третьего членов в (20) могут возникать кратные (паразитные) гармоники колебаний. Это и может являться критерием существенности величины второго и третьего членов в (20), что необходимо в рамках рассматриваемой задачи максимально нивелировать.

Как показано в Приложении, использование стационарности электрохимического потенциала в жидкости и принятие гипотезы об электронейтральности жидкости вне ДЭС позволяет связать с потенциалом электрического поля р в ДЭС (не путать с потенциалом приложенного внешнего электрического поля) концентрацию и распределение плотности заряда внутри ДЭС.

В связи с изложенным выше для замыкания ЭГД-системы (15)-(21) применительно к наличию электроосмотического процесса в жидкости к уже имеющимся уравнениям в качестве недостающих уравнений необходимо добавить уравнение состояния

Р = Р ( Р, 5 )

(22)

и уравнение стационарности электрохимического потенциала жидкости ц± (г) (см. Приложение, (П1), (П2)): ±

Уц± ( г ) = 0 ^ kвT V 1п

с. (г

(г )

= + |е| Vр(г) . (23)

Таким образом, ЭГД-система (15)-(23) становится замкнутой и пригодной для решения электроосмотических задач. Введение электрохимического потенциала позволяет при этом избежать решения задачи массопереноса (диффузии). Кроме того, (23) позволяет легко находить в приближении Дебая—Хюккеля такие фигурирующие в ЭГД-системе величины, как с±, электроосмотический потенциал р и плотность заряда ре.

К системе (15)-(23) для ее однозначного решения необходимо добавить начальные и краевые условия, которые широко представлены в специальной литературе по гидродинамике, электрогид-

с

0

родинамике и литературе по электроосмотическим процессам.

ВЫВОДЫ

В работе получена замкнутая система ЭГД-уравнений для такого специфического ее подраздела, как электроосмотические явления. Эта система не содержит уравнения диффузии для поиска поля концентраций ионов, т.к. они могут быть проще рассчитаны в приближении Дебая— Хюккеля. Кроме того, проще рассчитываются электроосмотические потенциалы и плотности зарядов ионов. Наличие в системе уравнения теплопроводности позволяет рассчитывать поле температуры в жидкости, что является крайне необходимым для поддержания необходимого температурного режима при реализации на практике излучателя нового типа (см. [1]).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Выражения для распределения концентраций ионов и плотностей их зарядов в ДЭС

Вновь для простоты принимаем наличие пары противоположно заряженных ионов одинаковой валентности. Следуем далее [5, § 8.3]. Все рассуждения основываются на такой величине, как электрохимический потенциал ц± (г), имеющий для ионов вид

M±( r ) = Mo + kBT ln

(

c (r

(r )

Л

± |e| p(r) . (П1)

(

kBT V ln

c (r

(r )

л

= + e

Vp( r ),

(П2)

(r ) = co exP

+

kBT

P(r )

(П3)

С учетом (П3) суммарная плотность заряда в ДЭС тогда равна

Ре (r) = Р++ (r ) + Р- (r ) = |е| [c+ (r ) " c- (r )] =

(

= -2 e\cn sinh

V kBT

P(r )

(П4)

Использование уравнения Пуассона Ap(r) = = -pe (r ) приводит к уравнению

ec

Ap(r) = 2 sinh -L-'-p(r)

V kBT

(П5)

Уравнение (П5) является нелинейным и должно решаться численно за исключением ряда частных случаев. Поэтому принято решать уравнение Де-бая—Хюккеля, когда в правой части (П5) учитывается только линейная часть разложения гиперболического синуса в ряд и уравнение (П5) сводится к виду

1

AP(rЬттP(r) .

Лп

(П6)

Здесь |е| = e+; /и0 и c0 химический потенциал и концентрация ионов при отсутствии электрического потенциала p( r) = 0 . Термодинамическое равновесие подразумевает постоянство электрохимического потенциала ¡u±(r) = const, что приводит к соотношению

ее k Т

Здесь Лв = —02в — длина Дебая. Приближе-у 2е с0

ние (П6) справедливо, когда электрическая энергия много меньше тепловой: |е|С kBT .

После решения (П6) и определения потенциала р(г) может быть найдено в приближении Де-бая—Хюккеля распределение плотности заряда

Ре (r) = -ss0AP(r)

(П7)

где верхний знак в ± и + отвечает положительному иону, а нижний — отрицательному.

В предположении, что при отдалении от грани- р( 2) = £ ехр

цы раздела фаз с± (гс0, р(г0, а на поверхности скольжения (см., например, [7]) потенциал равен дзета-потенциалу р(г)| ^ = С , р (2) = -ее°° решение уравнения (П2) сводится к виду 2 > 0-

и распределение концентраций из выражения (П3).

Приведем пример таких вычислений для плоской и цилиндрической поверхностей раздела фаз.

Пример вычислений для плоской поверхности раздела фаз

Плоская поверхность раздела фаз г = 0 [5, с. 148]:

z > 0,

a 2p(z)

ad

(П8)

(П9)

e

c

e

c

0

c

0

z

z

С. I r

( r ) = c0 exP

+

kBT

<Kr )

i+N s

1 + exp

kBT

Ad

В (П10) проведен переход от точного равенства (П3) к приближенному с помощью дебаевского приближения потенциала (П8) и линейной аппроксимации экспоненты из (П8). В выражении (П10) отрицательные ионы являются противо-ионами (поверхность раздела фаз со стороны твердого тела заряжена положительно, см. [5, с. 146, рис. 8.3]).

