СХЕМОТЕХНИКА И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.001

СХЕМОТЕХНИКА И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В.Ф. Булавин

Получено семейство моделей симплекс-элемента, рассматриваемого как подсхема электрической цепи, что дает возможность использовать алгоритмы анализа цепей для формирования глобальной матрицы жесткости. Математическим инструментом исследования служит интегро-интерполяционный метод построения балансных соотношений, которые на основании аналогии рассматриваются как уравнения многополюсника в терминах узлового анализа электрических цепей. Учет источников поля осуществляется только на базе гармонических функций. Континуальная матрица неопределенных узловых проводимостей симплекс-элемента определяет его электрическую модель в пространстве GJ ветвей. Схемотехническое решение позволяет снять ограничения на форму линейных конечных элементов при соответствующем выборе элементной матрицы жесткости.

Ключевые слова: формула Грина, метод конечных элементов, гармонические функции, схемотехническая модель, матрица жесткости, аппроксимация.

Схемотехническая концепция метода конечных элементов (МКЭ) предполагает определение параметров конечного элемента (КЭ) как подсхемы электрической цепи с дальнейшим формированием уравнений состояния между переменными, характеризующими режим всех блоков, методами расчета электрических цепей. Свойства дискретной аналоговой модели со стороны внешних узлов должны быть эквивалентны состоянию отдельных подобластей. Основным вопросом в этом случае является метод определения параметров КЭ как многополюсника электрической цепи.

На взаимосвязь МКЭ и схемоанализа указано в [1]. Подробно этот вопрос рассмотрен в [2], где были построены аналоговые схемы замещения КЭ для эллиптических уравнений. Результатом этих работ являлись цепные модели, но представленные в качестве единственных. Особенность данной статьи состоит в том, что на примере линейных элементов показано многообразие физико-математической модели КЭ в виде матрицы жесткости (МЖ). Результат позволяет найти универсальные решения в континууме возможностей и снять все ограничения на форму КЭ. Указанное обстоятельство дает возможность практике расчетов полей оперировать шаблонами произвольной конфигурации, не снижая методического уровня погрешности.

Требуется найти решение на плоскости в неоднородной области Б, ограниченной контуром дБ, поле в которой описывается через скалярную функцию ф^) и удовлетворяет уравнению

^ (цgrad ф) = - р (И ) ; N (х, у )е Б ; ф|эБ = ф(М (л, X)) , (1)

где д- материальная характеристика, описывающая свойства среды.

Численный анализ уравнения (1), например, в проекционной форме, может быть проведен из условия ортогональности невязки [1,3,4] базисным функциям и(х, у), т.е. из уравнений

| ((НУ ц grad(ф)+ р)и, dD = 0, у = 1,2.. N,

(2)

D

N

где фN(х, у) = X ауиу(х, у) - приближенное решение.

У = 1

Редукция (2) к системе алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно узловых величин позволяет найти решение исходной задачи.

Классическая математическая модель симплекс-элемента. Выделим для анализа КЭ в виде шаблона произвольного вида при условии, что узлы располагаются по модели Паскаля (рис.1) [1,3 - 4].

Традиционный подход для приближенного анализа состоит в использовании полиномиальной функции [1-4]. Для линейного КЭ (рис.1) аппроксимация вида

ф(х,у) = а 0 + ^х + а 2у (3)

дает для базисной функции и функций формы результат в виде (при обозначениях, принятых на рис. 1):

ф( х, у) = N ф, + ¡у Ф у + ¡тфт;

N..

1 - х

^2 Х У с с х и

N,

х с

с1 Х У с х И

• N = — • N + N ■ + N = 1

'-"т и ' г У т

'су V с у

Определение элементной матрицы жесткости может быть осуществлено из (2) или, например, из минимума энергетического функционала [1,3 - 4]. В обоих случаях результат в базисе (х, у) имеет вид

к=тх5х

1

+

V с

с1 Х с2 чс2 хИс2

с 2 х И 2

с1 Х с2

1

с

\С

с2 х и2

с

2

/V л с

с2 х И

1

2 +"Т 2 с2

/V \г

с х И

2 с

\

схИ

с

/V

л с

схИ

2

с У

схИ

с

1

V К У

где с1 и с2 -отрезки, на которые делит высота Ис сторону с; 5 - площадь

симплекс-элемента (рис. 1).

