CC BY
21
УДК 538.115
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СПИНОВЫХ ВИХРЕЙ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ
А. К. Звездин
Исследована динамика магнитных вихрей - линий Блоха -в антиферромагнитных кристаллах. Вычислены гироскопическая сила, сила вязкого торможения, которая является существенно нелинейной функцией скорости, изменение профиля доменной границы, индуцированное движущимся вихрем, зависимость скорости вихря от скорости доменной границы, в которой локализован вихрь.
Магнитным вихрям в ферромагнетиках и антиферромагнетиках посвящено большое число теоретических работ (см.[1 - 8] и цитируемую там литературу), однако практически отсутствуют прямые экспериментальные наблюдения таких объектов.
Исключением являются так называемые линии Блоха в доменных границах. Линии Блоха разделяют между собой участки доменной границы (субдомены), обладающие различным направлением разворота спинов. С топологической точки зрения линии Блоха несомненно являются вихрями с определенным топологическим зарядом и, очевидно, их динамические свойства отражают главную особенность кинематики вихря снос вихря в перпендикулярном направлении относительно вектора скорости его поступательного движения. Это свойство применительно к ферромагнетикам характеризуют введением так называемой гироскопической силы (см. по этому поводу [1]).
Очень интересными объектами для изучения динамики магнитных вихрей являются антиферромагнетики и слабые ферромагнетики. Дело в том, что динамика вихрей в ферромагнетиках (и ферримагнетиках) значительно осложняется магнитодиполными взаимодействиями, в то время как в антиферромагнетиках и слабых ферромагнетиках [7, 14] магнитодипольные взаимодействия отсутствуют или значительно ослаблены.
Другое важное достоинство антиферромагнетиков в обсуждаемом аспекте состоит в том, что они представляют собой систему, практически идеально описываемую при
помощи так называемой "нелинейной сг-модели" [11, 9, 10]. "Нелинейная сг-модель" является одной из наиболее содержательных моделей статистической физики, в рамках которой были получены принципиальные результаты, относящиеся к различным разделам теории поля, физики твердого тела, жидких кристаллов, топологическим солитонам и дефектам и т.д.
В настоящей работе исследуется динамика магнитного вихря, локализованного в движущейся доменной границе. Вычислена его скорость в зависимости от скорости до менной границы и изменение профиля доменной границы, индуцированное вихрем.
Уравнения, описывающие динамику намагниченности в антиферромагнетике и слабом ферромагнетике могут быть получены из следующих выражений для лагранжиана L и диссипативной функции Релея R нелинейного поля G(r, t) (G - вектор антиферромагнетизма, |G| = 1) [9, 10]:
L = WÓ2~f (H't«.«])-^ «
где X-Li 7> Mo - поперечная восприимчивость, гиромагнитное отношение и намагниченность подрешетки; Н< = Н -f H¿>, Н - напряженность внешнего поля, Но поле Дзялошинского, си - безразмерная константа затухания, F - свободная энергия.
Во многих случаях вектор антиферромагнетизма переориентируется в определенной кристаллографической плоскости, так что вектор G может быть определен при помощи одной угловой переменной. В этом случае
Gx = cos<¿>, Gy = sinv?, Gz = 0, (3)
и лагранжиан и функция Релея принимают вид
L = - А( V<p)2 - К sin2 <¿> + MSH cos tp - —Ниф, (4)
7
аМ0 2
i?-—(5)
Здесь А - константа неоднородного обмена (обменная жесткость), К - константа анизотропии в плоскости ху, Ms - намагниченность насыщения (возникающая под влиянием взаимодействия Дзялошинского).
Уравнения Эйлера - Лагранжа рассматриваемой системы имеют вид [11, 10, 12]
ф — c2VV--Е 1 sin 2ip -f tjJE^z sin = 7Hz — сишеФ, (6)
где с2 = 7Мхх1 = 7 ЛшЕМ0 \
шЕ = 7МоХх1, = Т2АГ1М0 ш2 = 7Н2М5М0 1.
2\ -1/2
Ао =
(9)
Решение (7) описывает уединенную волну - солитон (кинк), движущийся с постоянной скоростью и в диссипативной среде под влиянием внешней силы, £ - координата в направлении, совпадающем с вектором скорости солитона. С физической точки зрения этот солитон представляет собой движущуюся доменную границу, разделяющую области с произвольной ориентацией вектора антиферромагнетизма (у? = 0,7г). Характерной особенностью этого решения является "вырождение": г] = ±1, т.е. вырождение по направлению разворота спинов (по часовой стрелке или против) в солитоне.
