CC BY
29
СИЛА МАГНУСА И ДИНАМИКА МАГНИТНЫХ ВИХРЕЙ В СЛАБЫХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
А. К. Звездин1, К. А. Звездин2
Исследован вопрос о гироскопической (Магнуса) силе в слабых ферромагнетиках, действующей на магнитные вихри, находящиеся в движущихся, доменных границах. Получена общая, формула, для, гироскопической силы, в слабы, х ферромагнетиках. Показа,но, что для, большинства типов доменных границ гироскопическая, сила отлична от нуля, и определяется, средней намагниченностью под-решеток, константами взаимодействия Дзялоишнского и обменного взаимодействия между подрегиетками. Выведены, обобщенные выражения, для, эффективных функций Лагранжа, и Рэлея, в слабы,х ферромагнетиках с учетом вихревой структуры последних.
Ключевые слова: сила Магнуса, гироскопический вектор, магнитный вихрь, слабый ферромагнетизм, фаза Берри. доменная граница, линия Блоха.
1. В настоящее время исследование динамических свойств магнитных вихрей при-ВЛ6К&6Т большое внимание, что связано с их необычными магнитными свойствами и с возможными применениями для задач спинтроники и высокоплотной магнитной памяти [1 8]. Одним из примеров магнитных вихрей являются вертикальные линии Блоха, возникающие в доменных границах в области смены направления разворота вектора намагниченности. В известной книге Малоземова и Слонзуски [9] содержатся основные сведения о динамике блоховских линий (см. также более поздние теоретические и экспериментальные работы [10 17]). Более общий и глубокий взгляд на динамику вихревых структур в различных средах и содержательные аналогии читатель может найти в интересной монографии Г. Воловика [18]. При движении доменной границы во внешнем магнитном поле происходит ее искривление в области локализации линии
Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, Россия.
1 E-mail: [email protected]
2 E-mail: [email protected]
Блоха и смещение линии Блоха вдоль доменной границы под действием инерционной (гироскопической или Магнуса) силы, которая для ферромагнетиков была вычислена в [19]. Динамические свойства магнитных вихреи в магнитных пленках (в основном, в эпитаксиальньтх феррит-гранатовьтх пленках) детально исследованы [9, 12. 15, 16]). В последние годы появились экспериментальные работы по изучению движения магнитных вихреи в иттриевом ортоферрите (YFe03) [20-24], который является типичным примером слабого ферромагнетика с ромбической симметрией. Для ортоферритов характерны большие скорости движения доменных стенок (до 20 км/с) [25]. В экспериментах [20 24] была исследована зависимость скорости сноса линий Блоха вдоль доменной границы от скорости доменной границы и получен ряд интригующих результатов. Удивительны огромные скорости вихрей, обнаруженные В этих работах. Они достигают 16 км/сек, что близко к скорости магнонов в YFe03. Зависимости скорости вихрей от внешнего магнитного поля и силы Магнуса также весьма нетривиальны; они обусловлены у по мнению авторов [20 24]. казирелятивистскими особенностями динамики солитонов и доменных границ в слабых ферромагнетиках. Вместе с тем. теоретическое рассмотрение этой проблемы остается незавершенным и многие экспериментальные данные до сих пор не получили должного объяснения. Центральным вопросом в динамике магнитных вихрей в слабых ферромагнетиках является вопрос о величине и даже о существовании в них [26] гироскопической силы, которая ответственна за снос магнитного вихря во внешнем поле. Этой проблематике посвящена данная работа.
2. Определим сначала доменные границы, которые являются носителями изучаемых магнитных вихрей. Для определенности мы рассматриваем слабые ферромагнетики ромбической симметрии, распространенным представителем которых являются ортоферриты (RFe03), кристаллические оси которых обозначаются буквами a, b, с. В ортоферритах ось b является выделенной; вдоль нее направлен вектор ДТ^з ял о ш и н с ко го. Это означает, что вдоль этой оси кристалл не имеет спонтанной намагниченности (обусловленной скосом подретттеток). В таких материалах существуют два типа доменных границ, различающихся тем. что у них вектор намагниченности либо: а) перпендикулярен плоскости разворота спинов. Ь) лежит в ней. Первые называются границами Булаевского Гинзбурга (БГ). В них намагниченность направлена строго по одной оси (в данном случае оси с) и изменяется при прохождении через границу от -Ms до Ms, обращаясь вив центре границы. Типичным примером материала, где они реализуются.