Синтез модели КЭ на основе формулы Грина. Построение физико-математической модели КЭ может быть осуществлено на основе формулы Грина [4-7]:

(2р)ф О)= / ЩМ-

дп

1п

1

V У

\ л Г

dl - | ф(М)— 1п

дв дп

1

V В-ш У

+ ; РЫ тГ

в

1

V У

dS

дв

RNM = ^(л-х)2 +(Х-У)2 ; N(х,у) е В . (4)

Для использования соотношения (4) в качестве генерирующего базисные функции, при заданных граничных условиях первого рода, примем местную систему координат как показано на рис. 1. Допустим, что среда в

2

с

с

2

2

2

2

с

2

с

с

1

1

с

с

2

1

2

2

пределах КЭ является однородной и изотропной, а плотность свободного заряда р = const. Аппроксимируем скалярную функцию вдоль ребер шаблона линейными зависимостями (условие j grad^ (j)dL = 0, L - касательное

i

направление вдоль контура КЭ соблюдается). Примем gradn(ф) = const (n -направление внешней нормали к контуру КЭ) на каждом из ребер.

Рис. 1. Трехузлоеой вычислительный шаблон

На первом этапе синтеза континуальной модели КЭ будем полагать отсутствие свободного заряда (р = 0). Выполним интегрирование в квадратурах контурных интегралов с использованием трех локальных систем координат, ориентированных вдоль сторон треугольника. Связь координатных преобразований осуществляется матрицами переноса и поворота осей (х, у) к базисам (ль, Хь) и (ла, Ха) [1,4]. Логистика промежуточных преобразований направлена на формирование соотношений двух групп. Первая группа формируется из трех линейных функций, составляющих линейную оболочку [8], и дает возможность найти значения производных

на ребрах КЭ.

г Эф ^ ' Эф^ с Эф ^

1 Эп J с 1 Эп J b V Эп J

Громоздкость окончательного ответа исчезает при переходе к ¿-координатам [1,3,4]. В итоге, первая группа решения приобретает законченный вид:

) = ¿ф + ¿2ф; + ¿зфда , (5)

что определяет целесообразность барицентрической системы координат.

Вторая группа решения представляет разностный аналог фундаментального тождества [3 - 7]:

0

Эф(М) ^ Эп

dl

Р

S

при р = 0 при р Ф 0;

(6)

a

и подчинена требованиям выполнения этого соотношения при любых значениях 1и(г1), 1п (г) и 1п (гт), выступающих в качестве сомножителей в

найденных разностных уравнениях при обозначениях, принятых на рис. 2:

Эф Эп

Эф

V Эпу

ЭфЛ Эп

'X'

Ф 1 "Ф< )у + '

С

(Фт -Ф1 )

Эф Эп

V / г

(а _Ла )+кг-фщ} хс

а

Ь

Хь +

Эф Эп

(с - X ) +

(ф 1 ф)

С

у

1п г = 0;

1п гу = 0;

Л (Ф/ -Фт ) Х +

•Ла--Ха +

а

Эп

(ь-ЛЬ Н^Хь

Ь

1п Гт = 0, (7)

которые пропорциональны дискретному аналогу тождества (6) для трех подобластей ДБ;-, ДБ у, ДБт с диагоналями г, Ту, гт, и общей точкой

N (х,у) е КЭ .

Учет распределенных источников поля. На втором этапе синтеза в условиях допущений о линейных свойствах среды КЭ и р = Сот1 учет источников поля приводит к необходимости дополнительного анализа краевой задачи относительно функции ф1 (р):

(2р)ф, (р)= 1 ^ Ш

ЭО Эп

' 1 л

V ^ы У

Л + I Р(ы) 1п

1

О ^

V В-ыы у

ЛБ.

(8)

ф1 эо = 0; N (х,у) е О .

Приближенное решение (8) на трехузловом вычислительном шаблоне может быть найдено при аппроксимации подынтегральных выражений усредненными значениями (с погрешностью О (И)) [6,7]:

(2п )ф1 (р)» 1п(Т)

Э ф1

Эп

+ 1п(Гт )

с - X1 — ИСс

2^ Э ф1

Эп

+ 1п (г

Эф1 Эп

ь - X2 -Р- ИьЬ 2^

+

Р

а - Хо — Иаа 32^ а

где 11, 12, 13 - весовые коэффициенты, такие что 11 > 0; 11 +12 + 13 = 1.

