Примеры адекватной статической конденсации на треугольном элементе четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

Д. В. Ковалюк, А. Н. Хомченко

ПРИМЕРЫ АДЕКВАТНОЙ СТАТИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ НА ТРЕУГОЛЬНОМ ЭЛЕМЕНТЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Введение. Проблема физического неправдоподобия спектров поузловых распределений равномерной массовой силы возникла с появлением конечных элементов высших порядков. Такие элементы использовали Вёбеке (1965), Аргирис (1965), Фелиппа (1966), Зенкевич и Ченг (1967) и другие. На треугольных элементах неадекватные спектры узловых нагрузок, как правило, ассоциируются с внутренними узлами. Процедура исключения внутренних узлов (статическая конденсация) не всегда эффективна с точки зрения установления физического правдоподобия спектра узловых нагрузок. До сих пор конденсация использовалась исключительно для уменьшения размерности системы конечно-элементных уравнений. Возникает вопрос: существует ли "рецепт" конденсации, уменьшающий размерность системы и при этом обеспечивающий физическую адекватность спектра узловых нагрузок? В работе найдем такой "рецепт" для треугольника 4-го порядка. Аналогичный результат для треугольника 3-го порядка будет опубликован в ближайшее время.

Анализ предшествующих публикаций. На треугольном элементе 3-го порядка статическую конденсацию впервые предложили Сьярле и Равьяр (1972) [1]. Они исключили внутренний узел, однако устранить отрицательные узловые нагрузки им не удалось. Сегодня мы понимаем почему. Во-первых, эта задача имеет множество решений, среди которых не все физически адекватны. Во-вторых, за 4 года до этого Эргатудис, Айронс и Зенкевич пришли к выводу, что на элементах высших порядков "негативизм" в спектре узловых нагрузок неустраним ("парадокс Зенкевича") [2]. В начале 80-х годов прошлого века были найдены контрпримеры [3], опровергающие вывод Зенкевича и его коллег. Но к моменту выхода статьи Сьярле и Равьяра Зенкевич уже входил в первую тройку специалистов, успешно развивающих и применяющих метод конечных элементов. Авторитетное мнение Зенкевича фактически приостановило поиски альтернативных моделей, свободных от негативизма в спектре узловых нагрузок.

Ситуация очень напоминает парадокс Бертрана (1889) в теории вероятностей [4],который сильно пошатнул доверие не только к геометрической вероятности, но и к теории вероятностей в целом. Первая догадка, объясняющая парадокс Бертрана появилась только через 20 лет (Борель, 1909). А еще через три года Пуанкаре дал математическое объяснение парадокса Бертрана, что способствовало постепенному восстановлению авторитета теории вероятностей как математической науки.

Цель статьи. На примере треугольного элемента 4-го порядка [5] показать варианты статической конденсации, обеспечивающие физическую адекватность спектра узловых нагрузок.

Основная часть. Одна из особенностей конечных элементов заключается в том, что чем выше порядок элемента, тем труднее физически интерпретировать его интегральные характеристики [2]. На рис. 1 показан треугольный элемент 4-го порядка. Элемент содержит 15 узлов, поскольку полный полином 4-го порядка (двух аргументов) содержит 15 мономов:

3

8 / \ 7

12/ 15 \ 11

9 / \ б

Г * * \

' 13 14 ^

>-*-*-*-•

1 4 10 5 2

Рис. 1. Треугольник 4-го порядка

9 9 9 9

/(л:, у) = а1 + а2х + а3у + а4х + а5ху + а6у + а7х + аох у + а9ху + а10у +

4 3 2 2 3 4 (1)

+ а11х +а12х у + а13х у + а14ху +а15у .

Базисные функции треугольных элементов обычно [5, 6] выражают через барицентрические координаты симплекса: Л123. В этом важное преимущество барицентрических координат Ь(х,у),

¿2 (х, у), Ь (х, у). В технической литературе эти координаты называют треугольными.