3 ЯВЛЯЮТСЯ более рапространен-
ными; в них модуль намагниченности, как и в классических ферромагнетиках, прак-
тически не изменяется в доменной границе (типичный пример - YFeOs). Они могут быть блоховскими. неелевскими или промежуточного типа в зависимости от ориентации границы относительно осей кристалла. Энергии их практически одинаковы, что объясняется малым магнитостатическим вкладом в их полную энергию. Для краткости мы будем ниже называть эти границы блоховскими. Представляют интерес также менее известные границы между чисто антиферромагнитными фазами. в которых вектор антиферромагнетизма также как и в Б-Г границах разворачивается в аб-плоскости кристалла. Намагниченность в доменах равна 0. но в доменных границах она отлична от 0 и направлена по или против с-оси. Такую доменную границу естественно назвать "магнитным листом".
3. Динамика магнитных спинов двухподрешеточного слабого ферромагнетика может быть описана при помощи следующих функций Лагранжа и Рэлея:
M 2
L — J](1 - cos вг)фг - W, (1)
Y г=1
R (вг +Sm2 вг <£г2), (2)
Y г=1
где вг, рг - полярные и азимутальные углы магнитных моментов подрешеток, модуль момента которых равен M, y = 1-73 • 107 рад/сек - гиромагнитное от ношение, a - без-
W
- энергия, зависящая от вг, рг и их пространственных производных. В теории слабого
Mi
ньте векторы намагниченности антиферромагнетизма:
Mi + Mo Mi - M2
m 1 = ~M~ (3)
(как правило, m ^ l). При переходе к переменным m, 1 углы $г, рг представляются в
виде:
в1 = в + е, во = п - в + е, pi = р + в, р2 = п + р - в, (4)
где в, р - полярный и азимутальный углы вектора 1, а углы скоса подрешеток е, в(s ^ 1,в ^ 1) определяют вектор m:
mx = s cos в cos p - в sin в sin р, my = е cos в sin р + в sin в cos р, mz = -е sin в. (5)
Стандартное
выражение для энергии слабого ферромагнетика ромбической симметрии [27] имеет вид (в системе координат x,e,z || а,Ь, с-осям, соответственно):
W = аm2 + A(V1)2 + A'(Vm)2 + Ь1 lX + b2l2 + dmxlz + domzlx - MmH, (6)
где а - константа, равная обменной энергии между подрешетками, b1, b2 - константы анизотропии, d1} d2 константы антисимметричного обмена Дзялошинского (обычно, di — -d2), A, A константы неоднородного обмена; если учитывать обменное взаимодействие лишь между ближайшими соседями, то A = —A H внешнее магнитное поле.
Ниже для определенности мы рассматриваем доменные границы, в которых вектор антиферромагнетизма 1 переориентируется в ас-плоскости (этот выбор не ограничивает общность теории). В этом случае удобно использовать в качестве полярной оси с-ось кристалла, а азимутальный угол отсчитывать от а-оси, тогда для покоящихся и свободно движущихся границ имеет место 9 = п/2, в = 0. В этом можно убедиться прямой подстановкой этих значений в уравнения Эйлера Лагранжа (они представляют собой, конечно, полные уравнения Ландау Лифтттица системы), следующие из минимизации действия, определяемого лагранжианом (1) (с учетом диссипативной функции Рэлея (2)).