Для произвольной точки N(х,у) е О тривиальный ответ ф1 (р) = 0 может быть получен, если принять решение в виде

Эф1

Эп

= 11^ Ис;

Эф1

Эп

= 12 Р Иь;

Э ф1

Эп

= 1 з Р Иа.

(9)

Имея в виду, что для барицентрических координат Ь1 + Ь2 + Ь3 = 1, примем: 1 = ¿3 = ^, 12 = А = , 13 = ¿2 = Ха . Последний вывод поз-

Ис Иь Иа

воляет записать полные выражения для производных на ребрах КЭ

с

а

ь

с

ь

а

ь

с

а

Г ЭфЛ

V Эп У

ре КЭ как

' Эф^ ' Э ф ^

с 1 Эп У ь 1 Эп У

с учетом наличия свободного заряда в конту-

г ЭфЛ

V Эпу

г ЭфЛ

V Эп У

г ЭфЛ

V Эп У

1 [ с2 С I р

=кс ■ г сф'"С ф /+ф»I+У 2Ц;

1 [ Ь2 Ы I е р

—■ 1 ф/--г ф/-у ф- |+Хь 2Ц;

Кь

ь

1 [ а а2 I е р

=—■ 1- а ф/+ф /-—ф -1•

к

/ тда

а

2ц

у фот А

а\ у Гт \ъ ■>

У / \ а Ж / \ УК / V ь

П2 / & ^ \Ъ\

ф< г

С1 с С2 X

Рис. 2. Контрольные сечения с центральной точкой Ы(х,у)

Полученный результат полностью согласуется с (6). Введение последнего вывода в решение (7) дает возможность сформировать эти соотношения в форме

(ф / -ф/)

г ЭфЛ

V Эпу

г ЭфЛ

V Эп У

X

■Ль

■У +

V Эп У

(а-Ла Ха - Р ^

а

(ф - -ф /)

ь

г ЭфЛ

V Эп У

Хь +

г ЭфЛ

V Эп У

( ) (ф/-ф/) рло

■(с - X) + —-- У —АЯ,

Л ф -фт ) Х +

■Ла--Ха +

а

V Эп У

X

(ь-Ль) +

(фт-ф ])

с

X

0:

= 0;

Хь - Р А8т

Ь Ц

323

0.

(10)

а

с

ь

а

с

с

а

ь

с

ь

Выражения (10) определяют баланс потоков скалярной функции между внешними границами, а также участками сопряжения трех подобластей с учетом распределенных источников поля внутри КЭ, обеспечивая свойство консервативности для сечений АБ;-, АБу, АБт.

Особенностью результата является следующее обстоятельство: несмотря на то, что оно получено на базе гармонических функций, здесь присутствуют слагаемые, учитывающие наличие свободных источников поля. В условии р ф 0 это стало возможным после коррекции производных по нормали к ребрам КЭ. Указанное свойство обеспечивает интегральное тождество Максвелла [5-7].

Учет точечных источников поля. При наличии точечных источников поля в области КЭ последние естественным образом учитываются в подобластях АБ;-, АБу, АБт и их вклад присутствует в (10). Покажем это,

воспользовавшись технологическим подходом, реализованным ранее. Пусть точечный заряд q расположен в контуре КЭ в локальных координатах (х0, у0). Тогда для добавочных компонент в составе производных

Эф Эп

Л ' Эф^ ' Эф^

) с 1 Эп) Ь 1 Эп)

получаем следующие слагаемые:

ЭФ1 Эп

= 11

q

ц • с

ЭФ1 Эп

=1

q

ц • ь

ЭФ1 Эп

= 1

q

ц • а

Для учета этих слагаемых в качестве источников поля в (10) воспользуемся барицентрической системой координат:

д _Т q = У0 д _ „ q

V

= и

ц • с

1

ц- с Нс ц- с

2

д

ц • ь

= Х

Ь0

ро.

2ц'

1

--У0

д

ц • а

-= У0 р0

2ц•Б 2ц

=х

а 0

Р0

2ц

д

Здесь р0 = — - приведенная плотность заряда д, распределенного по пло-

Б

щади КЭ.

Таким образом, принятая технология обеспечивает "разнесение" точечного источника д по сечениям АБ;-0, АБу0, АБт0 пропорционально

их площадям и с учетом координат свободного заряда. В обоих случаях указанный алгоритм распределения источников поля по узлам отличается от классической реализации в МКЭ и дает и иной результат.