Непосредственным следствием вырождения является возможность существования неоднородных в поперечном направлении доменных границ с областями, отличающимися направлением разворота спинов и линий, разделяющих эти области - линий Блоха.
Рассмотрим простейшую ситуацию с одной линией Блоха: (г/ — +1 для х > х0 и г] — — 1 для х < х0, х - координата вдоль доменной границы, х0 - координата центра линии Блоха). Легко убедиться, что распределение вектора антиферромагнетизма С вокруг линии Блоха соответствует вихрю.
Если исключить из 32)-пространства множество (плоскость) х = Хо, то легко убедиться непосредственной подстановкой, что функция ср(х,у), определяемая уравнением
удовлетворяет уравнению (6) всюду за исключением множества х — х0• Заметим, что Хо, вообще говоря, может зависеть от I.
(7) и
X > Хо X < Хо,
(10)
Рассмотрим динамику такого образования. Для этого мы перейдем к сокращенному (редуцированному) описанию изучаемой нелинейной волны, в котором этот объект (доменная граница с линией Блоха) рассматривается как двумерная поверхность (мембрана), разделяющая области в трехмерном пространстве с противоположными направлениями вектора антиферромагнетизма. Эта поверхность определяется уравнением <7 = д(х, у12, ¿), где - координата центра доменной границы, и координатой центра линии Блоха, заданной на поверхности: х0 = х0(£).
Мы полагаем, что в положении равновесия поверхность д = д(г) параллельна плоскости у — 0. Уравнение для д(г^) может быть получено как уравнение медленного изменения адиабатического инварианта нелинейного поля <^(г, ¿), т.е. действия поля, которое имеет в данном случае смысл импульса поля.
Адиабатический инвариант может быть определен следующим образом [13, 7]:
(11)
где V - плотность импульса поля, £ = у — q{r,t) - быстрая переменная и q медленно изменяется как функция / иг. При Hz —> 0 и а = 0 функция определяется
уравнением
Нт 1
sin y?, (12)
д<р
где А(q, Vxg) = До [l + (V±9)2 -£] , Vj. = (£, £). Подставляя (12) в (11) и интегрируя по получаем
Р =
7---уф + —HtMx)Q*:
[1 - £ + (Vxg)2] 7
где
m0 = <70/с2, (То = 4(А/01/2. Уравнение сохранения плотности действия имеет вид [13, 7]
dV „ dL dR . _ _ dlvU = - +
(13)
(14)
(15)
где плотность потока действия есть
Пг.2
' dL ' dL'
[*?*, J Vy, пу = w»\ V'v
(16)
Подставляя (12) в (15) и интегрируя по быстрой переменной, получим
+ ^ _ у±<7У±д = 2М.Н(д) - ^Я<г2тгд±о£(* - х„), (17)
ОТ Т
2 _1/2
где г-1 = аи>Е, с — тс2 — т0с2 + С^х^)2 — ) > ~ топологический заряд магнитного вихря.
Уравнению (17) можно поставить в соответствие следующие лагранжиан и дисси-пативную функцию Релея:
С = Ьо(ч, vx9) - 2±Ни<Э*т(х - ®о(0), (18)
7
¿0 = -т0с2^11 - (*) + (У19)2, (19)
Д=1Г- ^
где т/(х) определяется уравнением (10).
Рассмотрим движение доменной границы с постоянной скоростью и. В этом случае <7 = ^(я — + и уравнение (17) принимает вид (при |<7х| << с)
-Ш±<?1 _ ад'! = -2М,Я'д - - х0), (21)
(1 - $) г ^
и его решение можно представить в виде
{ -\+(х-х0) х > Хп
а г ; (22)
6— 0 , X < Х0,
где
/2Л№ /т^о\2Х1/2 ^¿о Л и2\"3/2
А±=±(-г-+) т±=тЧ1~^ • (23)
Из уравнения (21) следует также, что
- ?1)х=хо = -^i27rg¿o. (24)
7
Используя (22) и (24), получим
тг ¿о
90 =--7— 7-/ ( }
7 (2МяН><т + ^
Следующим шагом является определение скорости сноса вихря ¿о, которую можно определить из уравнения сохранения компоненты импульса поля вдоль движущейся доменной границы:
д < Ь > _ д < В.> дх0 дх0
где < А >= / ¿эА и интегрирование ведется по площади доменной границы. Другими словами, она определяется из условия равенства гироскопической силы, действующей на вихрь в движущейся доменной границе, и силы трения, определяемой диссипативной функцией Релея (2).