4. Следующий тттаг упрощения задачи использование длинноволнового приближения. Если характерная длина, на которой происходит изменение углов ре (толщина доменной границы А в данном случае) много больше постоянной решетки ао, то третьим слагаемым в (6) можно пренебречь по сравнению с первым (A ~ аа0). Тогда функции Лагранжа (1) и Рэлея (2) принимают вид:
г М • т^ о аМ i -2 -2\
L = — е- — W, R =— — + е ), (7)
Y 2Y
М 2е2
W =---K' cos2 - + М(H + HD cos -)е + A(V-)2, (8)
2Х±
где х± = М2/а - перпендикулярная восприимчивость, K' = —b1/2, HD = —d1/M -поле Дзялотпинского. Нетрудно убедиться, ЧТО в длинноволновом приближении вторым слагаемым в функции Рэлея (7) можно также пренебречь. Соответствующее условие малости &x±v/yА < а0/А ^ 1, оде v - скорость доменных границ или вихрей (v < с = ■\J2a/xl — 2 ■ 106 см/сек), выполняется с большим запасом. Тогда условие экстремума действия по е дает:
mz = —е = -^(hd cos - + H — -). (9)
М y
Подставляя (9) в (7), получим
Li = (—- + H + hd cos -)2 + K' cos2 - — A(V-)2, (10)
2Y
Ri = Х2 р2 - (п)
2y2
Здесь и ниже индекс "1" у L и R означает, что соответствующие лагранжиан и функция Рэлея получены в длинноволновом приближении. Из (10, 11) получаем [28]
с2 • dtр - c2VV + -Г2 sin р cos р + швшн sin р = -^И - ашЕдр, (12)
где с = 7^/2A/x±, Ао = \JA/Ku ше = ^M/x±, шн = yH шв = jHD, Ki =
Ki + x±HD/2.
Уравнения (9-12) являются основными уравнениями а-модели, применительно к слабым ферромагнетикам. Поворотом системы координат на произвольный угол можно привести (10, 11) к стандартному виду [29, 30]
Li = 12 - W(1, Vl) - ^((H + Hd)[1, 1]), (13)
27° 7
Ri = aMi2 M
Уравнения (12 14) применимы для произвольных доменных границ (в частности, для ас-границ в YFe03) при надлежащем выборе констант энергии анизотропии.
5. Очевидно, что лагранжиан (10), соответствующее ему действие и а-модель недостаточны для описания систем с топологическими дефектами типа магнитных вихрей, т.к. в их сердцевинах не выполняются условия применимости длинноволнового приближения. Выйти из этого затруднения можно следующим образом. Разобъем пространство переменных поля 1(r), m(r) на два подпространства
C = Ci + C2,
где C2 - сумма подпространств, охватывающих ядра вихрей. Остающемуся после такого
Ci
длинноволновое приближение и а-модель вполне адекватны. Тогда полное действие системы S с топологическими дефектами может быть
представлено в виде
S = Si + hQn, (15)
где Si = f dtLi, а
2 2
Vn = М í dt í d3xJ2 (1 - cos вг)фг = í dtJ^LWz, (16)
Y J Je2n г=1 ^ г-1
так называемая фаза Беррн [31], возникающая при интегрировании кинематического слагаемого исходного лагранжиана ( LWZ = Y f d3x(1 — cos 9)ф-Весса-Зумино член) по пространству C2n, содержащему магнитный вихрь. Существенно, что для топологических дефектов типа вихря она не обращается в 0 при стремлении объема пространства C2 к 0. Известно, что в квантовой механике (статистике) фаза Берри определяет фазу соответствующей волновой функции (статистический вес) системы. В нашей задаче фаза Берри определяет силу Магнуса, действующую на магнитный вихрь в нестационарном магнитном окружении. Она может быть получена следующим способом. Будем описывать стационарное движение вихря функциями
вг(т — X(t)), фХ(r — X(t)), (17)
где X - радиус-вектор центра вихря, тогда сила Магнуса FM получается варьированием X
Fa = — ^, « = 1, 2, 3. (18)
Подставляя в (18) (17) и используя соотношения 9 = —Х@ 9, ф = —Х@ф, где по совпадающим индексам предполагается суммирование, получим
fm = м í d3X ¿ sin 9г ддХ<)Хв. (19)
Je2 г=1
2Y Jc2 д{xa,xp)
Подставляя в якобианы формулы (19) значения углов из (4), получим в линейном приближении по углам б, 6:
F M = [G, X], (20)
где вектор гирации G равен:
Gdz = M í d3x([V(e sin в), Vy] + [V cos в, V6]). (21)
2y J
Основное значение во многих случаях имеет нормальная к плоскости пластинки компонента вектора гирации Gz. Используя свойства якобианов, интегралы в (21) легко вычисляются (см. детали в [17]), в результате чего получим:
Fm [t, X], (22)
Y
где 1 - единичный вектор t = [Ур, У9]/\\Ур, У0]\, вычисленный в центре вихря, -толщина пластинки.