Подробная детализация составляющих поля на этом этапе выступает фактором доказательства возможности применения только гармонических функций для формирования балансных уравнений при наличии свободных источников.

Соотношения (10) определяют стратегию использования интегро-интерполяционного метода [6,7] при формировании континуальной схемотехнической модели КЭ.

а

ь

с

а

Континуальная схемотехническая модель симплекс-элемента. Соотношения (10) позволяют синтезировать континуальную схемотехническую модель КЭ. Поскольку взаимодействие подсхем осуществляется только через узлы сопряжения, то, принимая для узловых источников тока обозначения

А = -т

з 2 = -т

з з = -т

Эф Эп

Э ф Эп

Э фЛ Эп

• х +

Ль +

Ла +

Эф

Эп

/

Э ф Эп

Э фЛ

Эп

(а -Ла)

• (с - х) •(Ь-Ль)

•+рД£г;

+ рМ/; + р

(11)

ь

\ У

и разделяя слагаемые после перегруппировки, приходим к результату в барицентрических координатах:

' К , Н Л ( , Нл

т

¿3^ +

V с /

а

. Т _с_ ¿3

/

¿3

Н л

с

Т На ¿2

с

\

(¿А +

М Ь 3 с

Н

V

а

У

т НаЛ ¿2

а у т НьЛ V Ь у

Н

Н

V

2 1 Ь

а

х

ф,- •Л

ф / = 3 2

ф т з 3

(12)

Принцип аналогий позволяет дать трактовку соотношениям (12) как уравнениям КЭ в виде дискретной схемотехнической модели (рис.3) в терминах узлового анализа электрических цепей [5].

Параметры компонентов схемы замещения определяются из (12) и вычисляются на единицу длины в осевом направлении. Выполнение эквивалентных преобразований приводит к схеме замещения КЭ способом "звезда".

Построенная концептуальная модель справедлива как для всех внутренних точек шаблона, так и для граничных (исключая узловые точки). Симметричная матрица левой части (12) размерности (3х3)

т

¿3-+¿2-

На

а

- ¿3^

Нс

с

- ¿3 ^4

с у

■¿2 На-

а

Ц Ь + ¿3 ^

с

■¿Л

-12 ^ ^

а У

а у

На а

¿2^ + ¿1 ^

■чт оу '8/ ёт1

- 8«/ (£» + 8/

ёт 8/т (§т1 + 8

(13)

т/

Ч1 ь/т. ёт/

представляет собой матрицу неопределенных узловых проводимостей

[5] схемотехнической модели симплекс-элемента.

325

с

ь

с

с

ь

Найденный результат позволяет сформулировать теорему [9 - 11].

Теорема 1. Схемотехническая модель линейного конечного элемента поле, в котором описывается через скалярную функцию ф(^), удовлетворяющую уравнению (1), континуальна.

Континуальная матрица жесткости симплекс-элемента. Для линейного конечного элемента матрица неопределенных узловых проводимо-стей совпадает с матрицей жесткости [2,9 - 11]. Из сказанного, таким образом, вытекает следующая теорема.

Теорема 2. Конечно-элементное решение уравнения (1) приводит множеству решений для матрицы жесткости линейного симплекс-элемента, причем мощность этого множества определяется как континуум.

Доказательство теорем опирается как на факт непрерывной зависимости элементов схемы замещения от координат, так и то, что все точки N(х,у) е КЭ образуют множество, мощность которого определяется как континуум. При этом, так как в качестве точки N(х,у) е КЭ, относительно которой формируются уравнения баланса, может служить любая, кроме узловых, то и число физико-математических моделей КЭ и, следовательно, матриц неопределенных узловых проводимостей также образует множество мощностью континуум.

Уравнения (10) можно составить независимо, исходя из (6), но предварительно необходимо доказать, что наличие распределенных источников поля в КЭ допускает использование только гармонических функций. Последнее было показано при анализе уравнения (4).

Погрешность результата. Аппроксимация скалярной функции на

контуре КЭ (погрешность О (к2)) приводит к линейной зависимости от координат решения во всех точках области КЭ. Выполнение операций интегрирования в квадратурах не повышает это оценку на один пункт, т.к. в конечном результате отсутствуют квадратичные слагаемые. Это позволяет утверждать, что погрешность результата (5) оценивается как О (к2) (к = тах(а,ь,с)) и с О (к) относительно производной скалярной функции.

