Метод конечных элементов: нестандартные решения для матрицы жесткости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.115

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ: НЕСТАНДАРТНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ Булавин Вячеслав Федорович, к.т.н., доцент (e-mail: bulavin35@mail.ru) Вологодский государственный университет, г.Вологда, Россия Яхричев Виктор Васильевич, ст., преподаватель (e-mail: yahrichev@yandex.ru) Вологодский государственный университет, г.Вологда, Россия

В работе исследовано построение на основе балансных уравнений нестандартных решений матрицы жесткости в методе конечных элементов. Круг вопросов ограничен стационарными явлениями для скалярных функций. Найдены альтернативные решения улучшающие свойства конечно-элементных уравнений.

Ключевые слова: метод конечных элементов, аппроксимация, конечный элемент, матрица жесткости, континуальность.

Вызовом работы является построение альтернативных элементных матриц жесткости (МЖ) линейного конечного элемента (КЭ) в методе конечных элементов и стремление показать, что число таких структур обладает мощностью континуум. Современная парадигма не оперирует множественностью этой математической модели КЭ.

Рассмотрим на плоскости неоднородную область D, ограниченную контуром dD, поле в которой описывается через скалярную функцию ф^ ).

Требуется найти конечно-элементное решение, удовлетворяющее уравнению

div (^grad ф) = - р(N) ; N (x,y)е D ; ф\QD = ф^ (л,О), (1)

здесь ц - физический параметр, характеризующий свойства среды.

Примем локальную систему координат как показано на рис.1 и допустим, что среда в пределах КЭ является однородной и изотропной. Аппроксимируем скалярную функцию вдоль сторон треугольника линейными зависимостями при соблюдении условия <f grad £ = 0 (£ - касательное

£

направление вдоль контура КЭ). Далее примем, что gradn^) = const (n -направление внешней нормали к контуру КЭ) на каждом из ребер, длины которых равны а, b, с. В базисе трех локальных систем координат (x, y), ( , £,a), (Ль,^b), ассоциированных со сторонами треугольника, баланс потоков скалярной функции между внешними границами, а также границами сопряжения трех подобластей ASi, ASj, ASm обеспечивает свойство консервативности.

Балансные уравнения для указанных сечений после перегруппировки

Ф

ь

\А \ ь

N. Г\

Ф ^^ с

Рис.1

позволяют выделить следующий результат:

к = ц

у + а

а

с

а

У

У

V С у

íx. \ У

аь

+ — с

а

а

а

V ь

/ с Л

аь

ь

а

а л

а

а

аь

ь

А а

+

аьл

ь

(2)

который представляет собой континуальную матрицу жесткости

симплекс-элемента [1].

Доказательство высказанного положения опирается как на факт непрерывной зависимости от координат, так и то, что все точки N (х,у)е Б КЭ образуют множество, мощность которого определяется как континуум. При этом, поскольку в качестве точки N(х,у)еБ, относительно которой формируются уравнения баланса, может служить любая, кроме узловых, то и число матриц жесткости также образует множество мощностью континуум. Таким образом, справедливо утверждение:

• конечно-элементное решение уравнения (1) приводит к множеству выражений для матрицы жесткости линейного симплекс—элемента, причем мощность этого множества определяется как континуум.

Структура соотношения (2) свидетельствует о том, что такая форма легко может быть сконструирована при использовании в процессе анализа Ь-координат [2].

На множестве точек N (х, у) е Б выделим подмножество (мощность которого также определяется как континуум), лежащее на отрезке ОН (рис.2), являющимся частью прямой Эйлера. Выбор связан с тем, что этот отрезок является геометрическим местом точек треугольника: ортоцентра

У

х

с

- точка Н; центра тяжести элемента - точка О; центра окружности Эйлера (или окружности девяти точек) - точка Р; центра окружности, описанной вокруг треугольника - точка О.

У Ф

\ Ь

Ъ \ ь

1 ъ 1 \ \

\ \ ь

Ъ

Я с Г сФ

с

х

Рис.2

К множеству точек отрезка ОН может быть добавлена еще одна характерная точка Р- центр окружности, вписанной в треугольник. В общем случае произвольного по форме КЭ она не лежит на прямой Эйлера и на рисунке не показана.

Подставив в (2) координаты точки О, можно убедиться, что результат совпадает с МЖ, определяемой классическими технологиями (вариационный подход или проекционный алгоритм).

Очевидно, что, поскольку точка О для тупоугольного КЭ лежит за контуром элемента, то балансные уравнения не могут быть сформулированы, а значит, классическая матрица жесткости в этом случае не существует, как не имеющая физического смысла, хотя формально может быть вычислена при классическом подходе. Это является одной из причин, указывающих на невозможность использования таких фрагментов в классической интерпретации МКЭ. Вторая особенность в реализации МКЭ состоит в следующем: из трех возможных линейных базисных функций для тупоугольного фрагмента требуется использовать только ту, которая определена в локальной системе координат, связанной с самым длинным ребром шаблона [3].