Чтобы составить полное представление о базисе треугольника 4-го порядка, достаточно выписать четыре типичные функции. Например, для узла 1 с координатами (1; 0; 0) :

N (х, у) = 1Ь (4Ь - 1)(2Ь - 1)(4Ь - 3),

Г з 1

для узла 4 с координатами \ —; —; 0 I:

14 4 )

^4(х,у) = уЬ^Ь - 1)(2Ь -1),

Г1 1 ^

для узла 10 с координатами \ — ; —; 0 I:

12 2 )

Л^0(х,у) = 4ЬЬ2(4Ь - 1)(4Ь2 -1),

Г1 1 1

для внутреннего узла 13 с координатами

2 4 4

^1з( х, у) = 32 Ц_Ь2 Ьз(4Ь-1).

Из ^(х, у) легко получить N2 и N3, из N4 - N5,..., N9; из N10 - N11 и N12, из N13 -N14 и N15.

Чтобы найти физически адекватное распределение нагрузок на граничные узлы необходимо проанализировать исходное распределение по всем узлам (включая внутренние). Узловая доля

нагрузки в узле / определяется интегральным усреднением соответствующей функции N1 (х, у) :

1

3 = ТТТ^Я N (х, у^у, г = 1,15, (2)

^ (Б) Б

где Б - область интегрирования, S(D) - площадь области Б. Определяя , удобно использовать

формулы (Холланда - Белла) вычисления двойного интеграла в барицентрических координатах [7]. Результаты вычислений дают следующий спектр:

4 1

3г = 0 для г = 1, 2, 3; 3 = — для г = 4,..., 9; 3 =--для г = 10,11,12;

г г 45 г 45

о

3 = — для г = 13,14,15. г 45

Парадокс в том, что безупречные математические вычисления в духе Ньютона - Котеса приводят к физически неадекватному спектру узловых нагрузок. Исключение внутренних узлов сводится

24

к правильному распределению "внутренней" нагрузки — по граничным узлам. Понятно, что эта задача

45

решается неоднозначно. Важный вывод: единственная модель элемента лагранжева семейства генерирует множество моделей серендипова семейства того же порядка. Один из вариантов физически адекватной конденсации (применительно к узлу 13) таков: освобождаясь от нагрузки, узел 13 передает 2 3

— узлу 1, а узлам 10 и 12 - по — . Новый базис теперь выглядит так: 45 45

N1 = N +1 N2 = ^ +1 N3 = Щ +1

— 33 — 33 — 33

Ж10 = ^0 +-^13 +-^14; = ^11 +-^14 + "^ N12 = ^12 + "N13 +~^15.

о о о о о о

Базисные функции, отвечающие узлам г = 4,..., 9, остаются без изменения. Обозначим через Уг узловые доли нагрузки серендиповой модели. Новый спектр узловых нагрузок теперь имеет вид:

2 4 5

у = —, г = 1, 2, 3; у = —, г = 4,..., 9; у = —, г = 10,11,12. п 45 /г 45 45

Приведем интерполяционные кубатуры:

для лагранжевой модели

( 3 4 9 1 12 8 15 Л

Л /(х, уУ® = mesD 0 • Ъ & Ъ Л - — Ъ /г +— Ъ /г

п V г=1 45 г=4 45 г=10 45 г=13 )

для серендиповой модели

( 23 49 5 12 Л

Я / (х, = mesD — Ъ ^ + — Ъ /г + — Ъ Л (3)

D V45 г=1 45 г=4 45 г=10 )

Наличие серендиповой модели дает возможность сформулировать краевую задачу на треугольнике с дискретными условиями Дирихле на границе. Пусть в граничных узлах треугольника

присоединены термоэлементы, поддерживающие постоянные температуры Т (г = 1,12). Тогда

температуру в любой точке пластины можно определить путем взвешенного усреднения граничных температур:

12_

Т (х, у) =Ъ N (х, у) Т, (4)

г=1

где {^г (х, у) | - базис серендиповой модели.

Как обычно, базисные функции обладают свойствами:

— Г1, если г = к, 12 —

N (хк, Ук) . . Ъ N (х, у) = 1, (5)

[0, если г ^ к; г =1

где I - номер функции, к - номер узла.