Гироскопическая сила определяется как
дЬ ^ 2тгх_±Ни 7
длина образца в ¿-направлении принимается равной 1.
Силу трения естественно представить в виде суммы двух вкладов:
Р9
да
^ = Я + (28)
представляет собой "собственную" силу трения вихря; для ее вычисления необходимо знать распределение обоих углов 0 и в вихре. В предположении, что Д^ << Д ее можно оценить следующим образом:
аМ0 . л Д , ч
рг---х0(Э—, (29)
7
где Д, Д/, - характерные толщины доменной границы и линии Блоха.
Сила трения возникает за счет прогиба доменной границы, индуцированного двп жущейся линией Блоха. Она равна
—оо
При интегрировании в (30) использованы формулы (22), (23), (25). Подставляя (27), (29), (30) в (26), получим уравнение для определения х0:
=А + 1/2. . (31)
7 7 Д£ т \ а )
Таким образом, формулы (22), (23), (25), (31) полностью решают поставленную задачу о равномерном движении вихря (линии Блоха) в движущейся доменной границе в антиферромагнитном кристалле.
Характерно, что второе слагаемое в правой части уравнения (31) пропорционально квадрату величины Q, поэтому при достаточно больших Q первым слагаемым в левой части уравнения (31) можно пренебречь. В этом случае задача полностью решается в рамках редуцированной системы (18) - (20) без привлечения информации о внутренней структуре вихря.
Приведем некоторые численные оценки. Полагая q < 10е см/с, М0 ~ 103 Э, Ms ~ 10 Э, Нг ~ 103Э, хх ~ Ю-5, #' ~ 104Э/см, а ~ I эрг/см2, с = 2-106см/с, т ~ Ю-10 —Ю-11 с, Q ~ 102-103, получим из (25), (31) q0 ~ 10"5-10"4 см, i0 ~ 105-106 см/с. Приведенная оценка для А+_ ~ 103 см~1 означает, что характерная длина доменной границы под влиянием движущегося вихря - порядка 10 мкм (см. [14]).
В заключение отметим, что рассмотренный подход к исследованию динамики вихря предполагает, что диаметр внутренней части вихря много меньше характерных размеров задачи - толщины стенки и прогиба доменной границы. В свою очередь это выполняется, если энергия магнитной анизотропии, характеризующая выход вектора аниферромагнетизма из плоскости ху, значительно превышает энергию магнитной анизотропии в плоскости ху.
Работа поддержана МНТП (проект 97-1071) и ФЦП "Интеграция" (проект К-0573).
ЛИТЕРАТУРА
[1] М а 1 о z е m о f А. P. and Slonczewski J. С. Magnetic Domain Walls in Bubble Materieals, Academic, 1979.
[2] К о с e в и ч А. М., Иванов В. А., Ковалев А. С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев, Наукова Думка, 1983.
[3] I v а п о v V. A., Sheka D. D. Phys. Rev. Lett., 72, 404 (1994).
[4] I v a n о v V. А., К о 1 e z h u k A. K. Phys. Rev. Lett., 74, 1859 (1995).
[5] I v a n о v V. А., К о 1 e z h u k A. K., W у s i n G. M. Phys. Rev. Lett., 76, 511 (1996).
[6] В e 1 a v i n A. A., P о 1 у a k о v A. M. Письма в ЖЭТФ, 22, 245 (1975).
[7] Ч e т к и н М. В., Звездин А. К., Гадецкий С. Н. и др. ЖЭТФ, 94, 269 (1988).
[8] 3 в е з д и н А. К., Попков А. Ф. ЖЭТФ, 91, 1789 (1986).
[9] А н д р е е в А. Ф., Марченко В. И. УФН, 130, 39 (1980).
[10] 3 в е з д и н А. К., Мухин А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 12, 3 (1981).
[11] Z V е z d i п А. К. Письма в ЖЭТФ, 29, 605 (1979).
[12] 3 вез дин А. К., Мухин A.A. ЖЭТФ, 102, 577 (1992).
[13] Witham G. В. Linear and Nonlinear Waves, Wiley, 1974, p. 151.
[14] 4 e t к и h M. В. ЖЭТФ, 1999 (в печати).
[15] 3 в е з д и н А. К., Попков А. Ф. Письма в ЖЭТФ, 39, 348 (1984). Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 19 апреля 1999 г.