326

При построении конечно-элементных (конечно-разностных) соотношений все балансные методы затрудняют оценку погрешности итогового результата [6,7 - 12]. В контексте предложенного подхода подчеркивается как связь формулы Грина и фундаментального тождества (6), так и то, что сами соотношения (10) возникают в результате интегрирования (4), при этом сложностей в оценке их погрешности не возникает.

Семейство схемотехнических моделей. Континуальная матрица неопределенных узловых проводимостей симплекс-элемента формирует его электротехническую модель в пространстве ОЗ ветвей [5]. Рассмотрим частные случаи предложенного схемотехнического решения. Во множестве точек N(х,у) е КЭ определим подмножество (мощность которого определяется также как континуум), лежащее на прямой Эйлера [911].

Такой выбор связан с тем, что эта прямая является геометрическим местом точек треугольника: ортоцентра (точка Н); центра тяжести элемента (точка О); центра окружности Эйлера (точка Р); центра окружности, описанной вокруг треугольника (точка О). К назначенным точкам следует добавить еще одну - центр окружности, вписанной в треугольник (точка Q). В случае произвольного по форме КЭ она не лежит на прямой Эйлера.

Исследуем решение (13) в указанных случаях. Примем в качестве фиксированной точки N(х,у) е КЭ центр окружности, описанной вокруг треугольника. Подставив координаты точки О в (13), приходим к результату для матрицы неопределенных узловых проводимостей симплекс-элемента в виде

1 2

' Ъ Л

V къ У

Ъ к

ъ у

Ъ

с \ а1 с \ а

, к . . к ,

к

ъ У

а2 к

Г Л Г Л

с2 С1

к,с к,,

с У

с

'а У

С Л С

V к у

(14)

Здесь принято, что высоты ка, кЪ, кс, проведенные из вершин к ребрам КЭ, делят их на отрезки ах, а

1Ъ

2, Ъь Ъ2, с1, с2 соответственно.

Соотношение (14) представлено в базисах трех локальных систем координат, связанных со сторонами КЭ. Форма полученного соотношения, хотя и отличается по виду от классического выражения, но полностью совпадает с ним по содержанию при использовании только одной системы координат.

Полученный результат позволяет сделать вывод о совпадении классической матрицы жесткости и континуальной при условии, что последняя определена относительно центра описанной окружности. Следует что, по-

скольку точка O для тупоугольного КЭ лежит вне контура шаблона, то классическая матрица жесткости (неопределенных узловых проводимо-стей) в этом случае не существует, как не имеющая физического смысла, хотя формально может быть вычислена стандартными процедурами МКЭ. Однако интегро-интерполяционный подход не может быть реализован для такой конфигурации. Это является одной причин, указывающих на невозможность использования подобных фрагментов в классической технологии FEM.

В полевых расчетах тупоугольные КЭ неизбежно появляются при аппроксимации криволинейных границ области поля, и лишь небольшое их число по сравнению с "хорошими" элементами скрывает неадекватность для них классической математической модели. Погрешность итогового результата в этом случае оказывается неконтролируемой. Примем в качестве фиксированной точки N(x,y) е КЭ ортоцентр КЭ. Вводя координаты выбранной точки в соотношение (13), получаем матрицу жесткости в виде

к2 = ^х 2 2S

(С1С2 + 0^2 ) (- С1С2 ) (- а1а2 ) (- c1c2 ) (c1c2 + b1b2 ) (- b1b2 ) (- а1а2 ) (- b1b2 ) (а1а2 + Ь1Ь2 )

(15)

Как и ранее, результат (15) не может быть распространен на КЭ произвольной формы.

Приняв во внимание положение центра окружности Эйлера, для соответствующей матрицы жесткости симплекс-элемента можем записать:

+ к 2

2

(16)

Последний результат ввиду удвоенного числа арифметических операций и необходимости выполнения дополнительной проверки по условиям применимости не имеет практического значения и может рассматриваться только в качестве методического.

Положим в качестве N(х,у) е КЭ центр тяжести - точку О. Вводя заданные координаты в соотношение (13), получаем для матрицы жесткости выражение в форме

' 1 1 Л ( 1л

1 1 S к 4 = 2ц — х

^+ 2 V c a

г

1

л

c2 у

a 2 у

V 1

V? + г

c2 у

1

b2 у

V с

V

1 a2 у

ь2 у

b2

V

.1 ±Л b2 a 2 у

1

Итоговый результат имеет приоритетное значение по сравнению с предыдущими, поскольку не связан никакими ограничениями по форме КЭ. Соотношение (17) может быть рекомендовано в практику расчетов в качестве универсального.