Кроме того, теперь можно обобщить известную барицентрическую задачу Мёбиуса на треугольник с 12-ю узлами на контуре. Заметим, что при таком количестве узлов не исключен парадоксальный результат, когда некоторые узлы на границе испытывают "гравитационное отталкивание" [8].

Другой вариант физически адекватной конденсации состоит в следующем (применительно к 131 7 му узлу): узел 13 передает ——■ своей нагрузки узлу 1, а узлам 10 и 12 - по —. В этом случае

серендипов и лагранжев базисы связаны следующими соотношениями:

N1 = N1 +1 N13; N2 = N2 +1 N14; N3 = N3 +1 N15;

ООО

— 7 — 7 — 7

N10 = N10 + — (N13 + N14); N11 = N11 + — (N14 + N15); N12 = N12 + — (N13 + N15); 16 16 16

N1 = N, г = 4,..., 9.

Соответствующий спектр узловых нагрузок имеет вид:

1 4 6

у = —, г = 1, 2, 3; у = —, г = 4,..., 9; у = —, г = 10,11,12. п 45 /г 45 45

Таким образом, мы получим альтернативный набор весовых коэффициентов для интерполяционной кубатуры (3), а также новые функции для взвешенного усреднения граничных потенциалов (4). Понятно, что барицентрическая задача Мёбиуса также получит новое решение. При этом свойства базисных функций (5) сохраняются, как и следовало ожидать.

Интересно сопоставить построенные модели в рамках конкретной задачи. Например, в задаче Дирихле можно эмпирически определить температуру в контрольной точке треугольной пластины. Для этого треугольник покрывают сеткой с треугольными ячейками и моделируют случайные блуждания броуновских частиц с поглощениями в граничных узлах. Вместо формулы (4) используется формула монте-карловского усреднения:

1 12

Т (х,, у; ) = -Х Щ Т,

^ ^ П г=1

где х^, у! - контрольный узел внутри треугольника - точка старта всех частиц; п - общее число

частиц, стартующих из контрольного узла; Щ - число частиц, поглощенных узлом /.

Сопоставление эмпирического и теоретического подходов - тема отдельной статьи. Здесь стоит заметить, что эмпирическая температура, как правило, незначительно отличается от теоретической. При этом весовые коэффициенты в формулах усреднения могут отличаться не только по величине, но и по знаку. В этом проявляется удивительное и весьма полезное свойство процедуры усреднения -устойчивость.

Выводы и перспективы дальнейших исследований. В работе конструктивно доказано существование треугольных элементов 4-го порядка, свободных от "негативизма" в поузловом распределении равномерной массовой силы. Представляет интерес изучение возможности распространения полученных результатов на пространственные элементы в форме тетраэдра.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл,

Р. Уайт. - М.: Мир, 1981. - 216 с.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

3. Хомченко А. Н. Некоторые вероятностные аспекты МКЭ / А. Н. Хомченко. - Ивано-Франковск,

1982. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.03.82, №1213

4. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике / Г. Секей. - М.: Мир,

1990. - 240 с.

5. Хомченко А. Н. Геометричне моделювання на дискретних елементах / А. Н. Хомченко,

Г. Я. Тулученко. - Херсон: ОЛД1-плюс, 2007. - 270 с.

6. Сегерлинд Л. Дж. Применение метода конечных элементов / Л. Дж. Сегерлинд. - М.: Мир, 1979.

- 392 с.

7. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. - М.: Мир, 1981. - 304с.

8. Хомченко А. Н. О некоторых обобщениях барицентрической задачи Мёбиуса / А. Н. Хомченко,

Е. И. Литвиненко // Вюник Запорiзького нац. ун-ту. Фiзико-математичнi науки. №1, 2010. -

С. 119-122.

КОВАЛЮК Дария Вадимовна - магистр систем и методов принятия решений, соискатель кафедры прикладной и высшей математики Черноморского государственного университета им. Петра Могилы.

Научные интересы:

- информационные технологии в сфере конечно-элементных расчетов.

ХОМЧЕНКО Анатолий Никифорович - д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой прикладной и высшей математики Черноморского государственного университета им. Петра Могилы.

Научные интересы:

- нестандартные модели серендиповых аппроксимаций на конечных элементах.