Пример вычислений для круговой цилиндрической поверхности раздела фаз

Круговая цилиндрическая поверхность (цилиндр радиусом г = а с осью по оси г) [5, с. 148, 149]:

Я>( r ) = С

i о (r / Ар )

io (a / ad )

(0 < r < a) ;

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарфарец Б.П. Применение системы уравнений электрогидродинамики для математического моделирования нового способа электроакустического преобразо-

(П10) вания // Научное приборостроение. 2018. Т. 28, № 4.

С. 127-134. URL: http://iairas.ru/mag/2018/abst4. php#abst21

2. Castellanos A., Ghakin A.I. Electrohydrodynamics / Ed. A. Castellanos. Wien: Springer-Verlag, 1998. 362 p.

3. Болога М.Н., Гросу Ф.П., Кожухарь И.А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. 320 с.

4. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. М.: Мир, 1977. 464 с.

5. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford University Press, 2008. 346 p.

6. Шарфарец Б.П., Курочкин В.Е. К вопросу о подвижности частиц и молекул в пористых средах // Научное приборостроение. 2015. Т. 25, № 4. С. 43-55. URL: http://iairas.ru/mag/2015/abst4.php#abst6

7. Сергеев В.А., Шарфарец Б.П. Об одном новом методе электро-акустического преобразования. Теория, основанная на электрокинетических явлениях. Ч. I. Гидродинамический аспект // Научное приборостроение.

(П11) 2018. Т. 28, № 2. С. 25-35. URL: http://iairas.ru/

mag/2018/abst2.php#abst4

SS

Pe (r) = "ss0A<p(r) = --:f r) = ad

ss0c 10 (r / ad )

AD I0 (a / ad )'

(0 < r < a);

(П12)

c (r

( r ) =

c0 exp

+

kBT

<Kr)

1 + ¡N£ I0 (r / Ad )

kBTI0 (a / Ad)

(0 < r <a). (П13)

Здесь 10 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. В [5] приведен порядок фигурирующих здесь величин: порядок величины £ = 100 мВ [5, с. 160], подвижности и коэффициента диффузии различных ионов [5, с. 145], длины Дебая Ла ~ 10 нм [5, с. 150].

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, sharb@mail.ru

Материал поступил в редакцию 25.09.2018

e

z

c

0

e

c

0

5 В [5] нет выражения для с± для цилиндрической поверхности, однако его получение по аналогии с плоской границей раздела тривиально.

ISSN 0868-5886

NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2019, Vol. 29, No. 1, pp. 135-142

SYSTEM ELECTROHYDRODYNAMICS EQUATIONS APPLIED TO ELECTROOSMOTIC PROCESSES

B. P. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, Russia

A closed system of electrohydrodynamic (EHD) equations for such a specific subsection of electrohydrody-namics as electroosmotic phenomena is obtained. The EHD system does not contain the diffusion equation for the search for the field of ion concentrations. In the paper they are calculated more simply in the Debye-Huckel approximation. This makes it possible to simplify the calculation of electroosmotic potentials and ion charge densities. Correction of other equations of the EHD-system was carried out taking into account the features of electroosmotic processes. The presence of a heat conduction equation in the system makes it possible to calculate the temperature field in a liquid, which is extremely necessary for maintaining the necessary temperature regime when a new type of radiator is realized in practice.

Keywords: electrohydrodynamics, electroosmotic process, electrohydrodynamic system of equations, the Debye—Huckel approximation, ion concentration

REFERENCES

1. Sharfarets B.P. [Application of the system of electrohydrodynamics equations for mathematical modeling of a new method of electro-acoustic transformation]. Nauch-noe Priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2018, vol. 28, no. 4, pp. 127-134. (In Russ.). URL: http://iairas. ru/en/mag/2018/abst4.php#abst21

2. Castellanos A. (ed.), Ghakin A.I. Electrohydrodynamics. Wien, Springer-Verlag, 1998. 362 p.

3. Bologa M.N., Grosu F.P., Kozhuhar I.A. Elektrokonvek-ciya i teploobmen [Electroconvection and heat exchange]. Chisinau, Shtiintsa Publ., 1977. 320 p. (In Russ.).

4. Newman J.S. Electrochemical systems. New Jersey, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1973. 432 p. (Russ. ed.: Newman J. Elektrohimicheskie sistemy. Moscow, Mir Publ., 1977. 464 p.). (In Russ.).

5. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford University Press, 2008. 346 p.

6. Sharfarets B.P., Kurochkin V.E. [To the question of mobility of particles and molecules in porous media]. Nauch-noe Priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2015, vol. 25, no. 4, pp. 43-55. (In Russ.). URL: http://iairas.ru/en/mag/2015/abst4.php#abst6

7. Sergeev V.A., Sharfarets B.P. [About one new method of electroacoustic transformation. A theory based on electro-kinetic phenomena. Part I. The hydrodynamic aspect]. Nauchnoe Priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2018, vol. 28, no. 2, pp. 25-35. (In Russ.). URL: http://iairas.ru/en/mag/2018/abst2.php#abst4

Contacts: Sharfarets Boris Pinkusovich, sharb@mail.ru

Article received in edition: 25.09.2018