Решение (13) для центра вписанной окружности приводит к выражению для матрицы жесткости в виде

О 1 ^ ( 1

7 Я к 5=|1-Х

P

- + — c а

V

c

у

11

- + -

V

c

а

Ъ 1 ^

Ъ

у

1 ^ а у

V Ъ У

11

- + —

Ъа

V

(18)

где р = 1 (а + Ъ + с) - полупериметр треугольника.

Все замечания, высказанные ранее для (17), полностью остаются в силе и для (18). Очевидно, что при указанном подходе в четырех последних случаях матрицы жесткости симплекс-элемента (матрицы неопределенных узловых проводимостей) имеют неклассическую форму как по виду, так и по содержанию. Результаты (14) - (18) объединяются в практически реализуемое семейство схемотехнических моделей КЭ. В табл. 1 - 3 представлены схемотехнические решения для КЭ различной формы, вычисленные на основе предложенных ранее выводов.

Таблица 1

Схемотехнические решения для остроугольного КЭ (1=1)_

Остроугольный треугольник

Схема замещения КЭ

ег=550 ; 6/=47,2°; 6га=77,8°

Центр описанной окружности (точка О)

0,571 - 0,108 - 0,464"

- 0,108 0,458 - 0,35

- 0,464 - 0,35 0,814

Центр окружности 9 точек (точка Р)

" 0,568 -0,253 -0,314 -0,253 0,516 -0,262! -0,314 -0,262 0,577

1

С

Окончание табл. 1

Цент р тяжести (точк " 0,569 -0,205 -0,364 -0,205 0,496 -0,292! -0,364 -0,292 0,656 а в) Ортоцентр (точка Н) Г 0,564 -0,399 -0,165] -0,399 0,574 - 0,175 [-0,165 -0,175 0,339]

Центр вписанной окру (точка Q) ' 0,554 -0,237 -0,317 -0,237 0,521 -0,283! -0,317 -0,283 0,600 кности —

Таблица 2

Схемотехнические решения для тупоугольного КЭ (т=1)_

Произвольный тупоугольный треугольник: ег=20°; 6/=48,90; 6^=111,1°

Схема замещения КЭ

Центр тяжести (точка в)

0,233 -0,092 -0,141 -0,092 0,778 -0,686 -0,141 -0,686 0,827

Центр вписанной окружности

0,284 -0,127 -0,157 -0,127 0,474 -0,347? -0,157 -0,347 0,504

Ортоцентр (точка Н) Центр окружности 9-ти точек (точка Р) Центр описанной окружности (точка О)

Схемотехнические решения для этих случаев отсутствуют ввиду того, что указанные точки расположены вне контура КЭ

Валидация высказанных положений требует сравнения результатов вычислительных экспериментов, проведенных на основе классической технологии, с альтернативными предложениями.

Схемотехнические решения для прямоугольного _равнобедренного КЭ (т=1)_

Таблица 3

Прямоугольный равнобедренный _треугольник_

Схемотехническая модель

Центр описанной окружности (точка

О)

0,5 - 0,5 0 - 0,5 1 - 0,5 0 - 0,5 0,5

Центр тяжести (точка О)

0,500 - 0,333 - 0,167"

- 0,333 0,667 - 0,333

- 0,167 - 0,333 0,500

Центр окружности 9-ти точек (точка

Р)

0,5 - 0,25 - 0,25

- 0,25 0,5 - 0,25

- 0,25 - 0,25 0,5

Ортоцентр (точка Н)

0,5 0 - 0,5 0 0 0 - 0,5 0 0,5

Некорректное решение

9^= 0

Выводы:

1. Интегроинтерполяционный метод дает возможность получить семейство элементных матриц жесткости для симплекс-элементов, которые на основании принципа аналогий рассматриваются как схемотехнические модели и имеют нестандартные решения. Общее число таких решений образует континуальное множество. Формирование параметров цепных моделей КЭ осуществляется на основе постулата Максвелла.

2. Установлена причина того, что определяемая классическими технологиями матрица жесткости приводит к неконтролируемой погрешности для тупоугольных симплекс-элементов. Показано, что решение проблемы существует при использовании альтернативных решений.