При указанном подходе в четырех случаях матрицы жесткости симплекс-элемента имеют неклассическую форму, как по виду, так и по содержанию.

На практике тупоугольные КЭ неизбежно появляются при аппроксимации криволинейных границ расчетной области поля, и лишь небольшое их число по сравнению с "нормальными" элементами скрывает неадекватность для них классической математической модели. В литературе по МКЭ имеется масса иллюстраций, когда в конечно-элементной сетке присутствуют "плохие" элементы (в основном на границах расчетной облас-

ти). Указанное обстоятельство снижает достоверность решения. Погрешность итогового результата при этом оказывается неконтролируемой.

Рекомендации при наличии тупоугольных фрагментов в МКЭ можно сформулировать следующим образом [1]:

• для тупоугольных КЭ базисная функция должна быть выбрана в локальной системе координат, связанной с самой длинной из сторон КЭ;

• требуемые градиенты следует вычислять из указанной базисной функции;

• в качестве точки ^х,у), относительно которой рекомендуется вычислять МЖ, следует использовать либо центр тяжести, либо центр вписанной в КЭ окружности, которые всегда лежат внутри контура КЭ при любой его форме.

Таким образом, две точки - центр тяжести треугольника и центр окружности, вписанной в треугольник, принятые в качестве центра для построения МЖ, дадут результат с заданной методологической погрешностью. Это позволит в процессе реализации МКЭ снять любые ограничения по форме КЭ и тем самым расширить его возможности. Методологическая погрешность решения, при выполнении указанных замечаний, всегда будет сохраняться на уровне О^ И2 ^, где И = тах(а,ь,с).

Верификация концепции континуальной МЖ проведена на тестовом примере, в котором реализованы указанные альтернативные МЖ [1]. В качестве контрольного примера взята классическая задача Сен-Венана о кручении стержня прямоугольного сечения, для которой существует аналитическое решение. Результаты анализа показывают, что для случаев когда элементные МЖ вычисляются относительно указанных точек для всех КЭ свойства глобальной МЖ свойства конечно-элементных уравнений значительно улучшаются (~30%). Оценка проводилась по числу обусловленности глобальной МЖ. Возможно использование смешанной стратегии, когда для "хороших" КЭ используется классическая матрица жесткости, а для "тонких" фрагментов один из рекомендуемы вариантов.

Выводы

1. Балансный метод дает возможность получить семейство нестандартных МЖ. Общее число таких решений образует континуальное множество, давая консервативный результат.

2. Классически определяемая МЖ приводит к неконтролируемой погрешности для тупоугольных симплекс-элементов. Решение проблемы существует при использовании альтернативных решений.

3. Нестандартные элементные МЖ позволяют в процессе реализации МКЭ снять любые ограничения по форме КЭ. Свойства конечно-элементных уравнений улучшаются

4. Распространение аналогичного подхода к 3Б пространству для КЭ типа тетраэдр предполагается.

Список литературы

1. Булавин, В.Ф. Континуальные схемотехнические модели в методе конечных элементов. Электричество, №1/2015, стр.39-51.

2. Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов - Новосибирск: Изд. Инст.-та вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, 2007, 371 с.

3. Булавин, В.Ф. Метод конечных элементов и выбор линейной базисной функции. Автоматизация и энергосбережение машиностроительного и металлургического производств, технология и надежность машин, приборов и оборудования: Материалы 8-й Международной научно-технической конференции. Вологда: ВоГТУ, 2013. -264 с.

Bulavin Vyacheslav Fedorovich, Cand. Tech.Sci., associate professor

(e-mail: bulavin35@mail.ru)

Vologda state University, Vologda, Russia

Yahrichev Victor Vasilyevich, senior lecturer

(e-mail: yahrichev@yandex.ru)

Vologda state University, Vologda, Russia

FINITE ELEMENT METHOD: INNOVATIVE SOLUTIONS FOR THE STIFFNESS MATRIX Abstract. The work investigated the building on the basis of balance equations of non-standard solutions of the stiffness matrix in the finite element method. The range of issues is restricted to stationary phenomena for scalar functions. Found an alternative solution for improving the properties of course-element equations.

Keywords: the finite element method, approximation, finite element, stiffness matrix, continuity.

УДК 621.8

ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРИЧИН АВАРИИ БАШЕННОГО КРАНА

Горелов Владимир Николаевич, к.т.н., доцент каф. «Механика»

(e-mail: gorelow67@mail.ru) Самарский государственный технический университет,

г.Самара, Россия

В данной статье приводится пример расследования аварии башенного крана и определение причин разрушения металлоконструкции башни и стрелы.

Ключевые слова: Башенный кран, образцы, испытание, предел прочности.

На данный момент строительство жилых зданий и сооружений является одной из наиболее динамично развивающихся отраслей производства. В соответствии с Федеральным законом «О промышленной безопасности опасных производственных объектов» № 116-ФЗ, объекты строительства,