Заметим, что вплоть до недавнего времени в данной научной области существовала противоречивая ситуация. С одной стороны, в ряде теоретических работ утверждалось (см. [26] и цитированную там литературу), что в слабых ферромагнетиках вектор гира-ции обращается в 0 (при Н ^ 0 , где Н - внешнее поле), с другой стороны, эксперимент [20 24] демонстрировал наличие гирации в поведении вихрей. Формула (22) разрешает это противоречие в пользу эксперимента.
Аналогично диссипативная функция Рэлея может быть представлена в виде!
Я = Яг + Я 2 = Яг + ^ Я2п, (23)
п
где Яг, Я2 отвечают за диссипацию в областях Сь С2, соответственно.
Н=
0,а = 0) простейшего типа, описывающие свободно движущиеся доменные границы (кинки). Они имеют вид:
( х — д(Ь)\
р = 2 агс1апехр I п—д— I • (24)
В этих формулах п = ±1, ?(*) = V*, Д = Д0/в> в = —, =, V - скорость
А/1 — V2/с2
солитона.
Заметим, что при Н = 0, а = 0 уравнение (12) инвариантно по отношению к прес
теории относительности:
X = (х — V*)./в, = (ь — Щ в- (25)
Поэтому динамику доменных границ в слабых ферромагнетиках называют квази~ релятивистской. Одним из следствий этого является релятивистская зависимость толщины и эффективной массы от скорости (т = т0в,т0 = 4^д/Д072)> приводящие к известному насыщению скорости доменной границы с ростом магнитного поля [25, 26, 28], а также характерная связь плотности энергии, энергий и массы доменных границ (а = тс2, в УРеОз т0 ~ 2-5 • 10"13 г/см3)1.
'Мы используем здесь приставку "квази", чтобы подчеркнуть частный характер обсуждаемых здесь эффектов, основанных на математической аналогии (точнее изоморфизме) и не имеющих отношения
7. Решения (15, 16) вырождены относительно киральности, т.е. направления поворота спинов в доменной границе (по или против часовой стрелки, п = ±1 )• Поэтому в доменной границе могут соседствовать области с противоположной киральностью. Границу между ними называют линией Блоха. Распределение вектора антиферромагнетизма l вокруг линии Блоха образует вихрь (подробнее см., напр., [9, 17]).
Как отмечено во Введении, основное дифференциальное уравнение (12). полученное в рамках длинноволнового приближения (а-модель), не описывает полностью магнитный вихрь, так как его ядро выходит за рамки применимости а-модели. Однако оно может быть использовано весьма эффективно для описания динамики вихря, если размеры его ядра 8v меньше или порядка толщины доменной границы, что всегда реализуется в ромбических слабых ферромагнетиках (6v < А = \JA/K).
В этом случае можно перейти к сокращенному описанию динамики доменной границы и вихря, заменяя распределение спинов их "центрами масс", т.е. величинами q(t) для центра границы и x0(t) для центра вихря и исключить таким образом из детального рассмотрения малую область, соответствующую ядру вихря, заменив ее надлежащими граничными условиями. Подобный подход весьма аналогичен тому, который широко используется в теории вихрей Абрикосова в сверхпроводниках 2-го рода.