3. Альтернативные элементные матрицы жесткости, вычисленные либо относительно центра тяжести, либо центра окружности, вписанной в симплекс-элемент, дают универсальный результат, что позволяет в процессе реализации FEM снять любые ограничения на форму КЭ.

Список литературы

1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: М.: Мир, 1986, 318 с.

2. Шакиров М.А. Теоретические основы электротехники. Новые идеи и принципы. Схемоанализ и диакоптика. Декомпозиционные алгоритмы. СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2001, 212 с.

3. Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов. Новосибирск: Изд-во Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, 2007. 371 с.

4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979, 392 с.

5. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. и др. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. 4-е изд. СПб.: Питер. 2004. 463 с.

6 Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1962. 709 с.

7. Смирнов В.И. Курс высшей математики. СПб.: БХВ-Петербург. 2010. Т. 3. Ч. 1. 400 с.

8. Дружинин Г.В. Построение базисных функций и их применение к краевым задачам механики сплошной среды // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т.44. №6 (262). С. 35-43.

9. Булавин В.Ф. Континуальные схемотехнические модели в методе конечных элементов // Электричество. 2015. №1. С. 39-51.

10. Булавин В.Ф., Благовестова М.Е. Метод конечных элементов: альтернативные решения для матрицы жесткости // Известия вузов. Электромеханика. 2017. Т. 60. №1. С. 5-13.

11. Булавин В.Ф., Булавина Т.Г., Яхричев В.В. Инженерный анализ и новые технологии в методе конечных элементов // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2018. № 2(328). С. 109-120.

12. Смирнов В.И. Курс высшей математики. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. Т. II. 24-е изд. 848 с.

Булавин Вячеслав Федорович, канд. техн. наук, доцент, bulavin35@mail. ru, Россия, Вологда, Вологодский государственный университет

SCHEME TECHNOLOGY AND FINAL ELEMENT METHOD

V.F. Bulavin 332

A family of simplex element models is obtained, which is considered to be a circuit sub-circuit, which makes it possible to use algorithms of circuit analysis to form a global stiffness matrix. The mathematical tool of research is an integrative-interpolation method of construction of balance relations which on the basis of analogy are considered as the equations of a multipole in terms of the node analysis of electric circuits. Field sources are counted only on the basis of harmonic functions. The continental matrix of undefined nodal conductivity of a simplex element determines its electrical model in the space of GJ branches. The schematic solution makes it possible to remove restrictions on the shape of linear finite elements with the appropriate choice of elemental stiffness matrix.

Key words: green formula, finite element method, harmonic functions, schematic model, the stiffness matrix, the approximation.

Bulavin Vyacheslav Fedorovich, candidate of technical sciences, docent, bulavin35@,mail. ru, Russia, Vologda, Vologda State University

УДК 629

ИЗМЕНЕНИЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА ПРЕССОВЫХ РАБОТ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ МАНЖЕТ КОЛЛЕКТОРОВ ЯКОРЕЙ ТЯГОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОВОЗОВ

П.В. Губарев, А.С. Шапшал, Е.Ю. Черкессов

Усовершенствована технология производства прессовых работ при изготовлении манжет коллекторов якорей тяговых двигателей электровозов запрессовкой пакета прессформ манжет на прессе с использованием струбцин.

Ключевые слова: пресс, манжет, коллектор, якорь, тяговый двигатель, электровоз, производство, технология.

Тяговые двигатели электровозов переменного тока работают в условиях резких изменений нагрузок; частота вращения их якорей изменяется в широких пределах. Это обусловлено частыми пусками электровозов, преодолением ими подъёмов, значительными колебаниями напряжения в контактной сети. Из-за действия центробежных сил, динамических усилий и ударных нагрузок, возникающих от неровностей пути во время движения поезда или в результате неисправности рессорного подвешивания локомотива, якорь повреждается чаще, чем остов. Большие динамические нагрузки через зубчатую передачу передаются на якорь двигателя. Прежде всего неисправности начинают появляться на коллекторе. Образуется повышенный износ его рабочей поверхности, появляются риски и забоины, наблюдается подгар и оплавление коллекторных пластин. Также возможно ослабление коллекторных болтов, образование трещин.

Поэтому основной задачей специалистов по эксплуатации является обеспечение качественного ремонта узлов и деталей подвижного состава. Необходимое качество ремонта узлов и деталей может быть обеспечено только в том случае, если требования к состоянию этих узлов четко

333