Применение закона сохранения плотности действия для изучения динамики тонкой структуры доменных границ в редкоземельных ортоферритах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.221

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ДЕЙСТВИЯ

ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ДИНАМИКИ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦ В РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ОРТОФЕРРИТАХ

© Е. Г. Екомасов, О. Б. Богомазова*

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (34 7) 273 67 1 0.

E-mail: boksanab@rambler.ru

Исследована динамика тонкой структуры доменных границ в редкоземельных ортоферритах с использованием закона сохранения плотности действия. Получены уравнения движения для двух типов доменных границ из которых может быть найдена зависимость скорости вертикальной линии от скорости доменной границы в которой она локализована.

Ключевые слова: редкоземельные ортоферриты, доменная граница, вертикальная линия, тонкая структура, закон сохранения плотности действия.

Изучение тонкой структуры доменных границ (ДГ) имеет принципиальное значение для понимания некоторых динамических процессов в магнетиках, также она интересна для микроэлектроники в связи с разработкой памяти со сверхвысокой информационной плотностью [1-2]. Например, с топологической точки зрения вертикальная линия в ДГ представляет собой линейный дефект векторного поля намагниченности - магнитный вихрь. Вихревые свойства линии определяют ее гиротропное взаимодействие с доменной границей, в которой она движется. Структура вертикальной линии является довольно сложной. Она имеет компактное ядро, в котором происходит быстрое изменение ориентации спинов, и протяженную «оболочку», которая представляет собой изгиб доменной границы в месте нахождения линии [3-5]. Ядро вертикальной линии является носителем ее топологического заряда, определяющего степень закрученности спинов в ДГ. Прогиб в ДГ возникает лишь при движении линии под действием гироскопической силы, действующей на ДГ по нормали к ее плоскости. В статике прогиб практически отсутствует и возможно лишь незначительное изменение толщины доменной границы в месте нахождения вертикальной линии.

Для случая двухподрешеточных магнетиков известно четыре вида возможных гироскопических сил [6]. Первая из них появляется во внешнем магнитном поле, перпендикулярном плоскости поворота вектора антиферромагнетизма в ДГ; вторая -при наличии во взаимодействии Дзялошинского инварианта чисто релятивистской природы; третья связана с разницей величин магнитомеханических отношений подрешеток; для появления четвертой (аналогичной случаю ферромагнетиков (ФМ)), пропорциональной эффективной намагниченности подрешеток необходимо наличие ненулевой продольной магнитной восприимчивости.

В отличие от случая ФМ относительно недавно появились экспериментальные работы [7], результаты которых можно интерпретировать как наблюдение динамических линий (или вихрей) на движущейся со сверхзвуковой скоростью одиноч-

ной неелевской ДГ в редкоземельных ортоферритах (РЗО). Для случая ортоферрита иттрия, использованного в экспериментах, вторая и третья виды гироскопических сил отсутствуют, а для появления четвертой необходимо отказаться от использования в уравнениях движения для намагниченности интеграла ml = 0. Авторами [7] так же было высказано сомнение, что с помощью полевой гироскопической силы можно достаточно хорошо объяснить полученные экспериментальные результаты. Центральным вопросом в динамике магнитных вихрей в слабых ферромагнетиках (СФМ) является вопрос о величине и природе существующей в них гироскопической силы. Ранее в [6] для объяснения экспериментальных данных было исследовано влияние анизотропии g-фактора на динамику линий в РЗО; в [8] было исследовано влияние внешнего электрического поля и обменной релаксации; в [9] получены общие выражения для гироскопической силы в ромбических СФМ методом, не учитывающим внутреннюю структуру вихря в ДГ. Показано, что для большинства типов ДГ гироскопическая сила отлична от нуля и определяется средней намагниченностью подрешеток, константами взаимодействия Дзялошинского и обменного взаимодействия между подрешетками. Однако отсутствует уравнение движения с учетом полученного нового гироскопического слагаемого. Таким образом, теоретическое рассмотрение этой проблемы остается не завершенным.

В данной работе сделана попытка использовать метод, уже применявшийся ранее для описания однородных ДГ [10]. Рассмотрим бесконечную пластину РЗО в двухподрешеточной модели, где состояние магнетика удобно описывать с помощью нормированных векторов ферро- и антиферромагнетизма

m, I . Поскольку рассматривается случай малых полей, можно считать m << l . Уравнения, описывающие динамику намагниченности в РЗО, могут быть получены из следующих выражений для функции Лагранжа L и диссипативной функции Релея R [10]:

ь = -4Г2 -£H[П] - W’,

2c с

* автор, ответственный за переписку

568

раздел ФИЗИКА

W= 2(ÑI )2 - faz +№)+ml Є,h], (2)

R = M r2, g

(3)

где r = -

2MC,

(M - M2 ), MJ, M2 - намагниченно-

сти подрешеток магнетика, m = -2M0d / а,

с2 = g2 aA /4M02, d - постоянная Дзялошинского,

H - постоянное внешнее магнитное поле; а - постоянная однородного обмена; g - гиромагнитное отношение; A - постоянная неоднородного обмена; М0 - длина намагниченностей подрешеток; Д, Д -

эффективные константы анизотропии второго порядка в (ab) и (cb) плоскостях, - диссипатив-

ная постоянная.