8. Перейдем к реализации этой программы. На рис. 1 изображен схематически профиль центра доменной границы q(x), взятый в момент времени t, вдоль которой движется магнитный вихрь, находящийся при t = t0 в точке x = x0- Для вывода сокращенных уравнений, т.е. уравнений, определяющих q(x,t) и x0(t), подставим решения (14, 15) в (12, 13) и проинтегрируем последние по объему. Будем считать, что исходная,
невозмущенная движущимся вихрем, доменная граница является плоской, т.е. в рам-
q=
профиль доменной границы, так что q становится функцией x, z. Ниже мы будем полагать толщину пластинки dz достаточно малой для того, чтобы можно было пренебречь qz
к общефизической и философской концепции релятивизма. В то же время этот математический изоморфизм интересен и важен, поскольку иллюстрирует первостепенное значение и роль группы преобразований Лоренца в данном контексте. Кроме того, некоторые проявления релятивистских свойств -такие, например, как анизотропия массы
здесь оказываются весьма важными и проявляются в новых интересных следствиях и эффектах, которые по известным причинам не обсуждались активно в специальной теории относительности.
m
—, =, m= —. =—,
у/1 - V{у/1 - V2/c2)3
Рис. 1: Профиль движущейся доменной границы, содержащей движущися вихрь с центром в точке х = х0. Vй" скорости доменной границы и вихря, соответственно.
упрощения математических формул. Кроме того, оно находится в соответствии с существующими экспериментами [23], в которых исследовались тонкие пластинки ^ 30-100 мкм) ортоферрита иттрия.
Интегрирование по объему проведем в два этапа. На первом проинтегрируем Ь и Я по нормали к доменной границе (см. рис. 1). Результатом интегрирования являются следующие редуцированные функции Лагранжа и Рэлея, зависящие от д(£) и х
и,
Ь = -О0\\ 1 - -п + 2М3Н(д)+ п
с ^
и
(26)
Я = Я + 5
(27)
Я =
то
т
(28)
где ип - проекция скорости доменной границы (д||у-оси) на нормаль к ней в точке х / 1\ тт т0 аМ , ч
(см. рис. 1), М18 = х±Н^ — = ——, п(х) меняет знак в точке х = х0.
т „ 7 д0
Что касается величины Я2 (см. (23)), то этот вклад в полную диссипативную функцию имеет смысл учитывать только при малых значениях скорости вихря х'0, когда прогиб доменной границы, обусловленный действием силы Магнуса, является еще малым. С ростом скорости вихря ситуация меняется на обратную, так что вкладом Я2 можно пренебречь по сравнению с И\. Соответствующие оценки величин будут приведены ниже, а сейчас ограничимся тем, что приведем приближенную формулу для Я2,
2
1
1
относящуюся к пределу малых скоростей вихря:
Ъ - т + (29)
На втором этапе проведем интегрирование по длине доменной границы:
{Ь) = Ьг ! С1Ь, {Яг) = Ьг ! сНЯг, (30)
ТО Г Д <1 •
q
(L) = -Lz I \а0у/1 + (q')2 - ^ - I / 2MSH(q')dq' I - ^^^w(x) | dx, (31)
(R) = Lz J ^ л/1 + W -\l 1 + (q')2 - £) dx, (32)
Lz
были использованы следующие соотношения:
dl =-, tan a = q',
cos a
u2n q2 cos2 a q2 dx q2
1 c2 V c2 y1 c2(1 + tan2 a) dl\ 1 + ^ c2'
9. Используя (30, 31), получим уравнения движения для q(t):
dt(mq) - mq - дхадхq = 2MSH(q) - 2itx±Hdx0 8(x - xo), (33)
t y
где предполагается следующая зависимость H(q) = H - H'q. Второе слагаемое в этой формуле введено для того, чтобы обеспечить устойчивость плоской доменной границы относительно изгибных возмущений; что обычно реализуется в эксперименте [23].
Уравнение xo ( t)
ликации.
Работа поддержана проектами РФФИ (09-02-01423, 10-02-90475, 10-02-01162).
Л И Т Е Р А Т У Р А
[1] R. P. Cowburn, Nature materials 6, 265 (2007).
[2] A. Thiaville, Y. Nakat.ani, ,J. Miltat, and Y. Suzuki, Europhys. Lett. 69, 990 (2005).
[3] M. Klaui, P. O. Jubert, R. Allenspach, et al., Phys. Rev. Lett. 95, 026601 (2005).
[4] T. Shiiijo, T. Okuno, R. Hassdorf, et al., Science 289, 930 (2000).
[5J J. Shibata, Y. Nakat.ani, G. Tat.ara, et al, ,JMMM 310, 2041 (2007).