Рассмотрим простейшую ситуацию: 180° ДГ с одной вертикальной линией. Уравнение для скорости ДГ получаем как уравнение медленного изменения адиабатического инварианта нелинейного поля j, q (аналогично [5]), т.е. действия. В угловых переменных ix = cos q, iy = sin q sin j, lz = sin в cos j, где в = в(y, t) и j = j(x, t), функции Лагранжа и

Релея принимают вид:

A

2c2 с"

+ Hy (— cos jé + sin в cos в sin j j) +

A (4)

+ Hz(sin jé + sinécoséj)} — — {(Vé)2 + sin2 é(Vj)2} +

+1Д cos2 é +1Д sin2 écos2 j — mc(cos éHz — sin écos jHx),

L = ^2(в2 + sin2 в<р2)-^{-H x sin2 +

cM,

R =-0(0¿ + sin2 0<p2)

g

(5)

Для нахождения уравнения движения применяем закон сохранения плотности действия [5, 10]:

д г ^ дЯ дЯ

— < Р > < ёгтТ >=< — V > + < —-V 0 > , (6)

д д' д0

где адиабатический инвариант может быть опреде-

лен следующим образом

И = jPdedj, P = дкÑm + ^LÑв, д j д в

а T - тензор импульса-энергии:

dL dj dL дв

Tafi =

дв dxb SabL

(7)

(8)

d(j) dXb d(f^ )"xb

dxa dx,

и xa,хр = ^У,2'

Среднее значение физической величины / определяется следующим образом:

< / >= | / ¿х ¿у ¿2 = к\ fdxdy, (9)

где к - высота образца.

Для простоты будем считать, что

р = р(х), в = в(у). Тогда легко записать слагаемые, входящие в уравнение адиабатического инварианта. Учтем также, что в общем виде дивергенция тензора второго ранга является векторной ве-

дТ

личиной и определяется как (^уТ) = ——.

1 дхк

Далее усредняем полученные слагаемые уравнения (6) для двух типов тонкой структуры ДГ представленных на рис. Во-первых, рассмотрим ДГ ас-типа с линией без поворота вектора ферромагнетизма (ЛБП) с граничными условиями О = (0, р), р = (0, р),

de 1

в этом случае ^ = 1§1по, р = !§1пр

¿у Д ¿х Л Во-вторых, также рассмотрим ДГ ай-типа с линией с поворотом вектора ферромагнетизма (ЛСП) с

граничными условиями О = (0, р), р = ±р, в этом

2

случае й° =1 §1п о р ¿у Д

> 0.

= -cosj, Kcb <°. Здесь dx Л

Л=Л

1

( 2 Л 2

V 2 1 —Х

2

D 0 =

V

(A Л 2 Kf d2

c

Ло =

/

_л л2 К

1 --

V

і

2 Л 2

/

’ Kf =

Kbb - Kcb, Kcb > 0, Kbb, Kcb < 0

Kbb = — -/ b

ксЬ = — Ь

а

В результате получаем следующие векторные уравнения движения для ДГ с ЛБП и ДГ с ЛСП:

27AH yeyVxpl 27AHyexVyp1 2mcex DHXP

c2 DL 2lmcey LHzh

DT

_ X X

c2 DL Л

erv„8M0ahD - eyVy 4lMрСгЛ уЛ gD

27AHZeyVXPh 27AHzexVyPl

c2DA c

+ 21mcey ЛН zh = 8eXVXM 0ahD 4eyVy1M 0аІЛ D уЛ yD

Уравнения (10) и (11) в проекции на оси x и y принимают вид:

^ДЛ

(10)

(11)

2gAHyVyPh - 2mcDHxph = c2^ Л

2gAHyVxPh 2AmcÁHzh = + D = 8v^M 0ahD

2yAHzVyph c 2DЛ

уЛ

2giHzVxnh + 2ÁmcÁHzh

8vxM 0CiD уЛ

4VylM 0СгЛ

4VyÁM0окЛ

(12)

c 2DЛ

D

yD

1

y

2

c

z(c)

а

z(c)

/ / #) ‘ /г

/ / /

г/

/ /

б

Рис. Схема 180-градусной ДГ: а - с ЛБП, б - с ЛСП в высокотемпературной магнитной фазе ОхЕг.

Таким образом, применение закона сохранения плотности действия для двумерного случая в выбранном приближении позволило получить

уравнения движения для двух типов тонкой структуры ДГ, из которых можно найти зависимость скорости вертикальной линии от скорости ДГ, аналогичные полученным ранее другими способами [6, 8]. Отметим, что использованный метод, в отличие от методов, применяемых в [6, 8], позволяет рассмотреть и другие возможные приближения, например, рассмотреть задачу с учетом зависимости угла 8 от второй переменной. Последнее позволяет надеяться на получение уравнения движения для тонкой структуры ДГ в РЗО, содержащее гироскопическое слагаемое аналогичное полученному в [9].

ЛИТЕРАТУРА

1. Малоземов А., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. М.: Мир, 1982. 348 с.

2. Hubert A., Schafer R. Magnetic domains. Berlin, Hedelberg: Springer-Verlag, 1998. 696 p.

3. Звездин A. K., Попков А. Ф. // Письма ЖЭТФ. 1985. Т. 41. С. 90-92.

4. Звездин А. К., Попков А. Ф. // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. С. 1789.

5. Звездин A. K. Нелинейная динамика спиновых вихрей в антиферромагнетиках // Кратк. сообщ. по физ. ФИАН РАН. 1999. №6. C. 28-35.

6. Екомасов Е. Г., Богомазова О. Б. // Вестн. Башкирск. ун-та. 2004. №1. С. 11-16.

7. Четкин М. В., Курбатова Ю. Н., Ахуткина А. И., Шапае-ва Т. Б. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. С. 2160-2169.

8. Екомасов Е. Г. // ФНТ. 2003. Т. 29. С. 878-884.

9. Звездин А. К., Белотелов В. И., Звездин К. А. // Письма

ЖЭТФ. 2008. Т. 87. С. 443-446.

10. Четкин М. В., Звездин А. К., Гадецкий С. Н. // ЖЭТФ.

1988. Т. 94. С. 269-279.

Поступила в редакцию 25.05.2010 г.