[6] К. В. Готтьков, К. А. Звездип, А. В. Хвальковский, Краткие сообщения по физике ФИАН, 35(8), 25 (2008).
[7J A. Dussaux, В. Georges, ,J. Grollier, V. Cros, A.V. Khvalkovskiy, 2, A. Fukushima, M. Konot.o, H. Kubot.a, K. Yakushiji, S. Yuasa, K.A. Zvezdin, 4, K. Ando and A. Fert, Nature
Communications, 1:8 doi: 10.1038./' ncommsl006 (2010). [8J A. V. Khvalkovskiy, A. N. Slavin, ,J. Grollier, et al, Appl. Phys. Lett. 96, 022504 (2010). [9j А. Малоземов, Дж. Слоттзуски, Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами (М., Мир, 1982). [10J А. В. Никифоров, Е. Б. Соттип, ЖЭТФ 85, 642 (1983) [Sov. Phvs.-JETP 58, 373 (1983)J. [llj А. К. Звездитт, А. Ф. Попков, Письма в ЖЭТФ 39, 348 (1984).
[12] Л. М. Дедух, В. И. Никитепко, Е. Б. Соттип, УФН 145, 158 (1985) [Sov. Phvs.-Usp. 28, 100 (1985)J.
[13J Г. Е. Воловик, Письма в ЖЭТФ 44, 144 (1986). [14] А. К. Звездитт, А. Ф. Попков, ЖЭТФ 91, 1789 (1986).
[15J М. В. Четкитт, И. В. Парыгитта, В. Б. Смирнов, и др., Письма в ЖЭТФ 49(3), 174 (1989);
М. V. Chetkin, V. В. Smirnov, I. V. Parigina, А. К. Zvezdin, Phys. Lett. А 140, 428 (1989). [16J A. A. Thiele, Phys. Rev. Lett. 30, 230 (1973).
[17J А. К. Звездитт, В. И. Белотелов, К. А. Звездитт, Письма в ЖЭТФ 87(7), 443 (2008). [18J G. Е. Volovik, The Universe in a Helium Droplet (Clarendon Press, Oxford, 2003),
http://ltl.tkk.fi/personnel/THEORY/volovik/book.pdf [19J A. A. Thiele, Joum. Appl. Phys. 45, 377 (1974).
[20J M. В. Четкитт, Ю. H. Курбатова, В. H. Филатов, Штсьма в ЖЭТФ 65, 760 (1997). [21J М. В. Четкитт, К). Н. Курбатова, Т. Б. Шапаева, О. А. Борщеговский, Письма в ЖЭТФ
79, 527 (2004).
[22J М. V. Chetkin, Yu. N. Kurbat.ova, Т. В. Shapaeva, О. A. Borschegovsky, Phys. Lett. А 337, 235 (2005).
[23J М. В. Четкитт, Ю. Н. Курбатова, Т. Б.Шапаева, О. А. Борщеговский, ЖЭТФ 130, 181 (2006).
[24J М. В. Четкитт, К). Н. Курбатова, Т. Б. Шапаева, О. А. Борщеговский, Письма в ЖЭТФ 85, 232 (2007).
[25J М. В. Четкитт, А. Н. Шалыгитт, А де ла Кампа, ФТТ 19, 3470 (1977).
[26] V. G. Baryahtar, М. V. Chetkin, В. A. Ivanov, S. Gadet.skii, Dynamics of Topological Magnetic
Solitons (Springer, Berlin, 1994).
[27] К. П. Белов, А. К. Звездитт, A. M. Кадомпева, P. 3. Левититт, Ориентационные переходы
в редкоземельных магнетиках (М., Наука, 1979).
[28] А. К. Звездитт, Письма в ЖЭТФ 29(10), 605 (1979).
[29] А. Ф. Андреев, В. И. Марченко, УФН 130, 39 (1980).
[30] А. К. Звездитт, А. А. Мухитт, Краткие сообщения по физике ФИАН, № 12, 10 (1981).
[31] М. V. Berry, Proc. R. Soc. Loud. A 392, 45 (1984).
Поступила в редакцию 13 ноября 2009 г.
